في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَحُلُّ المسائل المتعلِّقة بحركة جسمين متصلين بخيط يمر على بكرة ملساء؛ بحيث يرتكز أحد الجسمين على طاولة أفقية.
تخيَّل أن لدينا جسمين متصلين بخيط يمر على بكرة مثبَّتة على حافة سطح أفقي؛ حيث يرتكز أحد الجسمين على السطح، والجسم الآخر معلَّق تعليقًا حرًّا من الخيط، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:
إذا كان السطحُ أملسَ، وكانت كتلة الخيط والقوة اللازمة لدوران البكرة مهملتين، فستعتمد عجلة الجسمين فقط على وزن الجسم المعلَّق، والشد في الخيط، وكتلتَي الجسمين، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:
يمكن إيجاد عجلة الجسم باستخدام قانون نيوتن الثاني للحركة. لنعرف هذا القانون.
تعريف: قانون نيوتن الثاني للحركة
عندما تؤثِّر قوة محصلة على جسم ما، يتسارع الجسم في اتجاه هذه القوة. ويعتمد مقدار العجلة على مقدار القوة وكتلة الجسم، وفق الصيغة: حيث هي كتلة الجسم، هي عجلة الجسم.
بافتراض أن الخيط مشدود ولا يمكن لشكله أن يُشوَّه، لا بد أن تكون عجلتا الجسمين متساويتين. من القوتين والكتلتين الموضَّحتين في الشكل، يمكننا أن نلاحِظ أن عجلة الجسم على السطح، ، تُعطى بالعلاقة:
وأن عجلة الجسم المعلَّق، ، تُعطى بالعلاقة: حيث: و:
ومن ثَمَّ، فإن الشد في الخيط يُعطى بالعلاقة:
نلقي نظرة على مثال على هذا النسق.
مثال ١: إيجاد الشد في خيط يصل بين كتلة مرتكزة على طاولة وكتلة معلَّقة رأسيًّا من خلال بكرة
رُبِط جسمان كتلتاهما ١٥ و١٦٫٥ كيلوجرامًا على الترتيب بطرفَي خيط خفيف غير مرن يمر عبر بكرة ملساء مثبَّتة على حافة طاولة أفقية ملساء. وُضِع الجسم ذو الكتلة الكبرى على الطاولة، وعُلِّق الجسم الأصغر بحيث يتدلَّى رأسيًّا أسفل البكرة. أوجد الشد في الخيط، علمًا بأن عجلة الجاذبية .
الحل
إذا كانت كتلة الجسم على السطح ، وكتلة الجسم المعلَّق ، فإن الصيغة: تعطينا قيمة ؛ حيث للجسمين عجلتان متساويتان.
القوى المؤثِّرة موضَّحة في الشكل الآتي:
يمكن إيجاد الشد في الخيط باستخدام العلاقة: أو العلاقة: لكن في كلتا الحالتين، من الضروري أن نُوجِد قيمة أولًا. يمكن إيجاد قيمة ﺟ بمساواة العلاقتين السابقتين:
بالتعويض بقيمة في: نحصل على:
نتناول الآن مثالًا على تحديد القوة المؤثِّرة على بكرة، الناتجة عن الشد في خيط متصل بجسمين.
مثال ٢: إيجاد القوة المؤثِّرة على بكرة تصل بين جسم مرتكز على سطح أملس وجسم معلَّق رأسيًّا
يرتكز جسم على نضد أفقي أملس. رُبِط بواسطة خيط خفيف غير مرن يمر عبر بكرة ملساء مثبَّتة على حافة النضد، بجسم آخر معلَّق تعليقًا حرًّا رأسيًّا أسفل البكرة. إذا كان مقدار الشد في الخيط ١٫٠٤ نيوتن، فأوجد القوة المبذولة على البكرة.
الحل
الجدير بالذكر أنه لم يُذكَر أيٌّ من كتلتَي الجسمين أو عجلتيهما في معطيات السؤال. هذه القيم ليست ضرورية لتحديد القوة المؤثِّرة على البكرة. القوتان المؤثِّرتان على البكرة موضَّحتان في الشكل الآتي.
القوتان الوحيدتان اللتان تؤثِّران على البكرة هما قوَّتا الشد في الجزأين الأفقي والرأسي من الخيط. يؤثِّر وزن الكتلة المعلَّقة على الكتلة المعلَّقة فقط، وليس على البكرة. كما يؤثِّر خطَّا عمل قوَّتَي الشد في الجزأين الأفقي والرأسي من الخيط على طول هذين الجزأين من الخيط، ويوضَّح الشكل الآتي القوة المحصلة الناتجة عن قوَّتَي الشد.
النقطة التي تؤثِّر عندها القوتان هي في الواقع نقطة على البكرة، كما هو موضَّح في الشكل السابق. لكن النقطة التي تؤثِّر عندها القوتان لا تُغيِّر من قيمة .
تعتمد قيمة على قيمتَي ، . عرفنا من معطيات السؤال أن قيمة تساوي ١٫٠٤ نيوتن. تُحدَّد قيمة من خلال حقيقة أن قوَّتَي الشد متساويتان في المقدار ومتعامدتان، إذن لا بد أن الزاوية تساوي . وعليه، نحصل على من خلال المعادلة:
يمكن إيجاد عجلة جسم متصل بجسم آخر بواسطة خيط يمر عبر بكرة؛ ومن ثم إيجاد سرعة الجسم المتجهة وإزاحته. نتناول مثالًا على إيجاد السرعة المتجهة لجسم الناتجة عن عجلته.
مثال ٣: إيجاد السرعة المتجهة عند ارتطام كتلة بالبكرة
وُضِع جسم كتلته ١٨٠ جم على منضدة ملساء أفقية. رُبِط الجسم بواسطة خيط خفيف غير مرن يمر عبر بكرة ملساء مثبَّتة على حافة المنضدة، بجسم آخر كتلته ١٢٠ جم يتدلَّى رأسيًّا بحرية أسفل البكرة. عندما كان الجسم على بُعد ٩٠ سم من البكرة، بدأ النظام الحركة من السكون. أوجد سرعة ارتطام الجسم بالبكرة. عجلة الجاذبية الأرضية .
الحل
تعتمد سرعة الجسم ، عندما تساوي إزاحته ٩٠ سم من موضعه الابتدائي، على عجلة الجسم خلال هذه الإزاحة. يمكن إيجاد عجلة الجسم باستخدام الصيغة:
تُحوَّل الإزاحة من ٩٠ سم إلى ٠٫٩ م، وتُحوَّل كتلتا الجسمين من وحدة جرام إلى وحدة النظام الدولي الأساسية «كيلوجرام».
عند التعويض بقيم وكتلتَي الجسمين، نحصل على:
ويمكن إيجاد السرعة المتجهة للجسم الذي يتسارع خلال الإزاحة باستخدام الصيغة: حيث في هذه الحالة يساوي صفرًا؛ لأن الجسم في البداية يكون في حالة سكون. بالتعويض بقيمتَي ، نحصل على:
وهذا يسمح لنا بإيجاد قيمة بالضبط، على النحو الآتي:
والتي تساوي بوحدة قياس سنتيمتر لكل ثانية:
في بعض الأحيان يكون السطح الأفقي في النظام خشنًا وليس أملس. الأمر الذي تنتج عنه قوة احتكاك تقاوِم حركة الجسم على السطح.
نحصل على مقدار قوة الاحتكاك بين جسم متحرِّك وسطح من خلال العلاقة: حيث قوة رد الفعل العمودي للسطح على الجسم، والتي يكون مقدارها بالنسبة إلى مستوى أفقي يساوي وزن الجسم، .
الثابت هو معامل الاحتكاك بين السطح والجسم. تؤثِّر قوة الاحتكاك في الاتجاه المعاكس لاتجاه حركة الجسم. إذا تسارع جسمٌ على سطح أفقي خشن بتأثير قوة ، فإن مقدار القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم على طول خط القوة يُعطى من خلال العلاقة:
لنتخيَّل نظامًا مكوَّنًا من كتلتين متصلتين وبكرة، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:
تُعطى قيمة من خلال العلاقة: حيث هو معامل الاحتكاك.
وتُعطى قيمة من خلال العلاقة:
تُعطى العلاقة بين عجلة الجسم الذي يتحرَّك أفقيًّا والقوى المؤثِّرة عليه من خلال:
تُعطى العلاقة بين عجلة الجسم الذي يتحرَّك رأسيًّا والقوى المؤثِّرة عليه من خلال:
يمكن تجميع هذه الحدود على النحو الآتي:
نتناول مثالًا يؤثِّر فيه الاحتكاك بين جسم وسطح على حركة الجسم.
مثال ٤: إيجاد عجلة نظام يتضمَّن منضدة أفقية خشنة وبكرة
جسمٌ كتلته ٢٠٣ جم يرتكز على طاولة أفقية خشنة. رُبِط الجسم بجسم آخر بواسطة خيط خفيف غير مرن يمر عبر بكرة ملساء مثبَّتة بطرف الطاولة، وهذا الجسم الآخر كتلته ٤٩٣ جم ويتدلَّى رأسيًّا أسفل البكرة. إذا كان معامل الاحتكاك بين الجسم الأول والطاولة ٠٫٢، فأوجد عجلة النظام. عجلة الجاذبية .
الحل
القوى المؤثِّرة على الجسمين موضَّحة في الشكل الآتي؛ حيث تُمثِّل قوة الاحتكاك بالرمز .
يمكن إيجاد عجلة النظام باستخدام الصيغة:
للحصول على قيمة بوحدة قياس متر لكل ثانية مربعة، تُحوَّل قيمتا الكتلتين إلى وحدة النظام الدولي الأساسية للكتلة كيلوجرام. قيمة تساوي ٠٫٢٠٣ كجم، وقيمة تساوي ٠٫٤٩٣ كجم. عجلة الجاذبية الأرضية، ، تساوي ٩٫٨ م/ث٢. بالتعويض بالقيم المعلومة، نحصل على:
نتناول الآن مثالًا على تأثير الاحتكاك بين جسم وسطح على حركة الجسم، وكيفية إيجاد إزاحة الجسم.
مثال ٥: إيجاد المسافة التي تقطعها كتلة على مستوى خشن عند اتصالها بكتلة معلَّقة رأسيَّا
يرتكز جسم كتلته ٢٠٠ جم على طاولة أفقية خشنة. رُبِط الجسم بواسطة خيط خفيف غير مرن يمر عبر بكرة ملساء مثبَّتة على حافة الطاولة، بجسم آخر له نفس الكتلة ويتدلَّى رأسيًّا أسفل البكرة على مسافة ٢ سم فوق الأرض. معامل الاحتكاك بين الطاولة والجسم الذي يرتكز عليها يساوي . إذا بدأ النظام في الحركة من السكون وسقط الجسم المعلَّق حتى اصطدم بالأرض، فكم تبلغ المسافة التي قطعها الجسم المرتكز على الطاولة حتى توقَّف عن الحركة؟ عجلة الجاذبية .
الحل
القوى المؤثِّرة على الجسمين موضَّحة في الشكل الآتي؛ حيث تُمثَّل قوة الاحتكاك بالرمز .
يمكن إيجاد عجلة النظام باستخدام الصيغة:
بالنسبة إلى هذا النظام، يكون: وبذلك، تُعطى عجلة النظام من خلال العلاقة:
بالتعويض بقيمة المعطاة في السؤال، نحصل على:
يتسارع كلا الجسمين خلال الفترة الزمنية التي يستغرقها الجسم المعلَّق رأسيًّا للهبوط مسافة مقدارها سنتيمتران، أو ما يساوي ٠٫٠٢ متر. ويمكن إيجاد سرعة الجسم الذي يتحرَّك أفقيًّا خلال تلك الفترة الزمنية باستخدام الصيغة: حيث تساوي ٠ م/ث؛ إذن:
ويمكن إيجاد إزاحة الجسم الذي يتحرَّك أفقيًّا عندما يصل إلى حالة السكون باستخدام الصيغة: حيث تساوي ٠ م/ث و:
بما أن الجسم المعلَّق قد وصل إلى الأرض وتوقَّف عن الحركة، إذن يساوي الشد في الخيط صفرًا. وعليه، فإن القوة الوحيدة المؤثِّرة على الجسم الذي ينزلق على السطح الخشن هي قوة الاحتكاك. يمكننا استخدام ذلك لحساب عجلة الجسم عندما يتباطأ.
يُعطى مقدار قوة الاحتكاك من خلال العلاقة: وهو ما يُنتِج عجلة في الاتجاه المعاكس لاتجاه حركة:
بالتعويض في: نحصل على:
إذن الإزاحة تساوي ٢ سم.
النقاط الرئيسية
- بالنسبة إلى جسمين متصلين بخيط خفيف غير مرن يمر عبر بكرة يمكن أن تدور بقوة مهملة المقدار؛ حيث يرتكز أحد الجسمين على سطح أفقي، والجسم الآخر يكون معلَّقًا تعليقًا حرًّا من الخيط، تتساوى كلٌّ من عجلتَي الجسمين في المقدار، وتتساوى القوتان المؤثِّرتان على كلٍّ من الجسمين الناتجتين عن الشد في الخيط في المقدار.
- بالنسبة إلى جسمين متصلين بخيط خفيف غير مرن يمر عبر بكرة يمكن أن تدور بقوة مهملة المقدار؛ حيث يرتكز أحد الجسمين على سطح أفقي، والجسم الآخر يكون معلَّقًا تعليقًا حرًّا من الخيط، تكون القوى المحصلة المؤثِّرة على الجسمين على النحو الآتي: و: حيث عجلة أيٍّ من الجسمين، مقدار الشد في الخيط.
- إذا كان السطح الأفقي خشنًا، فإن القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم الذي يتحرَّك أفقيًّا تساوي: حيث معامل احتكاك الجسم مع السطح.
