في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نُميز بين السرعة القياسية والسرعة المتجهة التي يتحرك بها جسم بين نقطتين.
تَذَكَّرْ أن السرعة القياسية لجسم هي مقدار المسافة التي يقطعها الجسم لكل وحدة زمن. لنفترض، على سبيل المثال، أن السيارة تتحرك بين موضع ابتدائي وموضع نهائي، كما هو موضح في الشكل الآتي.
السرعة القياسية للسيارة تساوي المسافة التي تقطعها مقسومة على الزمن المستغرَق لقَطْع هذه المسافة:
في بعض الأحيان، لا يكون المسار الذي يسلكه الجسم بين موضعه الابتدائي وموضعه النهائي خطًّا مستقيمًا. وطول هذا المسار هو المسافة التي يقطعها الجسم.
وهذا يختلف عن الإزاحة التي يقطعها الجسم. فالإزاحة هي التغير في الموضع بين النقطتين.
الإزاحة كمية متجهة؛ هذا يعني أن لها مقدارًا واتجاهًا. ومقدار الإزاحة هو أقصر مسافة على خط مستقيم بين نقطتين.
يمكننا توضيح المسافة التي تقطعها السيارة والإزاحة بين موضعها الابتدائي وموضعها النهائي على الشكل الآتي.
السرعة المتجهة للسيارة تساوي الإزاحة بين موضعَيْها الابتدائي والنهائي مقسومة على الزمن المستغرَق لإكمال هذا التحرك بين الموضعين:
وحدة السرعة المتجهة هي متر لكل ثانية، ويمكن كتابتها أيضًا على الصورة م/ث. لكن السرعة المتجهة كمية متجهة، مثل الإزاحة، وهذا يعني أن لها مقدارًا واتجاهًا.
هذا يعني أنه إذا علمنا أن السيارة تتحرك بسرعة ١٠ م/ث فقد عرفنا سرعتها القياسية. وإذا علمنا أن السيارة تتحرك بسرعة ١٠ م/ث في اتجاه معين، فقد عرفنا سرعتها المتجهة.
تعريف: السرعة المتجهة
إن السرعة المتجهة لجسم يتحرك بين موضع ابتدائي وموضع نهائي تساوي الإزاحة بين الموضعين مقسومة على الزمن المستغرَق للانتقال بينهما:
عندما يتحرك جسم في خط مستقيم وتظل سرعته ثابتة، فإن مقدار سرعته المتجهة يساوي سرعته القياسية. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.
كما رأينا، مقدار الإزاحة بين الموضع الابتدائي للسيارة وموضعها النهائي يساوي المسافة بين النقطتين. وهذا يعني أن مقدار السرعة المتجهة للسيارة يساوي سرعة السيارة القياسية، بشرط أن تظل سرعة السيارة القياسية ثابتة خلال الحركة.
والآن سنتناول مثالًا على جسم يتحرك في خط مستقيم بسرعة ثابتة.
مثال ١: السرعة القياسية والسرعة المتجهة لجسم يتحرك في خط مستقيم
إذا تحرك جسم في خط مستقيم بسرعة ثابتة، فأيٌّ من الآتي صواب؟
- السرعة القياسية تساوي مقدار السرعة المتجهة للجسم.
- تصبح السرعة القياسية كمية متجهة.
الحل
السرعة القياسية للجسم تساوي المسافة التي يقطعها مقسومة على الزمن المستغرَق لقَطْع هذه المسافة:
السرعة المتجهة للجسم تساوي الإزاحة بين موضعه النهائي وموضعه الابتدائي مقسومة على الزمن المستغرَق للحركة بين الموضعين:
يتساوى مقدار السرعة المتجهة للجسم ومقدار سرعته القياسية فقط عندما يكون مقدار إزاحة الجسم بين نقطتين مساويًا للمسافة بين النقطتين.
المسافة بين نقطتين لن تساوي مقدار الإزاحة إلا عندما يتحرك الجسم في خط مستقيم. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.
وهذا يعني أنه إذا تَحرَّك جسم في خط مستقيم بسرعة ثابتة، فإن السرعة القياسية هي مقدار السرعة المتجهة للجسم.
