شارح الدرس: السرعة النسبية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نحسب السرعة النسبية لجسيم بالنسبة إلى آخر، وكيف نحسب متجه السرعة النسبية.

إذا تحرك جسمٌ ما من نقطة بداية هي 󰏡 إلى نقطة نهاية هي 𞸁، فإن إزاحته من النقطة 󰏡 يمكن تمثيلها بالمتجه: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮𞸐.

يُعطى متجه السرعة لجسم له هذه الإزاحة في فترة زمنية هي Δ𞸍 بالصيغة: 󰄮𞸏=󰄮󰄮𞸐Δ𞸍.

إزاحة الجسم هي الإزاحة من الموضع 󰏡، والسرعة للجسم هي السرعة بالنسبة إلى الموضع 󰏡.

يمكن تحديد نظام إحداثيات هو 𞸌 بحيث تكون نقطة الأصل لنظام الإحداثيات عند الموضع 󰏡. هذا نظام إحداثيات اختير بشكل عشوائي. وإذا تم اختيار موضع آخر لنقطة الأصل في نظام إحداثيات مختلف هو 𞸌، فإن إزاحة 𞸁 من الموضع 󰏡 يمكن تحديدها في 𞸌 وفي 𞸌.

في الشكل التالي، يُعد محور 𞸑 باللون الأزرق هو المحور 𞸑 في نظام الإحداثيات 𞸌، بينما يُعد محور 𞸑 باللون الأحمر هو محور 𞸑 في نظام الإحداثيات 𞸌. يحتوي نظامَا الإحداثيات هذان على محور 𞸎 نفسه.

ويوجد أمامنا جسيم هو، 𞸋.

في النظام 𞸌، إحداثيَّا النقطة 𞸋 هما: 󰁓𞸐،٠󰁒، أما في النظام 𞸌 فإن إحداثيَّي 𞸋 هما: 󰁓𞸃+𞸐،٠󰁒.

افترض أن جسيمًا يتحرك من النقطة 󰏡 إلى النقطة 𞸁، حيث المسافة المستقيمة بين 󰏡 ،𞸁 هي 𞸐 كما هو موضح في الشكل التالي.

نلاحظ أن: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=𞸐󰄮󰄮󰄮𞹎 ،󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡=𞸐󰄮󰄮󰄮𞹎، حيث 󰄮󰄮󰄮𞹎 هو متجه الوحدة في اتجاه 𞸎.

يتساوى مقدار الإزاحة في كلٍّ من 𞸌 ،𞸌: 󰍼󰄮󰄮𞸐󰍼=󰍼󰄮󰄮𞸐󰍼.𞸌𞸌󰅅

كذلك، تتساوى الفترة الزمنية للحركة في كلٍّ من 𞸌 ،𞸌، ومن ثم فإن: 󰍼󰄮𞸏󰍼=󰍼󰄮𞸏󰍼.𞸌𞸌󰅅

افترض أيضًا أنه، في الفترة الزمنية Δ𞸍 تَغيَّرَ موضع الجسيم من النقطة 󰏡 إلى النقطة 𞸁. وتَغيَّرَ نظام الإحداثيات 𞸌 من الموضع 󰏡 إلى 𞸁 كما هو موضح في الشكل التالي.

في النظام 𞸌، تُعطى السرعة المتجهة للجسيم بالصيغة: 󰄮𞸏=𞸐󰄮󰄮󰄮𞹎Δ𞸍.𞸌󰅅

في نظام الإحداثيات 𞸌 يقع كلٌّ من 󰏡، 𞸁 عند نقطة الأصل في 𞸌. إزاحة الجسيم من نقطة الأصل في النظام 𞸌 تساوي صفرًا، ومن ثم فإن سرعة الجسيم المتجهة في 𞸌 تساوي صفرًا.

افترض أن النقطة، 𞸊 تقع عند نقطة الأصل للنظام 𞸌، كما هو موضّح بالنقطة الخضراء في الشكل التالي.

سنحدد الآن النقطة المرجعية 𞸔 التي ستكون دائمًا عند نقطة الأصل لنظام 𞸌، وعليه فإنها تتحرك باتجاه 𞸌.

في الفترة الزمنية Δ𞸍، تزداد إزاحة 𞸊 من النقطة 𞸔 بمقدار 𞸐.

