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الشارح للدرس: Transformations de fonctions : translation الرياضيات

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment identifier les transformations de fonctions impliquant des translations horizontales et verticales.

Une translation en géométrie est un transformation du plan qui consiste à déplacer chaque point du plan dans une direction, un sens et sur une distance donnés. Plus précisément, une translation peut être représentée algébriquement par la transformation qui déplace chaque point de coordonnées (𝑥;𝑦) au point de coordonnées (𝑥+𝑎;𝑦+𝑏) avec 𝑎 et 𝑏 des constantes. On peut appliquer le même concept géométrique à la courbe d’une fonction pour définir la translation d’une fonction.

Sur la figure ci-dessus, nous pouvons voir que le point (𝑥;𝑦) appartenant à la courbe verte est translaté en un nouveau point (𝑥+𝑎;𝑦+𝑏). Lorsque chaque point de la courbe verte est translaté suivant cette même transformation, on obtient la courbe en pointillés. La courbe en pointillés est une translation de la courbe verte. Nous pouvons voir que la forme de la courbe n’est pas affectée par cette transformation, ce qui est une propriété des translations. Bien que les deux courbes aient la même forme, elles ne sont pas identiques car les coordonnées des points appartenant à ces courbes ne sont pas les mêmes. Cela signifie que la courbe en pointillés représente une fonction différente de celle représentée par la courbe verte. En d’autres termes, la translation entraine une variation de l’expression algébrique de la fonction, appelée transformation de la fonction.

Dans cette fiche explicative, nous voulons comprendre quelles transformations de fonctions se traduisent par une translation de la courbe représentative de la fonction. Pour examiner la translation d’une courbe de manière algébrique, il est pratique de décomposer la translation en un déplacement horizontal et un vertical. Toute translation du plan peut, en effet, être exprimée comme la composée d’une translation horizontale et d’une translation verticale. Pour la translation représentée sur le schéma ci-dessus, nous pouvons réaliser ce déplacement comme une translation horizontale 𝑥𝑥+𝑎 et une verticale 𝑦𝑦+𝑏.

Sur la courbe représentative d’une fonction, la direction horizontale est liée à la variable, qui est souvent représentée 𝑥 et la direction verticale à son image c'est-à-dire:𝑓(𝑥). Ainsi, en se limitant à des translations horizontales et verticales, nous restreignons la transformation de fonction à ne s’effectuer strictement que selon 𝑥 et selon son image par la fonction, 𝑓(𝑥).

Commençons par nous intéresser aux transformations de fonctions induisant des déplacements horizontaux.

Définition : Transformations de fonctions induisant des translations horizontales

Pour tout 𝑐>0,

  • Le changement de variable 𝑥𝑥𝑐 déplace la courbe vers la droite de 𝑐 unités,
  • Le changement de variable 𝑥𝑥+𝑐 déplace la courbe vers la gauche de 𝑐 unités.

La notation 𝑥𝑥𝑐, par exemple, signifie que nous remplaçons la variable 𝑥 dans la fonction par l’expression 𝑥𝑐. Translater la courbe représentative de la fonction d’expression 𝑓(𝑥) vers la droite de 𝑐 unités revient à tracer la courbe représentative de la fonction d’expression 𝑓(𝑥𝑐). Il est facile de se tromper sur le sens d’un déplacement horizontal, dans la mesure où, le sens de la variable 𝑥 est positif lorsqu’on se déplace vers la droite, alors que la transformation de fonction associée à l’addition de 𝑐 à cette variable signifie un déplacement de la courbe vers la gauche. Il faudra toujours garder à l’esprit qu’une transformation de fonction par changement de variable 𝑥 a un effet contraire à l’intuition géométrique. Ceci est également vrai pour les transformations associées à des dilatations, qui ne seront pas couvertes dans cette fiche explicative.

Pour comprendre pourquoi cette transformation de fonction entraîne une translation horizontale sur le graphique, regardons le tableau de valeurs de la fonction 𝑓(𝑥).

