شارح الدرس: المتسلسلات الحسابية الرياضيات

مثال ١: إيجاد مجموع متسلسلة حسابية بمعلومية الحدود الثلاثة الأولى

أوجد مجموع أول ١٧ حدًا في المتسلسلة الحسابية .

الحل

هذه متسلسلة حسابية حدها الأول ١٢. يمكننا إيجاد الفرق المشترك، أي ، عن طريق طرح حد من الحد الذي يليه:

الحد العام، ، لمتتابعة حسابية حدها الأول والفرق المشترك فيها يُعطى بالصيغة

هذا يعني أن الحد العام لهذه المتسلسلة هو

يمكن إيجاد الحدين الأخيرين في المجموع الجزئي لهذه المتسلسلة بجعل ، .

عند ، فإن

وعند ، فإن

يعني هذا أنه يمكن كتابة مجموع أول ١٧ حدًا، ، كما يلي

وبالطبع، يمكننا عكس المتسلسلة والحصول على النتيجة نفسها:

لاحظ كيف يمكن جمع كل عدد من الأعداد السبعة عشر الموجودة في المتسلسلة الأصلية مع عدد آخر في المتسلسلة المعكوسة للحصول على المجموع ١٦٨.

وبجمع هذه المعادلات، نحصل على

يمكننا الآن إيجاد مجموع أول ١٧ حدًا بقسمة ٢‎ ‎٨٥٦ على ٢:

إذن، مجموع أول ١٧ حدًا في هذه المتسلسلة الحسابية هو ١‎ ‎٤٢٨.

مثال ٢: كتابة مقدار يعبر عن مجموع متتابعة حسابية

أوجد المقدار المعبر عن مجموع المتتابعة الحسابية التي حدها الأول وأساسها .

الحل

نتذكر أن الحد العام، ، لمتتابعة حسابية حدها الأول والفرق المشترك فيها يُعطى بالصيغة

يمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد أول من الحدود في هذه المتتابعة.

عند ، فإن

عند ، فإن

عند ، فإن

ويستمر النمط على هذا النحو.

مجموع أول من الحدود، أي ، يُعطى بالصيغة

وبالطبع، إذا عكسنا المتسلسلة، فسنحصل على المجموع الكلي نفسه:

لاحظ كيف يمكن جمع كل عدد في المتسلسلة الأصلية مع عدد آخر في المتسلسلة المعكوسة للحصول على مجموع ثابت:

يعني هذا أنه عند جمع المعادلتين، يصبح لدينا مضروبًا في هذا المقدار:

لإيجاد مقدار يعبر عن ، نقسم الطرفين على ٢:

مثال ٣: كتابة مقدار يعبر عن مجموع أول ن من الحدود في متتابعة حسابية

اكتب مقدارًا يعبر عن مجموع أول من الحدود في متتابعة حسابية حدها الأول وحدها الأخير .

الحل

نبدأ باسترجاع الصيغة التي تمكِّننا من إيجاد الحد في متسلسلة حسابية حدها الأول والفرق المشترك فيها :

نحن نعلم أيضًا أن مجموع الحدود الأولى في متسلسلة حسابية حدها الأول والفرق المشترك فيها يُعطى من خلال ، حيث

بكتابة على الصورة ، يمكننا التعويض بـ ، كما هو موضَّح:

في المتسلسلة التي عدد حدودها ، يكون هو الحد الأخير. وهذا يعني أنه يمكننا التعويض عن بـ لإيجاد صيغة تعبر عن مجموع أول من الحدود في متتابعة حسابية حدها الأول وحدها الأخير :

مثال ٤: إيجاد مجموع متسلسلة حسابية بمعلومية الحدين الأول والأخير

أوجد مجموع حدود المتتابعة الحسابية التي عدد حدودها ١١ حدًا، وحدها الأول ، وحدها الأخير .

الحل

تذكَّر أن مجموع أول من الحدود في متتابعة حسابية حدها الأول وحدها الأخير يُعطى من خلال ، حيث

الحد الأول في المتتابعة هو والحد الأخير هو ، لذا نجعل ، .

يوجد ١١ حدًا في المتتابعة، إذن نجعل .

نحصل بعد ذلك على مجموع أول ١١ حدًا من خلال ، حيث

مجموع حدود هذه المتتابعة الحسابية التي عدد حدودها ١١ حدًا هو .

مثال ٥: إيجاد مجموع متتابعة حسابية بمعلومية الحد العام

أوجد مجموع أول ١٠ حدود في المتتابعة ؛ حيث .

الحل

لدينا الحد العام للمتتابعة، . تمكِّننا هذه الصيغة من حساب أي حد بمعلومية ترتيبه.

على سبيل المثال، يمكن إيجاد الحد الأول من خلال التعويض بـ في الصيغة.

عند ، فإن

عند ، فإن

عند ، فإن

أول ثلاثة حدود في المتتابعة هي ٦، ٨، ١٠. إذن، يمكننا استنتاج أن الحد الأول هو ٦، والفرق المشترك هو ٢.

مجموع أول من الحدود في متسلسلة حسابية حدها الأول والفرق المشترك فيها يُعطى من خلال ، حيث

وبما أننا نحسب مجموع أول ١٠ حدود، نجعل ، ، :

مجموع أول ١٠ حدود في هذه المتتابعة هو ١٥٠.

مثال ٦: إيجاد مجموع متتابعة حسابية بدلالة ن

أوجد، بدلالة ، مجموع المتتابعة الحسابية .

الحل

لإيجاد مجموع متتابعة حسابية، علينا معرفة إما عدد الحدود أو قيمة الحد الأخير. في هذا المثال، لدينا الحد الأخير في المتتابعة الحسابية في صورة مقدار جبري، .

لإيجاد عدد الحدود في هذه المتتابعة، دعونا نلق نظرة على الحد العام . عند ، فإن ، وهو الحد الأول في المتسلسلة. وعند ، فإن ، وهو الحد الثاني في المتسلسلة. يستمر هذا النمط، ما يعني أنه ما دام ، فإن هو عدد الحدود في المتسلسلة.

يعني هذا أنه يمكننا استخدام صيغة إيجاد مجموع أول من الحدود في المتتابعة الحسابية التي حدها الأول وحدها الأخير :

بالتعويض بـ ، في الصيغة، نجد أن

مجموع المتتابعة الحسابية هو .

مثال ٧: إيجاد مجموع عدد محدد من حدود متتابعة حسابية وفقًا لشرط مُعطى

أوجد مجموع أول ٢١ حدًا لمتتابعة حسابية، إذا كان ، .

الحل

هناك صيغتان يمكننا استخدامهما لإيجاد مجموع عدد محدد من حدود متتابعة حسابية. تتطلب الصيغة الأولى معرفة قيمة الحد الأول، أي ، والفرق المشترك، أي : بينما تتطلب الصيغة الثانية معرفة قيمة الحد الأول، ، والحد الأخير، :

لدينا معطيات عن ثلاثة حدود في المتتابعة، وهذا يعني أنه علينا تطبيق صيغة الحد للمتتابعة الحسابية. وبما أن هذه الصيغة تستخدم قيمة الحد الأول والفرق المشترك، نستنتج من ذلك أننا نحتاج إلى الصورة الأولى من صيغة إيجاد المجموع.

الحد العام، ، في متتابعة حسابية حدها الأول والفرق المشترك فيها يُعطى بالصيغة

بجعل ، فإن

وبالنسبة إلى ، فإن

أما بالنسبة إلى ، فإن

دعونا نعوض بكل مقدار من هذه المقادير في المعادلتين المعطاتين في السؤال.

المعادلة الأولى تعطينا

والمعادلة تصبح

لاحظ أن لدينا معادلتين خطيتين آنيتين. ويمكن حلهما بطرح إحداهما من الأخرى:

وأخيرًا، يمكننا التعويض بـ في أي من المعادلتين الأصليتين:

مجموع أول من الحدود في متسلسلة حسابية حدها الأول والفرق المشترك فيها يُعطى من خلال ، حيث

بما أننا نريد إيجاد مجموع أول ٢١ حدًا، فسنعوض بـ ، ، في هذه الصيغة: