في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَتعرَّف على الدوال الأسية، وكيف نكتبها ونُوجِد قيمتها ونُحلِّلها.
تعريف: الدالة الأسية
الدالة الأسية هي دالة لها قاعدة تُكتب على الصورة: حيث يكون الثابت هو الأساس، والمتغيِّر هو الأس. الثابت عدد حقيقي؛ حيث ، ، والمتغيِّر يمكن أن يكون أيَّ عدد حقيقي.
لتحليل الدالة الأسية باستخدام القاعدة ، دعونا نبدأ بإيجاد قيمة لبعض قيم الأعداد الصحيحة الموجبة لـ .
| ١ | ٢ | ٣ | ٤ | |
نلاحِظ أن القيمة السابقة لـ تُضرَب في كل مرة يزيد فيها بمقدار ١. هذا يعني أن:
- قيمة تساوي ،
- قيمة تساوي ،
- قيمة تساوي .
خاصية: العلاقة بين د (س)، د (س - ١) للدالة الأسية د (س) = ب س
بالنسبة إلى الدالة الأسية ، قيمة تساوي دائمًا حاصل ضرب في ؛ وهو ما يعني أن قيمة تساوي دائمًا خارج قسمة على . هذا يعطينا:
الخاصية المذكورة سابقًا لا تنطبق فقط على قيم الأعداد الصحيحة الموجبة لـ ، بل على قيمة أيِّ عدد حقيقي لـ . من ثَمَّ، يمكننا غالبًا استخدام العلاقة بين كلٍّ من ، ، لإيجاد قيمة من التمثيل البياني أو الجدول.
انظر التمثيل البياني التالي، الذي يوضِّح لقيمة محدَّدة لـ . لاحِظ أن المنحنى يقطع المحور عند ١. وهذا ينطبق على قيمة أيِّ عدد حقيقي لـ ؛ حيث ، .
يمكننا إيجاد قيمة في الدالة التي يمثِّلها المنحنى باختيار نقطتين يمر بهما المنحنى مع اختلاف إحداثيات بمقدار ١. لا يهم أي نقطتين نختار، لكن يجب أن يكون لكلٍّ منهما إحداثيات ، يسهل تحديدها. في هذه الحالة، يكون من الأسهل علينا اختيار نقاط تكون إحداثيات لها أعدادًا صحيحة متتالية.
من الواضح أن المنحنى يمر بالنقطتين ، ؛ ومن ثَمَّ، نختار هاتين النقطتين لإيجاد قيمة . بناءً على إحداثيات النقطتين، نعلم أن:
تذكَّر أن يساوي دائمًا خارج قسمة على . من ثَمَّ:
إذن المنحنى يمثِّل الدالة .
بعد ذلك، دعونا نلقِ نظرة على جدول يمثِّل الدالة لقيمة محدَّدة لـ .
| ١ | ٢ | ٣ | ٤ | |
| ٢ | ٤ | ٨ | ١٦ |
بما أن قيم في الجدول تختلف بمقدار ١، إذن يمكننا استخدام الطريقة نفسها المذكورة سابقًا لتحديد قيمة ، وإيجاد خارج قسمة ٤ و٢، أو خارج قسمة ٨ و٤، أو خارج قسمة ١٦ و٨. لكن هذه المرة، سنعوِّض بدلًا من ذلك بأول قيمتين لـ ، الموضَّحتين بالجدول في القاعدة . بالتعويض بالقيمة ١ عن ، وبالقيمة ٢ عن ، نحصل على: وهو ما يوضِّح لنا أن قيمة يجب أن تساوي ٢. من ثَمَّ، يمثِّل الجدول الدالة .
حتى الآن، تناولنا فقط الدوال الأسية على الصورة ، لكن يمكن تحويل الدالة الأسية بالطريقة المعتادة. على الرغم من أن قيمة الأساس لا بد أن تكون دائمًا عددًا حقيقيًّا موجبًا لا يساوي ١، فإن الأس يمكن أن يَتكوَّن من أيِّ عدد من الحدود الخطية، ما دام واحد منها على الأقل يتضمَّن متغيِّرًا. وأيضًا، يُضرَب الحد الأسي أحيانًا في ثابت، أو يُضاف إليه ثابت. تتضمَّن بعض أمثلة الدوال الأسية المحوَّلة الآتي:
- ،
- ،
- .
