شارح الدرس: التحويلات الهندسية للدوال: الانتقال الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: تحديد الانتقالات المُمثَّلة بيانيًّا والتعبير عنها جبريًّا

المنحنى الأحمر الموضَّح بالشكل معادلته ، والمنحنى الأزرق معادلته . اكتب في صورة تحويل هندسي للدالة .

الحل

في الشكل المُعطى، نلاحِظ أن المنحنيَيْن الأحمر والأزرق لهما الشكل نفسه، وهو ما يَعني أن المنحنى الأزرق يُمكن الحصول عليه من المنحنى الأحمر بتحويل هندسي في المستوى مع الاحتفاظ بنفس القياسات. وبشكلٍ أكثر تحديدًا، فالمنحنى الأزرق انتقالٌ للمنحنى الأحمر.

لتحديد اتجاه هذا الانتقال ومقداره، يُمكننا فحص التغيُّر في إحداثيات النقاط المُتناظِرة على المنحنيين. يُمكننا ملاحَظة أن القيمة المحلية الصُّغرى للمنحنى الأحمر، وإحداثياتها ، تَنتقل إلى النقطة المُناظِرة على المنحنى الأزرق، وإحداثياتها .

وهذا يُخبرنا أن التحويل الهندسي من المنحنى الأحمر إلى المنحنى الأزرق انتقالٌ إلى اليمين بمقدار ٣ وحدات. نتذكَّر أنه، لأيِّ ، التحويل الهندسي يمثِّل إزاحة إلى اليمين بمقدار من الوحدات. وهذا يعني أن التحويل الهندسي يُعطينا الانتقال من المنحنى الأحمر إلى المنحنى الأزرق. بتطبيق هذا التحويل الهندسي على الدالة ، نحصل على الدالة .

وعليه فإن .

مثال ٢: تحديد التحويلات الهندسية لمنحنيات الدوال

يوضِّح الشكل التمثيل البياني للدالة .

أيُّ الأشكال الآتية هو التمثيل البياني للدالة ؟

الحل

في هذا المثال، علينا تحديد التمثيل البياني للدالة بناءً على التمثيل البياني المُعطَى للدالة . يُمكن تمثيل التغيُّر من إلى جبريًّا بالتحويل .

نتذكَّر أنه، لأيِّ ، التحويل الهندسي يمثِّل إزاحة إلى اليسار بمقدار من الوحدات. وهذا يعني أن التحويل يمثِّل إزاحة إلى اليسار بمقدار وحدة واحدة. ومن ثَمَّ، يُمكننا إيجاد التمثيل البياني للدالة من خلال انتقال التمثيل البياني المُعطى إلى اليسار بمقدار وحدة واحدة. تحديدًا يُمكننا استخدام إحداثيات القيمة المحلية العُظمى على المنحنى الأصلي. يَنتُج عن انتقال هذه النقطة إلى اليسار بمقدار وحدة واحدة الإحداثيات ، التي تُعطينا نقطة مرجعية للمنحنى الجديد.

وعليه فإن الإجابة هي الخيار (ج).

مثال ٣: تحديد إحداثيات النقاط بعد التحويل الهندسي

يوضِّح هذا الشكل التمثيل البياني للدالة والنقطة . النقطة عبارة عن قيمة محلية عُظمى. أوجد القيمة المحلية العُظمى المُناظِرة للتحويل الهندسي .

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد إحداثيات نقطة القيمة المحلية العُظمى المُناظِرة للدالة . نتذكَّر أنه لأيِّ، ، فإن التحويل الهندسي يمثِّل إزاحة لأسفل بمقدار من الوحدات. يُمكن الحصول على الدالة من عن طريق التحويل الهندسي ، وهذا يعني أننا نحصل على منحنى الدالة من خلال انتقال منحنى الدالة لأسفل بمقدار وحدتين.

نعلم أن الانتقال تحويلٌ هندسيٌّ لا يُغيِّر شكل المنحنى. وعليه نحصل على النقطة المُناظِرة للقيمة المحلية العُظمى من خلال إزاحة النقطة المُعطاة لأسفل بمقدار وحدتين. وهذا يعني أن الإحداثي لهذه النقطة سيظلُّ كما هو، أمَّا الإحداثي فسيتغيَّر إلى:

ومن ثَمَّ، فإن نقطة القيمة المحلية العُظمى المُناظِرة هي .

مثال ٤: تحديد إحداثيات النقاط بعد التحويل الهندسي

يوضِّح الشكل التمثيل البياني للدالة والنقطة . النقطة عبارة عن قيمة عُظمى محلية. حدِّد القيمة العُظمى المحلية المُناظِرة للتحويل الهندسي .

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد إحداثيات نقطة القيمة العُظمى المحلية المُناظِرة للدالة . يُمكننا الحصول على الدالة عن طريق التعويض عن بـ أولًا، ثم إضافة ٤ إلى المقدار الناتج. وهذا يعني أن علينا تطبيق تحويلين هندسيين، ، . نتذكَّر أنه، لأيِّ :

• يمثِّل إزاحة إلى اليمين بمقدار من الوحدات
• يمثِّل إزاحة لأعلى بمقدار من الوحدات.

لذا في هذا المثال، يمثِّل إزاحة إلى اليمين بمقدار وحدة واحدة، يمثِّل إزاحة لأعلى بمقدار ٤ وحدات. نتذكَّر أن ترتيب تطبيق الانتقالين الرأسي والأفقي غير مُهِمٍّ؛ لأن أيَّ ترتيب سيؤدِّي إلى النتيجة نفسها. يُمكننا الحصول على منحنى الدالة عن طريق إزاحة منحنى الدالة إلى اليمين بمقدار وحدة واحدة أولًا، ثم لأعلى بمقدار ٤ وحدات.