𝑥21012
𝑓(𝑥)𝑓(2)𝑓(1)𝑓(0)𝑓(1)𝑓(2)
𝑓(𝑥3)𝑓(5)𝑓(4)𝑓(3)𝑓(2)𝑓(1)
𝑓(𝑥+2)𝑓(0)𝑓(1)𝑓(2)𝑓(3)𝑓(4)

On peut noter que la ligne des images de 𝑓(𝑥3) peut être obtenue en décalant la ligne des images de 𝑓(𝑥) de 3 cases vers la droite. Cela signifie que la courbe représentative de 𝑓(𝑥3) est obtenue en déplaçant la courbe représentative de 𝑓(𝑥) de 3 unités vers la droite. De même, la ligne des images de 𝑓(𝑥+2) est obtenue à partir de la ligne des images de 𝑓(𝑥) par un décalage de deux cases vers la gauche. Par conséquent, la courbe représentative de 𝑓(𝑥+2) s’obtient par un déplacement horizontal de 2 unités vers la gauche.

Dans notre premier exemple, nous allons déterminer l’expression algébrique d’une fonction obtenue par translation horizontale.

Exemple 1: Identifier et exprimer des translations observées graphiquement

La courbe rouge sur la figure a pour équation 𝑦=𝑓(𝑥) et la courbe bleue a pour équation 𝑦=𝑔(𝑥). Exprimez 𝑔(𝑥) en fonction de 𝑓(𝑥).

Réponse

Sur la figure donnée, on peut voir que les courbes rouge et bleue ont la même forme, ce qui signifie que la courbe bleue est l’image de la courbe rouge par un déplacement rectiligne. Plus précisément, la courbe bleue est obtenue par une translation de la courbe rouge.

Pour déterminer l’orientation et la distance de cette translation, nous pouvons déterminer la variation des coordonnées de deux points correspondants des deux courbes. On peut repérer, par exemple, un minimum local sur la courbe rouge qui a pour coordonnées (1;0) et qui est translaté sur le point de la courbe bleue de coordonnées (2;0).

Cela nous indique que la transformation du plan qui déplace la courbe rouge sur la courbe bleue est une translation vers la droite de 3 unités. Nous rappelons que, pour tout 𝑐>0, le changement de variable 𝑥𝑥𝑐 représente un déplacement vers la droite de 𝑐 unités. Cela signifie que le changement de variable 𝑥𝑥3 représente la translation qui déplace la courbe rouge sur la courbe bleue. En appliquant cette transformation de fonction à l’expression 𝑓(𝑥), on obtient la fonction 𝑓(𝑥3).

Par conséquent, 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥3).

Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé l’expression algébrique d’une fonction obtenue par translation horizontale. En utilisant la même méthode, nous pouvons également déterminer la courbe représentative d’une fonction après un changement de variable, comme nous le verrons dans l’exemple suivant.

Exemple 2: Identifier une courbe après changement de variable

Sur la figure, on a représenté la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥).

Parmi les courbes suivantes, laquelle représente la courbe représentative de 𝑦=𝑓(𝑥+1)?

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer la courbe représentative de 𝑓(𝑥+1) étant donné la courbe représentative de 𝑓(𝑥). Le changement de 𝑓(𝑥) en 𝑓(𝑥+1) peut être représenté par le changement de variable:𝑥𝑥+1.

Nous rappelons que, pour tout 𝑐>0, le changement de variable 𝑥𝑥+𝑐 représente un déplacement vers la gauche de 𝑐 unités. Cela signifie que 𝑥𝑥+1 représente un déplacement vers la gauche d’une unité. Ainsi, la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥+1) s’obtient par translation de la courbe d’une unité vers la gauche. Pour la trouver, on peut utiliser les coordonnées du maximum local (1;0) de la courbe de départ. La translation de ce point vers la gauche de 1 unité mène aux coordonnées (2;0), qui nous donne un point de référence de la courbe recherchée.

La réponse est donc C.