يجب أن نعلم أن السرعة القياسية كمية قياسية، ولا يمكن أن تكون كمية متجهة أبدًا.
عندما يتحرك الجسم في مسار منحنٍ، تكون المسافة التي يقطعها أكبر من مقدار الإزاحة. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.
هذا يعني أن السرعة القياسية للجسم أكبر من مقدار سرعته المتجهة.
مثال ٢: السرعة القياسية والسرعة المتجهة لجسم يتحرك في مسار منحنٍ
تتبع طائرة الخط المنحني الموضح. ما الذي له المقدار الأكبر، السرعة القياسية للطائرة أم سرعتها المتجهة؟
الحل
يمكننا البدء بتفسير الشكل وتوضيح مسافة المسار المتبَّع والإزاحة بين الموضع النهائي والموضع الابتدائي. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.
السرعة القياسية للطائرة تساوي مسافة المسار من الموضع الابتدائي إلى الموضع النهائي مقسومة على الزمن المستغرَق لإكمال الحركة:
السرعة المتجهة للطائرة تساوي الإزاحة بين موضعها الابتدائي وموضعها النهائي مقسومة على الزمن المستغرَق لإكمال الحركة:
إن مقدار المسافة التي قطعَتها الطائرة أكبر من مقدار الإزاحة بين موضعَيْها الابتدائي والنهائي.
هذا يعني أن السرعة القياسية للطائرة أكبر من مقدار السرعة المتجهة للطائرة.
ثمة حالة أخرى مثيرة للانتباه يجب أن نذكُرها، وهي عندما يعكس الجسم اتجاه حركته أثناء تحرُّكه في خط مستقيم من موضعه الابتدائي إلى موضعه النهائي. وهذا موضَّح في الشكل الآتي، حيث تتحرك سيارة في مسار أفقي مستقيم من أ إلى ب، ثمَّ تعكس اتجاهها في منتصف الطريق.
يجب أن نلاحظ أن الشكل يوضِّح مسافة رأسية صغيرة قطعَتها السيارة، وكذلك المسافة الأفقية التي قطعَتها السيارة. من المفترض أن السيارة قد تحركَت في الاتجاه الأفقي فقط. لكن الشكل يوضِّح المسافة الرأسية الصغيرة التي تحركَتها السيارة ليسهِّل رؤية المسافة التي قطعَتها في الاتجاهين الأفقيَّين المعاكسين. بالنسبة إلى إزاحة السيارة، لا بد من النظر إلى الإزاحة الأفقية فقط. فكما رأينا، على الرغم من أن المسار يقع على خط أفقي ممتد من الموضع الابتدائي إلى الموضع النهائي، فإن المسافة المقطوعة أكبر من مقدار الإزاحة بين الموضعين.
وهذا يعني أن مقدار السرعة القياسية للسيارة أكبر من مقدار سرعتها المتجهة.
سنستعرض الآن مثالًا ينعكس فيه اتجاه حركة الجسم.
مثال ٣: السرعة القياسية والسرعة المتجهة لجسم يعكس اتجاه حركته
تَتَبَّعْ سيارة الخط الأحمر الموضَّح. أيٌّ من الآتي له المقدار الأكبر، السرعة القياسية أم السرعة المتجهة؟
الحل
يوضِّح المسار الذي سَلَكَته السيارة أنها قطعَت مسافة رأسية صغيرة جدًّا، وكذلك يوضِّح المسافة الأفقية التي قطعَتها. من المفترض أن السيارة قد تحركَت في الاتجاه الأفقي فقط. ولكن يوضِّح الشكل المسافة الرأسية الصغيرة التي تحركَتها السيارة ليسهِّل رؤية المسافة التي قطعَتها في الاتجاهين الأفقيين المعاكسين. بالنسبة إلى إزاحة السيارة، لا بد من النظر إلى الإزاحة الأفقية فقط.