إزاحة 𞸔 من 𞸊 عندما يتحرك 𞸔 من 󰏡 إلى 𞸁 تُعطى بالعلاقة: 󰄮󰄮𞸐=𞸐󰄮󰄮󰄮𞹎.

إزاحة 𞸊 من 𞸔 عندما يتحرك 𞸔 من 󰏡 إلى 𞸁 تُعطى بالعلاقة: 󰄮󰄮𞸐=𞸐󰄮󰄮󰄮𞹎.

ومن ثم، فإن سرعة 𞸊 بالنسبة إلى 𞸔 تُعطى بالصيغة: 󰄮𞸏=𞸐󰄮󰄮󰄮𞹎Δ𞸍=󰄮𞸏.𞸌𞸌󰅅

أما السرعة النسبية لـ 𞸊 ،𞸔 فإن لها المقدار: 󰍼󰄮𞸏󰍼=󰍼󰄮𞸏󰍼=󰍼󰄮𞸏󰍼=𞸐Δ𞸍.𞸌𞸌󰅅

في نظام الإحداثيات 𞸌 عند نقطة الأصل، تكون النقطة 𞸔 في حالة سكون وتتحرك النقطة 𞸊 بعيدًا عنها بسرعة 󰍼󰄮𞸏󰍼. في نظام إحداثيات عند نقطة أصل 𞸌، تكون النقطة 𞸊 في حالة سكون وتتحرك النقطة 𞸔 بعيدًا عنها بسرعة 󰍼󰄮𞸏󰍼.

إشارة كلٍّ من 󰄮𞸏𞸌 ،󰄮𞸏𞸌󰅅 متعاكستان. هذا لأن السرعة المتجهة الموجبة تتحدد بالاختيار الابتدائي للقيمة الموجبة لاتجاه المحور 𞸎.

افترض أن جسيمين يتحركان باتجاه المحور 𞸎 في نظام إحداثيات، ولكلٍّ منهما سرعة معينة.

يمكن تمثيل السرعتين للجسيمين في صورة متجهين أُحاديَّي البُعد في نظام الإحداثيات. يتساوى مقدارَا السرعتين المتجهتين للجسيمين مع سرعتيهما، ويكون للسرعتين المتجهتين الإشارة نفسها إذا كان الجسيمان يتحركان في الاتجاه نفسه، وإشارات متعاكسة إذا كانا يتحركان في اتجاهين متعاكسين.

بأخذ إشارتي السرعتين في عين الاعتبار، نحصل من الفرق بين السرعتين المتجهتين للجسيمين على السرعة النسبية بينهما.

يمكن حساب السرعة النسبية للجسيمين من موضع أيٍّ منهما، حيث ستكون السرعة المتجهة موجبة إذا أخذناها من أحد الجسيمين، وسالبة إذا أخذناها من الآخر.

افترض أن لدينا متجهَي السرعة 󰄮𞸏١ ،󰄮𞸏٢ اللذين لهما المقدار نفسه واتجاهان متعاكسان، كما هو موضح في الشكل التالي.

نستخدم الرمزين 𞸏١ ،𞸏٢ لنشير إلى المركبتين 󰄮𞸏١ ،󰄮𞸏٢ في محور الحركة.

ويمكن التعبير عن الفرق بين هاتين المركبتين على الصورة: 𞸏𞸏=𞸏=𞸏󰁓𞸏󰁒=٢𞸏.١٢١٢١١١

طرح مركبة ذات إشارة سالبة يكافئ إضافة مركبة ذات إشارة موجبة؛ ومن ثم فإن الفرق بين مركبتين لهما إشارات متعاكسة هو مجموع المركبتين.

ناتج طرح 󰄮𞸏٢ من 󰄮𞸏١ يكافئ ناتج جمع 󰄮𞸏٢ مع 󰄮𞸏١، كما هو موضح في الشكل التالي.

يمكن التعبير عن الفرق بين هاتين المركبتين أيضًا بالصيغة: 𞸏𞸏=𞸏=𞸏𞸏=٢𞸏.٢١٢١١١١

ناتج طرح 󰄮𞸏١ من 󰄮𞸏٢ يكافئ ناتج جمع 󰄮𞸏١ مع 󰄮𞸏٢، كما هو موضح في الشكل التالي.

