شارح الدرس: التحليل البُعدي الفيزياء • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد أبعاد الكميات الفيزيائية بمعلومية العلاقة بين تلك الكميات وكميات أخرى معروفة.

تذكَّر أن القياسات الفيزيائية تتكوَّن من جزأين: قيمة، ووحدة. تخبرنا الوحدة ماذا لدينا، وتخبرنا القيمة كم لدينا من هذا الشيء.

على سبيل المثال، إذا كان قياس كمية معيَّنة «10 m»، فالقيمة 10، والوحدة هي المتر. بعبارة أخرى، قياس الكمية هو عدد من الأمتار، وبالتحديد 10.

ترتبط القياسات عادةً بكميات فيزيائية حقيقية. يمكننا قياس متوسط المسافة من الأرض إلى الشمس باعتباره 1 AU (وحدة فلكية). وهذه المسافة محدَّدة في الشكل الآتي.

وبالمثل، في الشكل التالي، حدَّدنا المسافة بين الذرات في البلورة بـ 4 nm.

من ناحية أخرى، يمكننا قياس الفترة المدارية للأرض باعتبارها 365.24 يومًا، واليوم الواحد يساوي 86‎ ‎400 s.

هيا نركِّز جيدًا على القياسات الأربعة التي ذكرناها للتو:

كل قياسٍ منها يتكوَّن من قيمة ووحدة، وكل الوحدات مختلفة. لكن، مع أن الوحدات مختلفة، يمكننا بديهيًّا ملاحظة علاقة بين أول كميتين، وكذلك آخر كميتين. 1 AU و4 nm يمثِّل كلٌّ منهما قياسًا للمسافة. وبالفعل، كان بإمكاننا قياس المسافة من الأرض إلى الشمس بالنانومتر (nm) بدلًا من الوحدة الفلكية (AU). وبالمثل، كان يمكننا قياس السنة الواحدة بالثانية بدلًا من اليوم؛ لأن اليوم والثانية كلاهما يمثِّل مدة زمنية.

ومع ذلك، من غير المنطقي قياس المسافة بين الذرات باليوم أو الفترة المدارية بالنانومتر؛ لأن النانومتر ليس وحدة زمن، واليوم ليس وحدة مسافة.

نلاحظ أنه يمكننا أحيانًا، وليس دائمًا، استخدام وحدات مختلفة لوصف الكمية الفيزيائية نفسها. سنحدِّد تَوافق الوحدات بمفهوم البُعد.

وقد تناولنا بالفعل بُعدَين من الأبعاد الأساسية: الطول والزمن. نستخدم الرمز لتمثيل الطول، والرمز لتمثيل الزمن.

هيا نطبِّق هذه الفكرة على الكميات التي ذكرناها من قبل. 1 AU المسافة بين الأرض والشمس، و4 nm المسافة بين الذرات في البلورة، كلاهما قياس للطول. ولذا، فإن بُعد الكمية 1 AU هو ، وبُعد الكمية 4 nm هو أيضًا . من ناحية أخرى، بُعد الكمية 365.24 يومًا هو ، الذي هو أيضًا بُعد الكمية 86‎ ‎400 s.

الأقواس المربعة حول الكمية تُشير إلى أن ما يعنينا هنا هو بُعدها فقط. إذن يمكننا كتابة: و:

ثمة نقطتان مهمتان يجب أن نلاحظهما هنا. أولًا، تَصِف العديد من الوحدات المختلفة كميات لها البُعد نفسه. ثانيًا، نظرًا لأن العديد من الوحدات لها البُعد نفسه، عند التفكير في أبعاد كمية ما، لا نفكر في الكم كما فعلنا مع الوحدات. وهذا لأن العدد الذي يمثِّل الكم يتغيَّر بناءً على اختيارنا للوحدة، لكن الأبعاد تَصِف الكمية الفيزيائية بطريقة لا علاقة لها باختيار الوحدة.

قبل أن نتناول المثال الأول، نتناول باختصار كيفية دمج الأبعاد.

دمج الأبعاد للحصول على أبعاد أخرى عملية مماثلة لدمج الوحدات لتكوين وحدات أخرى. على سبيل المثال، لتمثيل المساحة، قد نختار استخدام وحدة المتر المربع (m²). تتكوَّن هذه الوحدة من ضرب نسختين من وحدة المتر:

لإيجاد أبعاد m²، نلاحظ ببساطة أن:

لذا، كما هو متوقَّع من قواعد دمج الوحدات، نستنتج أن أبعاد مربع وحدة طول يكون له أبعاد الطول تربيع.