Dans les exemples précédents, nous avons étudié les transformations de fonctions associées à des déplacements horizontaux. Regardons maintenant les transformations de fonctions suivant des déplacements verticaux. On se souvient qu’un déplacement vertical est associé à une transformation de la fonction effectuée directement sur son image 𝑓(𝑥) et non sur sa variable 𝑥.

Définition : Transformations de fonctions associées à des déplacements verticaux

Pour tout 𝑐>0,

  • la transformation de fonction 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)+𝑐 représente un déplacement vers le haut de 𝑐 unités,
  • la transformation de fonction 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑐 représente un déplacement vers le bas de 𝑐 unités.

La notation 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)+𝑐 signifie que nous ajoutons 𝑐 directement à l’expression de la fonction. Ainsi, translater la courbe représentative de 𝑓(𝑥) vers le haut de 𝑐 unités mène à la courbe représentative de 𝑓(𝑥)+𝑐. Contrairement au changement de la variable 𝑥, l’effet géométrique de la transformation de fonction via l’ajout d’une constante à 𝑓(𝑥) n’est pas contre intuitive. On monte quand on modifie l’expression 𝑓(𝑥) en lui ajoutant une valeur positive;ainsi, la translation de la courbe vers le haut est associée à la transformation de la fonction où nous ajoutons 𝑐 à 𝑓(𝑥).

On peut comprendre cette transformation assez facilement. Le fait d’ajouter ou de soustraire 𝑐 à l’expression 𝑓(𝑥) de la fonction modifie l’ordonnée 𝑦 de chacun des points de la courbe de la quantité additionnée ou soustraite. Ainsi, la courbe représentative de 𝑓(𝑥)+2 peut être obtenue en déplaçant la courbe représentative de 𝑓(𝑥) de 2 unités vers le haut.

Dans l'exemple suivant, nous identifierons un point correspondant dans la courbe d'une fonction résultant de cette transformation de fonction.

Exemple 3: Déterminer les coordonnées d’un point après une transformation

Sur la figure, on a tracé la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) ainsi que le point 𝐴. Le point 𝐴 est un maximum local. Déterminez le maximum local correspondant à la transformation 𝑦=𝑓(𝑥)2.

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons déterminer les coordonnées du maximum local correspondant pour la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥)2. Nous rappelons que, pour tout 𝑐>0, la transformation de fonction 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑐 représente un déplacement vers le bas de 𝑐 unités. La fonction 𝑓(𝑥)2 peut être obtenue à partir de 𝑓(𝑥) par la transformation de fonction 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)2, ce qui signifie que la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥)2 est obtenue en descendant la courbe représentative de 𝑓(𝑥) de 2 unités.

Nous savons qu’une translation est un déplacement qui ne change pas la forme d’une courbe. Ainsi, le point correspondant au maximum local est également obtenu en déplaçant le point donné (2;1) vers le bas de 2 unités. Cela signifie que l’abscisse 𝑥 de ce point restera la même, tandis que l’ordonnée 𝑦 sera 12=1.

Ainsi, le maximum local correspondant est (2;1).

Jusqu’à présent, nous avons étudié les transformations de fonctions associées à des déplacements horizontaux ou verticaux. Lorsque nous composons les deux, nous pouvons obtenir n’importe quelle translation du plan. Précédemment dans cette fiche explicative, nous avons mentionné que la translation du plan (𝑥;𝑦)(𝑥+𝑎;𝑦+𝑏) peut être assimilée à un déplacement horizontal 𝑥𝑥+𝑎 suivi d’un déplacement vertical 𝑦𝑦+𝑏. L’ordre dans lequel nous appliquons ces déplacements vertical et horizontal n’a pas d’importance, quel que soit l’ordre choisi, cela conduira au même résultat final.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer les coordonnées d’un point de la courbe représentative d’une fonction, obtenue en translatant à la fois horizontalement et verticalement la courbe représentative d’une autre fonction.

Exemple 4: Déterminer les coordonnées d’un point après transformation

Sur la figure, on a tracé la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) ainsi que le point 𝐴. Le point 𝐴 est un maximum local. Déterminez le maximum local correspondant à la transformation 𝑦=𝑓(𝑥1)+4.

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons déterminer les coordonnées du maximum local correspondant à la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥1)+4. On peut obtenir la fonction d’expression 𝑓(𝑥1)+4 en remplaçant d’abord 𝑥 par 𝑥1 puis en ajoutant 4 à l’expression obtenue. Cela signifie que nous devons appliquer deux transformations de fonction, 𝑥𝑥1 et 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)+4. Nous rappelons que, pour tout 𝑐>0,

  • 𝑥𝑥𝑐 représente un déplacement vers la droite de 𝑐 unités,
  • 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)+𝑐 représente un déplacement vers le haut de 𝑐 unités.

Ainsi, dans notre exemple, 𝑥𝑥1 représente un déplacement vers la droite de 1 unité et 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)+4 représente un déplacement vers le haut de 4 unités. Nous nous souvenons que l’ordre de ces deux translations n’a pas d’importance. On peut donc obtenir la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥1)+4 en déplaçant d’abord la courbe représentative de 𝑓(𝑥) à droite d’une unité, puis en la déplaçant de 4 unités vers le haut.

Nous savons qu’une translation est un déplacement qui ne change pas la forme d’une courbe. Ainsi, le point correspondant au maximum local est également obtenu en déplaçant le point (2;1) d’une unité à droite, puis de 4 unités vers le haut. Cela signifie que l’abscisse 𝑥 de ce point est 2+1=3, tandis que son ordonnée 𝑦 est 1+4=5.

Ainsi, le maximum local correspondant est (3;5).

Si on nous donne une fonction et la courbe représentative de cette fonction après translation, nous pouvons trouver l’expression de la fonction translatée en fonction de la fonction d’origine. Dans l’exemple suivant, nous allons calculer l’expression algébrique de la fonction dont la courbe représentative est la translatée de celle d’un polynôme de degrés 3.

Exemple 5: Déterminer l’équation d’une fonction après une translation représentée graphiquement

Sur le graphique A, on a tracé la courbe d’équation 𝑦=𝑥+2𝑥, qui a un point d’inflexion à l’origine. Déterminez l’équation de la courbe B, sachant que c’est une translation de la courbe A.

Réponse

On nous dit que la courbe B est obtenue par une translation de la courbe A. Pour déterminer les caractéristiques de cette translation, nous pouvons calculer la variation de coordonnées entre deux points correspondants sur les courbes. On nous dit qu’un point d’inflexion de la courbe A se trouve à l’origine. Sur la courbe B, nous voyons que le point d’inflexion est situé en (1;4). Cela signifie que le point (0;0) est translaté sur le point (1;4).

Rappelons que les transformations des fonctions sont associées à des translations horizontales et verticales des courbes représentatives des fonctions. Par conséquent, nous devons déterminer quelles sont les translations horizontales et verticales qui déplacent le point de coordonnées (0;0) sur le point de coordonnées (1;4). Ceci peut être réalisé en translatant d’abord d’une unité vers la droite, puis de 4 unités vers le bas.

On rappelle les transformations de fonctions associées à ces translations:pour tout 𝑐>0,

  • 𝑥𝑥𝑐 représente un déplacement vers la droite de 𝑐 unités,
  • 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑐 représente un déplacement vers le bas de 𝑐 unités.

Comme nous avons besoin d’un déplacement vers la droite d’une unité et d’un déplacement vers le bas de 4 unités, nous devons appliquer les transformations 𝑥𝑥1 et 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)4 à la fonction dont la courbe représentative est donnée en A. Nous nous souvenons que l’ordre des translations n’a pas d’importance sur le résultat.

Appliquons d’abord le changement de variable 𝑥𝑥1 à la fonction d’expression 𝑥+2𝑥. Appliquer cette transformation de fonction signifie que nous remplaçons chaque variable 𝑥 dans l’expression de la fonction par 𝑥1. Cela nous donne (𝑥1)+2(𝑥1).

Nous rappelons que nous pouvons développer le cube d’une expression binomiale à l’aide de la formule (𝑎𝑏)=𝑎3𝑎𝑏+3𝑎𝑏𝑏. En appliquant cette formule et en simplifiant, nous obtenons (𝑥1)+2(𝑥1)=𝑥3𝑥+3𝑥1+2𝑥2=𝑥3𝑥+5𝑥3.

Ensuite, nous appliquons la transformation 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)4 à cette fonction. Appliquer cette transformation de fonction signifie que nous devons soustraire 4 à l’expression de la fonction. Cela conduit à 𝑥3𝑥+5𝑥34=𝑥3𝑥+5𝑥7.

Ainsi, l’équation de la courbe B est 𝑦=𝑥3𝑥+5𝑥7.

Dans notre dernier exemple, nous allons déterminer les caractéristiques d’un déplacement inconnu grâce aux expressions algébriques de deux fonctions, la fonction initiale et celle obtenue après transformation.

Exemple 6: Déterminer la valeur d’une inconnue en utilisant l’expression de la fonction avant et après translation

La fonction d’expression 𝑓(𝑥)=3𝑥+9 est translatée de +2 unités suivant 𝑦 et de 𝑐 unités suivant 𝑥 pour donner la fonction d’expression 𝑔(𝑥)=3𝑥+2. Déterminez la valeur de 𝑐.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer les caractéristiques d’un déplacement horizontal (suivant 𝑥) connaissant le déplacement vertical (suivant 𝑦) et les expressions algébriques des fonctions avant et après transformation. On commence par rappeler les transformations de fonction associées à ces translations:pour tout 𝑐>0,

  • 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)+𝑐 représente un déplacement vers le haut de 𝑐 unités,
  • 𝑥𝑥𝑐 représente un déplacement vers la droite de 𝑐 unités.

Cela nous dit que nous pouvons déplacer la courbe représentative de la fonction d’expression 𝑓(𝑥) vers le haut de 2 unités en appliquant la transformation de fonction 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)+2. Appliquer cette transformation de fonction signifie que nous devons ajouter 2 à l’expression 𝑓(𝑥) de la fonction. Cela conduit à (3𝑥+9)+2=3𝑥+11.

Ensuite, nous devons déplacer la courbe représentative de cette fonction de 𝑐 unités suivant 𝑥, ce qui signifie que nous devons appliquer le changement de variable 𝑥𝑥𝑐. Appliquer cette transformation signifie que nous devons remplacer la variable 𝑥 dans l’expression de la fonction par 𝑥𝑐. Ce qui donne:3(𝑥𝑐)+11=3𝑥3𝑐+11.

Une fois ces deux transformations effectuées, la courbe représentative de cette nouvelle fonction est la même que celle de 𝑔(𝑥). Ainsi, on peut écrire:3𝑥3𝑐+11=3𝑥+2.

Le terme commun 3𝑥 dans chaque membre de l’équation s’annule, conduisant à 3𝑐+11=2.

En réarrangeant cette équation pour calculer 𝑐, nous trouvons 𝑐=3.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points Clés

  • Les déplacements horizontaux et verticaux de la courbe représentative d’une fonction sont associés respectivement aux transformations de fonctions associées au changement de sa variable 𝑥 ou de son image 𝑓(𝑥).
  • Pour tout 𝑐>0,
    • le changement de variable 𝑥𝑥𝑐 représente un déplacement vers la droite de 𝑐 unités,
    • le changement de variable 𝑥𝑥+𝑐 représente un déplacement vers la gauche de 𝑐 unités,
    • la transformation de fonction 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)+𝑐 représente un déplacement vers le haut de 𝑐 unités,
    • la transformation de fonction 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑐 représente un déplacement vers le bas de 𝑐 unités.
  • L’ordre des translations horizontale et verticale n’a pas d’importance, car quel que soit l’ordre choisi, la courbe représentative obtenue reste la même.

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