يقع المسار الذي سَلَكَته السيارة على خط أفقي مستقيم، وينعكس اتجاه حركتها. هذا يعني أن المسافة التي قطعَتها السيارة لها مقدار أكبر من الإزاحة بين موضَعْيها الابتدائي والنهائي. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.
وكما فعلنا من قبل، يجب أن نلاحظ أن الشكل يوضِّح مسافة رأسية صغيرة قطعَتها السيارة، ويوضِّح كذلك المسافة الأفقية التي قطعَتها. من المفترض أن السيارة قد تحركَت في الاتجاه الأفقي فقط. ولكن يوضِّح الشكل المسافة الرأسية التي تحركَتها السيارة ليسهِّل رؤية المسافة التي قطعَتها في الاتجاهين الأفقيين المعاكسين. بالنسبة إلى إزاحة السيارة، لا بد من النظر إلى الإزاحة الأفقية فقط. السرعة القياسية للسيارة تساوي مسافة المسار الذي قطعَته مقسومة على الزمن المستغرَق لقَطْع هذه المسافة:
السرعة المتجهة للسيارة تساوي الإزاحة بين موضعها الابتدائي وموضعها النهائي مقسومة على الزمن المستغرَق للانتقال بين هذين الموضعين:
إذن المسافة التي قطعَتها السيارة لها مقدار أكبر من الإزاحة بين الموضعين الابتدائي والنهائي، ومن ثم يكون مقدار السرعة القياسية للسيارة أكبر من مقدار سرعتها المتجهة.
أقصر مسار ممكن بين نقطتين هو خط مستقيم. فبالنسبة إلى جسم يتحرك من موضعه الابتدائي إلى موضعه النهائي، فإن أقصر مسار يمكن أن يسلكه الجسم هو الخط المستقيم بينهما. وكما نرى في الشكل الآتي، في حالة المسار الأقصر بين النقطتين، يتساوى مقدار الإزاحة والمسافة بين النقطتين.
عندما يتحرك الجسم في خط مستقيم بسرعة ثابتة، فإن سرعة الجسم القياسية تساوي مقدار سرعته المتجهة. هذا يحدث عندما يتحرك الجسم في أقصر مسار ممكن بين النقطتين، ومن ثم لا يمكن أن تكون السرعة القياسية للجسم أقل من ذلك.
إذن سرعة الجسم القياسية لا يمكن أن تكون أقل من مقدار سرعته المتجهة.
سنتناول الآن مثالًا يوضِّح العلاقة بين سرعة الجسم القياسية وسرعته المتجهة.
مثال ٤: الحد الأدنى لسرعة الجسم القياسية
اشرح لماذا لا يمكن أن تكون سرعة الجسم القياسية أقل من مقدار سرعته المتجهة.
الحل
سرعة الجسم القياسية تساوي المسافة التي يقطعها من موضعه الابتدائي إلى موضعه النهائي مقسومة على الزمن المستغرَق لقَطْع هذه المسافة:
السرعة المتجهة للجسم تساوي الإزاحة بين موضعه الابتدائي وموضعه النهائي مقسومة على الزمن المستغرَق للانتقال بين هذين الموضعين:
يمكن أن يتحرك الجسم في العديد من المسارات بين نقطتين، وأقصر مسار هو خط مستقيم من الموضع الابتدائي إلى الموضع النهائي. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.
عندما يسلك الجسم المسار الأقصر، يكون مقدار المسافة التي يقطعها مساويًا للإزاحة بين موضعه الابتدائي وموضعه النهائي. كما أن السرعة القياسية للجسم على طول هذا المسار تكون أيضًا عند أدنى قيمة لها، وهي تساوي مقدار سرعته المتجهة.
كل المسارات الأخرى التي يمكن أن يتحرك فيها الجسم أطول، ما يؤدي إلى سرعة قياسية أكبر. فلا يمكن أن تكون السرعة القياسية للجسم أقل من مقدار سرعته المتجهة.
ثمة سيناريو آخر علينا التفكير فيه، وهو عندما يتحرك الجسم في مسارات متعددة بين نقطتين، ولكن تظل سرعته ثابتة. في الشكل الآتي، لدينا سيارة تتحرك من الموضع الابتدائي أ إلى الموضع النهائي ب في مسارين مختلفين.