يمكننا أيضًا تكوين أبعاد عن طريق القسمة، تمامًا مثل الوحدات. الفرق الوحيد بينهما هو أن الأبعاد تمثَّل عادةً بأسس سالبة بدلًا من الكسور. على سبيل المثال، الوحدة المعتادة للسرعة هي كيلومتر لكل ساعة. والكيلومتر له البُعد ؛ لأنه وحدة طول، والساعة لها البُعد ؛ لأنها وحدة زمن. يمكننا عادةً كتابة الوحدة كيلومتر لكل ساعة على الصورة: لكن سنكتب أبعادها: حيث نكتب بدلًا من .

بوضع كل هذا في الاعتبار، هيا نتناول المثال الأول.

في نهاية هذا المثال، نحصل على الوحدة متر لكل ثانية مربعة (m/s²)، وهي بالضبط وحدة العجلة. علاوةً على ذلك، عرفنا أن الأبعاد المناظرة لهذه الوحدة هي . لكن تذكَّر أن الأبعاد تَصِف الكمية دون النظر إلى الوحدات المختارة؛ أي في الواقع هي أبعاد العجلة دون النظر إلى اختيارنا للوحدات.

لقد أوجدنا وحدات لقياس الكمية بمعلومية أبعاد الكمية. في المثال التالي، سنفعل العكس، نُوجِد أبعاد كمية من الوحدات التي قد نستخدمها لقياسها. نُوجِد أبعاد الكميات التي تحتوي على كتلة. نستخدم الرمز لأبعاد الكتلة.

قبل هذا المثال الأخير، ذكرنا بُعد الكتلة . احتجنا إلى رمزٍ جديدٍ للكتلة؛ لأنه لا تُوجَد تركيبة من الأطوال والأزمان يمكن أن تمثِّل الكتلة تمثيلًا صحيحًا. وبالمثل، نريد التعامل مع الكميات الفيزيائية المتعلِّقة بالتيار الكهربي. فلا تُوجَد تجميعة من و و يمكن أن تُعطينا بُعدًا لشدة التيار؛ لذا نحتاج مرة أخرى إلى رمزٍ جديدٍ. هذه المرة نستخدم الحرف .

يوضِّح لنا المثال التالي كيفية استخدام هذا البُعد الجديد في سياق إيجاد الأبعاد الكلية.

بالإضافة إلى التعامل مع المقادير البسيطة التي تتضمَّن و و و يمكننا أيضًا إيجاد أبعاد الكميات الفيزيائية الأخرى مثل القوة. تذكَّر أن قانون نيوتن الثاني يربط بين القوة ()، والكتلة ()، والعجلة () بالعلاقة:

ونحن نعرف بالفعل أن ، وأن هو ببساطة ، وهو يُعَد بُعد الكتلة الذي ذكرناه للتو. إذن، باتباع قواعد دمج الأبعاد:

باستعمال معادلة فيزيائية معروفة، أوجدنا الأبعاد المركبة للقوة. في الواقع، يمكننا دائمًا استخدام الصيغ والمعادلات المناسبة لاستنتاج أبعاد الكميات المجهولة؛ لأنه لكي تكون المعادلة صحيحة، يجب أن تتطابق أبعاد طرفَي المعادلة.

نتناول مثالًا نستخدم فيه هذا المبدأ.

في هذا المثال، تناولنا البُعدَيْن المركبين و، اللذين استنتجنا أنهما مكافئان للعدد واحد بلا أبعاد. وهذا الاستنتاج يَنتج مباشرةً عن المتطابقة لأي كمية ، ويقودنا أيضًا إلى تعريف مهم آخر.

قد تكون أبسط كمية بلا أبعاد هي نسبة الأبعاد في المستطيل، المعرَّفة بأنها طول المستطيل مقسومًا على عرضه. وبما أن ، إذن يجب ألَّا يكون لها أبعاد؛ بعبارة أخرى، يجب أن تكون بلا أبعاد. إذن، إذا كان لدينا مستطيلان لهما نفس نسبة الأبعاد، لكنهما مختلفان في الطول، فمثلًا طول الأول 1 m، وطول الثاني 1 km، فسيبدوان بالشكل نفسه.

تلعب الكميات التي بلا أبعاد دورًا مهمًّا في الفيزياء؛ لأن قوانين الفيزياء تعتمد عادةً على القيم النسبية، وليس المطلقة. على سبيل المثال، إذا كان لوحٌ سينثني عند تعليقه أفقيًّا، فذلك يتوقَّف على نسبة أبعاده وليس على قيمتَي الطول والعرض. في الصورة السابقة، اللوح الموجود على اليسار أقصر من اللوح الموجود على اليمين، لكن نسبة الأبعاد في اللوح الأيمن أصغر بكثير من اللوح الأيسر. واللوح الذي له نسبة أكبر بين أبعاده سينثني أكثر بفعل قوة الجاذبية.

في هذا المثال، نستخدم ما تعلَّمناه لإيجاد بُعد مركبة واحدة لكمية بلا أبعاد.

والآن، بعد أن تناولنا عدة أمثلة، نراجع ما تعلَّمناه.