كما في حالة الدوال الأسية على الصورة ، نلاحِظ أنه في كل مثال من هذه الأمثلة يحتوي الأس على متغيِّر، ويكون مرفوعًا على يسار الأساس:
- بالنسبة إلى ، الأساس هو ٢، والأس هو ،
- بالنسبة إلى ، الأساس هو ، والأس هو ،
- بالنسبة إلى ، الأساس هو ٩، والأس هو .
يمكننا أيضًا إيجاد معادلات لمثل هذه الدوال الأسية المحوَّلة من التمثيلات البيانية والجداول، وهو ما سنفعله في بعض المسائل الآتية. لكن سنبدأ الآن بمسألة تطلب منا تحديد أساس الدالة الأسية وأسها.
مثال ١: تحديد أساس الدالة الأسية وأسها
ما أساس وأس الدالة ؟
الحل
تذكَّر أنه في قاعدة الدالة الأسية يكون الأساس هو الثابت ، والأس هو المتغيِّر . نحن نعلم أن عدد حقيقي؛ حيث ، ، وأن يمكن أن يكون أيَّ عدد حقيقي.
لقد تحوَّلت الدالة الأسية الموضَّحة لدينا. نجد أن لدينا مقدارًا ذا حدين للمتغيِّر، وهو ، مرفوعًا على يسار العدد ٥. من ثَمَّ، نعرف من ذلك أن الأساس هو ٥، وأن الأس هو .
في المسألة التالية، سيكون لدينا جدول قيم لدالة أسية، ومطلوب منا إيجاد معادلة الدالة.
مثال ٢: كتابة معادلة أسية من جدول القيم
اكتب معادلة أسية على الصورة من الأعداد الموجودة في الجدول.
| ٢ | ٤ | ٥ | |
الحل
تذكَّر أنه في أيِّ معادلة أسية على الصورة يكون الأساس هو الثابت ، والأس هو المتغيِّر . نحن نعلم أن عدد حقيقي؛ حيث ، ، وأن يمكن أن يكون أيَّ عدد حقيقي.
وبما أن المطلوب هنا هو كتابة معادلة أسية على الصورة من الأعداد الموجودة في الجدول، إذن يجب علينا إيجاد قيمة الأساس، ، لحل المسألة.
هيا نبدأ بالتعويض بقيمتين لـ ، من الجدول في المعادلة .
بالتعويض بالقيمة ٢ عن ، والقيمة عن ، نحصل على:
والآن، لإيجاد قيمة ، يمكننا أخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة. يمكن أن يكون الجذر التربيعي موجبًا أو سالبًا، لكن بما أن يجب أن يكون عددًا حقيقيًّا موجبًا، إذن يمكننا تجاهل الجذر السالب، وهو ما يعطينا:
تذكَّر أنه لإيجاد الجذر التربيعي لكسر، فإننا نأخذ الجذر التربيعي لكلٍّ من البسط والمقام؛ ومن ثَمَّ، يمكن تبسيط المعادلة كالآتي:
بناءً على ذلك، بما أن قيمة تساوي ، إذن المعادلة الأسية على الصورة من الأعداد الموجودة في الجدول هي .
التحقُّق:
يمكننا التحقُّق من إجابتنا باستخدام طريقة أخرى لإيجاد قيمة الأساس، . لاستخدام هذه الطريقة، نعوِّض بقيمتين أخريين لكل من ، من الجدول في المعادلة . بدايةً، سنعوِّض بالقيمة ٤ عن ، والقيمة عن ، لنحصل على:
بعد ذلك، سنعوِّض بالقيمة ٥ عن ، والقيمة عن ، لنحصل على:
والآن، يمكننا أن نقسم المعادلة الثانية على المعادلة الأولى. عند إجراء ذلك نحصل على:
يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة: وتبسيطها إلى:
وهذا يؤكِّد أن قيمة تساوي ، وأن المعادلة الأسية على الصورة من الأعداد الموجودة في الجدول هي .
