شارح الدرس: معادلة الخط المستقيم: صيغة الميل والمقطع الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد ونكتب معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة.

لكي نفعل ذلك، علينا أن نكون على دراية بالصورة القياسية لمعادلة الخط المستقيم المُمثَّل بيانيًّا وأن نكون على دراية بكيفية حساب الميل والجزء المقطوع من المحور 𞸑 لأي مستقيم.

في البداية، دعونا نسترجع مفهومين بإيجاز.

صيغة الميل والمقطع لمعادلة الخط مستقيم

صيغة الميل والمقطع لمعادلة الخط مستقيم هي: 𞸑=𞸌𞸎+𞸢، حيث 𞸌 هو الميل، 𞸢 هو الجزء المقطوع من المحور 𞸑. ويمكننا حساب الميل باستخدام الصيغة: 𞸌=𞸑𞸎.اا كما يمكننا حساب الجزء المقطوع من المحور 𞸑؛ أي 𞸢، عن طريق التعويض بنقطة تقع على المستقيم في المعادلة بمجرد إيجاد الميل.

هيا نوضح ذلك من خلال مجموعة من الأمثلة.

مثال ١: إيجاد معادلة مستقيم يمر بنقطتين

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين 󰏡(٥،١١)، 𞸁(٠١،١٢).

الحل

أولًا، سنرسم شكلًا توضيحيًّا ونحسب الفرق بين قيم 𞸑 والفرق بين قيم 𞸎 من خلال رسم مثلث الميل.

الفرق بين قيم 𞸑 يساوي ١٢١١=٠١ والفرق بين قيم 𞸎 يساوي ٠١٥=٥. وعليه، فإن الميل يساوي: ٠١٥=٢.

لذلك، هذا يعني أن معادلة المستقيم لا بد أن تكون: 𞸑=٢𞸎+𞸢.

والآن، لحساب الجزء المقطوع من المحور 𞸑؛ أي 𞸢، علينا التعويض بإحدى النقاط الواقعة على المستقيم. هيا نعوض بالنقطة 󰏡. نحن نعرف أنه عندما 𞸎 يساوي ٥، فإن 𞸑 يساوي ١١؛ لذا يمكننا استخدام هاتين القيمتين لإيجاد قيمة 𞸢: ١١=٢(٥)+𞸢. وبالتبسيط، سنحصل على: ١١=٠١+𞸢، وبطرح ١٠ من كلا الطرفين، نجد أن: 𞸢=١.

إذن، معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين 󰏡، 𞸁 هي: 𞸑=٢𞸎+١.

يمكننا التحقق من هذه المعادلة عن طريق التعويض بالإحداثي 𞸎 للنقطة 𞸁 والتأكد من حصولنا على الإحداثي 𞸑 الصحيح: 𞸑=٢(٠١)+١=١٢، وهو الإحداثي الصحيح.

مثال ٢: إيجاد معادلة مستقيم يمر بنقطتين معطاتين في جدول القيم

اكتب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين الموضحتين بجدول القيم:

𞸎𞸑
٣١٢
٧٠

الحل

علينا حساب ميل المستقيم الذي يمر بهاتين النقطتين. وتجدر الإشارة إلى أن النقطتين الموضحتين في الجدول هما: (٣،٢١)، (٧،٠). والآن، ليس من الضروري أن نرسم شكلًا توضيحيًّا، لكن من المفيد أن نتصور ما يحدث؛ لذا دعونا نفعل ذلك أولًا.

لاحظ في هذا المثال أن ميل المستقيم ينحدر من أعلى إلى أسفل. وعليه، فإن الميل يكون سالبًا. ولذلك، فالفرق بين قيم 𞸑 يساوي ٠٢١=٢١ والفرق بين قيم 𞸎 يساوي ٧٣=٤. ومن ثَمَّ، الميل يساوي: ٢١٤=٣.

ومعادلة المستقيم تساوي: 𞸑=٣𞸎+𞸢.

بعد ذلك، إذا عوضنا بالنقطة (٣،٢١)، فسنحصل على: ٢١=٣(٣)+𞸢. وبالتبسيط، نحصل على: ٢١=٩+𞸢، ثم بإضافة ٩ إلى كلا الطرفين، نحصل على: 𞸢=١٢.

إذن، معادلة الخط المستقيم هي: 𞸑=٣𞸎+١٢.

مثال ٣: إيجاد معادلة مستقيم يمر بنقطتين وكتابة الإجابة على صورة معينة

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين 󰏡(٠١،٢)، 𞸁(٠،٥)، واكتب إجابتك في الصورة 󰏡𞸑+𞸁𞸎+𞸢=٠.

