شارح الدرس: تبسيط المقادير الأُسِّية‎ ذات الأُسُس الكسرية | نجوى شارح الدرس: تبسيط المقادير الأُسِّية‎ ذات الأُسُس الكسرية | نجوى

شارح الدرس: تبسيط المقادير الأُسِّية‎ ذات الأُسُس الكسرية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نجري العمليات والتبسيط على المقادير التي تتضمن الأسس الكسرية.

للأسس تطبيقات حياتية عديدة، على سبيل المثال: في المقاييس العلمية مثل الأس الهيدروجيني أو مقياس ريختر أو في الفيزياء مع قانون التربيع العكسي في الكهرومغناطيسية أو الجاذبية أو فترة عمر النصف للمادة المشعة، أو في الهندسة عند أخذ القياسات وحساب الكميات متعددة الأبعاد، أو في الحوسبة عند وصف سعة الذاكرة، مثل ذاكرة الوصول العشوائي أو ذاكرة القراءة فقط، أو في الماليات عند حساب الفائدة المركبة، أو في الأحياء عند وصف نمو أو انتشار البكتريا أو الفيروسات، على سبيل المثال لا الحصر.

الأس الكسري يكون أسًّا عبارة عن عدد نسبي (أي عدد صحيح أو خارج قسمة عددين صحيحين).

لنسترجع أولًا أسس القوى الصحيحة. بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة، يكون لدينا التعريف التالي:

تعريف: الأسس الصحيحة الموجبة

الصورة العامة للأساس 󰏡 مرفوعًا للقوة 𞸍، حيث 𞸍 عدد صحيح موجب، تُعطى بواسطة 󰏡=󰏡×󰏡××󰏡󰄲󰄳󰄳󰄳󰄶󰄳󰄳󰄳󰄿،𞸍دناات حيث يوجد عدد عوامل 𞸍 من الأساس 󰏡 (أي، 󰏡 مضروبًا في نفسه عدد متكرر من المرات ويظهر في حاصل الضرب عدد 𞸍 من المرات).

على سبيل المثال: ٣=٣×٣٢ هو مربع العدد ٣، ٣=٣×٣×٣٣ هو مكعب العدد ٣ وهكذا.

بالنسبة إلى القوى الصحيحة السالبة، فيكون فقط مقلوب الأس الموجب.

تعريف: الأسس الصحيحة السالبة

الصورة العامة للأساس 󰏡 مرفوعًا للقوة 𞸍 حيث 𞸍 عدد صحيح موجب، تُعطى بواسطة: 󰏡=١󰏡.𞸍𞸍

على سبيل المثال: ٧=١٧=١٩٤٢٢.

تذكر أنه لإيجاد حاصل ضرب قوتين لهما الأساس نفسه، يكون لدينا قاعدة الضرب للأسس: 󰏡×󰏡=󰏡.𞸍𞹟𞸍+𞹟

بعبارة أخرى، إذا كان الأساس هو نفسه عند الضرب، فيمكننا جمع الأسس. على سبيل المثال: ٤×٤=٤=٤٢٣٢+٣٥، المتوقع من التعريف بما أن ٤ يظهر في حاصل الضرب مرتين في ٤٢ وثلاث مرات في ٤٣، نحصل على إجمالي ٥ مرات في حاصل الضرب. لدينا أيضًا قاعدة لحاصل ضرب أساسين مختلفين 󰏡، 𞸁 مرفوعين للقوة نفسها، تحديدًا: 󰏡×𞸁=(󰏡×𞸁).𞸍𞸍𞸍

بعبارة أخرى، إذا كان الأسين متساويين، إذن، يمكننا ضرب الأسين أولًا ثم إيجاد قيمة حاصل الضرب مرفوعًا لهذا الأس. على سبيل المثال: ٢×٣=(٢×٣)=٦=٦٣٢٢٢٢، وهو المتوقع؛ لأن ٢×٣=٤×٩=٦٣٢٢. هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي أن الأسس يمكن توزيعها على الضرب بالنسبة للأسس الصحيحة.

لدينا أيضًا قاعدة حيث يمكننا رفع 󰏡𞸍 إلى قوة أخرى 𞹟 ليصبح على الصورة: 󰁓󰏡󰁒=󰏡.𞸍𞹟𞸍×𞹟

بعبارة أخرى، رفع عدد له الأساس 󰏡 والأس 𞸍 إلى قوة أخرى 𞹟 ذلك نفسه مثل رفع 󰏡 إلى القوة 𞸍×𞹟. على سبيل المثال: 󰁓٥󰁒=٥=٥٢٦٥١٢٣٦، وهو المتوقع؛ لأن 󰁓٥󰁒=٥٢=٥٢٦٥١٢٣٣.

وتنطبق القواعد نفسها، مثل حاصل ضرب الأساس الذي له أسس مختلفة أو حاصل ضرب أساسين مختلفين ولهما الأس نفسه، على الأسس السالبة. وهذا لأن لدينا أس موجب في المقلوب.

يمكننا ملاحظة ذلك مباشرة من خلال التعريف. على سبيل المثال، إذا كان لدينا الأساس 󰏡 نفسه وله أسان سالبان مختلفان 𞸍، 𞹟 حيث 𞸍، 𞹟 عددان موجبان، يمكننا كتابة ذلك على الصورة: 󰏡×󰏡=١󰏡×١󰏡=١󰏡×󰏡=١󰏡=󰏡=󰏡.𞸍𞹟𞸍𞹟𞸍𞹟𞸍+𞹟(𞸍+𞹟)𞸍𞹟

وبالمثل، إذا قسمنا قوتين مختلفتين لهما الأساس نفسه 󰏡، يكون لدينا: 󰏡󰏡=󰏡×󰏡=󰏡.𞸍𞹟𞸍𞹟𞸍𞹟

على سبيل المثال: ٥٥=٥=٥=٥٢٥٣٥٣٢. ونلاحظ أيضًا أنه للأسس الصفرية ولأي أساس لا يساوي صفرًا 󰏡، يكون لدينا: 󰏡=١٠. يمكننا ملاحظة ذلك مباشرة من القواعد السابقة عن طريق إيجاد حاصل ضرب 󰏡 مرفوعًا إلى 𞸍، 𞸍: 󰏡×󰏡=󰏡=󰏡.𞸍𞸍𞸍𞸍٠

من ناحية أخرى، من خلال تعريف الأس السالب: 󰏡×󰏡=󰏡×١󰏡=󰏡󰏡=١.𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍

ومن ثَمَّ، يكون لدينا: 󰏡=١٠ لأي أساس لا يساوي صفرًا 󰏡 كما هو متوقع. يمكننا أيضًا إيجاد حاصل ضرب أساسين مختلفين 󰏡، 𞸁 مرفوعين للقوة السالبة نفسها: 󰏡×𞸁=١󰏡×١𞸁=١󰏡×𞸁=١(󰏡×𞸁)=(󰏡×𞸁).𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍

هذا يعني أيضًا أنه عند رفع كسر 󰏡𞸁 إلى قوة صحيحة 𞸍، فإنه يمكننا التعبير عن هذا بواسطة: 󰃁󰏡𞸁󰃀=󰏡𞸁=󰏡×𞸁.𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍

على سبيل المثال،󰂔٣٢󰂓=٣٢=٩٤٢٢٢.

عند تبسيط الأسس الكسرية ذات الاساسات المختلفة، من المناسب محاولة كتابة كل قوة بنفس الأس باستخدام: 󰁓󰏡󰁒=󰏡𞸍𞹟𞸍×𞹟. على سبيل المثال، يمكن كتابة ٤𞸍 على الصورة: ٤=󰁓٢󰁒=٢𞸍٢𞸍٢𞸍.