لاحِظ أننا في عملية التحقُّق من الإجابة، استخدمنا قاعدة القسمة، التي تُعَدُّ إحدى خواص الأسس.
تعريف: قاعدة القسمة
تنص قاعدة القسمة على أنه عند قسمة تعبيرين أسيين لهما الأساس نفسه، نحتفظ بالأساس كما هو ونُوجِد الفرق بين الأسين. هذا يعني أن: حيث هو الأساس، ، هما الأُسان.
على سبيل المثال، يمكننا استخدام قاعدة القسمة لإيجاد أن .
في المسألة التالية، سيكون لدينا مرة أخرى جدول قيم لدالة أسية، ومطلوب منا إيجاد معادلة الدالة. لكن هذه المرة تكون المعادلة على صورة أخرى غير .
مثال ٣: كتابة معادلة أسية من جدول القيم
اكتب معادلة أسية على الصورة باستخدام الأعداد الموضَّحة بالجدول.
| ٠ | ١ | ٢ | ٣ | |
| ١٨ | ٦ | ٢ |
الحل
في هذه المسألة، مطلوب منا كتابة معادلة أسية على الصورة باستخدام الأعداد الموضَّحة في الجدول؛ لذا، علينا إيجاد القيمتين ، لحل المسألة. دعونا نبدأ بالتعويض بقيمتين لـ ، من الجدول في المعادلة .
بالتعويض بالقيمة ٠ عن ، وبالقيمة ١٨ عن ، نحصل على:
وبما أن أيَّ أساس مرفوع للقوة ٠ يساوي ١، إذن يمكننا بعد ذلك تبسيط المعادلة إلى:
والآن، بعدما عرفنا أن قيمة تساوي ١٨، يمكننا إيجاد قيمة . لإجراء ذلك، نعوِّض مرةً أخرى بقيمتين لـ ، ، من الجدول في المعادلة . هذه المرة، نعوِّض بالقيمة ١ عن ، وبالقيمة ٦ عن ، لنحصل على:
تذكَّر أننا وجدنا قيمة تساوي ١٨؛ لذا، يمكننا أيضًا التعويض بالقيمة ١٨ في المعادلة عن ، وهذا يعطينا:
بعد ذلك، بقسمة طرفَي المعادلة على ١٨، نحصل على:
ومن ثَمَّ، بما أن قيمة تساوي ١٨، وقيمة تساوي ، إذن المعادلة الأسية التي على الصورة باستخدام الأعداد الموضَّحة بالجدول هي .
التحقُّق:
لنتحقَّق من إجابتنا، يمكننا التعويض بآخر قيمتين لـ من الجدول في المعادلة للتأكُّد من أنهما تعطياننا القيمتين الصحيحتين لـ . أولًا، بالتعويض بالقيمة ٢ عن ثم بالتبسيط، نحصل على:
بعد ذلك، بالتعويض بالقيمة ٣ عن ثم بالتبسيط، نحصل على:
وبما أن كل من قيمتي تُعطي القيمة الصحيحة لـ ، إذن يمكننا التأكد من أن المعادلة صحيحة.
لاحِظ أنه خلال عملية إيجاد قيمة أ، استخدمنا إحدى خواص الأسس، التي يُطلَق عليها قاعدة الأس الصفري.
تعريف: قاعدة الأس الصفري
تنص قاعدة الأس الصفري على أن أيَّ أساس مرفوع للقوة ٠ يساوي ١. هذا يعني أن: حيث هو الأساس.
على سبيل المثال، يمكننا استخدام قاعدة الأس الصفري لإيجاد أن .
والآن، سنكتب معادلة دالة أسية من تمثيلها البياني.
مثال ٤: تكوين معادلة دالة أسية من تمثيلها البياني
انظر التمثيل البياني الآتي، ثم أجب عن الأسئلة.
