شارح الدرس: السرعة النسبية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نحسب السرعة النسبية لجسيم بالنسبة إلى آخر، وكيف نحسب متجه السرعة النسبية.

إذا تحرك جسمٌ ما من نقطة بداية هي إلى نقطة نهاية هي ، فإن إزاحته من النقطة يمكن تمثيلها بالمتجه:

يُعطى متجه السرعة لجسم له هذه الإزاحة في فترة زمنية هي بالصيغة:

إزاحة الجسم هي الإزاحة من الموضع ، والسرعة للجسم هي السرعة بالنسبة إلى الموضع .

يمكن تحديد نظام إحداثيات هو بحيث تكون نقطة الأصل لنظام الإحداثيات عند الموضع . هذا نظام إحداثيات اختير بشكل عشوائي. وإذا تم اختيار موضع آخر لنقطة الأصل في نظام إحداثيات مختلف هو ، فإن إزاحة من الموضع يمكن تحديدها في وفي .

في الشكل التالي، يُعد محور باللون الأزرق هو المحور في نظام الإحداثيات ، بينما يُعد محور باللون الأحمر هو محور في نظام الإحداثيات . يحتوي نظامَا الإحداثيات هذان على محور نفسه.

ويوجد أمامنا جسيم هو، .

في النظام ، إحداثيَّا النقطة هما: أما في النظام فإن إحداثيَّي هما:

افترض أن جسيمًا يتحرك من النقطة إلى النقطة ، حيث المسافة المستقيمة بين ، هي كما هو موضح في الشكل التالي.

نلاحظ أن: ، حيث هو متجه الوحدة في اتجاه .

يتساوى مقدار الإزاحة في كلٍّ من ،:

كذلك، تتساوى الفترة الزمنية للحركة في كلٍّ من ،، ومن ثم فإن:

افترض أيضًا أنه، في الفترة الزمنية تَغيَّرَ موضع الجسيم من النقطة إلى النقطة . وتَغيَّرَ نظام الإحداثيات من الموضع إلى كما هو موضح في الشكل التالي.

في النظام ، تُعطى السرعة المتجهة للجسيم بالصيغة:

في نظام الإحداثيات يقع كلٌّ من ، عند نقطة الأصل في . إزاحة الجسيم من نقطة الأصل في النظام تساوي صفرًا، ومن ثم فإن سرعة الجسيم المتجهة في تساوي صفرًا.

افترض أن النقطة، تقع عند نقطة الأصل للنظام ، كما هو موضّح بالنقطة الخضراء في الشكل التالي.

سنحدد الآن النقطة المرجعية التي ستكون دائمًا عند نقطة الأصل لنظام ، وعليه فإنها تتحرك باتجاه .

في الفترة الزمنية ، تزداد إزاحة من النقطة بمقدار .

إزاحة من عندما يتحرك من إلى تُعطى بالعلاقة:

إزاحة من عندما يتحرك من إلى تُعطى بالعلاقة:

ومن ثم، فإن سرعة بالنسبة إلى تُعطى بالصيغة:

أما السرعة النسبية لـ ، فإن لها المقدار:

في نظام الإحداثيات عند نقطة الأصل، تكون النقطة في حالة سكون وتتحرك النقطة بعيدًا عنها بسرعة . في نظام إحداثيات عند نقطة أصل ، تكون النقطة في حالة سكون وتتحرك النقطة بعيدًا عنها بسرعة .

إشارة كلٍّ من ، متعاكستان. هذا لأن السرعة المتجهة الموجبة تتحدد بالاختيار الابتدائي للقيمة الموجبة لاتجاه المحور .

افترض أن جسيمين يتحركان باتجاه المحور في نظام إحداثيات، ولكلٍّ منهما سرعة معينة.

يمكن تمثيل السرعتين للجسيمين في صورة متجهين أُحاديَّي البُعد في نظام الإحداثيات. يتساوى مقدارَا السرعتين المتجهتين للجسيمين مع سرعتيهما، ويكون للسرعتين المتجهتين الإشارة نفسها إذا كان الجسيمان يتحركان في الاتجاه نفسه، وإشارات متعاكسة إذا كانا يتحركان في اتجاهين متعاكسين.

بأخذ إشارتي السرعتين في عين الاعتبار، نحصل من الفرق بين السرعتين المتجهتين للجسيمين على السرعة النسبية بينهما.

يمكن حساب السرعة النسبية للجسيمين من موضع أيٍّ منهما، حيث ستكون السرعة المتجهة موجبة إذا أخذناها من أحد الجسيمين، وسالبة إذا أخذناها من الآخر.

افترض أن لدينا متجهَي السرعة ، اللذين لهما المقدار نفسه واتجاهان متعاكسان، كما هو موضح في الشكل التالي.

نستخدم الرمزين ، لنشير إلى المركبتين ، في محور الحركة.

ويمكن التعبير عن الفرق بين هاتين المركبتين على الصورة:

طرح مركبة ذات إشارة سالبة يكافئ إضافة مركبة ذات إشارة موجبة؛ ومن ثم فإن الفرق بين مركبتين لهما إشارات متعاكسة هو مجموع المركبتين.

ناتج طرح من يكافئ ناتج جمع مع ، كما هو موضح في الشكل التالي.

يمكن التعبير عن الفرق بين هاتين المركبتين أيضًا بالصيغة:

ناتج طرح من يكافئ ناتج جمع مع ، كما هو موضح في الشكل التالي.

افترض الآن أن لدينا متجهَي السرعة ، اللذين لهما المقدار والاتجاه نفسه. نستخدم الرمزين ، لنشير إلى المركبتين ، في محور الحركة. ويمكن التعبير عن الفرق بين هاتين المركبتين في صورة: أو بالصيغة:

يوضح الشكل التالي تعبيرَي الفرق بين هاتين المركبتين.

يمكن تعريف السرعة النسبية لجسيمين في حركة أحادية البُعد على النحو التالي.

لنلق نظرة على مثال يتناول السرعة النسبية فقط بدلالة الفروق بين متجهات السرعة.

والآن، لنلق نظرة على مثال آخر.

لنتناول مثالًا يتضمن سياقًا لجسم يقيس السرعة المتجهة لجسم آخر بالنسبة إلى الجسم الأول.

إذا تحرك جسمان في بُعد واحد في اتجاهين متعاكسين، نجمع سرعتَيهما لتحديد سرعة كل جسم بالنسبة إلى الآخر. لنلقِ نظرة على مثال آخر على ذلك.

لنتناول تطبيقًا للسرعة النسبية في سياقات تتضمن جسمين يتحركان في الاتجاه نفسه. بالنسبة لجسمين يتحركان في الاتجاه نفسه بسرعة ،، على الترتيب، فإن سرعة أحد الجسمين بالنسبة إلى الآخر، ، تُعطى بالصيغة:

الحالة الظاهرة تمامًا هنا، هي حالة جسمين لهما السرعة نفسها، ومن ثم فإن موضع أحد الجسمين بالنسبة إلى الآخر يظل ثابتًا أثناء حركة كلٍّ منهما.