يمكننا أيضًا تبسيط الأسس بكتابة أساسها بدلالة عواملها الأولية، إذا كان الأساس عددًا صحيحًا. يسمح لنا ذلك بتقسيم المقدار ذو الأسس المتشابهة وتطبيق قاعدة الضرب مع 󰏡×󰏡=󰏡𞸍𞹟𞸍+𞹟.

لنتناول مثالًا نستخدم فيه قوانين الأسس مع الأس السالب لتبسيط مقدار جبري كسري.

مثال ١: تبسيط المقادير الجبرية الكسرية باستخدام قوانين الأسس مع الأسس السالبة

بَسِّط ٥٤×(٣٦)×٣٥٢٢×(١٢)٨١𞸍٩𞸍٩𞸍٩𞸍٩𞸍.

الحل

في هذا المثال، سنبسط مقدار جبري كسري باستخدام قوانين الأسس التالية: (󰏡×𞸁)=󰏡×𞸁،󰃁󰏡𞸁󰃀=󰏡𞸁،󰏡×󰏡=󰏡،󰁓󰏡󰁒=󰏡،󰏡=١󰏡.𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞹟𞸍+𞹟𞸍𞹟𞸍×𞹟𞸍𞸍

بما أن الأس ٩𞸍 يظهر كثيرًا في المقدار المعطى، فسنحاول كتابة كل عامل بدلالة هذا الأس فقط. يمكن إعادة كتابة العوامل التي تظهر على الصورة: ٥٤=󰁓٥٤󰁒،(٣٦)=١٣٦،(١٢)=١١٢.٨١𞸍٢٩𞸍٩𞸍٩𞸍٩𞸍٩𞸍

يمكننا أيضًا تفكيك الأساسات بالتحليل إلى عواملها الأولية: ٥٤=٣×٥،٣٦=٣×٧،٥٢٢=٣×٥،١٢=٣×٧.٢٢٢٢

ومن ثَمَّ، يكون لدينا: ٥٤=󰁓٣×٥󰁒=󰁓٣󰁒×٥=٣×٥.٢٢٢٢٢٢٤٢

ومن ثَمَّ، باستخدام ذلك، يمكننا كتابة المقدار على الصورة: ٥٤×(٣٦)×٣٥٢٢×(١٢)=󰁓٥٤󰁒××٣٥٢٢×=󰁓٥٤󰁒×٣×١٢٥٢٢×٣٦=󰃁٥٤×٣×١٢٥٢٢×٣٦󰃀=󰃁٣×٥×٣×٣×٧٣×٥×٣×٧󰃀=󰃁٣×٥×٧٣×٥×٧󰃀=󰁓٣󰁒=٣.٨١𞸍٩𞸍٩𞸍٩𞸍٩𞸍٢٩𞸍١٣٦٩𞸍٩𞸍١١٢٢٩𞸍٩𞸍٩𞸍٩𞸍٩𞸍٢٩𞸍٤٢٢٢٢٩𞸍٦٢٤٢٩𞸍٢٩𞸍٨١𞸍٩𞸍٩𞸍

لنتناول مثالًا آخر، حيث توجد أسس مختلفة قليلًا يمكن تبسيطها باستخدام قوانين الأسس.

مثال ٢: تبسيط المقادير الجبرية الكسرية باستخدام قوانين الأسس

بَسِّط ٤×٥٢٢×٠٥٣𞸍+٣١٣𞸍٩𞸍+٣١٣𞸍.

