في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نجري العمليات والتبسيط على المقادير التي تتضمن الأسس الكسرية.
للأسس تطبيقات حياتية عديدة، على سبيل المثال: في المقاييس العلمية مثل الأس الهيدروجيني أو مقياس ريختر أو في الفيزياء مع قانون التربيع العكسي في الكهرومغناطيسية أو الجاذبية أو فترة عمر النصف للمادة المشعة، أو في الهندسة عند أخذ القياسات وحساب الكميات متعددة الأبعاد، أو في الحوسبة عند وصف سعة الذاكرة، مثل ذاكرة الوصول العشوائي أو ذاكرة القراءة فقط، أو في الماليات عند حساب الفائدة المركبة، أو في الأحياء عند وصف نمو أو انتشار البكتريا أو الفيروسات، على سبيل المثال لا الحصر.
الأس الكسري يكون أسًّا عبارة عن عدد نسبي (أي عدد صحيح أو خارج قسمة عددين صحيحين).
لنسترجع أولًا أسس القوى الصحيحة. بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة، يكون لدينا التعريف التالي:
تعريف: الأسس الصحيحة الموجبة
الصورة العامة للأساس مرفوعًا للقوة ، حيث عدد صحيح موجب، تُعطى بواسطة حيث يوجد عدد عوامل من الأساس (أي، مضروبًا في نفسه عدد متكرر من المرات ويظهر في حاصل الضرب عدد من المرات).
على سبيل المثال: هو مربع العدد ٣، هو مكعب العدد ٣ وهكذا.
بالنسبة إلى القوى الصحيحة السالبة، فيكون فقط مقلوب الأس الموجب.
تعريف: الأسس الصحيحة السالبة
الصورة العامة للأساس مرفوعًا للقوة حيث عدد صحيح موجب، تُعطى بواسطة:
على سبيل المثال: .
تذكر أنه لإيجاد حاصل ضرب قوتين لهما الأساس نفسه، يكون لدينا قاعدة الضرب للأسس:
بعبارة أخرى، إذا كان الأساس هو نفسه عند الضرب، فيمكننا جمع الأسس. على سبيل المثال: ، المتوقع من التعريف بما أن ٤ يظهر في حاصل الضرب مرتين في وثلاث مرات في ، نحصل على إجمالي ٥ مرات في حاصل الضرب. لدينا أيضًا قاعدة لحاصل ضرب أساسين مختلفين ، مرفوعين للقوة نفسها، تحديدًا:
بعبارة أخرى، إذا كان الأسين متساويين، إذن، يمكننا ضرب الأسين أولًا ثم إيجاد قيمة حاصل الضرب مرفوعًا لهذا الأس. على سبيل المثال: ، وهو المتوقع؛ لأن . هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي أن الأسس يمكن توزيعها على الضرب بالنسبة للأسس الصحيحة.
لدينا أيضًا قاعدة حيث يمكننا رفع إلى قوة أخرى ليصبح على الصورة:
بعبارة أخرى، رفع عدد له الأساس والأس إلى قوة أخرى ذلك نفسه مثل رفع إلى القوة . على سبيل المثال: ، وهو المتوقع؛ لأن .
وتنطبق القواعد نفسها، مثل حاصل ضرب الأساس الذي له أسس مختلفة أو حاصل ضرب أساسين مختلفين ولهما الأس نفسه، على الأسس السالبة. وهذا لأن لدينا أس موجب في المقلوب.
يمكننا ملاحظة ذلك مباشرة من خلال التعريف. على سبيل المثال، إذا كان لدينا الأساس نفسه وله أسان سالبان مختلفان ، حيث ، عددان موجبان، يمكننا كتابة ذلك على الصورة:
وبالمثل، إذا قسمنا قوتين مختلفتين لهما الأساس نفسه ، يكون لدينا:
على سبيل المثال: . ونلاحظ أيضًا أنه للأسس الصفرية ولأي أساس لا يساوي صفرًا ، يكون لدينا: . يمكننا ملاحظة ذلك مباشرة من القواعد السابقة عن طريق إيجاد حاصل ضرب مرفوعًا إلى ، :
من ناحية أخرى، من خلال تعريف الأس السالب:
ومن ثَمَّ، يكون لدينا: لأي أساس لا يساوي صفرًا كما هو متوقع. يمكننا أيضًا إيجاد حاصل ضرب أساسين مختلفين ، مرفوعين للقوة السالبة نفسها:
هذا يعني أيضًا أنه عند رفع كسر إلى قوة صحيحة ، فإنه يمكننا التعبير عن هذا بواسطة:
على سبيل المثال،.
عند تبسيط الأسس الكسرية ذات الاساسات المختلفة، من المناسب محاولة كتابة كل قوة بنفس الأس باستخدام: . على سبيل المثال، يمكن كتابة على الصورة: .
يمكننا أيضًا تبسيط الأسس بكتابة أساسها بدلالة عواملها الأولية، إذا كان الأساس عددًا صحيحًا. يسمح لنا ذلك بتقسيم المقدار ذو الأسس المتشابهة وتطبيق قاعدة الضرب مع .
لنتناول مثالًا نستخدم فيه قوانين الأسس مع الأس السالب لتبسيط مقدار جبري كسري.
مثال ١: تبسيط المقادير الجبرية الكسرية باستخدام قوانين الأسس مع الأسس السالبة
بَسِّط .
الحل
في هذا المثال، سنبسط مقدار جبري كسري باستخدام قوانين الأسس التالية:
بما أن الأس يظهر كثيرًا في المقدار المعطى، فسنحاول كتابة كل عامل بدلالة هذا الأس فقط. يمكن إعادة كتابة العوامل التي تظهر على الصورة:
يمكننا أيضًا تفكيك الأساسات بالتحليل إلى عواملها الأولية:
ومن ثَمَّ، يكون لدينا:
ومن ثَمَّ، باستخدام ذلك، يمكننا كتابة المقدار على الصورة:
لنتناول مثالًا آخر، حيث توجد أسس مختلفة قليلًا يمكن تبسيطها باستخدام قوانين الأسس.
مثال ٢: تبسيط المقادير الجبرية الكسرية باستخدام قوانين الأسس
بَسِّط .
الحل
في هذا المثال، سنبسط مقدارًا جبريًّا كسريًّا باستخدام قوانين الأسس التالية:
بما أن الأس يظهر كثيرًا في المقدار المعطى، فسنحاول كتابة كل عامل بدلالة هذا الأس فقط. يمكن إعادة كتابة العوامل التي تظهر على الصورة:
يمكننا أيضًا تفكيك الأساسات بالتحليل إلى عواملها الأولية:
ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة المقدار على الصورة:
حتى الآن، تناولنا كل شيء عن الأعداد الصحيحة. لكن ماذا إذا كان لدينا أسس كسرية؟ دعونا نتذكر أولًا الجذر لعدد ما .
الجذر لعدد حقيقي ، حيث عدد صحيح موجب، يكون العدد الحقيقي الذي عندما رفعه إلى القوة: ، يعطينا :
إذا كان ، عددًا زوجيًّا؛ إذن لا يوجد مثل هذا الجذر الحقيقي. غير ذلك، فنشير إلى الجذر الموجب بـ ، لجميع القيم الصحيحة الموجبة لـ .
إذا كان عددًا زوجيًّا، إذن يكون لدينا جذر حقيقي آخر معطى بواسطة ، حيث أنه إذا رفعنا هذا العدد للقوة يعطينا أيضًا : لأن عندما يكون عددًا زوجيًّا.
وبذلك، إذا كان عددًا زوجيًّا، ، فإن الجذرين الحقيقيين هما: . إذا كان عددًا فرديًّا، فيكون لدينا دائمًا جذر حقيقي وحيد: .
على سبيل المثال، الجذران التربيعيان لـ ٩ هما ٣، ؛ لأن ، ولكن الجذر التربيعي لـ غير موجود. وأيضًا الجذر التكعيبي لـ ٢٧ هو: ٣ والجذر التكعيبي لـ هو: .
تعريف: الجذر النوني والأس ١ / ن
الأس الكسري ، حيث عدد صحيح، لعدد ما يمكن التعبير عنه بدلالة الجذر لعدد ما على الصورة:
على سبيل المثال: .
لنتناول مثالًا نستخدم فيه هذه القاعدة لتبسيط مقدار ما.
مثال ٣: تبسيط مقدار مرفوع لقوة كسرية
بَسِّط ، حيث ، ثابتان موجبان.
الحل
في هذا المثال، سنبسِّط مقدارًا مرفوعًا إلى أس كسري.
سنستفيد من قانون الأسس، الذي ينص على أن:
أولًا، نلاحظ أن:
ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة المقدار على الصورة:
لنتناول الآن مثالًا حيث نبسط مقدارًا مرفوعًا إلى أس كسري.
مثال ٤: تبسيط مقدار مرفوعًا لقوة كسرية
أوجد مفكوك حيث ثابت حقيقي.
الحل
في هذا المثال، سنبسط مقدارًا مرفوعًا إلى أس كسري.
سنستخدم قانون القوى: وحقيقة أن لأي أس كسري .
ومن ثَمَّ، يمكن كتابة المقدار على الصورة:
وهذا هو الخيار (ب).
مرة أخرى، تنطبق القواعد نفسها التي أنشأناها للأسس الصحيحة، ويمكننا استخدام هذه القواعد لكتابة عدد مرفوع لأي قوة كسرية. يمكن التعبير عن أي عدد نسبي على الصورة حيث ، عددان صحيحان، لا يساوي صفرًا.
تعريف: الأس الكسري
يمكن التعبير عن الأس الكسري حيث ، عددان صحيحان، ، لعدد ما على الصورة: بافتراض وجود الجذر الحقيقي .
يمكننا أن نرى ذلك من القاعدة والجذر لعدد ما (بافتراض وجود الجذر الحقيقي): أو على نحو مكافئ:
لتبسيط المقادير العددية ذات الأساسات المختلفة والأسس الكسرية، من المناسب كتابتها بدلالة عواملها الأولية، إذا كان الأساس عددًا صحيحًا. هذا يسمح لنا بتقسيم المقدار ذي الأساسات المتشابهة وتطبيق قاعدة الضرب للأسس ذات .
لنتناول مثالًا يتطلب منا فعل هذا لتبسيط مقدار ما.
مثال ٥: تبسيط مقدار يتضمن أعدادًا صحيحة مرفوعة إلى قوى كسرية
بَسِّط .
الحل
في هذا المثال، سنبسط مقدارًا يتضمن أعدادًا صحيحة مرفوعة إلى قوى كسرية. سنستخدم قوانين الأسس التالية:
يمكننا أيضًا تفكيك الأساسات بالتحليل إلى عواملها الأولية:
بتطبيق الأس المناسب على كل أساس من هذه الأساسات، يكون لدينا:
ومن ثَمَّ، باستخدام ذلك، يمكن كتابة المقدار المعطى على الصورة:
إذا كان الأساس عددًا عشريًّا أو كسرًا، فعلينا كتابة الأساس على صورة كسر، ثم تفكيك البسط والمقام إلى عواملهما الأولية. والآن، لنُلقِ نظرة على بعض أمثلة ذلك.
مثال ٦: تبسيط مقدار عددي مرفوع إلى أسس كسرية
بَسِّط .
الحل
في هذا المثال، سنبسط مقدارًا عدديًّا مرفوعًا إلى أسس كسرية. سنستخدم قوانين الأسس التالية:
دعونا أولًا نكتب كل أساس على صورة كسر ونعبر عن المقام والبسط بدلالة التحليل إلى عواملهما الأولية:
بتطبيق القوة المناسبة على كل أساس من هذه الأساسات، يكون لدينا:
ومن ثَمَّ، باستخدام ذلك، يمكن كتابة المقدار على الصورة:
مثال ٧: تبسيط مقدار عددي مرفوعًا إلى قوى كسرية
بَسِّط .
الحل
في هذا المثال، سنبسط مقدارًا عدديًّا مرفوعًا إلى قوى كسرية. سنستخدم قوانين الأسس التالية:
دعونا أولًا نكتب كل أساس على صورة كسر، ثم نعبر عن المقام والبسط بدلالة عواملهما الأولية:
بتطبيق الأس المناسب على كل أساس من هذه الأساسات، يكون لدينا:
ومن ثَمَّ، باستخدام ذلك، يمكن كتابة المقدار على الصورة:
أخيرًا، لنتناول مثالًا يتعين علينا فيه تبسيط مقدار جبري يتضمن أسسًا كسرية وسالبة.
مثال ٨: تبسيط المقادير الجبرية باستخدام قوانين الأسس التي تتضمن أسسًا كسرية أو سالبة
أوجد في أبسط صورة: .
الحل
في هذا المثال، سنبسط مقدارًا جبريًّا يتضمن أسسًا كسرية وسالبة. سنقوم باستخدام قوانين الأسس: إلى جانب حقيقة أن لأي عدد نسبي . لنفترض أن هو عدد نسبي، ونبدأ بفصل الأسس في كل عامل من العوامل:
تحليل العوامل الأولية لكل أساس هو:
بتطبيق الأسس المناسبة على الأساسات، يكون لدينا:
وعليه، يمكن كتابة المقدار على الصورة:
النقاط الرئيسية
- قوانين القوى للأساسين ، ولجميع الأسس الكسرية ، تكون كالتالي:
قواعد الضرب الأس السالب قواعد القسمة قواعد القوى - لدينا أيضًا لأي عدد لا يساوي صفرًا، لأي عدد نسبي .
- عند تبسيط المقادير العددية التي لها أساسات أو أسس مختلفة، علينا محاولة إعادة كتابة المقدار بطريقة يكون لدينا فيها أساسات أو أسس مشتركة. يمكننا فعل ذلك باستخدام قوانين الأسس، وتحليل العوامل الأولية للمقام والبسط مختلفي الأساسات.