شارح الدرس: التحليل البُعدي الفيزياء

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد أبعاد الكميات الفيزيائية بمعلومية العلاقة بين تلك الكميات وكميات أخرى معروفة.

تذكَّر أن القياسات الفيزيائية تتكوَّن من جزأين: قيمة، ووحدة. تخبرنا الوحدة ماذا لدينا، وتخبرنا القيمة كم لدينا من هذا الشيء.

على سبيل المثال، إذا كان قياس كمية معيَّنة «10 m»، فالقيمة 10، والوحدة هي المتر. بعبارة أخرى، قياس الكمية هو عدد من الأمتار، وبالتحديد 10.

ترتبط القياسات عادةً بكميات فيزيائية حقيقية. يمكننا قياس متوسط المسافة من الأرض إلى الشمس باعتباره 1 AU (وحدة فلكية). وهذه المسافة محدَّدة في الشكل الآتي.

وبالمثل، في الشكل التالي، حدَّدنا المسافة بين الذرات في البلورة بـ 4 nm.

من ناحية أخرى، يمكننا قياس الفترة المدارية للأرض باعتبارها 365.24 يومًا، واليوم الواحد يساوي 86‎ ‎400 s.

هيا نركِّز جيدًا على القياسات الأربعة التي ذكرناها للتو: 1,4,365.24,86400.AUnmsم

كل قياسٍ منها يتكوَّن من قيمة ووحدة، وكل الوحدات مختلفة. لكن، مع أن الوحدات مختلفة، يمكننا بديهيًّا ملاحظة علاقة بين أول كميتين، وكذلك آخر كميتين. 1 AU و4 nm يمثِّل كلٌّ منهما قياسًا للمسافة. وبالفعل، كان بإمكاننا قياس المسافة من الأرض إلى الشمس بالنانومتر (nm) بدلًا من الوحدة الفلكية (AU). وبالمثل، كان يمكننا قياس السنة الواحدة بالثانية بدلًا من اليوم؛ لأن اليوم والثانية كلاهما يمثِّل مدة زمنية.

ومع ذلك، من غير المنطقي قياس المسافة بين الذرات باليوم أو الفترة المدارية بالنانومتر؛ لأن النانومتر ليس وحدة زمن، واليوم ليس وحدة مسافة.

نلاحظ أنه يمكننا أحيانًا، وليس دائمًا، استخدام وحدات مختلفة لوصف الكمية الفيزيائية نفسها. سنحدِّد تَوافق الوحدات بمفهوم البُعد.

تعريف: البُعد

أبعاد الكمية الفيزيائية تَصِف نوع الكمية الموجودة لدينا، دون النظر إلى اختيار وحدة بعينها. ونحصل على أبعاد الكميات الأكثر تعقيدًا عبر تجميع أبعاد الكميات الأساسية بطريقة تناظر تجميع وحداتها.

وقد تناولنا بالفعل بُعدَين من الأبعاد الأساسية: الطول والزمن. نستخدم الرمز 𝐿 لتمثيل الطول، والرمز 𝑇 لتمثيل الزمن.

هيا نطبِّق هذه الفكرة على الكميات التي ذكرناها من قبل. 1 AU المسافة بين الأرض والشمس، و4 nm المسافة بين الذرات في البلورة، كلاهما قياس للطول. ولذا، فإن بُعد الكمية 1 AU هو 𝐿، وبُعد الكمية 4 nm هو أيضًا 𝐿. من ناحية أخرى، بُعد الكمية 365.24 يومًا هو 𝑇، الذي هو أيضًا بُعد الكمية 86‎ ‎400 s.