الحل

نبدأ بحساب ميل المستقيم الذي يمر بهاتين النقطتين. يمكننا فعل ذلك دون الحاجة إلى رسم شكل توضيحي. الفرق بين قيم 𞸑 يساوي ٥٢=٣ والفرق بين قيم 𞸎 يساوي ٠(٠١)=٠١. إذن، الميل يساوي ٣٠١.

وبذلك، فإن معادلة المستقيم تساوي: 𞸑=٣٠١𞸎+𞸢.

بعد ذلك، نعوض بالإحداثي (٠١،٢): ٢=٣٠١(٠١)+𞸢. وبالتبسيط، نحصل على: ٢=٣+𞸢، ثم بإضافة ٣ إلى كلا الطرفين، نحصل على 𞸢=٥.

ومن ثَمَّ، فإن معادلة الخط المستقيم تساوي: 𞸑=٣٠١𞸎+٥.

مطلوب منا الآن في هذا السؤال أن نكتب المعادلة على صورة معينة؛ لذا علينا إعادة الترتيب. أولًا علينا أن نجعل المعادلة بدون كسور؛ لذلك سنضرب كلا الطرفين في ١٠: ٠١𞸑=٣𞸎+٠٥.

والآن، علينا أن نجعل الحدين ٣𞸎، ٥٠ في الطرف الآخر من المعادلة؛ لذا سنطرح ٣𞸎 من كلا الطرفين، ثم نطرح ٥٠ من الطرفين، وهو ما يعطينا: ٠١𞸑٣𞸎٠٥=٠.

مثال ٤: إيجاد معادلة مستقيم بمعلومية الأجزاء المقطوعة من محاور الإحداثيات

ما معادلة الخط المستقيم الذي يقطع المحور 𞸎 عند ٣ ويقطع المحور 𞸑 عند ٤؟

الحل

لدينا الجزآن المقطوعان للمستقيم. وهذا يكافئ الحصول على نقطتين يمر بهما المستقيم. وبوجه خاص، فإن الجزء المقطوع من المحور 𞸎 هو ٣، وهو ما يعني أن المستقيم يمر بالنقطة (٣،٠). وبالمثل، بما أن الجزء المقطوع من المحور 𞸑 هو ٤، فإن المستقيم يمر بالنقطة (٠،٤).

يمكننا الآن حساب ميل المستقيم الذي يمر بهاتين النقطتين. الفرق بين قيم 𞸑 يساوي ٤٠=٤ والفرق بين قيم 𞸎 يساوي ٠(٣)=٣. وبذلك، فإن الميل يساوي: 𞸌=٤٣.

وعليه، معادلة المستقيم هي: 𞸑=٤٣𞸎+𞸢.

بما أن 𞸢 يمثل الجزء المقطوع من المحور 𞸑، يمكننا استنتاج مباشرةً أن 𞸢=٤. ومن ثَمَّ، فإن معادلة الخط المستقيم هي: 𞸑=٤٣𞸎+٤.

يمكننا أيضًا التعبير عن ذلك بصورة أخرى. بالضرب في ٣، يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة: ٣𞸑=٤𞸎+٢١.

وبطرح ٤𞸎 من كلا الطرفين، نحصل على: ٣𞸑٤𞸎=٢١.

من المثير للاهتمام أنه يمكننا تعميم ناتج المثال الأخير. إذا كان للمستقيم جزآن مقطوعان 𞸎٠، 𞸑٠؛ حيث 𞸎،𞸑٠٠٠، باستخدام الفكرة السابقة نفسها، يمكننا القول إن المستقيم يمر بالنقطتين (𞸎،٠)٠، (٠،𞸑)٠. ومن ثَمَّ، فإن الميل 𞸌 يُعطى بالعلاقة: 𞸌=𞸑٠٠𞸎=𞸑𞸎.٠٠٠٠

وعليه، إذا كان 𞸑٠ هو الجزء المقطوع من المحور 𞸑، فإن معادلة المستقيم تساوي: 𞸑=𞸑𞸎𞸎+𞸑.٠٠٠

وبالضرب في 𞸎٠، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: 𞸎𞸑=𞸑𞸎+𞸎𞸑.٠٠٠٠

وبإضافة 𞸑𞸎٠ إلى كلا الطرفين، نحصل على: 𞸎𞸑+𞸑𞸎=𞸎𞸑.٠٠٠٠

بدلًا من ذلك، يمكننا قسمة الطرفين على 𞸎𞸑٠٠، وهو ما يعطينا: 𞸑𞸑+𞸎𞸎=١.٠٠

هذه صور خاصة لمعادلة المستقيم والتي يطلق عليها صورة المقطعين.