الحل

في هذا المثال، سنبسط مقدارًا جبريًّا كسريًّا باستخدام قوانين الأسس التالية: (󰏡×𞸁)=󰏡×𞸁،󰃁󰏡𞸁󰃀=󰏡𞸁،󰏡×󰏡=󰏡،󰁓󰏡󰁒=󰏡،󰏡=١󰏡.𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞹟𞸍+𞹟𞸍𞹟𞸍×𞹟𞸍𞸍

بما أن الأس ٣𞸍 يظهر كثيرًا في المقدار المعطى، فسنحاول كتابة كل عامل بدلالة هذا الأس فقط. يمكن إعادة كتابة العوامل التي تظهر على الصورة: ٤=٤×٤،٥٢=٥٢×٥٢=٥٢٥٢،٢=٢×٢=󰁓٢󰁒×٢،٠٥=٠٥×٠٥=٠٥٠٥.٣𞸍+٣٣𞸍٣١٣𞸍٣𞸍٣𞸍٩𞸍+٣٩𞸍٣٣٣𞸍٣١٣𞸍٣𞸍٣𞸍

يمكننا أيضًا تفكيك الأساسات بالتحليل إلى عواملها الأولية: ٤=٢،٠٥=٢×٥،٥٢=٥.٢٢٢

ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة المقدار على الصورة: ٤×٥٢٢×٠٥=٤×٤×(٢)×٢×=٤×٤×٥٢×٠٥(٢)×٢×٠٥×٥٢=󰂔٤×٠٥٢×٥٢󰂓×󰂔٤٢󰂓×٥٢٠٥=󰃁٢×٢×٥٢×٥󰃀×󰃁٢٢󰃀×٥٢×٥=󰃁٢×٥٢×٥󰃀×󰃁٢٢󰃀×١٢=١×٢×١٢=٢=٤.٣𞸍+٣١٣𞸍٩𞸍+٣١٣𞸍٣𞸍٣٥٢٥٢٣٣𞸍٣٠٥٠٥٣𞸍٣٣𞸍٣٣𞸍٣٣𞸍٣٣𞸍٣٢٢٣٢٣𞸍٢٣٢٢٣٢٣٢٣𞸍٦٣٣𞸍٣٢٣𞸍٣𞸍

حتى الآن، تناولنا كل شيء عن الأعداد الصحيحة. لكن ماذا إذا كان لدينا أسس كسرية؟ دعونا نتذكر أولًا الجذر ا لعدد ما 󰏡.

الجذر ا لعدد حقيقي 󰏡، حيث 𞸍 عدد صحيح موجب، يكون العدد الحقيقي 𞸓 الذي عندما رفعه إلى القوة: 𞸍، يعطينا 󰏡: 𞸓=󰏡.𞸍

إذا كان 󰏡<٠، 𞸍 عددًا زوجيًّا؛ إذن لا يوجد مثل هذا الجذر الحقيقي. غير ذلك، فنشير إلى الجذر الموجب بـ 𞸓=󰋴󰏡𞸍، لجميع القيم الصحيحة الموجبة لـ 𞸍.

إذا كان 𞸍 عددًا زوجيًّا، إذن يكون لدينا جذر حقيقي آخر معطى بواسطة 𞸓، حيث أنه إذا رفعنا هذا العدد للقوة 𞸍 يعطينا أيضًا 󰏡:(𞸓)=(١)×𞸓=𞸓=󰏡،𞸍𞸍𞸍𞸍 لأن (١)=١𞸍 عندما يكون 𞸍 عددًا زوجيًّا.

وبذلك، إذا كان 𞸍 عددًا زوجيًّا، 󰏡>٠، فإن الجذرين الحقيقيين هما: ±𞸓. إذا كان 𞸍 عددًا فرديًّا، فيكون لدينا دائمًا جذر حقيقي وحيد: 𞸓.

على سبيل المثال، الجذران التربيعيان لـ ٩ هما ٣، ٣؛ لأن ٣×٣=٣×٣=٩، ولكن الجذر التربيعي لـ ٩ غير موجود. وأيضًا الجذر التكعيبي لـ ٢٧ هو: ٣ والجذر التكعيبي لـ ٧٢ هو: ٣.

تعريف: الجذر النوني والأس ١ / ن

الأس الكسري ١𞸍، حيث 𞸍 عدد صحيح، لعدد ما 󰏡 يمكن التعبير عنه بدلالة الجذر ا لعدد ما على الصورة: 󰏡=󰋴󰏡.١𞸍𞸍

على سبيل المثال: ٦٣=󰋴٦٣=٦١٢.

