شارح الدرس: الزوايا في الوضع القياسي الرياضيات

مثال ١: التعرُّف على الزوايا في الوضع القياسي

هل الزاوية في الوضع القياسي؟

الحل

تذكَّر أن الزاوية تكون في الوضع القياسي إذا كان رأسها يقع عند نقطة الأصل على المستوى الإحداثي، وكان أحد شعاعَيْها مُنطبِقًا على الجزء الموجب من المحور . الشعاع الذي يقع على الجزء الموجب من المحور ، يُسمَّى الضلع الابتدائي للزاوية، والشعاع الآخر يُسمَّى الضلع النهائي.

لاحِظ أن الزاوية في هذا الشكل تُقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. يمكننا ملاحظة أن أحد الشعاعين اللذين يكوِّنان الزاوية، أو ضلعَ الزاوية الابتدائي، ينطبق بالفعل على الجزء الموجب من المحور . ويمكننا أيضًا ملاحظة أن الشعاع الآخر الذي يكوِّن الزاوية، أو ضلع الزاوية النهائي، يقع في الربع I من المستوى الإحداثي. والنقطة التي يلتقي عندها الشعاعان أو رأس الزاوية تقع عند نقطة الأصل.

ومن ثَمَّ، يمكننا القول «نعم»؛ الزاوية في الشكل الموضَّح زاوية في الوضع القياسي.

مثال ٢: تحديد إذا ما كانت الزاوية في الوضع القياسي

هل الزاوية في الوضع القياسي؟

الحل

تذكَّر أنه إذا كان رأس الزاوية يقع عند نقطة الأصل على المستوى الإحداثي، وإذا كان الشعاع، الذي يُشار إليه بالضلع الابتدائي، مُنطبِقًا على الجزء الموجب من المحور ، فإذن نقول إن الزاوية في الوضع القياسي. ولا يهم موضع الشعاع الآخر، الذي يُشار إليه بالضلع النهائي.

في الشكل المُعطى، الزاوية تُقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. ينطبق ضلع الزاوية الابتدائي على الجزء الموجب من المحور على المستوى الإحداثي، ويقع الشعاع الآخر، أو ضلع الزاوية النهائي، في الربع IV. يقع أيضًا الرأس، أو النقطة التي يلتقي عندها الشعاعان، عند نقطة الأصل.

وبذلك، يمكننا القول «نعم»؛ الزاوية في الشكل الموضَّح زاوية في الوضع القياسي.

ملاحظة

بدلًا من ذلك، افترض أن لدينا الشكل الآتي:

في هذا الشكل، تُقاس الزاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة، وهو ما يعني أن قياسها ليس موجبًا، بل سالب. ومع ذلك، فإن الضلع الابتدائي للزاوية ينطبق كذلك على الجزء الموجب من المحور على المستوى الإحداثي، ويقع الرأس أيضًا عند نقطة الأصل، فلو كان الشكل يبدو بهذه الطريقة، لظل قولنا أيضًا «نعم»؛ الزاوية في الوضع القياسي.

مثال ٣: تحديد إذا ما كانت الزاوية في الوضع القياسي

هل الزوج المرتَّب يُعبِّر عن زاوية في الوضع القياسي؟‎

الحل

نعرف أنه لكي يُعبِّر الزوج المرتَّب عن زاوية في الوضع القياسي، لا بد أن يكون الضلع الابتدائي للزاوية التي يمثِّلها الزوج المرتَّب مُنطبِقًا على الجزء الموجب من المحور على المستوى الإحداثي، وأن يقع رأسها عند نقطة الأصل. وبما أن يأتي أولًا في الزوج المرتَّب، إذن فهو الضلع الابتدائي للزاوية. يمكننا ملاحظة أن هذا الشعاع مُنطبِق تمامًا على الجزء الموجب من المحور .

وهذا الشعاع يلتقي مع الضلع النهائي، ، للزاوية عند النقطة ؛ أي رأس الزاوية. وتقع هذه النقطة أيضًا على الجزء الموجب من المحور على المستوى الإحداثي، ولكن ليست عند نقطة الأصل.

وبما أن الرأس لا يقع عند نقطة الأصل، إذن يمكننا القول «لا»؛ الزوج المرتَّب لا يُعبِّر عن زاوية في الوضع القياسي.

ملاحظة

على الرغم من أن الزاوية التي يُعبِّر عنها الزوج المرتَّب ليست في الوضع القياسي، فإنه يمكننا تحديد عدة زوايا في الوضع القياسي على الشكل. إحدى هذه الزوايا مُعطاة بدلالة الزوج المرتَّب ، وهناك زاوية ثانية مُعطاة بدلالة الزوج المرتَّب ، وزاوية ثالثة مُعطاة بدلالة الزوج المرتَّب . لكل زاوية من هذه الزوايا، يكون الضلع الابتدائي مُنطبِقًا على الجزء الموجب من المحور ، ويقع الرأس، ، عند نقطة الأصل.

علينا أن نتناول أيضًا الزاوية المُعطاة بالزوج المرتَّب . الرأس، ، لهذه الزاوية يقع عند نقطة الأصل، لكن الضلع الابتدائي، ، للزاوية لا ينطبق على الجزء الموجب من المحور . ومن ثَمَّ، نعرف أن هذه الزاوية ليست في الوضع القياسي.

مثال ٤: إيجاد الزوايا المكافئة

حدِّد أصغر زاوية موجبة مكافئة للزاوية الموضَّحة.

الحل

نحن نعلم أن الزاوية التي قياسها الموضَّحة في الوضع القياسي؛ لأن ضلعها الابتدائي مُنطبِق على الجزء الموجب من المحور ، ورأسها يقع عند نقطة الأصل. كما نلاحظ أن هذه الزاوية تُقاس في اتجاه دوران عقارب الساعة؛ ولهذا يكون قياس الزاوية يساوي عددًا سالبًا من الدرجات.

أصغر زاوية موجبة مكافئة للزاوية الموضَّحة تُقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. ونحن نعلم أنها أيضًا في الوضع القياسي؛ لأن لها الضلع الابتدائي والرأس نفسيهما، مثل الزاوية التي قياسها . ولها أيضًا الضلع النهائي نفسه، مثل الزاوية التي قياسها ؛ وهذا يعني أن هذه الزاوية والزاوية التي قياسها زاويتان متكافئتان.

وبما أن الإشارة السالبة في قياس الزاوية تخبرنا فقط باتجاه قياس الزاوية، إذن دعونا نتجاهلها في الوقت الحالي، ونأخذ قياس هذه الزاوية ليكون . تذكَّر أن مجموع قياسات الزوايا في الاتجاه نفسه حول نقطة ما يساوي ؛ ومن ثَمَّ، بطرح من ، يمكننا إيجاد قياس أصغر زاوية موجبة مكافئة للزاوية الموضَّحة؛ ألا وهو:

مثال ٥: إيجاد عدة زوايا مكافئة

أوجد زاويتين مُكافِئتين للزاوية التي قياسها ، إحداهما موجبة والأخرى سالبة.

الحل

تذكَّر أن الزوايا المتكافئة هي زوايا، في الوضع القياسي على المستوى الإحداثي، يكون لها الضلع النهائي نفسه. نبدأ بإيجاد زاوية سالبة مكافئة للزاوية التي قياسها .

تذكَّر أن الزوايا الموجبة في الوضع القياسي على المستوى الإحداثي تُقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، وتُقاس الزوايا السالبة في اتجاه دوران عقارب الساعة. يمكننا استخدام هذه الحقيقة، إلى جانب حقيقة أن الزوايا المتكافئة تتشارك في الضلع النهائي نفسه، لرسم الزاوية التي قياسها وزاوية سالبة مكافئة لها، كما هو موضَّح فيما يلي:

لاحِظ أن الزاويتين تشتركان في ضلع ابتدائي مُنطبِق على الجزء الموجب من المحور ، كما تشتركان في رأس يقع عند نقطة الأصل. تذكَّر أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة ما يساوي ؛ ومن ثَمَّ، لإيجاد قياس زاوية سالبة مكافئة للزاوية التي قياسها ، يمكننا البدء بطرح من ، لنحصل على:

وبما أن الزاوية المكافئة السالبة تُقاس في اتجاه دوران عقارب الساعة، إذن يمكننا القول إن قياسها هو .