نحن نعلم أن الانتقال تحويلٌ هندسيٌّ لا يغيِّر شكل المنحنى. ومن ثَمَّ، نحصل أيضًا على النقطة المُناظِرة للقيمة العُظمى المحلية بإزاحة النقطة المُعطاة إلى اليمين بمقدار وحدة واحدة، ثم لأعلى بمقدار ٤ وحدات. وهذا يعني أن الإحداثي لهذه النقطة هو: وأن الإحداثي هو:

ومن ثَمَّ، فإن نقطة القيمة العُظمى المحلية المُناظِرة هي .

مثال ٥: إيجاد معادلة دالة بعد انتقال ممثَّل بيانيًّا

يوضِّح التمثيل البياني (أ) المنحنى ، الذي له نقطة انقلاب عند نقطة الأصل. أوجد معادلة التمثيل البياني (ب)، علمًا بأنه انتقال للتمثيل البياني (أ).

الحل

نعلم من المُعطَيات أن التمثيل البياني (ب) انتقال للتمثيل البياني (أ). ولتحديد اتجاه هذا الانتقال ومقداره، يُمكننا فحص التغيُّر في إحداثيات النقاط المُتناظِرة على التمثيلين البيانيين. ونعلم من المُعطيَات أيضًا أن للمنحنى (أ) نقطة انقلاب تقع عند نقطة الأصل. في التمثيل البياني (ب)، نلاحِظ أن نقطة الانقلاب هذه تقع عند . وهذا يعني أن النقطة تَنتقل إلى النقطة .

تذكَّر أن التحويلات الهندسية للدالة تُصاحِب الانتقالات الأفقية والرأسية للمنحنى. ومن ثَمَ، علينا إيجاد الانتقالين الأفقي والرأسي اللذين يمثِّلان معًا الإزاحة لنقطةٍ من الإحداثيات إلى . يُمكن تحقيق ذلك عن طريق الانتقال إلى اليمين بمقدار وحدة واحدة أولًا، ثم الانتقال لأسفل بمقدار ٤ وحدات.

فلنتذكَّر التحويلات الهندسية المُصاحِبة لمثل هذه التحويلات: لأيِّ :

• يمثِّل إزاحة إلى اليمين بمقدار من الوحدات
• يمثِّل إزاحة لأسفل بمقدار من الوحدات.

وبما أننا نحتاج إلى إزاحة إلى اليمين بمقدار وحدة واحدة وإزاحة لأسفل بمقدار ٤ وحدات، إذن علينا تطبيق التحويلين الهندسيين ، على الدالة المُعطَى تمثيلها البياني في الشكل (أ). نتذكَّر أن ترتيب الانتقالين الأفقي والرأسي لا يُهِمُّ؛ لأن أيَّ ترتيب سيؤدِّي إلى النتيجة نفسها.

دعونا بدايةً نطبِّق التحويل الهندسي على الدالة . تطبيق هذا التحويل الهندسي يعني إننا نعوِّض عن كلِّ متغيِّر في الدالة بالمقدار . وهذا يُعطينا:

نتذكَّر أنه يُمكننا فكُّ مكعب لمقدار ذي حدَّيْن باستخدام الصيغة . بتطبيق هذه الصيغة والتبسيط، يصبح لدينا:

بعد ذلك، دعونا نطبِّق التحويل الهندسي على هذه الدالة. عند تطبيق هذا التحويل الهندسي، علينا طرح ٤ من الدالة المُعطاة. وهذا يُعطينا:

ومن ثَمَّ، فإن معادلة التمثيل البياني (ب) هي:

مثال ٦: إيجاد قيمة مجهول باستخدام معادلة الدالة قبل الانتقال وبعده

تنتقل الدالة بمقدار وحدة في اتجاه المحور ، وبمقدار وحدة في اتجاه المحور ؛ لتكوين الدالة . أوجد قيمة .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد مقدار إزاحة أفقية مجهولة (في اتجاه المحور ) بناءً على الإزاحة الرأسية المُعطاة (في اتجاه المحور )، والمقدارين الجبريين للدالتين الأصلية والناتجة. نبدأ بتذكُّر التحويلات الهندسية المُصاحِبة لهذه الانتقالات: لأيِّ :

• يمثِّل إزاحة لأعلى بمقدار من الوحدات
• يمثِّل إزاحة إلى اليمين بمقدار من الوحدات.

وهذا يوضِّح لنا أنه يُمكننا إزاحة الدالة بمقدار وحدتين عن طريق تطبيق التحويل الهندسي . تطبيق هذا التحويل الهندسي يعني أن علينا إضافة ٢ إلى الدالة . وهذا يُعطينا:

بعد ذلك، علينا إزاحة هذه الدالة بمقدار من الوحدات في اتجاه المحور ، وهو ما يعني أن علينا تطبيق التحويل الهندسي . تطبيق هذا التحويل يعني أن علينا التعويض عن المتغيِّر في الدالة بالمقدار . وهذا يُعطينا:

بعد إجراء التحويلين الهندسيَّيْن، يصبح منحنى هذه الدالة هو نفسه منحنى الدالة . ومن ثَمَّ، يُمكننا مساواة المقدارين لنكتب:

الحدُّ المُشترَك في طرفي المعادلة يُحذَف، وهو ما يُعطينا:

بإعادة ترتيب هذه المعادلة؛ بحيث يكون هو المتغيِّر التابع، نجد أن .