شارح الدرس: تركيب التحويلات الهندسية للدوال الرياضيات

مثال ١: إيجاد معادلة تمثيل بياني بعد تركيب من انعكاس وانتقال أفقي ورأسي

إذا انعكس التمثيل البياني الآتي حول المحور ، ثم أُزيح إلى اليسار بمقدار وحدة واحدة، ولأسفل بمقدار ٣ وحدات، فما معادلة التمثيل البياني الجديد؟

الحل

نتذكَّر أن الانعكاس في المحور يناظِر التحويل الجبري . وبما أن التحويل في ينطبق على الدالة مباشرةً، فهذا يغيِّر الدالة إلى:

بعد ذلك، نطبِّق الانتقالين. الانتقالات عبارة عن تحويلات هندسية ناتجة عن عمليات جمع. الإضافة إلى المتغيِّر تؤدي إلى انتقال أفقي، والإضافة إلى الدالة تؤدي إلى انتقال رأسي.

بعدما استنتجنا التعبير السابق، ، نُقِل هذا التمثيل البياني إلى اليسار بمقدار وحدة واحدة، ولأسفل بمقدار ٣ وحدات. لعلنا نتذكَّر قواعد التحويل الآتية. لأيِّ ثابت موجب ، يتحقَّق الآتي:

• يَنتج عنه انتقال إلى اليسار بمقدار وحدة،
• يَنتج عنه انتقال لأسفل بمقدار وحدة.

وبما أننا نريد نقل التمثيل البياني للدالة إلى اليسار بمقدار وحدة واحدة، ولأسفل بمقدار ٣ وحدات، فسنحتاج إلى كلا التحويلين ، . إن تطبيق التحويل على يؤدِّي إلى:

بعد ذلك، نحتاج إلى تطبيق التحويل على التعبير السابق. وهذا يُعطينا المعادلة:

هيا نتصوَّر هذه العملية باستخدام التمثيلات البيانية لهذه الدوال.

يوضِّح الشكل السابق تسلسل هذه التحويلات. السهم الدائري الأسود الذي يمر فوق المحور يمثِّل الانعكاس حول المحور ، وهو ما يؤدِّي إلى . السهم الأخضر هو الانتقال إلى اليسار بمقدار وحدة واحدة، ما يؤدِّي إلى الدالة . السهم البنفسجي هو الانتقال لأسفل بمقدار ٣ وحدات، ما يؤدِّي إلى الدالة .

ومن ثَمَّ، تكون معادلة التمثيل البياني الجديد الناتجة عن التركيب المُعطى للتحويلات التي أُجريت على هي:

مثال ٢: تمثيل دالة بيانيَّا يتضمَّن تحويلات مركَّبة للتمثيلات البيانية

تمدَّدت الدالة في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس يساوي ٢، ثم انعكست حول المحور . اكتب معادلة الدالة بعد التحويل .

الحل

نتذكَّر أن التمدُّد في الاتجاه الرأسي يناظر ضربًا للدالة، وأن الانعكاس حول المحور يأتي من عكس إشارة المتغيِّر . في هذا المثال، يأتي التمدُّد الرأسي بمعامل قياس يساوي ٢ من التحويل الجبري ، ويأتي الانعكاس حول المحور من التحويل .

هيا نطبِّق أولًا التحويل على الدالة المُعطاة، . ضرب في ٢ يؤدِّي إلى المقدار:

بعد ذلك، نطبِّق التحويل . ونحن نعلم أن التحويلات في المتغيِّر تُطبَّق مباشرةً؛ لذا نحصل على:

هيا نتصوَّر هذه العملية باستخدام التمثيلات البيانية لهذه الدوال.

يوضِّح الشكل السابق تسلسل هذه التحويلات. يوضِّح السهم الأخضر تمدُّدًا رأسيًّا بمعامل قياس يساوي ٢، ويؤدِّي ذلك إلى الدالة . ويمثِّل السهم البنفسجي ذو الرأسين الانعكاس حول المحور ، ما يؤدِّي إلى الدالة .

ومن ثَمَّ، معادلة الدالة الجديدة بعد التحويل هي:

مثال ٣: تمثيل دالة بيانيًّا يتضمَّن تحويلات مركَّبة لتمثيلات بيانية

الرسم البياني للدالة ينعكس بالتماثل حول المحور ، ثم ينتقل وحدتين لأعلى و٣ وحدات لليمين، ثم أخيرًا يتمدَّد أفقيًّا بمقدار وحدتين للحصول على الرسم البياني للدالة . اكتب معادلة للدالة .

الحل

في هذا المثال، علينا تطبيق أربعة تحويلات هندسية مختلفة، وهي: انعكاس حول المحور ، وانتقال لأعلى، وانتقال إلى اليمين، وتمدُّد أفقي بمعامل قياس يساوي ٢. لعلنا نتذكَّر التحويلات الجبرية المرتبطة بهذه التأثيرات.

