تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: صِيَغ المتتابعات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد الحد العام أو الصيغة التكرارية لمتتابعة، وكيف نستخدمها لإيجاد الحدود في المتتابعة.

يمكن وصف أي متتابعة بالحد العام باستخدام دليل الموضع، 𞸍. على سبيل المثال، يمكننا كتابة متتابعة الأعداد الزوجية، ٢،٤،٦،٨،، بدلالة قيم الدليل 𞸍١ هكذا:

الدليل 𞸍١٢٣٤
الحد٢٤٦٨

أيُّ حد في المتتابعة يُكتَب على الصورة 𞸇𞸍. ومن ثَمَّ، يمكن كتابة الحد الأول على الصورة 𞸇١، والحد الثاني على الصورة 𞸇٢، وهكذا.

عند دراسة المتتابعات، نهدف إلى إيجاد قاعدة عامة للمتتابعة؛ بحيث إذا أردنا إيجاد حدٍّ يحتوي على دليل أكبر، يمكننا فعل ذلك من دون كتابة جميع الحدود حتى ذلك الحد المعيَّن. بالنسبة إلى المتتابعة المعطاة، ٢،٤،٦،٨،، يمكننا ملاحظة أن كلَّ حدٍّ في المتتابعة يساوي ضعف دليله.

يمكننا كتابة هذه القاعدة العامة بطريقة رياضية أفضل، تنص على أنه، لأيِّ حد على الصورة 𞸇𞸍؛ حيث 𞸍١: 𞸇=٢𞸍.𞸍

ومن ثَمَّ، لحساب قيمة أيِّ حد معيَّن؛ على سبيل المثال، الحد ٢٣، نعوِّض بالقيمة 𞸍=٣٢ في الحد العام 𞸇=٢𞸍𞸍 لإيجاد قيمة 𞸇٣٢ هكذا: 𞸇=٢×٣٢=٦٤.٣٢

في المثال التالي، نرى كيف يمكننا إيجاد الحدود الخمسة الأولى لمتتابعة مُعطى حدها ا.

مثال ١: إيجاد حدود متتابعة بمعلومية الحد العام

أوجد الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة التي حدها العام يُعطى بالعلاقة 𞸇=𞸍(𞸍٤٣)𞸍؛ حيث 𞸍١.

الحل

في هذا السؤال، لدينا الحد العام أو ا للدليل 𞸍. لإيجاد أيِّ حد في المتتابعة، نعوِّض بقيمة 𞸍 في الحد العام.

إذن، بالنسبة إلى الحد الأول، 𞸇١، نعوِّض بـ 𞸍=١ في 𞸇=𞸍(𞸍٤٣)𞸍 ونبسِّط، لنحصل على: 𞸇=١(١٤٣)=١(٣٣)=٣٣.١

يمكننا الاستمرار لإيجاد الحد الثاني، 𞸇٢، عن طريق التعويض بـ 𞸍=٢ في الحد العام، لنحصل على: 𞸇=٢(٢٤٣)=٢(٢٣)=٤٦.٢

وتُحسَب قيمة الحد الثالث، 𞸇٣، كالآتي: 𞸇=٣(٣٤٣)=٣(١٣)=٣٩.٣

وتُحسَب قيمة الحد الرابع، 𞸇٤، كالآتي: 𞸇=٤(٤٤٣)=٤(٠٣)=٠٢١.٤

وتُحسَب قيمة الحد الخامس، 𞸇٥، كالآتي: 𞸇=٥(٥٤٣)=٥(٩٢)=٥٤١.٥

ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة هكذا: ٣٣،٤٦،٣٩،٠٢١،٥٤١.

في المثال السابق، كان لدينا حدٌّ عام يربط حدود المتتابعة مباشرةً بقيمة دليلها. لكن في بعض المتتابعات، يمكن إعطاء الحد ا للمتتابعة مرتبطًا بالحد الذي يسبقه مباشرةً.

دعونا نأخذ مثالًا للمتتابعة ١،٤،٧،٠١،. يمكننا مقارنة قيم الدليل 𞸍١ بقيم ٣𞸍.