الأقواس المربعة حول الكمية تُشير إلى أن ما يعنينا هنا هو بُعدها فقط. إذن يمكننا كتابة: [1]=[4]=𝐿AUnm و: 365.24=[86400]=𝑇.ًs

ثمة نقطتان مهمتان يجب أن نلاحظهما هنا. أولًا، تَصِف العديد من الوحدات المختلفة كميات لها البُعد نفسه. ثانيًا، نظرًا لأن العديد من الوحدات لها البُعد نفسه، عند التفكير في أبعاد كمية ما، لا نفكر في الكم كما فعلنا مع الوحدات. وهذا لأن العدد الذي يمثِّل الكم يتغيَّر بناءً على اختيارنا للوحدة، لكن الأبعاد تَصِف الكمية الفيزيائية بطريقة لا علاقة لها باختيار الوحدة.

قبل أن نتناول المثال الأول، نتناول باختصار كيفية دمج الأبعاد.

دمج الأبعاد للحصول على أبعاد أخرى عملية مماثلة لدمج الوحدات لتكوين وحدات أخرى. على سبيل المثال، لتمثيل المساحة، قد نختار استخدام وحدة المتر المربع (m2). تتكوَّن هذه الوحدة من ضرب نسختين من وحدة المتر: mmm×=.

لإيجاد أبعاد m2، نلاحظ ببساطة أن: =[]×[]=𝐿×𝐿=𝐿.mmm

لذا، كما هو متوقَّع من قواعد دمج الوحدات، نستنتج أن أبعاد مربع وحدة طول يكون له أبعاد الطول تربيع.

يمكننا أيضًا تكوين أبعاد عن طريق القسمة، تمامًا مثل الوحدات. الفرق الوحيد بينهما هو أن الأبعاد تمثَّل عادةً بأسس سالبة بدلًا من الكسور. على سبيل المثال، الوحدة المعتادة للسرعة هي كيلومتر لكل ساعة. والكيلومتر له البُعد 𝐿؛ لأنه وحدة طول، والساعة لها البُعد 𝑇؛ لأنها وحدة زمن. يمكننا عادةً كتابة الوحدة كيلومتر لكل ساعة على الصورة: kmh لكن سنكتب أبعادها: =𝐿𝑇,kmh حيث نكتب 𝑇 بدلًا من 1𝑇.

بوضع كل هذا في الاعتبار، هيا نتناول المثال الأول.

مثال ١: إيجاد الوحدات من الأبعاد

كمية أبعادها 𝐿𝑇. أيٌّ من وحدات النظام الدولي يمكن قياس هذه الكمية بها؟

الحل

الأبعاد المُعطاة لنا تتكوَّن من بُعد 𝐿 للطول وبُعد 𝑇 للزمن. لتحديد وحدة النظام الدولي المناسِبة التي تحتوي على الأبعاد المطلوبة 𝐿𝑇، علينا تحديد وحدة مناسبة لكلٍّ من البُعدين الأساسين 𝐿 و𝑇 كلٌّ على حدة.

تذكَّر أن المتر هو وحدة النظام الدولي للكميات الفيزيائية التي لها بُعد الطول. تذكَّر أيضًا أن الثانية هي وحدة النظام الدولي للكميات الفيزيائية التي لها بُعد الزمن.

نتذكَّر الآن أن الأبعاد تُدمج تمامًا مثل الوحدات. إذن، لتكوين الوحدة المطلوبة، علينا الجمع بين المتر والثانية بالطريقة نفسها التي نجمع بها بين 𝐿 و𝑇 في 𝐿𝑇. هنا لدينا 𝐿 مقسومًا على 𝑇 تربيع، إذن لا بد أن تكون الوحدات المناظرة مترًا مقسومًا على ثانية مربعة، أو m/s2.

في نهاية هذا المثال، نحصل على الوحدة متر لكل ثانية مربعة (m/s2)، وهي بالضبط وحدة العجلة. علاوةً على ذلك، عرفنا أن الأبعاد المناظرة لهذه الوحدة هي 𝐿𝑇. لكن تذكَّر أن الأبعاد تَصِف الكمية دون النظر إلى الوحدات المختارة؛ أي في الواقع 𝐿𝑇 هي أبعاد العجلة دون النظر إلى اختيارنا للوحدات.