افترض الآن أن لدينا متجهَي السرعة 󰄮𞸏٣ ،󰄮𞸏٤ اللذين لهما المقدار والاتجاه نفسه. نستخدم الرمزين 𞸏٣ ،𞸏٤ لنشير إلى المركبتين 󰄮𞸏٣ ،󰄮𞸏٤ في محور الحركة. ويمكن التعبير عن الفرق بين هاتين المركبتين في صورة: 𞸏𞸏=𞸏=𞸏𞸏=٠٣٤٣٤٣٣ أو بالصيغة: 𞸏𞸏=𞸏=𞸏𞸏=٠.٤٣٤٣٤٤

يوضح الشكل التالي تعبيرَي الفرق بين هاتين المركبتين.

يمكن تعريف السرعة النسبية لجسيمين في حركة أحادية البُعد على النحو التالي.

تعريف: السرعة النسبية لجسيمين في حركة أحادية البُعد

بالنسبة إلى الجسيمين 󰏡 ،𞸁 اللذين لهما السرعتان المتجهتان 󰄮𞸏󰏡 ،󰄮𞸏𞸁 في محور واحد، ويرمز لمركبتيهما بـ 𞸏󰏡 ،𞸏𞸁 في هذا المحور، تُعطى مركبة السرعة المتجهة لـ 󰏡 بالنسبة إلى 𞸁 بالصيغة: 𞸏=𞸏𞸏،󰏡𞸁󰏡𞸁 ومركبة السرعة المتجهة لـ 𞸁 بالنسبة إلى 󰏡 بالصيغة: 𞸏=𞸏𞸏.𞸁󰏡𞸁󰏡

لنلق نظرة على مثال يتناول السرعة النسبية فقط بدلالة الفروق بين متجهات السرعة.

مثال ١: إيجاد السرعة النسبية باستخدام متجهات الوحدة

إذا كان 󰄮𞸏=٠٢󰄮󰄮󰄮𞹎󰏡𞸁 ،󰄮𞸏=٥٤󰄮󰄮󰄮𞹎󰏡، فإن 󰄮𞸏=󰄮󰄮󰄮𞹎𞸁.

الحل

يُعطى الفرق بين 󰄮𞸏󰏡 ،󰄮𞸏𞸁 بالصيغة: 󰄮𞸏=󰄮𞸏󰄮𞸏.󰏡𞸁󰏡𞸁

بإعادة كتابتها لإيجاد 󰄮𞸏𞸁 نحصل على: 󰄮𞸏=󰄮𞸏󰄮𞸏.𞸁󰏡󰏡𞸁

وإذا عوضنا بالقيمتين المعلومتين، نحصل على: 󰄮𞸏=٥٤󰄮󰄮󰄮𞹎٠٢󰄮󰄮󰄮𞹎=٥٢󰄮󰄮󰄮𞹎.𞸁

والآن، لنلق نظرة على مثال آخر.

مثال ٢: إيجاد السرعة النسبية باستخدام متجهات الوحدة

إذا كان 󰄮𞸏=٠٦󰄮𞸉󰏡 ،󰄮𞸏=٠٤󰄮𞸉𞸁، فإن 󰄮𞸏=󰄮𞸉󰏡𞸁.

الحل

󰄮𞸉 هو متجه وحدة في اتجاه ثابت محدد.

الفرق بين 󰄮𞸏󰏡 ،󰄮𞸏𞸁 يُعطى بالصيغة: 󰄮𞸏=󰄮𞸏󰄮𞸏.󰏡𞸁󰏡𞸁

من ثم، بالتعويض بالقيمتين المعلومتين، نحصل على: 󰄮𞸏=٠٦󰄮𞸉󰁓٠٤󰄮𞸉󰁒=٠٠١󰄮𞸉.󰏡𞸁

لنتناول مثالًا يتضمن سياقًا لجسم يقيس السرعة المتجهة لجسم آخر بالنسبة إلى الجسم الأول.

مثال ٣: السرعة النسبية لجسمين يتحركان في اتجاهين متعاكسين

تتحرك سيارة على طريق مستقيم بسرعة ٨٤ كم/س، وفي الاتجاه المقابل، تتحرك دراجة بخارية بسرعة ٤٥ كم/س. افترض أن اتجاه السيارة موجب. أوجد السرعة المتجهة للدراجة البخارية بالنسبة إلى السيارة.