- أوجد الجزء المقطوع من المحور في التمثيل البياني الموضَّح.
- بما أن هذا التمثيل البياني يمثِّل دالة أسية، إذن تُضرَب كل قيمة من قيم في عندما يزيد بمقدار . أوجد عند .
- أوجد المعادلة التي تَصِف التمثيل البياني على الصورة .
الحل
الجزء الأول
هيا نبدأ بإيجاد الجزء المقطوع من المحور في التمثيل البياني. نلاحِظ أن المنحنى يمر بالنقطة على المحور . هذا يعني أنه يمر بالمحور عندما تكون قيمة ١٠.
من ثَمَّ، تمثِّل القيمة ١٠ الجزء المقطوع من المحور في التمثيل البياني الموضَّح.
الجزء الثاني
هيا الآن نُوجِد قيمة في معادلة التمثيل البياني. في هذه المسألة، نعلم بأن التمثيل البياني يمثِّل دالة أسية تُضرَب فيها كل قيمة من قيم في عندما يزيد بمقدار . والمطلوب منا إيجاد عند .
تذكَّر أن يعني تغيُّرًا بمقدار ١ في قيمة . وبما أننا عرفنا بالفعل أن المنحنى يمر بالنقطة ، إذن يكون من الأسهل علينا اكتشاف ما يحدث عندما يزيد الإحداثي للنقطة التي يمر بها المنحنى من ٠ إلى ١. هذا يعتبر تغيُّرًا بمقدار ١ في قيمة .
نلاحظ أن المنحنى يمر بالنقطة ؛ ومن ثَمَّ، عندما تتغيَّر قيمة من ٠ إلى ١، تتغيَّر قيمة من ١٠ إلى ٢٠. تذكَّر أننا علمنا من المعطيات أن كلَّ قيمة من قيم تُضرَب في عندما تزيد قيمة بمقدار . بناءً على ذلك، لإيجاد قيمة عند ، يجب أن نُحدِّد العدد الذي يُضرَب في ١٠ لنحصل على ٢٠. يمكننا فعل ذلك بقسمة ٢٠ على ١٠:
هذا يوضِّح أن يساوي ٢ عند .
الجزء الثالث
الآن بعد أن علمنا قيمة عند قيمة محدَّدة لـ ، يمكننا إيجاد المعادلة التي تَصِف التمثيل البياني على الصورة . بدايةً، يمكننا التعويض بالقيمة ٢ عن ، وبالقيمة ١ عن ، لنحصل على:
بعد ذلك، لإيجاد قيمة يمكننا البدء بالتعويض بإحداثيات إحدى النقاط التي يمر بها المنحنى في المعادلة . سنعوِّض هنا بإحداثيات النقطة في المعادلة، وهو ما يعطينا:
يمكننا بعد ذلك التبسيط، لنحصل على:
من ثَمَّ، نعلم أن قيمة تساوي ١٠. تذكَّر أننا نعرف أيضًا أن يساوي ٢ عند ، إذن لدينا الآن قيم ، ، التي يمكننا التعويض بها في لإيجاد معادلة التمثيل البياني.
بالتعويض، يتضح لنا أن المعادلة التي تَصِف التمثيل البياني على الصورة هي ، أو .
بعد ذلك، سنتناول مسألة يجب علينا فيها إيجاد قيمة تعبير من خلال إيجاد قيمة دالة أسية.
مثال ٥: إيجاد قيم الدوال الأسية
إذا كانت ، فأوجد قيمة .
الحل
في هذه المسألة، مطلوب منا إيجاد قيمة تعبير يمثِّل الفرق بين الكسرين ، . لكننا نعلم فقط أن ، وليست لدينا قيمة . هذا يعني أنه لحل هذه المسألة، علينا إيجاد العلاقة بين ، . لإجراء ذلك، هيا نبدأ بإيجاد قيمة الدالة عند بعض القيم المختلفة لـ .
| ١ | ٢ | ٣ | ٤ | |
نلاحِظ أنه مقابل كل زيادة بمقدار ١ في قيمة ، تُضرَب القيمة السابقة لـ في ٤. هذا يعني أن:
- قيمة تساوي ،
- قيمة تساوي ،
- قيمة تساوي .
بوجه عام، يمكننا القول إن قيمة تساوي قيمة في ٤. هذه العلاقة بين ، تنطبق على قيمة أيِّ عدد حقيقي لـ .
وبما أننا نعرف أن ، إذن نعلم أيضًا أن . بمعلومية ذلك، يمكننا التأكُّد من أن قيمة الكسر تساوي ٤، وأن قيمة الكسر تساوي .
نعوِّض بالقيمة ٤ عن ، والقيمة عن في التعبير المعطى في المسألة، وبالتبسيط نحصل على:
ومن ثَمَّ، إذا كانت ، فإننا نعلم أن قيمة يجب أن تساوي .
ملاحظة:
هناك طريقة حل بديلة تتضمَّن التعويض عن كلٍّ من ، في التعبير المُعطى في المسألة ثم التبسيط. وبما أن ، إذن نعلم أن . وبالتعويض بـ عن ، و عن ، نحصل على:
والآن، بالتبسيط نحصل على:
هذه هي قيمة نفسها التي توصَّلنا إليها سابقًا.
التحقُّق:
قد نتمكَّن من التعرُّف على أيِّ أخطاء محتمَلة بإيجاد قيمتَي ، عند قيمة محدَّدة لـ . في هذه الحالة، دعونا نستخدم القيمة . هذا يعطينا: إذن قيمة التعبير تصبح:
لقد أوجدنا بالفعل أن الفرق بين ٤ و يساوي ؛ ومن ثَمَّ، نعلم أن هي قيمة التعبير عند . وهذا هو ما يفترض أن نتوقَّعه؛ لأن قيمة التعبير يجب أن تساوي لأيِّ قيمة لـ .
لاحِظ أنه بالإضافة إلى قاعدة القسمة، استخدمنا قاعدة الأس السالب في طريقة الحل البديل. هذه خاصية أخرى من خواص الأسس.
تعريف: قاعدة الأس السالب
تنص قاعدة الأس السالب على أن أيَّ أساس مرفوع لقوة سالبة يساوي ١ على الأساس مرفوعًا إلى المعكوس الجمعي لقيمة الأس. هذا يعني أن: حيث هو الأساس، ، هما الأسان.
على سبيل المثال، يمكننا استخدام قاعدة الأس السالب لإيجاد أن .
في المثال الأخير، سنوجد قيم أساس دالة أسية، التي تؤدِّي إلى تناقص الدالة دون معرفة صورتها.
مثال ٦: اطراد الدوال الأسية
دالة أسية أساسها . ما قيم التي تجعل الدالة تناقصية؟
الحل
هيا نبدأ بافتراض أن لدينا الدالة الأسية . هذه الدالة دالة مطردة. بعبارة أخرى، إنها دالة تتزايد أو تتناقص دائمًا. ولهذا السبب، إذا تمكّنا من تحديد أن تتناقص على فترة معيَّنة من ، فسنعلم أنها تتناقص على جميع الأعداد الحقيقية .
بمراعاة ذلك، دعونا ننظر إلى الدالة على الفترة . بإيجاد لقيم الأعداد الصحيحة لـ في هذه الفترة، نحصل على جدول القيم الآتي:
| ١ | ٢ | ٣ | ٤ | |
نلاحِظ أنه مقابل كل زيادة بمقدار ١ في قيمة ، تُضرَب القيمة السابقة لـ في . هذا يعني أن:
- قيمة تساوي ،
- قيمة تساوي ،
- قيمة تساوي .
تذكَّر أنه في أيِّ دالة أسية، يجب أن يكون الأساس عددًا حقيقيًّا موجبًا لا يساوي ١. من ثَمَّ، لإيجاد قيم التي تتناقص خلالها الدالة، علينا أن نسأل أنفسنا، «ما قيم الأعداد الحقيقية الموجبة لـ أ التي لا تساوي ١ وتكون خلالها قيمة أقل من قيمة »؟
هيا نفكِّر أولًا في قيمة لـ أكبر من ١. على سبيل المثال، إذا كان ، فإن إيجاد قيمة الدالة لقيم الأعداد الصحيحة لـ في الفترة يعطينا:
- ،
- ،
- ،
- .
هذا يوضِّح أنه إذا كان ، فإن قيمة أكبر من قيمة . سيكون هذا صحيحًا دائمًا عندما يكون . وفي هذه الحالة، يُطلَق على معامل النمو.
هيا نفكِّر الآن في قيمة لـ أصغر من ١. بما أن يجب أن يكون موجبًا، إذن ستكون قيمته أيضًا أكبر من ٠. على سبيل المثال، إذا كان ، فإن إيجاد قيمة الدالة لقيم الأعداد الصحيحة لـ في الفترة يعطينا:
- ،
- ،
- ،
- .
وهذا يوضِّح أنه إذا كان ، فإن قيمة أصغر من قيمة . سيكون هذا صحيحًا دائمًا عندما يكون . وفي هذه الحالة، يُطلَق على معامل التضاؤل.
بما أن قيمة أصغر من قيمة في الفترة عندما يكون ، إذن نعلم أن تتناقص في هذه الفترة. كذلك، بسبب اطراد الدالة، نعلم أنه إذا كانت الدالة تناقصية في هذه الفترة، فإنها تكون تناقصية على جميع الأعداد الحقيقية.
ومن ثَمَّ، قيم التي تجعل الدالة تناقصية هي .
ملاحظة:
بالرغم من اختيارنا باعتبارها صورة الدالة، كان بإمكاننا اختيار دالة أسية محوَّلة وكنا سنتوصَّل إلى النتيجة نفسها.
خلال الإجابة عن السؤال السابق، لاحظنا أنه إذا كانت الدالة الأسية تتزايد أو تتناقص خلال فترة محدَّدة، فالأمر نفسه ينطبق على جميع الأعداد الحقيقية. هذا يرجع إلى اطرادها.
خاصية: اطراد الدوال الأسية
الدالة الأسية هي دالة مطردة، أو دالة تتزايد أو تتناقص دائمًا. إذا كان الأساس أكبر من ١، يُطلَق عليه معامل النمو، وتتزايد الدالة دائمًا. وإذا كان الأساس أكبر من صفر وأصغر من ١، يُطلَق عليه معامل التضاؤل، وتتناقص الدالة دائمًا.
هيا الآن نختم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.
النقاط الرئيسية
- قاعدة الدالة الأسية تُكتب على الصورة ؛ حيث يكون الثابت هو الأساس، والمتغيِّر هو الأس.
- يجب أن يكون أساس الدالة الأسية عددًا حقيقيًّا موجبًا لا يساوي ١.
- تنص قاعدة القسمة على أنه عند قسمة تعبيرين أسيين لهما الأساس نفسه، نحتفظ بالأساس كما هو ونُوجِد الفرق بين الأسين. هذا يعني أن: حيث هو الأساس، ، هما الأسان.
- تنص قاعدة الأس الصفري على أن أيَّ أساس مرفوع للقوة صفر يساوي ١. هذا يعني أن: حيث هو الأساس.
- تنص قاعدة الأس السالب على أن أيَّ أساس مرفوع لقوة سالبة يساوي ١ على الأساس مرفوعًا إلى المعكوس الجمعي لقيمة الأس. هذا يعني أن: حيث هو الأساس، ، هما الأسان.
- الدالة الأسية دالة مطردة، أو دالة تتزايد أو تتناقص دائمًا.
- إذا كان أساس الدالة الأسية أكبر من ١، يُطلَق عليه معامل النمو، وتتزايد الدالة دائمًا. وإذا كان الأساس أكبر من صفر وأصغر من ١، يُطلَق عليه معامل التضاؤل، وتتناقص الدالة دائمًا.