وكما نرى، فإن إحدى السيارتين تأخذ مسارًا أطول من الأخرى. وإذا كانتا تتحركان بالسرعة نفسها، فستصلان إلى موضعهما النهائي ب في زمنين مختلفين.
ويمكن حساب الزمن المستغرَق بقسمة المسافة المقطوعة على السرعة التي يتحرك بها الجسم:
ومن ثم فإن المسافة الأكبر المقطوعة من الموضع الابتدائي إلى الموضع النهائي بسرعة ثابتة تعني أن إكمال المسافة المقطوعة يستغرق وقتًا أطول.
ولكن، الإزاحة بين الموضع الابتدائي والموضع النهائي لا تعتمد على المسار الذي اتخذته السيارة.
ومن ثم، السرعة المتجهة للسيارة التي تأخذ المسار الأطول أقل من السرعة المتجهة للسيارة التي تأخذ المسار الأقصر.
سنستعرض الآن مثالًا يتعلق بذلك.
مثال ٥: السرعة المتجهة لجسمين يتحركان بسرعة ثابتة في مسارَين لهما طولان مختلفان ولهما الإزاحة نفسها
تحلق طائرتان في المسارين الموضحين، وتحلقان بنفس السرعة القياسية. أيُّ سهم ملون يمثل مسار الطائرة التي تحلق بين موضعَيْها الابتدائي والنهائي بسرعة متجهة أكبر؟
الحل
تحلق الطائرتان بالسرعة نفسها. الطائرة الموجودة على اليسار، التي تسلك المسار الأزرق، تأخذ مسارًا أطول من الطائرة الموجودة على اليمين التي تسلك المسار الأخضر.
الزمن المستغرَق ليتحرك جسم من موضعه الابتدائي إلى موضعه النهائي يساوي مسافة المسار الذي سَلَكَه مقسومة على السرعة القياسية التي يتحرك بها:
الطائرة الموجودة على اليسار تسلك مسارًا أطول، إذن الوقت المستغرَق للوصول إلى موضعها النهائي أطول من الزمن الذي تستغرقه الطائرة الموجودة على اليمين.
والإزاحة بين الموضعين الابتدائي والنهائي لكل طائرة هي نفسها. السرعة المتجهة لكل طائرة تساوي الإزاحة بين موضعَيها الابتدائي والنهائي مقسومة على الزمن المستغرَق لقَطْع هذه المسافة:
تستغرق الطائرة التي على اليسار وقتًا أطول لإكمال حركتها بين الموضعين، لذا فإن سرعتها المتجهة أقل من السرعة المتجهة للطائرة الموجودة على اليمين. وعليه، يوضِّح السهم الأخضر مسار الطائرة التي تطير بين موضعَيها الابتدائي والنهائي بالسرعة المتجهة الكبرى.
يمكننا تلخيص ما تعلمناه في النقاط الأساسية الآتية.
النقاط الرئيسية
- السرعة القياسية تساوي المسافة المقطوعة بين الموضع الابتدائي والموضع النهائي مقسومة على الزمن المستغرَق لقَطْع هذه المسافة:
- السرعة المتجهة تساوي الإزاحة بين الموضعين الابتدائي والنهائي مقسومة على الزمن المستغرَق للانتقال بين هذين الموضعين:
- السرعة المتجهة كمية متجهة؛ ولذا لها اتجاهٌ ومقدار.
- عندما يتحرك جسم في خط مستقيم بسرعة ثابتة، فإن مقدار سرعته المتجهة يساوي سرعته القياسية.
- عندما يتحرك جسم في مسار غير مستقيم، أو يعكس اتجاه حركته، تكون سرعته القياسية أكبر من مقدار سرعته المتجهة.
- لا يمكن أن تكون سرعة الجسم القياسية أقل من مقدار سرعته المتجهة.
- إذا تحرَّك جسم بسرعة ثابتة بين موضع ابتدائي وموضع نهائي، وسَلَكَ مسارًا أطول بينهما، فستقلُّ سرعته المتجهة.