لنتناول مثالًا نستخدم فيه هذه القاعدة لتبسيط مقدار ما.

مثال ٣: تبسيط مقدار مرفوع لقوة كسرية

بَسِّط 󰁓٤٦󰏡𞸁󰁒٢١٨١١٦، حيث 󰏡، 𞸁 ثابتان موجبان.

الحل

في هذا المثال، سنبسِّط مقدارًا مرفوعًا إلى أس كسري.

سنستفيد من قانون الأسس، الذي ينص على أن: 󰁓󰏡󰁒=󰏡.𞸍𞹟𞸍×𞹟

أولًا، نلاحظ أن: ٤٦=٢.٦

ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة المقدار على الصورة: 󰁓٤٦󰏡𞸁󰁒=(٤٦)×󰁓󰏡󰁒×󰁓𞸁󰁒=󰁓٢󰁒×󰁓󰏡󰁒×󰁓𞸁󰁒=٢×󰏡×𞸁=٢󰏡𞸁.٢١٨١٢١٨١٦٢١٨١٦×٢١×٨١×٢٣١٦١٦١٦١٦١٦١٦١٦١٦١٦١٦

لنتناول الآن مثالًا حيث نبسط مقدارًا مرفوعًا إلى أس كسري.

مثال ٤: تبسيط مقدار مرفوعًا لقوة كسرية

أوجد مفكوك 󰂔󰂔󰏡+١󰏡󰂓󰂓٣٢٠١١٥ حيث 󰏡 ثابت حقيقي.

  1. 󰏡+٢󰏡+١󰏡٦٤
  2. 󰏡٢󰏡١󰏡٦٤
  3. 󰏡١󰏡٦٤
  4. 󰏡+١󰏡٦٤
  5. 󰏡٢󰏡+١󰏡٦٤

الحل

في هذا المثال، سنبسط مقدارًا مرفوعًا إلى أس كسري.

سنستخدم قانون القوى: 󰁓󰏡󰁒=󰏡،𞸍𞹟𞸍×𞹟 وحقيقة أن ١=١𞸋 لأي أس كسري 𞸋.

ومن ثَمَّ، يمكن كتابة المقدار على الصورة: 󰂔󰂔󰏡+١󰏡󰂓󰂓=(١)󰂔󰂔󰏡+١󰏡󰂓󰂓=󰂔󰏡+١󰏡󰂓=󰃁󰏡+٢󰏡󰏡+١󰏡󰃀=󰏡٢󰏡١󰏡.٣٢٠١٣٢٠١٣٢٢٦٣٢٤٦٤١٥١٥١٥

وهذا هو الخيار (ب).

مرة أخرى، تنطبق القواعد نفسها التي أنشأناها للأسس الصحيحة، ويمكننا استخدام هذه القواعد لكتابة عدد مرفوع لأي قوة كسرية. يمكن التعبير عن أي عدد نسبي 𞸍 على الصورة 𞸍=𞸋𞸊 حيث 𞸋، 𞸊 عددان صحيحان،𞸊 لا يساوي صفرًا.

تعريف: الأس الكسري

يمكن التعبير عن الأس الكسري 𞸋𞸊 حيث 𞸋، 𞸊 عددان صحيحان، 𞸊٠، لعدد ما 󰏡 على الصورة: 󰏡=󰂔󰋴󰏡󰂓=󰋴󰏡،𞸋𞸊𞸊𞸊𞸋𞸋 بافتراض وجود الجذر الحقيقي 𞸊󰋴󰏡.

يمكننا أن نرى ذلك من القاعدة 󰁓󰏡󰁒=󰏡𞸍𞹟𞸍×𞹟 والجذر ا لعدد ما 󰏡 (بافتراض وجود الجذر الحقيقي): 󰏡=󰂔󰏡󰂓=󰂔󰋴󰏡󰂓𞸋𞸊١𞸊𞸊𞸋𞸋 أو على نحو مكافئ: 󰏡=󰁓󰏡󰁒=󰂔󰋴󰏡󰂓.𞸋𞸊١𞸊𞸊𞸋𞸋

لتبسيط المقادير العددية ذات الأساسات المختلفة والأسس الكسرية، من المناسب كتابتها بدلالة عواملها الأولية، إذا كان الأساس عددًا صحيحًا. هذا يسمح لنا بتقسيم المقدار ذي الأساسات المتشابهة وتطبيق قاعدة الضرب للأسس ذات 󰏡×󰏡=󰏡𞸍𞹟𞸍+𞹟.

لنتناول مثالًا يتطلب منا فعل هذا لتبسيط مقدار ما.

مثال ٥: تبسيط مقدار يتضمن أعدادًا صحيحة مرفوعة إلى قوى كسرية

بَسِّط (٦٣)×(١٢)×(٨)(٦٨٤)×(٢٤)١٤١٥١٠١٢٣.

الحل

في هذا المثال، سنبسط مقدارًا يتضمن أعدادًا صحيحة مرفوعة إلى قوى كسرية. سنستخدم قوانين الأسس التالية: (󰏡×𞸁)=󰏡×𞸁،󰃁󰏡𞸁󰃀=󰏡𞸁،󰏡×󰏡=󰏡،󰁓󰏡󰁒=󰏡،󰏡=١󰏡.𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞹟𞸍+𞹟𞸍𞹟𞸍×𞹟𞸍𞸍

يمكننا أيضًا تفكيك الأساسات بالتحليل إلى عواملها الأولية: ٦٣=٣×٢،١٢=٣×٧،٨=٢،٦٨٤=٢×٣،٢٤=٢×٣×٧.٢٢٣٥

بتطبيق الأس المناسب على كل أساس من هذه الأساسات، يكون لدينا: (٦٣)=󰁓٣×٢󰁒=󰁓٣󰁒×󰁓٢󰁒=٣×٢،(١٢)=(٣×٧)=٣×٧،(٨)=󰁓٢󰁒=٢،(٦٨٤)=󰁓٢×٣󰁒=٢×󰁓٣󰁒=٢×٣،(٢٤)=(٢×٣×٧)=٢×٣×٧.١٤١٤١٤١٤١٢١٢١٥١٥٣٥١٠١١٠١١٠١١٠١١٠١١٢٢٢٢٢٢٢٢٢٣٥٥٣٣٣٣٣

ومن ثَمَّ، باستخدام ذلك، يمكن كتابة المقدار المعطى على الصورة: (٦٣)×(١٢)×(٨)(٦٨٤)×(٢٤)=٣×٢×٣×٧×٢٢×٣×٢×٣×٧=󰃭٢×٢٢×٢󰃬×󰃭٣×٣٣×٣󰃬×󰃁٧٧󰃀=٢×٣×٧=٢×٣×٧=١٢×١٣×١٧=١٤٨.١٤١٥١٠١١٢١٢٣٥١٠١١٢١٢٣٥١٠١١٢١٢١٢٣٥١٠١١٢١٢٢٣٢٢٣٣٣٣٢٣٢٣+٣+٢٣٢٣٢١١٢

إذا كان الأساس عددًا عشريًّا أو كسرًا، فعلينا كتابة الأساس على صورة كسر، ثم تفكيك البسط والمقام إلى عواملهما الأولية. والآن، لنُلقِ نظرة على بعض أمثلة ذلك.

مثال ٦: تبسيط مقدار عددي مرفوع إلى أسس كسرية

بَسِّط (٥٢٫٠)(٨٫١)٨٣٢٢٣٢.