في المثال الأخير، سنوجد معادلة خط مستقيم باستخدام تمثيل بياني.

مثال ٥: إيجاد معادلة خط مستقيم من تمثيله البياني

اكتب المعادلة المُمثَّلة بالتمثيل البياني الموضَّح. اكتب إجابتك في الصورة 𞸑=𞸌𞸎+𞸁.

الحل

لنبدأ بتحديد نقطتين يمر بهما المستقيم. من التمثيل البياني، يمكننا تحديد عدد من النقاط التي إحداثياتها أعداد صحيحة ويمر بها المستقيم مثل: (٢،٨)، (٠،٤)، (٢،٠)، (٤،٤). يمكننا استخدام أي نقطتين من هذه النقاط لإيجاد معادلة المستقيم. سنختار استخدام نقطتي المقطعين (٠،٤)، (٢،٠).

يمكننا الآن حساب ميل المستقيم؛ حيث الفرق بين قيم 𞸑 يساوي ٤٠=٤ والفرق بين قيم 𞸎 يساوي ٠(٢)=٢. وبذلك، فإن الميل يساوي: 𞸌=٤٢=٢.

وعليه، معادلة المستقيم تساوي: 𞸑=٢𞸎+𞸢، حيث 𞸢 هو الجزء المقطوع من المحور 𞸑. وبما أننا نعرف أن الجزء المقطوع من المحور 𞸑 هو ٤، يمكننا استنتاج أن معادلة المستقيم تساوي: 𞸑=٢𞸎+٤.

بدلًا من ذلك، بما أننا عرفنا قيمتي الجزأين المقطوعين، كان يمكننا استخدام صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم: 𞸑𞸑+𞸎𞸎=١٠٠ حيث 𞸑=٤٠، 𞸎=٢٠ لنحصل على: 𞸑٤𞸎٢=١.

يمكننا بعد ذلك الضرب في ٤ لنحصل على: 𞸑٢𞸎=٤.

وأخيرًا، يمكننا إضافة ٢𞸎 إلى كلا الطرفين لنحصل على الإجابة نفسها: 𞸑=٢𞸎+٤.

باستخدام طريقة إيجاد معادلة المستقيم بمعلومية نقطتين، يمكننا استنتاج صيغة عامة كما يلي. إذا كان المستقيم يمر بنقطتين مختلفتين، (𞸎،𞸑)١١، (𞸎،𞸑)٢٢، يمكننا حساب الميل بالطريقة نفسها التي استخدمناها في المثال ١ من خلال حساب التغير في 𞸎، 𞸑، ومن ثَمَّ نحصل على: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١

وعليه، فإن معادلة المستقيم تساوي: 𞸑=𞸑𞸑𞸎𞸎𞸎+𞸢،٢١٢١ حيث يمكننا إيجاد 𞸢 بالتعويض بإحداثيات إحدى النقطتين: 𞸢=𞸑𞸑𞸑𞸎𞸎𞸎.١٢١٢١١

وبذلك، تصبح معادلة المستقيم: 𞸑=𞸑𞸑𞸎𞸎𞸎+𞸑𞸑𞸑𞸎𞸎𞸎٢١٢١١٢١٢١١ والتي يمكن تبسيطها عادةً إلى ما يلي: 𞸑𞸑=𞸑𞸑𞸎𞸎󰁓𞸎𞸎󰁒.١٢١٢١١

النقاط الرئيسية

  • لإيجاد معادلة أي مستقيم مار بنقطتين، نستخدم الطريقة التالية:
    • بشكل عام، من الأفضل البدء برسم شكل توضيحي للتحقق مما إذا كان الميل موجبًا أم سالبًا.
    • نحسب الميل الذي من خلال: 𞸌=𞸑𞸎.اا
    • باستخدام زوج واحد من الإحداثيات، نوجد الجزء المقطوع من المحور 𞸑 عن طريق التعويض به في المعادلة.
    • نتحقق من الإجابة بالتعويض بالزوج الثاني من الإحداثيات.
    • نعيد ترتيب الصيغة، عند الضرورة، لمطابقتها بالصورة المطلوبة في السؤال.
  • هناك صيغة عامة لمعادلة المستقيم المار بالنقطتين (𞸎،𞸑)١١، (𞸎،𞸑)٢٢ تُعطى بالعلاقة: 𞸑𞸑=𞸑𞸑𞸎𞸎󰁓𞸎𞸎󰁒.١٢١٢١١

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.