• يَنتج عنه انعكاس حول المحور ،
• يَنتج عنه انتقال لأعلى بمقدار وحدتين،
• يَنتج عنه انتقال إلى اليمين بمقدار ٣ وحدات،
• يَنتج عنه تمدُّد أفقي بمعامل قياس يساوي ٢.

هيا نطبِّق هذه التحويلات على بالترتيب المُعطى. بما أننا نبدأ بانعكاسٍ بالتماثل حول المحور ، إذن نطبِّق أولًا التحويل الجبري على الدالة . ونحن نعلم أن التحويل في المتغيِّر يُطبَّق مباشرةً؛ لذا، يمكننا الحصول على هذا التحويل بالتعويض بـ في التعبير . وهذا يُعطينا الآتي.

التحويل الثاني هو الانتقال لأعلى بمقدار وحدتين، وهو ما يناظِر . نُضيف ٢ إلى التعبير السابق للحصول على الآتي.

بعد ذلك، نحتاج إلى نقل التمثيل البياني إلى اليمين بمقدار ٣ وحدات، وهو ما يتطلَّب . بتطبيق هذا التحويل مباشرةً على المتغيِّر في التعبير السابق، نحصل على ، الذي يُبسَّط إلى:

وأخيرًا، نمدِّد التمثيل البياني أفقيًّا بمعامل قياس يساوي ٢، وهو ما يتطلَّب التحويل . بتطبيق هذا التحويل مباشرةً على المتغيِّر في التعبير السابق، نحصل على الآتي.

ومن ثَمَّ، معادلة الدالة الناتجة هي:

مثال ٤: التحويلات الهندسية المركَّبة للتمثيلات البيانية

هذا هو التمثيل البياني للدالة الأسية .

أيٌّ من الآتي يمثِّل تمثيلًا بيانيًّا للدالة ؟

الحل

لتحديد التمثيل البياني للدالة نحتاج إلى تتبُّع تركيب التحويلات اللازمة وترتيبها عكسيًّا للحصول على التعبير من . نبدأ بملاحظة السمات الرئيسية للتعبير الناتج .

• يوجد العدد ٤ خارج الدالة. يمكننا أيضًا كتابة التعبير المُعطى على الصورة ؛ حيث يمكننا ملاحظة التحويل . ويَنتج عن هذا التحويل انتقال لأعلى بمقدار ٤ وحدات.
• توجد إشارة سالبة أمام الدالة ، وذلك يُشير إلى التحويل . وينتج عن هذا التحويل انعكاس حول المحور .
• الموجودة في حل محلها . وهذا يُشير إلى التحويل المناظر للانكماش الأفقي بمعامل القياس .

ومن ثَمَّ، فإن التحويلات الجبرية المستخدَمة للحصول على الدالة من هي:

هيا نطبِّق هذه التحويلات بالترتيب الموضَّح لنرى إذا ما كنا سنحصل على التعبير المُعطى. تطبيق على الدالة يؤدِّي إلى:

وتطبيق على هذا التعبير يُعطينا ، وهذا يؤدِّي إلى:

وأخيرًا، تطبيق يُعطينا:

يَنتج عن ترتيب التحويلات هذا تعبير مختلف عن ، وهو ما يخبرنا بأن هذا ترتيب خطأ. لكن، من هذا التسلسل، يمكننا ملاحظة أن تطبيق قبل نتج عنه تغيير خارج الدالة إلى ، ما أدى إلى تعبير مختلف عن التعبير المُعطى. ومن ثَمَّ، يجب أن نطبِّق أولًا، ثم نطبِّق لتجنُّب تغيير إشارة العدد ٤.

هيا نجرِّب الترتيب الآتي:

إن تطبيق على يؤدِّي إلى:

وتطبيق على هذا التعبير يُعطينا:

وأخيرًا، تطبيق يُعطينا: وهذا هو التعبير المُعطى نفسه، . ومن ثَمَّ، فإن هذا هو الترتيب الصحيح للتحويلات. هيا نفسِّر ترتيب التحويلات هذا هندسيًّا. بما أننا طبَّقنا أولًا، نبدأ بعكس التمثيل البياني لـ حول المحور .

التحويل الثاني هو ؛ لذلك ننقل التمثيل البياني المنعكس بمقدار ٤ وحدات.

والتحويل الأخير هو ؛ لذلك نجعل التمثيل البياني ينكمش بمعامل قياس .

ومن ثَمَّ، فإن التمثيل البياني للدالة هو (ب).

مثال ٥: تحديد الدالة الأصلية من تمثيل بياني مُعطى بعد التحويل

يمثِّل التمثيل البياني الدالة ، بعد الإزاحة الرأسية الموجبة بمقدار ٣ وحدات، ويليها انعكاس حول المحور . أيٌّ من الآتي يُمثِّل الدالة الأصلية ؟

الحل

بما أن الدالة مستنتَجة من بعد تطبيق التحويلين المُعطيين، إذن يمكننا استرجاع الدالة الأصلية من من خلال عكس التحويلات، بدءًا بالتحويل الثاني. سيَنتج عن هذه العملية في صورة تعبير يتضمَّن . ويمكننا إنهاء هذه المسألة بإيجاد معادلة .

التحويل الثاني هو الانعكاس حول المحور ، وهو ما يمكن عكسه بواسطة التحويل نفسه. الانعكاس حول المحور يأتي من التحويل الجبري . وبتطبيق هذا التحويل على ، نحصل على:

بعد ذلك، نعكس التحويل الأول الذي يتمثَّل في انتقال رأسي موجب بمقدار ٣ وحدات. ويُعكَس هذا التحويل بانتقال رأسي سالب (أو لأسفل) بمقدار ٣ وحدات، وهو يناظِر جبريًّا. وبتطبيق هذا التحويل على التعبير السابق، نحصل على:

وبما أننا عكسنا كلا التحويلين، إذن لا بد أن يساوي ذلك الدالة التي نريدها. ومن ثَمَّ:

بعد ذلك، علينا إيجاد معادلة . من التمثيل البياني المُعطى، يمكننا ملاحظة أن تأتي من الدالة الأصلية . نرى من الشكل الآتي انعكاسًا حول المحور يجعل التمثيلين البيانيين أكثر تشابهًا.

والانعكاس حول المحور يأتي من التحويل ؛ ومن ثَمَّ، يؤدِّي هذا إلى المعادلة ، كما هو موضَّح في الشكل. من التمثيل البياني لـ ، يمكننا الحصول على التمثيل البياني لـ بالانتقال إلى اليمين بمقدار وحدة واحدة، ثم الانتقال لأسفل بمقدار ٥ وحدات.

التحويل يَنتج عنه الانتقال إلى اليمين بمقدار وحدة واحدة، والتحويل يَنتج عنه الانتقال بمقدار ٥ وحدات لأسفل. بتطبيق هذين التحويلين بالترتيب، نحصل على:

ومن ثَمَّ، نحصل على:

وأخيرًا، يمكننا التعويض بهذه المعادلة في العلاقة بين ، التي توصَّلنا إليها سابقًا:

هذا يقودنا إلى الخيار (ج).

مثال ٦: تحديد التراكيب المتكافئة لتحويلات الدالة

معادلة المستقيم الأحمر في الشكل هي ، ومعادلة المستقيم الأخضر هي . أيٌّ من الآتي لا يؤدِّي إلى تحويل التمثيل البياني للدالة إلى التمثيل البياني للدالة ؟

1. انعكاس في المحور .
2. إزاحة أفقية بمقدار ٤ وحدات إلى اليمين، يليها انعكاس في المحور .
3. انعكاس في المحور ، تليه إزاحة أفقية بمقدار ٤ وحدات إلى اليسار.
4. إزاحة رأسية بمقدار ٤ وحدات لأسفل، يليها انعكاس في المحور .

الحل

سنطبِّق جميع التحويلات على المستقيم الأحمر لنرى إذا ما كانت الصورة الناتجة تتداخل مع المستقيم الأخضر. وبما أن الخط المستقيم يُعرَّف تعريفًا كاملًا بنقطتين مختلفتين، فسيكون كافيًا إذا نَقلت التحويلات نقطتين مختلفتين من المستقيم الأحمر إلى المستقيم الأخضر.

1. نعكس المستقيم الأحمر حول المحور .

   

   في الشكل السابق، يمثِّل السهم المار عبر المحور الانعكاس حول المحور . يمكننا أن نلاحظ أن الانعكاس يَنقل نقطتين مختلفتين من الخط الأحمر إلى الخط الأخضر. وبذلك، فإن هذا التحويل ينقل التمثيل البياني لـ إلى التمثيل البياني لـ .
2. ننتقل ٤ وحدات إلى اليمين، ثم نعكس حول المحور .

   

   في الشكل السابق، يمثِّل السهم المستقيم الانتقال، ويمثِّل السهم الدائري حول المحور الانعكاس حول المحور . يمكننا أن نلاحظ أن التحويلين ينقلان نقطتين مختلفتين من الخط الأحمر إلى الخط الأخضر. ومن ثَمَّ، فإن هذا الخيار يحوِّل أيضًا التمثيل البياني لـ إلى التمثيل البياني لـ .
3. نعكس حول المحور ، ثم ننتقل إلى اليسار بمقدار ٤ وحدات.

   

   يمكننا أن نلاحظ أن التحويلين ينقلان نقطتين مختلفتين من الخط الأحمر إلى الخط الأخضر. ومن ثَمَّ، فإن هذا الخيار يحوِّل أيضًا التمثيل البياني لـ إلى التمثيل البياني لـ .
4. ننتقل لأسفل بمقدار ٤ وحدات، ثم نعكس حول المحور .

   

   لم تَنتقل أيٌّ من النقطتين المحدَّدتين من الخط الأحمر إلى الخط الأخضر. ومن ثَمَّ، فإن التحويلين لا يحوِّلان التمثيل البياني لـ إلى التمثيل البياني لـ .

وهذا يقودنا إلى الخيار (د).