الحل

في هذا المثال، سنبسط مقدارًا عدديًّا مرفوعًا إلى أسس كسرية. سنستخدم قوانين الأسس التالية: (󰏡×𞸁)=󰏡×𞸁،󰃁󰏡𞸁󰃀=󰏡𞸁،󰏡×󰏡=󰏡،󰁓󰏡󰁒=󰏡،󰏡=١󰏡.𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞹟𞸍+𞹟𞸍𞹟𞸍×𞹟𞸍𞸍

دعونا أولًا نكتب كل أساس على صورة كسر ونعبر عن المقام والبسط بدلالة التحليل إلى عواملهما الأولية: ٥٢٫٠=١٤=١٢،٨٫١=٩٥=٣٥،٨=٢.٢٢٣

بتطبيق القوة المناسبة على كل أساس من هذه الأساسات، يكون لدينا: (٥٢٫٠)=󰂔١٢󰂓=١(٢)=١٢،(٨٫١)=󰃁٣٥󰃀=(٣)٥=٣٥،٨=󰁓٢󰁒=٢.٣٢٣٢٣٢٢٣٢٣٢٢٣٢٢٢٢٢٢٤٢٣٢

ومن ثَمَّ، باستخدام ذلك، يمكن كتابة المقدار على الصورة: (٥٢٫٠)(٨٫١)٨=×٢=٣٢×٢×٥=٣٢×٥=١٨٠٠٨.٣٢٢٣٣٤٢٢١٢٣٥٢٤٣٢٢٤٥٢

مثال ٧: تبسيط مقدار عددي مرفوعًا إلى قوى كسرية

بَسِّط (٨٫٠)×(٦٣)×٥(٠٣)×(٥٢٫١)١٤١٨٣٤٧٤١٤.

الحل

في هذا المثال، سنبسط مقدارًا عدديًّا مرفوعًا إلى قوى كسرية. سنستخدم قوانين الأسس التالية: (󰏡×𞸁)=󰏡×𞸁،󰃁󰏡𞸁󰃀=󰏡𞸁،󰏡×󰏡=󰏡،󰁓󰏡󰁒=󰏡،󰏡=١󰏡.𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞹟𞸍+𞹟𞸍𞹟𞸍×𞹟𞸍𞸍

دعونا أولًا نكتب كل أساس على صورة كسر، ثم نعبر عن المقام والبسط بدلالة عواملهما الأولية: ٨٫٠=٤٥=٢٥،٦٣=٣×٢،٠٣=٢×٣×٥،٥٢٫١=٥٤=٥٢.٢٢٢٢

بتطبيق الأس المناسب على كل أساس من هذه الأساسات، يكون لدينا: (٨٫٠)=󰃁٢٥󰃀=󰁓٢󰁒٥=٢٥،(٦٣)=󰁓٣×٢󰁒=󰁓٣󰁒×󰁓٢󰁒=٣×٢،(٠٣)=(٢×٣×٥)=٢×٣×٥،(٥٢٫١)=󰂔٥٢󰂓=٥(٢)=٥٢.١٤١٤١٤١٤١٢١٤١٨١٨١٨١٨١٤١٤٧٤٧٤٧٤٧٤٧٤١٤١٤١٤١٤١٤١٢٢٢٢٢٢٢٢٢

ومن ثَمَّ، باستخدام ذلك، يمكن كتابة المقدار على الصورة: (٨٫٠)×(٦٣)×٥(٠٣)×(٥٢٫١)=×٣×٢×٥٢×٣×٥×=٢×٣×٢×٥×٢٢×٣×٥×٥×٥=󰃭٢×٢×٢٢󰃬×󰃭٣٣󰃬×󰃭٥٥×٥×٥󰃬=٢×٣×٥=٢×٣×٥=٨×٩×٥٢=٠٠٨١.١٤١٨٣٤٧٤١٤١٢١٤١٤١٤٣٤٧٤٧٤٧٤١٤١٢١٢١٤١٤٣٤١٢٧٤٧٤٧٤١٤١٤١٢١٤١٢٧٤١٤٧٤٣٤٧٤١٤١٤١٢١٤١٢٧٤١٤٧٤٣٤٧٤١٤١٤٢٥٥٢+++++٣٢٢

أخيرًا، لنتناول مثالًا يتعين علينا فيه تبسيط مقدار جبري يتضمن أسسًا كسرية وسالبة.

مثال ٨: تبسيط المقادير الجبرية باستخدام قوانين الأسس التي تتضمن أسسًا كسرية أو سالبة

أوجد في أبسط صورة: (٦١)×٧٢(٤٤١)×󰋴١٨٣٢١٣٣٢𞸎𞸎𞸎.

الحل

في هذا المثال، سنبسط مقدارًا جبريًّا يتضمن أسسًا كسرية وسالبة. سنقوم باستخدام قوانين الأسس: (󰏡×𞸁)=󰏡×𞸁،󰃁󰏡𞸁󰃀=󰏡𞸁،󰏡×󰏡=󰏡،󰁓󰏡󰁒=󰏡،󰏡=١󰏡،𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞹟𞸍+𞹟𞸍𞹟𞸍×𞹟𞸍𞸍 إلى جانب حقيقة أن ١=١𞸋 لأي عدد نسبي 𞸋. لنفترض أن 𞸎 هو عدد نسبي، ونبدأ بفصل الأسس في كل عامل من العوامل: (٦١)=󰂔٦١󰂓،٧٢=٧٢×٧٢،(٤٤١)=󰂔٤٤١󰂓.٣٢٣٢١٣١٣٣٢٣٢𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎

تحليل العوامل الأولية لكل أساس هو: ٦١=٢،٧٢=٣،٤٤١=٢×٣،٩=٣.٤٣٤٢٢

بتطبيق الأسس المناسبة على الأساسات، يكون لدينا: ٦١=󰁓٢󰁒=٢،٧٢=󰁓٣󰁒=٣،٤٤١=󰁓٢×٣󰁒=󰁓٢󰁒×󰁓٣󰁒=٢×٣.٣٢٣٢١٣١٣٣٢٣٢٣٢٣٢٤٦٣٤٢٤٢٦٣

وعليه، يمكن كتابة المقدار على الصورة: (٦١)×٧٢(٤٤١)×󰋴١٨=󰂔٦١󰂓×٧٢×٧٢󰂔٤٤١󰂓×٩=󰃭٦١×٧٢٤٤١󰃬×󰃭١٧٢×٩󰃬=󰃁٢×٣٢×٣󰃀×١٣×٣=١×١٣=١٧٢.٣٢١٣٣٢٣٢١٣٣٢٣٢٣٢١٣𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎٦٣٦٣𞸎٢𞸎٣

النقاط الرئيسية

  • قوانين القوى للأساسين 󰏡، 𞸁 ولجميع الأسس الكسرية 𞸍،𞹟 تكون كالتالي:
    قواعد الضرب󰏡×󰏡=󰏡𞸍𞹟𞸍+𞹟
    󰏡×𞸁=(󰏡×𞸁)𞸍𞸍𞸍
    الأس السالب󰏡=١󰏡𞸍𞸍
    قواعد القسمة󰏡󰏡=󰏡،𞸍𞹟𞸍𞹟
    󰃁󰏡𞸁󰃀=󰏡𞸁𞸍𞸍𞸍
    قواعد القوى󰁓󰏡󰁒=󰏡،𞸍𞹟𞸍×𞹟
    󰏡=󰋴󰏡𞸍𞹟𞹟𞸍
  • لدينا أيضًا󰏡=١٠ لأي عدد 󰏡 لا يساوي صفرًا، ١=١𞸋 لأي عدد نسبي 𞸋.
  • عند تبسيط المقادير العددية التي لها أساسات أو أسس مختلفة، علينا محاولة إعادة كتابة المقدار بطريقة يكون لدينا فيها أساسات أو أسس مشتركة. يمكننا فعل ذلك باستخدام قوانين الأسس، وتحليل العوامل الأولية للمقام والبسط مختلفي الأساسات.

حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز»

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز» اليوم!

التحميل على الكمبيوتر

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية