في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجد معادلة الخط المستقيم في صيغة الميل والمقطع، بمعلومية معلومات محددة، مثل ميله والجزء المقطوع من المحور ونقطة واقعة عليه وتمثيله البياني.
عند التفكير في تعريف خط مستقيم، يكفي فقط فهم معلومتين مختلفتين عن الخط المستقيم. على سبيل المثال، إحدى الطرق الشائعة لتعريف خط مستقيم بدقة هي عندما تكون لدينا نقطتان مختلفتان معلومتان يمر بهما المستقيم. يمكن أن تقع هاتان النقطتان في أي مكان على المستوى ، أو يمكن أن تقع في مواضع مناسبة ومحددة من هذا المستوى مثل المحور أو المحور . بدلًا من ذلك، يمكننا تعريف خط مستقيم تعريفًا دقيقًا بمعلومية ميله وقيمة أحد الجزأين المقطوعين من المحورين. وطريقة التصنيف الأخيرة هذه هي التي سنستعرضها خلال هذا الشارح، مع التركيز تحديدًا على المسائل الرياضية التي نريد فيها حساب الميل والجزء المقطوع من المحور .
الطريقة الأكثر شيوعًا لتوضيح خط مستقيم هي كتابة معادلته في صيغة «الميل والمقطع»، حيث يكون الميل والجزء المقطوع من المحور مُعطيين بشكل صريح. وعلى الرغم من أن كتابة المعادلة بهذه الصورة اختياري إلى حدٍ ما، فإن صيغة الميل والمقطع تُعد طريقة مناسبة لعدة أسباب. قبل أن نتناول هذه الأسباب، سنستعرض فيما يأتي التعريف الدقيق.
تعريف: صيغة الميل والمقطع
افترض أن لدينا خطًا مستقيمًا في المستوى له ميل معلوم ، ويقطع المحور عند النقطة . إذن، يمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم في صيغة «الميل والمقطع» على النحو الآتي:
قد لا يكون من السهل الحصول على معادلة الخط المستقيم مباشرةً في صيغة الميل والمقطع المُرتبة هذه. ولكن، عادةً ما يكون الهدف هو الاستعانة بأي معلومة معطاة لنا واستخدامها لاستنتاج معادلة الخط المستقيم بهذه الطريقة. في بعض الحالات، لا يتضمن ذلك سوى إجراء عمليات جبرية بسيطة، لكن في حالات أخرى، سيكون من المفيد أن نذكر مزيدًا من النتائج العامة. سيوضح المثالان الآتيان هذه الفكرة، وبعد ذلك سننتقل إلى أمثلة أكثر تعقيدًا.
مثال ١: إيجاد ميل خط مستقيم بمعلومية معادلته
خط مستقيم معادلته . ما ميل هذا المستقيم؟
الحل
سنكتب معادلة هذا المستقيم في صيغة الميل والمقطع، وهو ما سيسمح لنا بتحديد الميل. سنتناول المعادلة المعطاة لنا في السؤال: ثم نحاول عزل حد في طرف بمفرده. يمكننا فعل ذلك بإضافة لكلا طرفي المعادلة، وهو ما يعطينا:
والآن يمكننا قسمة طرفي المعادلة على ثلاثة، وهو ما يعطينا:
يمكننا تبسيط الحد الموجود في الطرف الأيمن ليتبقى لنا ، ويمكننا تبسيط الطرف الأيسر أيضًا. معامل حد هو ، والحد الثابت هو . هذا يتيح لنا كتابة معادلة الخط المستقيم في صيغة الميل والمقطع على النحو الآتي:
إذن، ميل المستقيم هو معامل حد ، وهو، في هذه الحالة، يساوي ٥.
مثال ٢: إيجاد ميل خط مستقيم
أوجد ميل الخط المستقيم الممثَّل بالمعادلة ، والجزء المقطوع من المحور لهذا الخط المستقيم.
الحل
سنتناول المعادلة المعطاة لنا في السؤال ونحلها لإيجاد تعبير يمثل ، وذلك يماثل إيجاد صيغة الميل والمقطع التي نريدها. بمعلومية المعادلة الابتدائية: سنحاول عزل حد في الطرف الأيمن بمفرده. سنفعل ذلك بإضافة إلى طرفي المعادلة:
الخطوة الأخيرة هي قسمة طرفي المعادلة على ٣، وهو ما يعطينا:
أصبحت معادلة المستقيم الآن مكتوبًا في صيغة الميل والمقطع، ويتمثل الميل في معامل حد ، وهو . والجزء المقطوع من المحور هو الحد الموجود في أقصى اليسار، وهو أيضًا.
في بداية هذا الشارح، ذكرنا أنه قد يكون من الممكن دائمًا استخدام نقطتين معطاتين مختلفتين ، من أجل إيجاد معادلة خط مستقيم. وإحدى المهارات ذات الصلة التي علينا استخدامها ستتمثل في تحديد إذا ما كانت تقع نقطة معينة على مستقيم مُعطى أو لا.
مثال ٣: تحديد إذا ما كانت تقع نقطة ما على خط مستقيم مُعطى
هل النقطة تقع على الخط المستقيم ؟
الحل
إذا كانت النقطة المعطاة تقع على الخط المستقيم، فمن المفترض أنها تحقق المعادلة المُعطاة في صيغة الميل والمقطع (أو بالطبع بأي صيغة مكافئة). سنعوض بـ ، في المعادلة . إذا كانت العبارة الناتجة صحيحة، فإن النقطة تقع على الخط المستقيم، أما إذا كانت العبارة خاطئة، فإن النقطة لا تقع على هذا المستقيم.
بإجراء التعويضين، نحصل على:
يتضح أن هذه العبارة خاطئة، ومن ثم فإن النقطة لا تقع على الخط المستقيم.
في بداية هذا الشارح، ذكرنا أن صيغة الميل والمقطع ستكون عادةً هي الهدف الرئيسي عند محاولة فهم خواص الخط المستقيم. لكننا ذكرنا أيضًا أنه من الممكن الحصول على صيغة الميل والمقطع بعدة طرق مختلفة. إذا كان لدينا إحداثيات نقطتين مختلفتين تقعان على خط مستقيم محدد، فسيكون بإمكاننا عادةً استنتاج صيغة الميل والمقطع كنتيجة لذلك. وربما تكون الطريقة الأكثر شيوعًا هي البدء بمعلومات عن نقطتين مختلفتين يمر بهما الخط المستقيم، ثم استخدام ذلك للحصول على صيغة الميل والمقطع. سنلخص هذه العملية في النتيجة الآتية، التي سنناقشها قبل أن نتناول عدة أمثلة.
تعريف: معادلة الخط المستقيم بمعلومية نقطتين تقعان على المستقيم
افترض أن لدينا خطًا مستقيمًا في المستوى ويمر بنقطتين مختلفتين و. إذن، يمكن إيجاد معادلة الخط المستقيم باستخدام الطريقة الآتية. في البداية، يُحسب ميل الخط المستقيم باستخدام الصيغة المعروفة:
يمكننا بعد ذلك إيجاد المعادلة في صيغة الميل والمقطع من خلال استخدام المعادلة: حيث تم حساب بالفعل، ونريد إيجاد الجزء المقطوع من المحور ؛ أي قيمة . يمر المستقيم الذي تمثله المعادلة بالنقطتين و، ويمكن التعويض بأي زوج للقيم من هذين الزوجين في المعادلة السابقة لإيجاد قيمة . بعبارة أخرى، يمكننا إيجاد قيمة عن طريق حل أي من المعادلتين:
سنوضِّح هذه الطريقة بمثال. انظر إلى النقطتين ، والخط المستقيم الذي يمر بهاتين النقطتين، كما هو موضَّح فيما يأتي. يمكننا ملاحظة أن الخط المستقيم ينحدر لأسفل من اليسار إلى اليمين، مما يعني أن الميل لا بد أن يكون سالبًا. بالإضافة إلى ذلك، يبدو أن المستقيم يمر عبر المحور عند النقطة ، وهذا يعني أن الجزء المقطوع من المحور يجب أن يساوي .
لمعرفة أي من هذه المعلومات بدقة، يجب أن نوجد المعادلة الدقيقة للخط المستقيم. سنفعل ذلك باستخدام النقطتين المعطتين اللذين يمر بهما المستقيم، بالإضافة إلى النتيجة المُعطاة في التعريف السابق. سنبدأ بتسمية النقطتين المعطاتين هكذا: ، . بعد ذلك، سنحسب ميل هذا المستقيم باستخدام الصيغة الآتية:
لقد وجدنا أن ميل الخط المستقيم سالب، كما هو متوقع.
يمكننا الآن إيجاد قيمة الجزء المقطوع من المحور من خلال حل المعادلة: بعد التعويض بأي من النقطتين أو . سنختار النقطة والميل المعلوم، ، مما يعني أنه علينا الآن حل المعادلة الآتية:
بالتعويض بالقيم المعطاة، نجد أن:
يمكننا بعد ذلك عزل في طرف بمفرده عن طريق إضافة ٤ إلى كلا طرفي المعادلة، مما يعطينا: وهو ما يتيح لنا إعادة الترتيب لنجد أن . والآن بعد أن عرفنا أن الميل هو وأن الجزء المقطوع من المحور هو ، يمكننا تكوين معادلة الخط المستقيم:
هذه هي معادلة الخط المستقيم عند كتابتها في صيغة الميل والمقطع. يمكننا ملاحظة أن الميل يساوي ، وهو قيمة سالبة، كما هو متوقع. وكذلك قيمة الجزء المقطوع من المحور هي كما هو متوقع بالضبط.
لاحظ أنه كان بإمكاننا استخدام النقطة للتحقق من أن معادلة الخط المستقيم صحيحة. هذا يعني أننا نكون قد أوجدنا القيم الصحيحة للميل، ، والجزء المقطوع من المحور ، . إذا كنا قد عوضنا بالنقطة في معادلة الخط المستقيم المكتوبة في صيغة الميل والمقطع: كنا سنحصل على المعادلة ، وهي معادلة صحيحة. هذا يؤكد أننا قد انتهينا من الإجابة على المثال بطريقة صحيحة. عمليات التحقق هذه ليست ضرورية، ولكن يُفضَّل إجراؤها بالتأكيد.
سنطبق الآن المبادئ السابقة التي تعلمناها على مثالين. إذا كان لدينا نقطتان مختلفتان ومطلوب منا إيجاد صيغة الميل والمقطع لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر خلالهما، فسيكون من المفيد عادةً إجراء رسم توضيحي. هذا سيمنحنا فهمًا أفضل للمسألة، لكنه سيعطينا أيضًا تقديرًا لقيمتي الميل والجزء المقطوع من المحور ، الأمر الذي سيساعدنا على التحقق من الإجابة عند الانتهاء من حل السؤال. سنستخدم هذه الطريقة في المثال الآتي.
مثال ٤: إيجاد معادلة خط مستقيم
أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين ، بصيغة الميل والمقطع.
الحل
سنبدأ بتمثيل إحداثيات النقطتين ، ، كما هو موضح فيما يأتي.
الخطوة الأولى لإيجاد معادلة الخط المستقيم هي إيجاد ميل هذا المستقيم. نفعل ذلك بالتعويض بالنقطتين ، في الصيغة المعروفة لحساب ميل الخط المستقيم:
قيمة الميل كبيرة وسالبة، كما هو موضح في التمثيل البياني. والآن أصبح بإمكاننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور ؛ أي قيمة ، باستخدام صيغة الميل والمقطع: والتعويض بالميل ، وكذلك بأي من النقطتين المعلومتين أو . سنختار عشوائيًا استخدام النقطة الأولى، التي تعطينا المعادلة: حيث جميع القيم معلومة ما عدا قيمة . بالتعويض بهذه القيم المعلومة، نحصل على:
وهذا يعطينا مباشرةً قيمة الجزء المقطوع من المحور ، وهي . إذن، معادلة الخط المستقيم في صيغة الميل والمقطع هي:
إذا كان لدينا نقطة إحداثييها ، فإننا لا نحتاج إلى اتباع طريقة التعويض كما هو موضح سابقًا. هذا لأننا لدينا بالفعل قيمة الجزء المقطوع من المحور ؛ حيث . وهذا صحيح لأن الجزء المقطوع من المحور لأي خط مستقيم يُحدَّد بالنقطة التي يلتقي عندها هذا المستقيم مع المحور ، وهو يُعرَّف بأنه الخط الرأسي؛ حيث . وقد كان هذا هو الحال في المثال السابق؛ حيث كان بإمكاننا أن نذكر على الفور أن قيمة الجزء المقطوع من المحور هي ؛ لأن إحدى النقطتين المعطاتين لنا كانت .
في المثال التالي، سنلاحظ كيف يمكن تطبيق فهمنا للعلاقة بين الخط المستقيم ومعادلته لتحديد التمثيل البياني للخط المستقيم بمعلومية المعادلة نفسها مباشرةً.
مثال ٥: تحديد التمثيلات البيانية لمعادلات خطية مكتوبة بصيغة الميل والمقطع
أيٌّ من التمثيلات البيانية الآتية يُمثِّل المعادلة ؟
الحل
تخبرنا صيغة الميل والمقطع للخط المستقيم أن الميل هو ، والجزء المقطوع هو ، وكلاهما سالبان. والآن، عند التحقق من الخيارات المتاحة، يمكننا حذف أي خيار يتضمن ميلًا ذا قيمة موجبة. هذا يسمح لنا بتجاهل الخيار (ب). يمكننا أيضًا استبعاد أي خيار يتضمن قيمة موجبة للجزء المقطوع من المحور ، وهو — في هذه الحالة — ما يجعلنا نحذف الخيار (أ). وبما أننا نعرف أن الجزء المقطوع من المحور هو ، يمكننا أيضًا استبعاد الخيار (ج)؛ لأن هذا الخط المستقيم الجزء المقطوع من المحور له يساوي .
يتبقى لدينا الآن خياران محتملان؛ وهما الخياران (د)، (هـ). لاحظ أن لكليهما جزأين مقطوعين من المحور مختلفين (أي القيمة التي يتقاطع عندها الخط مع المحور ). ستسمح لنا هذه الخاصية المميزة بإيجاد الخيار الصحيح من بين هذين الخيارين المتبقيين. وتمامًا مثل الجزء المقطوع من المحور ، حيث يقطع الخط المستقيم المحور ، ففي الجزء المقطوع من المحور يقطع الخط المستقيم المحور . وهذا يحدث عند ، وهو ما يمكننا التعويض به في صيغة الميل والمقطع للمعادلة، . هذا يعطينا: وبحل هذه المعادلة، نحصل على:
هذا يتوافق مع الخيار (د)، وهو الخط المستقيم الوحيد الذي يتضح من خلاله أن الجزء المقطوع من المحور يكون بين ، صفر.
هناك طريقة أخرى للتأكد من أن الخيار (د) هو الخيار الصحيح، وهي التفكير في أن ميل الخط المستقيم هو . هذا يشير إلى ميل سالب لمستقيم رأسي نسبيًا، وهي الحالة التي تنطبق بالفعل على الخيار (د). ومقارنةً بذلك، نجد أن الخيار (هـ) له ميل سالب لمستقيم أفقي نسبيًا، وعليه نتوقع أن يكون الميل أقرب إلى الصفر.
في كثير من الأحيان، سيكون لدينا تمثيلات بيانية؛ حيث يُعطى لنا الجزأين المقطوعين من المحورين ، أو يكونان قيمتين صحيحتين يمكن تحديدهما بسهولة عن طريق الفحص. وفي هذه الحالات، يمكن استخدام الطريقة العامة نفسها لإيجاد معادلة الخط المستقيم، بمعلومية نقطتين تقعان على هذا المستقيم.
مثال ٦: تحديد صيغة الميل والمقطع لمعادلة خط مستقيم مُمَثَّل بيانيًا
اكتب المعادلة الممثَّلة بالتمثيل البياني الموضح. ضع الإجابة في الصورة .
الحل
في هذا السؤال، لدينا تمثيل بياني يمكننا من خلاله استنتاج أن ميل الخط المستقيم فيه موجب. وعلى الرغم من أنه ليس لدينا نقطتين محددتين مباشرةً على التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن الخط المستقيم يبدو متقاطعًا مع المحورين ، عند قيم صحيحة.
عن طريق الفحص، يمكننا ملاحظة أن الجزء المقطوع من المحور يكون عند ، والجزء المقطوع من المحور يكون عند ٦. هذا يتيح لنا تحديد نقطتين واقعتين على المستقيم. سنسمي هاتين النقطتين ، :
باستخدام هذه المعلومات، يمكننا الآن حساب ميل المستقيم باستخدام الصيغة الآتية:
ومن ثَمَّ، نجد أن ميل الخط المستقيم موجب، كما لاحظنا بشكل صحيح من التمثيل البياني المُعطى. وبما أن هدفنا هو إيجاد معادلة الخط المستقيم في صيغة الميل والمقطع، ، فسننتقل الآن لحساب قيمة . من الجدير بالذكر أن هذا الثابت يُمثَّل أحيانًا بالرمز بدلًا من الرمز .
تتمثل الطريقة العامة لإيجاد قيمة هذا الثابت في التعويض بإحداثيات إحدى النقطتين، أو ، بالإضافة إلى القيمة المعلومة للميل في صيغة الميل والمقطع للمعادلة:
في هذه المثال، يمكننا تجنب هذه العمليات الحسابية من خلال تذكرنا أن الثابت يُمثِّل الجزء المقطوع من المحور ، وهو ما حددناه بالفعل. وبما أن هي النقطة التي يتقاطع عندها المستقيم مع المحور ، يمكننا أن نذكر مباشرةً أن .
قد يكون من المفيد توضيح النتيجة المكافئة باستخدام طريقة التعويض الآتية:
والآن بعد أن أوجدنا قيمتي ، ، يمكننا التعبير عن معادلة الخط المستقيم في صيغة الميل والمقطع كما يأتي:
كما هو موضَّح في المثال السابق، سيكون الحال في بعض الأحيان أن يُعطى لنا الجزأين المقطوعين من المحورين ، باعتبارهما نقطتين مختلفتين تقعان على مستقيم معين، وهي مسألة أبسط من تلك التي يُعطى لنا فيها نقطتين عامتين. هيا نتناول طريقة أكثر منهجية لتقليل العمليات الحسابية في هذه الحالة. لنفترض أن لدينا نقطتين تقعان على الخط المستقيم وكذلك على المحورين. بعبارة أخرى، افترض أن ، . إذن، يمكننا إيجاد الميل بالطريقة العادية:
بعد أن حسبنا الميل الآن، يمكننا إيجاد المعادلة العامة للخط المستقيم باستخدام صيغة الميل والمقطع:
وبالتعويض بالقيمة المعلومة للميل ، نحصل على:
تعريف: معادلة الخط المستقيم بمعلومية الجزأين المقطوعين
افترض أن لدينا خطًا مستقيمًا في المستوى ؛ حيث الجزء المقطوع من المحور هو ، والجزء المقطوع من المحور هو . إذن، تكون معادلة الخط المستقيم هي:
توفر لنا المعادلة السابقة طريقة مفيدة لإيجاد معادلة الخط المستقيم في صيغة «الميل والمقطع» بمعلومية كل من الجزأين المقطوعين من المحورين ، . من خلال إجراء تعويض بسيط بهاتين القيمتين، يمكننا الحصول على المعادلة مباشرةً. لتوضيح هذه النتيجة، سنتناول المثال القصير الآتي.