الحل

افترض أن 𞸏󰏡 هي السرعة المتجهة للسيارة ،𞸏𞸁 هي السرعة المتجهة للدراجة البخارية. اتجاه السيارة موجب؛ وعليه فإن: 𞸏=٤٨/󰏡س و𞸏=٥٤/.𞸁س

ومن ثم، تُعطى السرعة المتجهة للدراجة البخارية بالنسبة إلى السيارة بالصيغة: 𞸏=𞸏𞸏𞸏=٥٤٤٨=٩٢١/.𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡س

إذا تحرك جسمان في بُعد واحد في اتجاهين متعاكسين، نجمع سرعتَيهما لتحديد سرعة كل جسم بالنسبة إلى الآخر. لنلقِ نظرة على مثال آخر على ذلك.

مثال ٤: إيجاد الزمن اللازم لإكمال رحلة باستخدام السرعة النسبية

تُبحر باخرة بسرعة منتظمة مباشرة باتجاه ميناء على بُعد ١٤٤ كم. مرَّت طائرة فوق الباخرة المبحرة في الاتجاه المعاكس بسرعة ٣٦٦ كم/س.. عند قياس الطائرة لسرعة الباخرة، وجد الطيار أنها تبحر بسرعة ٤٠٢ كم/س. أوجد الزمن اللازم لكي تصل الباخرة إلى الميناء.

الحل

لتحديد الزمن اللازم لكي تصل الباخرة إلى المرفأ، من الضروري معرفة السرعة التي تقترب بها الباخرة من المرفأ. هذا بافتراض أن المرفأ ثابت.

سرعة الباخرة التي رصدتها الطائرة هي ٤٠٢ كم/س. وبما أن الباخرة والطائرة تتحركان في اتجاهين متعاكسين، فإن مجموع سرعتيهما هو ٤٠٢ كم/س. نعلم من المعطيات أن سرعة الطائرة هي ٣٦٦ كم/س، ومن ثم، فإن سرعة الباخرة تُعطى بالصيغة: 𞸏=٢٠٤٦٦٣=٦٣/.س

الزمن اللازم لإتمام رحلة مسافتها ١٤٤ كم بسرعة ٣٦ كم/س يُعطى بالصيغة: 𞸍=٤٤١٦٣=٤.ت

لنتناول تطبيقًا للسرعة النسبية في سياقات تتضمن جسمين يتحركان في الاتجاه نفسه. بالنسبة لجسمين يتحركان في الاتجاه نفسه بسرعة 𞸏󰏡 ،𞸏𞸁، على الترتيب، فإن سرعة أحد الجسمين بالنسبة إلى الآخر، 𞸏، تُعطى بالصيغة: 𞸏=󰍸𞸏𞸏󰍸.󰏡𞸁

الحالة الظاهرة تمامًا هنا، هي حالة جسمين لهما السرعة نفسها، ومن ثم فإن موضع أحد الجسمين بالنسبة إلى الآخر يظل ثابتًا أثناء حركة كلٍّ منهما.

مثال ٥: استخدام السرعة النسبية لإيجاد طول قطار بمعلومية الوقت الذي استغرقه جسم متحرك ليتجاوزه

تحلِّق طائرة مروحية في خط مستقيم بسرعة ٢٣٤ كم/س فوق قطار يتحرك في نفس الاتجاه. استغرقت المروحية ٢١ ثانية لتقطع المسافة من نهاية القطار إلى مقدمته. بعد ذلك خفَّض قائد الطائرة سرعتها إلى النصف. إذا استغرق القطار ١٤ ثانية ليتجاوز المروحية بسرعتها تلك‎، فأوجد طول القطار بوحدة متر.

الحل

أهم شيء يجب أن نعرفه في هذا السؤال هو أنه نظرًا لأن المروحية والقطار يتحركان في نفس الاتجاه، بالنسبة إلى الأرض، فإن سرعتيهما لهما الإشارة نفسها. ومن ثم، فإن الفرق بين السرعة المتجهة لكلٍّ منهما يساوي الفرق بين سرعتيهما، وسرعة القطار بالنسبة إلى المروحية (والعكس)، 𞸏، هي الفرق بين سرعتيهما.