بعد ذلك، هيا نُوجِد قياس زاوية موجبة مكافئة للزاوية التي قياسها . ولفعل ذلك، نتذكَّر حقيقة أن الدورة الكاملة الواحدة حول نقطة ما قياسها . بعد تدوير الضلع النهائي لزاوية في الوضع القياسي على المستوى الإحداثي بمقدار عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول نقطة الأصل، ثم تدويره بمقدار درجة إضافية حول نقطة الأصل عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، يُصبح الضلع النهائي في الموضع نفسه الذي كان فيه قبل الدوران الإضافي بمقدار . بعبارة أخرى، تكون الزاوية الناتجة مكافئة للزاوية التي قياسها . وهذا موضَّح في الشكلين الآتيين:

وبناءً على ذلك، لإيجاد قياس زاوية موجبة مكافئة للزاوية التي قياسها ، يمكننا إضافة إلى ، لنحصل على:

باختصار، يمكننا القول إن قياس إحدى الزوايا الموجبة المكافئة للزاوية التي قياسها يساوي ، وقياس إحدى الزوايا السالبة المكافئة للزاوية التي قياسها يساوي .

مثال ٦: تحديد الربع الذي تقع فيه الزاوية

في أيِّ ربع تقع الزاوية التي قياسها ؟

الحل

تذكَّر أن المستوى الإحداثي مقسَّم إلى أربع مناطق، تُسمَّى الأرباع. ونُرقِّم الأرباع عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بالتمثيل العددي الروماني. الربع العلوي الأيمن يُسمَّى الربع I، والربع العلوي الأيسر يُسمَّى الربع II، والربع السفلي الأيسر يُسمَّى الربع III، والربع السفلي الأيمن يُسمَّى الربع IV، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

إن الربع الذي تقع فيه الزاوية هو الربع الذي يقع فيه الضلع النهائي عندما تكون الزاوية في الوضع القياسي. ومن ثَمَّ، لإيجاد الربع الذي تقع فيه الزاوية التي قياسها ، علينا رسم الزاوية في الوضع القياسي.

ونحن نعلم أن الضلع الابتدائي لأيِّ زاوية في الوضع القياسي لا بد أن يكون مُنطبِقًا على الجزء الموجب من المحور ، ولا بد أن يقع رأسها عند نقطة الأصل. كما نعرف أن الزاوية تُقاس في اتجاه دوران عقارب الساعة؛ لأن قياسها يساوي عددًا سالبًا من الدرجات.

وبما أن لدينا في دورة كاملة حول نقطة الأصل، إذن يمكننا حساب عدد الدرجات في ربع دورة، ليكون . وهذا يعني أنه بعد تدوير ضلع الزاوية النهائي بمقدار في اتجاه دوران عقارب الساعة، بدءًا من الجزء الموجب من المحور ، يَنطبق على الجزء السالب من المحور ؛ وهو ما يُعطينا الزاوية الربعية التي قياسها .

وبالمثل، بعد تدويره بمقدار في اتجاه دوران عقارب الساعة، ينطبق على الجزء السالب من المحور ؛ وهو ما يُعطينا الزاوية الربعية التي قياسها ، وبعد تدويره بمقدار في اتجاه دوران عقارب الساعة، ينطبق على الجزء الموجب من المحور ؛ وهو ما يُعطينا الزاوية الربعية التي قياسها . وتدوير الضلع النهائي بمقدار في اتجاه دوران عقارب الساعة بدءًا من الجزء الموجب من المحور يُعيده مُنطبِقًا على الجزء الموجب من المحور ؛ وهو ما يُعطينا الزاوية الربعية التي قياسها ، كما هو موضَّح بالشكل.

وهذا يخبرنا أن:

• أيَّ زاوية قياسها بين و سيقع ضلعها النهائي في الربع IV.
• أيَّ زاوية قياسها بين و سيقع ضلعها النهائي في الربع III.
• أيَّ زاوية قياسها بين و سيقع ضلعها النهائي في الربع II.
• أيَّ زاوية قياسها بين و سيقع ضلعها النهائي في الربع I.

ومن ثَمَّ، تبدو الزاوية التي قياسها على النحو الآتي:

وعليه، بما أن قياس الزاوية بين و، إذن نعلم أن الزاوية تقع في الربع II، أو الربع الثاني.