لقد أوجدنا وحدات لقياس الكمية بمعلومية أبعاد الكمية. في المثال التالي، سنفعل العكس، نُوجِد أبعاد كمية من الوحدات التي قد نستخدمها لقياسها. نُوجِد أبعاد الكميات التي تحتوي على كتلة. نستخدم الرمز 𝑀 لأبعاد الكتلة.

مثال ٢: إيجاد الأبعاد من الوحدات

ما أبعاد كمية يمكن قياسها بوحدة kgm×؟

الحل

الوحدتان الأساسيتان في المقدار المعطى هما كيلوجرام ومتر. الكيلوجرام وحدة للكتلة، إذن البُعد المناظر هو 𝑀. المتر وحدة للطول، إذن البُعد المناظر هو 𝐿.

والآن، بعد أن توصَّلنا إلى الأبعاد المناظرة لكل وحدة أساسية في الكمية، علينا فقط التعويض بها في المقدار المعطى. نحذف kg ونضع مكانها 𝑀، ونحذف m ونضع مكانها 𝐿، فنحصل على: ×=𝑀𝐿.kgm

هذه هي الإجابة.

قبل هذا المثال الأخير، ذكرنا بُعد الكتلة 𝑀. احتجنا إلى رمزٍ جديدٍ للكتلة؛ لأنه لا تُوجَد تركيبة من الأطوال والأزمان يمكن أن تمثِّل الكتلة تمثيلًا صحيحًا. وبالمثل، نريد التعامل مع الكميات الفيزيائية المتعلِّقة بالتيار الكهربي. فلا تُوجَد تجميعة من 𝐿 و𝑇 و𝑀 يمكن أن تُعطينا بُعدًا لشدة التيار؛ لذا نحتاج مرة أخرى إلى رمزٍ جديدٍ. هذه المرة نستخدم الحرف 𝐼.

يوضِّح لنا المثال التالي كيفية استخدام هذا البُعد الجديد في سياق إيجاد الأبعاد الكلية.

مثال ٣: إيجاد الأبعاد الكلية

الكمية 𝑎 أبعادها 𝐼𝑇. الكمية 𝑏 أبعادها 𝑇. ما أبعاد 𝑎×𝑏؟

الحل

باستخدام الأساليب الجبرية لإجراء العمليات الحسابية على الأبعاد: [𝑎×𝑏]=[𝑎]×[𝑏].

بالتعويض بالأبعاد المُعطاة في المسألة: [𝑎]×[𝑏]=𝐼𝑇×𝑇=𝐼𝑇𝑇.

الحد الموضوع بين قوسين، 𝑇𝑇، ليس له أبعاد؛ لأنه يُعادل 𝑇𝑇، ما يُكافئ العدد 1. باستخدام هذه النتيجة: 𝐼𝑇𝑇=𝐼.

نستنتج إذن أن: [𝑎×𝑏]=𝐼.

بالإضافة إلى التعامل مع المقادير البسيطة التي تتضمَّن𝑀 و𝐿 و𝑇 و𝐼 يمكننا أيضًا إيجاد أبعاد الكميات الفيزيائية الأخرى مثل القوة. تذكَّر أن قانون نيوتن الثاني يربط بين القوة (𝐹)، والكتلة (𝑚)، والعجلة (𝑎) بالعلاقة: 𝐹=𝑚𝑎.

ونحن نعرف بالفعل أن [𝑎]=𝐿𝑇، وأن [𝑚] هو ببساطة 𝑀، وهو يُعَد بُعد الكتلة الذي ذكرناه للتو. إذن، باتباع قواعد دمج الأبعاد: =𝑀×𝐿𝑇=𝑀𝐿𝑇.اة

باستعمال معادلة فيزيائية معروفة، أوجدنا الأبعاد المركبة للقوة. في الواقع، يمكننا دائمًا استخدام الصيغ والمعادلات المناسبة لاستنتاج أبعاد الكميات المجهولة؛ لأنه لكي تكون المعادلة صحيحة، يجب أن تتطابق أبعاد طرفَي المعادلة.