في أول ٢١ ثانية، تكون سرعة المروحية المتجهة بالنسبة إلى الأرض أكبر من السرعة المتجهة للقطار، وفي الـ ١٤ ثانية التالية، تكون السرعة المتجهة للقطار بالنسبة إلى الأرض أكبر من السرعة المتجهة للمروحية. من المفترض أن يحدث التغيّر في السرعة المتجهة للمروحية بين الفترتين الزمنيتين، الأولى والثانية في وقت قصير جدًّا.

في كل فترة زمنية، نجد أن: 𞸏Δ𞸍=Δ𞸐، حيث Δ𞸐 هي المسافة التي تقطعها المروحية بالنسبة إلى القطار (والعكس)، والتي تُعد أيضًا طول القطار. يمكننا استخدام الفرق بين الفترتين الزمنيتين لإيجاد السرعة المتجهة للقطار.

لتبسيط عملية إيجاد طول القطار بوحدة متر، نحوّل سرعة المروحية إلى وحدة متر لكل ثانية كالتالي: 𞸏=٤٣٢×٠٠٠١٠٠٦٣=٥٦/.اومث

بالنسبة إلى الفترة الزمنية الأولى: ١٢󰂔٥٦𞸏󰂓=Δ𞸐.ار

بالنسبة إلى الفترة الزمنية الثانية: ٤١󰂔𞸏٥٦٢󰂓=Δ𞸐.ار

يظل طول القطار ثابتًا، وبالتالي، يمكن حساب حدَّي Δ𞸐 الاثنين لنحصل على: ١٢󰂔٥٦𞸏󰂓=٤١󰂔𞸏٥٦٢󰂓.ارار

يمكن إعادة صياغة هذا الجزء لإيجاد السرعة المتجهة للقطار. وإذا قسمنا طرفَي المعادلة على ١٤، نحصل على: ٣٢󰂔٥٦𞸏󰂓=𞸏٥٦٢.ارار

يمكن فك القوسين لنحصل على: ٣٢(٥٦)٣٢󰂔𞸏󰂓=𞸏٥٦٢.ارار

بعد ذلك، تتم إعادة الترتيب على النحو التالي: ٣٢(٥٦)+٥٦٢=𞸏+٣٢󰂔𞸏󰂓٣٢(٥٦)+٥٦٢=٥٢󰂔𞸏󰂓٤(٥٦)=٥󰂔𞸏󰂓٠٦٢٥=𞸏=٢٥/.ارارارارارمث

والآن، يمكن التعويض عن قيمة 𞸏ار هذه في معادلة Δ𞸐 في أيٍّ من الفترتين الزمنيتين. إذا استُخدمت الفترة الزمنية الأولى، نحصل على: ١٢(٥٦٢٥)=Δ𞸐١٢(٣١)=Δ𞸐=٣٧٢.م

وإذا استُخدمت الفترة الزمنية الثانية، نحصل على: ٤١󰂔٢٥٥٦٢󰂓=Δ𞸐٤١󰂔٩٣٢󰂓=Δ𞸐=٣٧٢.م

طول القطار يساوي ٢٧٣ مترًا.

النقاط الرئيسية

  • لجسمين 󰏡 ،𞸁 لهما السرعتان المتجهتان 󰄮𞸏󰏡 ،󰄮𞸏𞸁 في محور واحد، ويشار لمركبتيهما على الترتيب بالرمزين 𞸏󰏡 ،𞸏𞸁 في هذا المحور، فإن مركبة السرعة المتجهة لـ 󰏡 بالنسبة إلى 𞸁 تُعطى بالصيغة: 𞸏=𞸏𞸏،󰏡𞸁󰏡𞸁 ومركبة السرعة المتجهة لـ 𞸁 بالنسبة إلى 󰏡 تُعطى بالصيغة: 𞸏=𞸏𞸏.𞸁󰏡𞸁󰏡
  • لجسمين يتحركان في بُعد واحد في اتجاهين متعاكسين، تكون سرعة أحد الجسمين بالنسبة إلى الآخر هي مجموع سرعتَي الجسمين.
  • لجسمين يتحركان في بُعد واحد في الاتجاه نفسه، تكون سرعة أحد الجسمين بالنسبة إلى الآخر هي الفرق بين سرعة الجسمين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.