الدليل 𞸍١٢٣٤
٣𞸍٣٦٩١٢

قيم ٣𞸍 لا تعطينا الحدود نفسها للمتتابعة، لكن يمكننا الحصول على حدود هذه المتتابعة بطرح ٢ من كل قيمة من قيم ٣𞸍.

الدليل 𞸍١٢٣٤
٣𞸍٣٦٩١٢
٣𞸍٢١٤٧١٠

إذن، بالنسبة إلى 𞸍١، يمكننا كتابة الحد ا للمتتابعة ١،٤،٧،٠١، على الصورة 𞸇=٣𞸍٢𞸍.

أو بدلًا من ذلك، يمكننا أيضًا ملاحظة أن النمط الذي بين الحدود هو إضافة ٣ إلى الحد السابق.

ومن ثَمَّ، أيُّ حدٍّ 𞸇𞸍 يساوي الحد السابق زائد ٣. باستخدام ترميز الدليل، يمكننا كتابة الحد الذي قبل 𞸇𞸍 على الصورة 𞸇𞸍١.

ولذلك، يمكننا كتابة أن الحد ا لهذه المتتابعة هو 𞸇=𞸇+٣𞸍𞸍١. عندما نكتب الصيغة بهذه الطريقة، علينا أيضًا الإشارة إلى قيمة الحد الأول، 𞸇١. ومن ثَمَّ، فإن الحد ا يمكن أن يُعطى هكذا: 𞸇=١𞸇=𞸇+٣،𞸍٢.١𞸍𞸍١؛

لاحِظ أنه يمكننا وضع نهايات على قيمة الدليل، 𞸍٢؛ حيث لا تنطبق هذه الصيغة إلا على قيم 𞸇𞸍 الأكبر من أو تساوي 𞸇٢.

صيغة المتتابعة المُعطاة بهذه الطريقة تُسمَّى صيغة تكرارية.

تعريف: الصيغة التكرارية للمتتابعة

الصيغة التكرارية هي صيغة تُعرَّف بها حدود المتتابعة باستخدام حدٍّ أو أكثر من الحدود السابقة.

قد نرى صيغة تكرارية مُعطاة لـ 𞸇𞸍 أو 𞸇𞸍+١. على سبيل المثال، عرَّفنا الصيغة التكرارية للمتتابعة ١،٤،٧،٠١، على الصورة: 𞸇=١𞸇=𞸇+٣،𞸍٢،١𞸍𞸍١؛ لكن كان بإمكاننا أيضًا تعريفها على الصورة: 𞸇=١𞸇=𞸇+٣،𞸍١.١𞸍+١𞸍؛

كلتا الصيغتين توضِّح العلاقة التكرارية بين كل حدٍّ والذي يسبقه (إما 𞸇𞸍، 𞸇𞸍١، وإما 𞸇𞸍+١، 𞸇𞸍). الاختلاف سيكون في القيمة الأولى للدليل، 𞸍، التي يمكن استخدامها.

في المثال التالي، نرى كيف يمكننا إيجاد حدٍّ معيَّن في متتابعة، بمعلومية الصيغة التكرارية.

مثال ٢: إيجاد حدود متتابعة بمعلومية الصيغة التكرارية

إذا كان 󰁓𞸇󰁒𞸍 متتابعة معرَّفة في صورة 𞸇=١١١، 𞸇=𞸇٣𞸍+١𞸍؛ حيث 𞸍١، فإن الحد الرابع يساوي .

  1. ٢
  2. ٤
  3. ٥
  4. ٨

الحل

في هذا السؤال، لدينا صيغة تكرارية للمتتابعة. في الصيغة التكرارية، تُعرَّف حدود المتتابعة باستخدام حدٍّ أو أكثر من الحدود السابقة. ومن ثَمَّ، لإيجاد حدٍّ معيَّن في المتتابعة، لا يمكننا ببساطة التعويض بقيمة الدليل والحصول مباشرةً على قيمة الحد، بل علينا إيجاد الحدود السابقة. هذا يعني أننا قد نحتاج إلى تطبيق الصيغة التكرارية عدة مرات.

الصيغة التكرارية هنا مُعطاة على الصورة 𞸇=𞸇٣𞸍+١𞸍. وهذا يعني أن أيَّ حدٍّ، 𞸇𞸍+١، في المتتابعة يُوجَد عن طريق الحد السابق، 𞸇𞸍، ناقص ٣.

الحد الرابع، 𞸇٤، يُوجَد عن طريق 𞸇=𞸇٣٤٣. ويمكن إيجاد الحد الثالث، 𞸇٣، باستخدام الحد الثاني، ويمكن إيجاد الحد الثاني باستخدام الحد الأول. ومن ثَمَّ، يمكننا البدء من بداية المتتابعة وحساب كل حدٍّ.

لتطبيق هذه الصيغة التكرارية، نحتاج إلى الحد الأول من المتتابعة، وهو مُعطى هنا على النحو الآتي: 𞸇=١١.١

يمكن إيجاد الحد الثاني من المتتابعة عن طريق التعويض بـ 𞸍=١، 𞸇=١١١ في 𞸇=𞸇٣𞸍+١𞸍، لنحصل على: 𞸇=𞸇٣=١١٣=٨.٢١

لحساب الحد الثالث من المتتابعة، نعوِّض بالحد الثاني، 𞸇=٨٢، 𞸍=٢، لنحصل على: 𞸇=𞸇٣=٨٣=٥.٣٢

وأخيرًا، يمكننا حساب الحد المطلوب من المتتابعة 𞸇٤، كالآتي: 𞸇=𞸇٣=٥٣=٢.٤٣

ومن ثَمَّ، يمكننا الإجابة بأن الحد الرابع من المتتابعة هو الحد المُعطى في الخيار (أ)، ٢.

بعد ذلك، نتناول بعض خواص المتتابعات، وكيف نُحدِّد إذا ما كانت المتتابعة تزايدية أو تناقصية.

دعونا نأخذ مثالًا على متتابعة الأعداد المربعة التي حدها ا هو 𞸇=𞸍𞸍٢، لكل 𞸍١. يمكن إيجاد الحدود الأربعة الأولى من المتتابعة هكذا: ١،٤،٩،٦١،.

كل حدٍّ في المتتابعة يكون دائمًا أكبر من الحد السابق؛ ولذلك، هذه متتابعة تزايدية.

بدلًا من ذلك، إذا نظرنا إلى المتتابعة 𞸇=١𞸍𞸍 لكل 𞸍١، وحسبنا الحدود الأربعة الأولى في المتتابعة هكذا: ١،١٢،١٣،١٤،، وبما أن كل حدٍّ أصغر من الحد السابق، فإذن هذه المتتابعة تناقصية.

يمكننا صياغة هذين التعريفين كالآتي.

تعريف: متتابعات رتيبة الزيادة والنقصان

يُقال إن متتابعة الأعداد الحقيقية 󰁓𞸇󰁒𞸍 تزايدية إذا كان 𞸇>𞸇𞸍+١𞸍 لكل 𞸍𞸈.

يُقال إن متتابعة الأعداد الحقيقية 󰁓𞸇󰁒𞸍 تناقصية إذا كان 𞸇<𞸇𞸍+١𞸍 لكل 𞸍𞸈.

يُقال إن متتابعة الأعداد الحقيقية 󰁓𞸇󰁒𞸍 ثابتة إذا كان 𞸇=𞸇𞸍+١𞸍 لكل 𞸍𞸈.

إذا كانت المتتابعة تزايدية أو تناقصية أو ثابتة، فإنها تُسمَّى متتابعة رتيبة.

في المثال التالي، نرى كيف نُطبِّق هذه القواعد لتحديد خواص المتتابعة.

مثال ٣: تحديد طبيعة المتتابعة

هل المتتابعة 𞸇=(١)١١𞸍٢٢𞸍𞸍 تزايدية أم تناقصية أم غير ذلك؟

الحل

في هذا السؤال، لدينا الحد ا للمتتابعة، ومطلوب تحديد خواص هذه المتتابعة. نتذكَّر أن المتتابعة 󰁓𞸇󰁒𞸍 يُقال إنها تزايدية إذا كان 𞸇>𞸇𞸍+١𞸍 لكل 𞸍𞸈. يجب أن يكون كل حدٍّ في المتتابعة أكبر من الحد السابق.

وعلى العكس، تكون المتتابعة تناقصية إذا كان كل حد فيها أصغر من الحد السابق؛ بحيث 𞸇<𞸇𞸍+١𞸍.

يمكننا إيجاد بعض الحدود الأولى في المتتابعة للمساعدة في تحديد خواصها.

بالنسبة إلى الحد الأول، يمكننا التعويض بالقيمة 𞸍=١ في 𞸇=(١)١١𞸍٢٢𞸍𞸍، لنحصل على: 𞸇=(١)١١×١٢٢=١١١٢٢=٣٤٢١١.١١

ويمكن إيجاد الحد الثاني، 𞸇٢، عن طريق التعويض بـ 𞸍=٢ في الحد ا، لنحصل على: 𞸇=(١)١١×٢٢٢=١٢٢٢٢=٣٨٤٢٢.٢٢

ويمكن حساب الحدين الثالث والرابع هكذا: 𞸇=(١)١١×٣٢٢=١٣٣٢٢=٧٢٧٣٣٣٣ و: 𞸇=(١)١١×٤٢٢=١٤٤٢٢=٧٦٩٤٤.٤٤

يمكننا كتابة الحدود الأربعة الأولى في المتتابعة، على صورة كسور، هكذا: ٣٤٢١١،٣٨٤٢٢،٧٢٧٣٣،٧٦٩٤٤،.

قد يكون من المفيد حساب التقريب العشري لكل حدٍّ من المتتابعة، مقرِّبًا ذلك إلى أقرب منزلتين عشريتين، هكذا: ٩٠٫٢٢،٥٩٫١٢،٣٠٫٢٢،٨٩٫١٢،.

نلاحظ أن الحد الثاني أصغر من الحد الأول؛ ومن ثَمَّ، فإن المتتابعة ليست تزايدية، والحد الثالث أكبر من الحد الثاني؛ ومن ثَمَّ، فإن المتتابعة ليست تناقصية.

إذن يمكننا الإجابة بأن: 𞸇.𞸍او

حتى الآن، عرفنا خواص المتتابعة وحدَّدنا حدودًا معيَّنة منها. سنرى الآن كيف يمكننا إيجاد الحد العام للمتتابعة، بمعلومية حدودها الأولى.

مثال ٤: إيجاد الحد العام لمتتابعة

أوجد، بدلالة 𞸍، الحد العام للمتتابعة (٨١،٢٧،٢٦١،٨٨٢،).

  1. ٨١𞸍
  2. ٨١𞸍٢
  3. ٨١𞸍٣
  4. ٩١𞸍١
  5. ٧١𞸍+١

الحل

يمكننا حل هذه المسألة بالتعويض بقيم الأعداد الصحيحة المتتالية لـ 𞸍 في الحدود العامة المُعطاة، بدايةً بـ 𞸍=١.

في الخيار (أ)، نعوِّض في ٨١𞸍 بدايةً بـ 𞸍=١، وهو ما يعطينا الحد الأول هكذا: ٨١×١=٨١.

بالتعويض بـ 𞸍=٢ لحساب الحد الثاني، نحصل على: ٨١×٢=٦٣.

لكن الحد الثاني في المتتابعة المُعطاة ليس ٣٦. ومن ثَمَّ، فإنه لا يُوصَف بالحد العام ٨١𞸍.

بعد ذلك، نعوِّض بـ 𞸍=١ في الحد العام في الخيار (ب)، ٨١𞸍٢، لنحصل على الحد الأول هكذا: ٨١×١=٨١×١=٨١.٢

ويُحسَب الحد الثاني عندما يكون 𞸍=٢، عن طريق: ٨١×٢=٨١×٤=٢٧.٢

وعندما يكون 𞸍=٣، نحصل على: ٨١×٣=٨١×٩=٢٦١.٢

والحد الرابع، عندما تكون 𞸍=٤، هو: ٨١×٤=٨١×٦١=٨٨٢.٢

وبما أن هذه الحدود تطابق الحدود الأربعة الأولى في المتتابعة المُعطاة، فإن المتتابعة (٨١،٢٧،٢٦١،٨٨٢،) حدها العام هو: ٨١𞸍.٢

يمكننا ملاحظة أنه على الرغم من أن الحدود العامة الثلاثة المتبقية في الخيارات تعطينا حدًّا أولًا صحيحًا يساوي ١٨ في كل حالة، فإن قيمة الحد الثاني والحدود التالية له لا تساوي ٧٢ و١٦٢ و٢٨٨. إذن الخيار (ب) هو الإجابة الصحيحة.

في المثال التالي، نُوجِد الحد العام لمتتابعة أكثر تعقيدًا تتضمَّن قوى العدد ٣.

مثال ٥: إيجاد الحد العام لمتتابعة

الحد ا في المتتابعة ٣،٩٢،٩، هو .

  1. ٣١𞸍
  2. ٣𞸍١
  3. ٣𞸍𞸍
  4. ٣𞸍𞸍

الحل

من أجل إيجاد الحد ا في المتتابعة، يمكننا تطبيق بعض المنطق عن طريق فحص المتتابعة. القيمتان ٣ و٩ (من الكسر ٩٢) و٩ هي قوى العدد ٣. من المثير للانتباه هنا، أننا نلاحظ أن الحد الثاني مقامه ٢. يمكننا بعد ذلك التفكير فيما إذا كانت جميع حدود المتتابعة كسورًا، وتم تبسيط بعض حدودها للحصول على عدد كلي.

يمكننا التفكير فيما إذا كان كلُّ حد في المتتابعة يحتوي على بسط يمثِّل إحدى قوى العدد ٣، والمقام هو الدليل.

الدليل 𞸍١٢٣
٣𞸍٣٩٢٧
٣𞸍𞸍٣١٩٢٧٢٣

يمكننا تبسيط القيم: ٣١،٩٢،٧٢٣ لنحصل على: ٣،٩٢،٩.

وهي تُطابِق حدود المتتابعة المُعطاة؛ ومن ثَمَّ، يمكننا الإجابة بأن الحد ا في المتتابعة هو المُعطى في الخيار (ج): ٣𞸍.𞸍

لاحِظ أنه كان بإمكاننا إيجاد الإجابة باستخدام خيارات الإجابة الممكنة. في هذه الحالة، عند التعويض بالقيم 𞸍=١، و٢، و٣، في كلٍّ من الحد ا، نحصل على النتيجة الوحيدة بأن الحد ا الذي يُنتِج قيم المتتابعة المُعطاة ٣،٩٢،٩ هو ٣𞸍𞸍.

في المثال التالي، نرى نوعًا من المتتابعات المتناوبة، وهي معرَّفة في الآتي.

تعريفات: المتتابعات المتناوبة

المتتابعة المتناوبة هي التي تتناوب فيها قيم حدود المتتابعة بين الموجب والسالب.

مثال ٦: إيجاد الحد العام لمتتابعة متناوبة

الحد العام للمتتابعة ٣،٦،٩،٢١،٥١، هو 𞸇=𞸍.

  1. (١)×٣𞸍𞸍
  2. (١)×٣𞸍𞸍+١
  3. ٣𞸍
  4. ٣𞸍

الحل

نلاحظ أن إشارة كل حدٍّ تتغيَّر بين الحدود المتتالية، ما يُعطينا قيمًا موجبة وسالبة متناوبة. يُعرَف هذا النوع من المتتابعات بأنه متتابعة متناوبة.

إذا نظرنا إلى القيم المطلقة للحدود، فإنها تُكوِّن متتابعة ٣،٦،٩،٢١،٥١. إذا كان الدليل 𞸍١، فإن متتابعة القيم المطلقة تكون معرَّفة بالحد العام 𞸇=٣𞸍𞸍.

إحدى طرق إيجاد الحد العام لمتتابعة تتضمَّن ٣𞸍 لكنها تتناوب بين حدود موجبة وسالبة، هي ضرب ٣𞸍 إما في (١)𞸍 وإما في (١)𞸍+١. الحدان العامان المُعطيان في الخيارين (أ) و(ب) يمثِّلان حدَّيْن متناوبَيْن.

في الخيار (أ)، للدليل 𞸍١، يمكننا التعويض في الحد العام 𞸇=(١)×٣𞸍𞸍𞸍 بدايةً بـ 𞸍=١. هذا يعطينا: 𞸇=(١)×٣(١)=(١)×٣=٣.١١

يمكننا الاستمرار في التحقُّق من المزيد من قيم 𞸍، لكننا نلاحظ أن الحد الأول الذي يَنتج عن الحد العام 𞸇=(١)×٣𞸍𞸍𞸍 هو ٣، وليس القيمة ٣ من المتتابعة المُعطاة. لذلك، فإن هذا الحد العام لا يُنتِج حدود المتتابعة المُعطاة، ويمكننا استبعاد أن تكون الإجابة هي الخيار (أ).

بالتحقُّق من الحد ا في إجابة الخيار (ب)، 𞸇=(١)×٣𞸍𞸍𞸍+١ بدايةً بـ 𞸍=١، نحصل على: 𞸇=(١)×٣(١)=(١)×٣=١×٣=٣.١١+١٢

بالنسبة إلى الحد الثاني، نعوِّض بـ 𞸍=٢، لنحصل على: 𞸇=(١)×٣(٢)=(١)×٦=(١)×٦=٦.٢٢+١٣

بعد ذلك، بالتعويض بـ 𞸍=٣، نحصل على: 𞸇=𞸇(١)×٣(٣)=(١)×٩=١×٩=٩.٣٣+١٤

وأخيرًا، بالتعويض بـ 𞸍=٤، 𞸍=٥، نحصل على: 𞸇=(١)×٣(٤)=(١)×٢١=(١)×٢١=٢١٤٤+١٥ و: 𞸇=(١)×٣(٥)=(١)×٥١=١×٥١=٥١.٥٥+١٦

هذه الحدود الخمسة الأولى، ٣،٦،٩،٢١، ١٥، تُطابِق حدود المتتابعة المُعطاة. ومن ثَمَّ، يمكننا الإجابة بأن الحد العام للمتتابعة هو: 𞸇=(١)×٣𞸍.𞸍𞸍+١

في المثال الأخير، سنحدِّد الصيغة التكرارية لحدود المتتابعة المُعطاة.

مثال ٧: إيجاد الصيغة التكرارية للمتتابعة

انظر إلى المتتابعة ٤،٠١،٢٢،٦٤،. أيٌّ من الصيغ التكرارية التالية يمكن استخدامها لحساب الحدود المتتالية في المتتابعة للدليل 𞸍١؟

  1. 𞸇=٤𞸇=٢𞸇١𞸍+١𞸍؛
  2. 𞸇=٤𞸇=٢𞸇+٢١𞸍+١𞸍؛
  3. 𞸇=٤𞸇=٥٢𞸇١𞸍+١𞸍؛
  4. 𞸇=٤𞸇=𞸇+٦١𞸍+١𞸍؛

الحل

يمكننا تذكُّر أن الصيغة التكرارية هي صيغة تُعرَّف بها حدود المتتابعة باستخدام حدٍّ أو أكثر من الحدود السابقة. هنا في هذه الحالة، لإيجاد حدٍّ يحتوي على الدليل 𞸍+١، علينا معرفة الحد السابق الذي يحتوي على الدليل 𞸍، 𞸇𞸍.

يمكننا استخدام كل صيغة تكرارية مُعطاة لتكوين متتابعة وتحديد أيُّها يُطابِق المتتابعة المُعطاة.

بدايةً بالصيغة التكرارية في الخيار (أ)، لدينا الحد الأول، 𞸇=٤١. إذن، لإيجاد الحد الثاني، نعوِّض بـ 𞸍=١، 𞸇=٤١ في الصيغة 𞸇=٢𞸇𞸍+١𞸍، لنحصل على: 𞸇=٢𞸇=٢(٤)=٨.٢١

تبدأ المتتابعة الناتجة عن الصيغة التكرارية في الخيار (أ) ٤،٨،؛ وبناءً على ذلك، فإنها لا تُطابِق المتتابعة المُعطاة. إذن يمكننا استبعاد هذه الصيغة.

للتحقُّق من الصيغة التكرارية في الخيار (ب)، لدينا الحد الأول 𞸇=٤١. لإيجاد الحد الثاني، نعوِّض بـ 𞸍=١، 𞸇=٤١ في الصيغة 𞸇=٢𞸇+٢𞸍+١𞸍، وهو ما يعطينا: 𞸇=٢𞸇+٢=٢(٤)+٢=٨+٢=٠١.٢١

هذا يماثِل الحد الثاني في المتتابعة المُعطاة؛ لذا، يمكننا الاستمرار في التحقُّق من الحد الثالث. نعوِّض بـ 𞸍=٢، 𞸇=٠١٢، لنحصل على: 𞸇=٢𞸇+٢=٢(٠١)+٢=٠٢+٢=٢٢.٣٢

للتحقُّق من الحد الرابع، نعوِّض بهذه القيمة، 𞸇=٢٢٣، 𞸍=٣، لنحصل على: 𞸇=٢𞸇+٢=٢(٢٢)+٢=٤٤+٢=٦٤.٤٣

وبما أن هذه الحدود الأربعة تُطابِق الحدود المُعطاة، إذن الصيغة التكرارية للمتتابعة ٤،٠١،٢٢،٦٤، هي: 𞸇=٤𞸇=٢𞸇+٢.١𞸍+١𞸍؛

بالمناسبة، إذا أردنا شرح هذه الصيغة التكرارية لفظيًّا، فإننا نَصِف كل حدٍّ بأنه ضعف الحد السابق، زائد ٢. بالنظر إلى الصيغة التكرارية، في الخيار (ج)، يمكننا وصف كل حدٍّ باعتباره ضرب الحد السابق في الكسر ٥٢. وهذا لا يُنتِج حدود المتتابعة المُعطاة. إضافة إلى ذلك، تَصِف الصيغة التكرارية في الخيار (د) المتتابعة التي يُوجَد بها كل حدٍّ بإضافة ٦ إلى الحد السابق. وهذا أيضًا لا يُنتِج الحدود المُعطاة. إذن الصيغة المُعطاة في الخيار (ب) هي الصيغة الصحيحة.

نلخِّص الآن النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • لإيجاد حدود المتتابعة بمعلومية الحد العام، نعوِّض بقيم 𞸍١ في صيغة الحد العام.
  • الصيغة التكرارية هي صيغة تُعرَّف بها حدود المتتابعة باستخدام حدٍّ أو أكثر من الحدود السابقة.
  • لإيجاد حدٍّ معيَّن في متتابعة باستخدام صيغة تكرارية، قد نحتاج إلى تطبيق الصيغة عدة مرات لإيجاد قيم الحدود السابقة.
  • يُقال إن متتابعة الأعداد الحقيقية 󰁓𞸇󰁒𞸍 تزايدية إذا كان 𞸇>𞸇𞸍+١𞸍 لكل 𞸍𞸈.
  • يُقال إن متتابعة الأعداد الحقيقية 󰁓𞸇󰁒𞸍 تناقصية إذا كان 𞸇<𞸇𞸍+١𞸍 لكل 𞸍𞸈.
  • يُقال إن متتابعة الأعداد الحقيقية 󰁓𞸇󰁒𞸍 ثابتة إذا كان 𞸇=𞸇𞸍+١𞸍 لكل 𞸍𞸈.
  • أيُّ متتابعة متناوبة تتضمَّن حدودًا تتناوب بين القيم الموجبة والسالبة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.