نتناول مثالًا نستخدم فيه هذا المبدأ.

مثال ٤: إيجاد أبعاد مجهولة باستخدام معادلة

لدينا الكميات الثلاث 𝑎، 𝑏، 𝑐؛ حيث [𝑎]=𝑀𝐿، [𝑏]=𝑀. إذا كانت 𝑎=𝑏𝑐، فماذا تساوي [𝑐]؟

الحل

خطوتنا الأولى هي تذكُّر أنه إذا تساوت كميتان فيزيائيتان، يجب أن تتطابق أبعادهما. إذن يمكن أن نكتب: [𝑎]=𝑏𝑐.

لدينا في الطرف الأيمن 𝑏𝑐. تذكَّر أن سلوك الأبعاد مماثل لسلوك للوحدات؛ أي إنه يمكننا التعامل معها بنفس طريقة التعامل مع المتغيِّرات الرياضية. بعبارة أخرى، 𝑏𝑐 هو [𝑏][𝑐] نفسه. لكننا نعرف من السؤال أن [𝑎]=𝑀𝐿، [𝑏]=𝑀، إذن لدينا: 𝑀𝐿=𝑀[𝑐].

والآن، كل ما علينا فعله هو حل المعادلة جبريًّا لإيجاد قيمة [𝑐]. بضرب كلا الطرفين في [𝑐]، نحصل على: 𝑀𝐿×[𝑐]=𝑀.

ولجعل [𝑐] في طرف بمفرده، نضرب الطرفين في 𝑀𝐿. وهذا يُعطينا: 𝑀𝐿𝑀𝐿×[𝑐]=𝑀𝐿𝑀.

تذكَّر أن 𝑀 تعني «مقسومًا على 𝑀»، إذن لدينا في الطرف الأيمن 𝑀𝑀×𝐿، التي نلاحظ أنها تكافئ 𝐿 فقط. بدمج الأبعاد على نحو مماثل في الطرف الأيسر، نحصل على: 𝑀𝐿𝑀𝐿×[𝑐]=𝑀𝑀𝐿𝐿×[𝑐].

فكل حد على حدة ليست له أبعاد محصلة؛ بعبارة أخرى، كلٌّ منهما يكافئ العدد 1. إذن: 𝑀𝐿𝑀𝐿×[𝑐]=[𝑐].

بجمع هذا مع العملية الحسابية السابقة، نحصل على الإجابة النهائية: [𝑐]=𝐿.

في هذا المثال، تناولنا البُعدَيْن المركبين 𝑀𝑀 و𝐿𝐿، اللذين استنتجنا أنهما مكافئان للعدد واحد بلا أبعاد. وهذا الاستنتاج يَنتج مباشرةً عن المتطابقة 𝑎=1 لأي كمية 𝑎، ويقودنا أيضًا إلى تعريف مهم آخر.

تعريف: الكميات التي ليس لها أبعاد

الكمية التي ليس لها أبعاد هي تركيب جبري من كميات فيزيائية مرتَّبة؛ بحيث لا تكون لها أبعاد. توفِّر الكميات التي ليس لها أبعاد علاقات لا تعتمد على الوحدات.

قد تكون أبسط كمية بلا أبعاد هي نسبة الأبعاد في المستطيل، المعرَّفة بأنها طول المستطيل مقسومًا على عرضه. وبما أن ==𝐿الاض، إذن الاض يجب ألَّا يكون لها أبعاد؛ بعبارة أخرى، يجب أن تكون بلا أبعاد. إذن، إذا كان لدينا مستطيلان لهما نفس نسبة الأبعاد، لكنهما مختلفان في الطول، فمثلًا طول الأول 1 m، وطول الثاني 1 km، فسيبدوان بالشكل نفسه.

تلعب الكميات التي بلا أبعاد دورًا مهمًّا في الفيزياء؛ لأن قوانين الفيزياء تعتمد عادةً على القيم النسبية، وليس المطلقة. على سبيل المثال، إذا كان لوحٌ سينثني عند تعليقه أفقيًّا، فذلك يتوقَّف على نسبة أبعاده وليس على قيمتَي الطول والعرض. في الصورة السابقة، اللوح الموجود على اليسار أقصر من اللوح الموجود على اليمين، لكن نسبة الأبعاد في اللوح الأيمن أصغر بكثير من اللوح الأيسر. واللوح الذي له نسبة أكبر بين أبعاده سينثني أكثر بفعل قوة الجاذبية.

في هذا المثال، نستخدم ما تعلَّمناه لإيجاد بُعد مركبة واحدة لكمية بلا أبعاد.

مثال ٥: إيجاد الأبعاد التي تجعل كمية مركبة بلا أبعاد

لدينا أربع كميات، 𝑝، 𝑞، 𝑅، 𝑘؛ حيث: [𝑝]=𝐼𝑇𝐿,[𝑞]=𝐼𝑇𝑀,[𝑅]=𝐿𝑀𝑇.

الكمية المركبة 𝑘𝑝𝑞𝑅 بلا أبعاد. ما أبعاد 𝑘؟

الحل

تذكَّر أن الكمية التي بلا أبعاد ليس لها أبعاد كليَّة. جبريًّا، نكتب [𝐷]=1 للكمية التي بلا أبعاد 𝐷. وهذا يمكِّننا من إيجاد أبعاد أي مركبة في 𝐷. المطلوب هنا هو الكمية 𝑘𝑝𝑞𝑅، إذن: 𝑘𝑝𝑞𝑅=1.

وباستخدام حقيقة أن الأبعاد تُدمَج بطريقة شبيهة للمتغيِّرات الجبرية، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: [𝑘][𝑝][𝑞][𝑅]=1, وبضرب الطرفين في [𝑞][𝑅][𝑝] لجعل [𝑘] في طرف بمفرده، نحصل على: [𝑘]=[𝑞][𝑅][𝑝].

وبما أن جميع الكميات الموجودة في الطرف الأيمن مُعطاة، إذن هيا نعوِّض بما لدينا من مُعطيات [𝑝]، [𝑞]، [𝑅]:[𝑘]=𝐼𝑇𝑀𝐿𝑀𝑇𝐼𝑇𝐿.

وبتحويل المقام إلى أسس سالبة، نحصل على: [𝑘]=𝐼𝑇𝑀𝐿𝑀𝑇𝐼𝑇𝐿.

والآن، ندمج الأبعاد باستخدام القواعد المعتادة لضرب الأسس التي لها أساسات متشابهة: 𝐼𝑇𝑀𝐿𝑀𝑇𝐼𝑇𝐿=𝐼𝑇𝐿𝑀=𝐼𝑇𝐿𝑀=[𝑘].()()()()

والآن، بعد أن تناولنا عدة أمثلة، نراجع ما تعلَّمناه.

النقاط الرئيسية

  • يوفِّر البُعد أكثر وصف عام لنوع كمية أو قياسٍ بعينه.
  • الأبعاد الأساسية التي تعلَّمناها هي الطول 𝐿، والكتلة 𝑀، والزمن 𝑇، وشدة التيار، 𝐼.
  • يمكن التعبير عن أبعاد الكميات الأخرى بدلالة هذه الأبعاد الأساسية. على سبيل المثال، أبعاد السرعة هي 𝐿𝑇.
  • كل الوحدات لنفس الكمية تكون لها الأبعاد نفسها.
  • يجب أن تتوافق أبعاد طرفَي أي معادلة فيزيائية صحيحة.
  • الكميات التي بلا أبعاد هي كميات مركبة ليس لها أبعاد كليَّة.

حمِّل تطبيق Nagwa Classes

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق Nagwa Classes اليوم!

التحميل على الحاسوب

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.