مثال ٧: إيجاد معادلة خط مستقيم بمعلومية الجزأين المقطوعين من المحورين س، ص وحساب مساحة مثلث
أوجد معادلة الخط المستقيم الذي قيمة الجزء المقطوع من المحور له هي ٣، وقيمة الجزء المقطوع من المحور هي ٧، ثم احسب مساحة المثلث المحدد بهذا الخط المستقيم ومحورَي الإحداثيات.
الحل
سنبدأ بتمثيل النقطتين والخط المستقيم. في الشكل الآتي، الجزآن المقطوعان محددان باللون الأزرق، بينما الخط المستقيم مُحدد باللون الأسود. يطلب منا السؤال إيجاد المساحة المحصورة بين هذا الخط المستقيم ومحوري الإحداثيات، وهو ما يُشكِّل المثلث الذي حددناه باللون الأحمر.
سنبدأ الآن بإيجاد معادلة الخط المستقيم في صيغة الميل والمقطع. سنشير أولًا إلى الجزء المقطوع من المحور بـ ، وإلى الجزء المقطوع من المحور بـ . يمكننا بعد ذلك التعويض بهاتين القيمتين في المعادلة مباشرةً:
بالتعويض بالقيمتين المعطاتين عن ، ، سنحصل على معادلة الخط المستقيم في صيغة الميل والمقطع كما يأتي:
وبالنظر إلى معامل حد ، نجد أن ميل هذا الخط المستقيم هو . يتوافق هذا الميل السالب مع ملاحظتنا للميل السالب الموضح في التمثيل البياني السابق.
من المعروف أن مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة في الارتفاع. في هذا السؤال، يمكننا ملاحظة أن طول قاعدة المثلث يساوي ٣ وحدات، في حين أن الارتفاع يساوي ٧ وحدات. وعليه، يمكننا حساب المساحة كما يأتي: وهو ما يعني أن المساحة المحصورة تساوي ١٠٫٥ وحدات مُربعة.
على الرغم من أننا نحاول عادةً استنتاج صيغة الميل والمقطع للخط المستقيم، فإنه يمكن أن تكون هناك عدة طرق لتحقيق هذه النتيجة. من المفيد أن نفهم جميع الطرق التي تناولناها في هذا الشارح، وأن نكون متأكدين تمامًا من العمليات الجبرية المطلوبة.
يجب أيضًا التركيز على المعلومات المعطاة عن أي من الجزأين المقطوعين حيثما كان ذلك ممكنًا، لكن إذا لم يكن ذلك متوفرًا، فإنه يمكن استخدام الطرق العامة. وعلى أي حال، من الأفضل دائمًا أن نرسم تمثيل بياني، إذا كان غير مُعطى في المسألة، كوسيلة لفهم المسألة وليساعدنا أيضًا على التحقق من أن صيغة الميل والمقطع تبدو دقيقة عند مقارنتها بالتمثيل البياني.
النقاط الرئيسية
- لأي خط مستقيم في المستوى له ميل معلوم، ، والجزء المقطوع من المحور هو ، فإنه يمكن كتابة معادلة هذا الخط المستقيم في صيغة «الميل والمقطع» على النحو الآتي:
- أي خط مستقيم يمر بالنقطتين المختلفتين ، يُعطى ميله بالعلاقة:
- بناءً على ذلك، يمكن إيجاد الجزء المقطوع من المحور ؛ أي ، بالتعويض بقيمتي ، لأي من النقطتين في معادلة الخط المستقيم المكتوبة بصيغة الميل والمقطع. بعبارة أخرى، بمجرد إيجاد قيمة ، يمكن إيجاد قيمة من خلال حل أي من المعادلتين الآتيتين:
- لأي خط مستقيم في المستوى ؛ حيث الجزء المقطوع من هو ، والجزء المقطوع من هو ، فإنه يمكن إيجاد معادلة هذا الخط المستقيم في صيغة الميل والمقطع مباشرةً باستخدام المعادلة الآتية:
