شارح الدرس: صِيَغ المتتابعات الرياضيات

مثال ١: إيجاد حدود متتابعة بمعلومية الحد العام

أوجد الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة التي حدها العام يُعطى بالعلاقة ؛ حيث .

الحل

في هذا السؤال، لدينا الحد العام أو للدليل . لإيجاد أيِّ حد في المتتابعة، نعوِّض بقيمة في الحد العام.

إذن، بالنسبة إلى الحد الأول، ، نعوِّض بـ في ونبسِّط، لنحصل على:

يمكننا الاستمرار لإيجاد الحد الثاني، ، عن طريق التعويض بـ في الحد العام، لنحصل على:

وتُحسَب قيمة الحد الثالث، ، كالآتي:

وتُحسَب قيمة الحد الرابع، ، كالآتي:

وتُحسَب قيمة الحد الخامس، ، كالآتي:

ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة هكذا:

مثال ٢: إيجاد حدود متتابعة بمعلومية الصيغة التكرارية

إذا كان متتابعة معرَّفة في صورة ، ؛ حيث ، فإن الحد الرابع يساوي .

1. ٢
2. ٤
3. ٥
4. ٨

الحل

في هذا السؤال، لدينا صيغة تكرارية للمتتابعة. في الصيغة التكرارية، تُعرَّف حدود المتتابعة باستخدام حدٍّ أو أكثر من الحدود السابقة. ومن ثَمَّ، لإيجاد حدٍّ معيَّن في المتتابعة، لا يمكننا ببساطة التعويض بقيمة الدليل والحصول مباشرةً على قيمة الحد، بل علينا إيجاد الحدود السابقة. هذا يعني أننا قد نحتاج إلى تطبيق الصيغة التكرارية عدة مرات.

الصيغة التكرارية هنا مُعطاة على الصورة . وهذا يعني أن أيَّ حدٍّ، ، في المتتابعة يُوجَد عن طريق الحد السابق، ، ناقص ٣.

الحد الرابع، ، يُوجَد عن طريق . ويمكن إيجاد الحد الثالث، ، باستخدام الحد الثاني، ويمكن إيجاد الحد الثاني باستخدام الحد الأول. ومن ثَمَّ، يمكننا البدء من بداية المتتابعة وحساب كل حدٍّ.

لتطبيق هذه الصيغة التكرارية، نحتاج إلى الحد الأول من المتتابعة، وهو مُعطى هنا على النحو الآتي:

يمكن إيجاد الحد الثاني من المتتابعة عن طريق التعويض بـ ، في ، لنحصل على:

لحساب الحد الثالث من المتتابعة، نعوِّض بالحد الثاني، ، ، لنحصل على:

وأخيرًا، يمكننا حساب الحد المطلوب من المتتابعة ، كالآتي:

ومن ثَمَّ، يمكننا الإجابة بأن الحد الرابع من المتتابعة هو الحد المُعطى في الخيار (أ)، ٢.

مثال ٣: تحديد طبيعة المتتابعة

هل المتتابعة تزايدية أم تناقصية أم غير ذلك؟

الحل

في هذا السؤال، لدينا الحد للمتتابعة، ومطلوب تحديد خواص هذه المتتابعة. نتذكَّر أن المتتابعة يُقال إنها تزايدية إذا كان لكل . يجب أن يكون كل حدٍّ في المتتابعة أكبر من الحد السابق.

وعلى العكس، تكون المتتابعة تناقصية إذا كان كل حد فيها أصغر من الحد السابق؛ بحيث .

يمكننا إيجاد بعض الحدود الأولى في المتتابعة للمساعدة في تحديد خواصها.

بالنسبة إلى الحد الأول، يمكننا التعويض بالقيمة في ، لنحصل على:

ويمكن إيجاد الحد الثاني، ، عن طريق التعويض بـ في الحد ، لنحصل على:

ويمكن حساب الحدين الثالث والرابع هكذا: و:

يمكننا كتابة الحدود الأربعة الأولى في المتتابعة، على صورة كسور، هكذا:

قد يكون من المفيد حساب التقريب العشري لكل حدٍّ من المتتابعة، مقرِّبًا ذلك إلى أقرب منزلتين عشريتين، هكذا:

نلاحظ أن الحد الثاني أصغر من الحد الأول؛ ومن ثَمَّ، فإن المتتابعة ليست تزايدية، والحد الثالث أكبر من الحد الثاني؛ ومن ثَمَّ، فإن المتتابعة ليست تناقصية.

إذن يمكننا الإجابة بأن:

مثال ٤: إيجاد الحد العام لمتتابعة

أوجد، بدلالة ، الحد العام للمتتابعة .

الحل

يمكننا حل هذه المسألة بالتعويض بقيم الأعداد الصحيحة المتتالية لـ في الحدود العامة المُعطاة، بدايةً بـ .

في الخيار (أ)، نعوِّض في بدايةً بـ ، وهو ما يعطينا الحد الأول هكذا:

بالتعويض بـ لحساب الحد الثاني، نحصل على:

لكن الحد الثاني في المتتابعة المُعطاة ليس ٣٦. ومن ثَمَّ، فإنه لا يُوصَف بالحد العام .

بعد ذلك، نعوِّض بـ في الحد العام في الخيار (ب)، ، لنحصل على الحد الأول هكذا:

ويُحسَب الحد الثاني عندما يكون ، عن طريق:

وعندما يكون ، نحصل على:

والحد الرابع، عندما تكون ، هو:

وبما أن هذه الحدود تطابق الحدود الأربعة الأولى في المتتابعة المُعطاة، فإن المتتابعة حدها العام هو:

يمكننا ملاحظة أنه على الرغم من أن الحدود العامة الثلاثة المتبقية في الخيارات تعطينا حدًّا أولًا صحيحًا يساوي ١٨ في كل حالة، فإن قيمة الحد الثاني والحدود التالية له لا تساوي ٧٢ و١٦٢ و٢٨٨. إذن الخيار (ب) هو الإجابة الصحيحة.

مثال ٥: إيجاد الحد العام لمتتابعة

الحد في المتتابعة هو .

الحل

من أجل إيجاد الحد في المتتابعة، يمكننا تطبيق بعض المنطق عن طريق فحص المتتابعة. القيمتان ٣ و٩ (من الكسر ) و٩ هي قوى العدد ٣. من المثير للانتباه هنا، أننا نلاحظ أن الحد الثاني مقامه ٢. يمكننا بعد ذلك التفكير فيما إذا كانت جميع حدود المتتابعة كسورًا، وتم تبسيط بعض حدودها للحصول على عدد كلي.

يمكننا التفكير فيما إذا كان كلُّ حد في المتتابعة يحتوي على بسط يمثِّل إحدى قوى العدد ٣، والمقام هو الدليل.

يمكننا تبسيط القيم: لنحصل على:

وهي تُطابِق حدود المتتابعة المُعطاة؛ ومن ثَمَّ، يمكننا الإجابة بأن الحد في المتتابعة هو المُعطى في الخيار (ج):

لاحِظ أنه كان بإمكاننا إيجاد الإجابة باستخدام خيارات الإجابة الممكنة. في هذه الحالة، عند التعويض بالقيم ، و٢، و٣، في كلٍّ من الحد ، نحصل على النتيجة الوحيدة بأن الحد الذي يُنتِج قيم المتتابعة المُعطاة هو .

مثال ٦: إيجاد الحد العام لمتتابعة متناوبة

الحد العام للمتتابعة هو .

الحل

نلاحظ أن إشارة كل حدٍّ تتغيَّر بين الحدود المتتالية، ما يُعطينا قيمًا موجبة وسالبة متناوبة. يُعرَف هذا النوع من المتتابعات بأنه متتابعة متناوبة.

إذا نظرنا إلى القيم المطلقة للحدود، فإنها تُكوِّن متتابعة . إذا كان الدليل ، فإن متتابعة القيم المطلقة تكون معرَّفة بالحد العام .

إحدى طرق إيجاد الحد العام لمتتابعة تتضمَّن لكنها تتناوب بين حدود موجبة وسالبة، هي ضرب إما في وإما في . الحدان العامان المُعطيان في الخيارين (أ) و(ب) يمثِّلان حدَّيْن متناوبَيْن.

في الخيار (أ)، للدليل ، يمكننا التعويض في الحد العام بدايةً بـ . هذا يعطينا:

يمكننا الاستمرار في التحقُّق من المزيد من قيم ، لكننا نلاحظ أن الحد الأول الذي يَنتج عن الحد العام هو ، وليس القيمة ٣ من المتتابعة المُعطاة. لذلك، فإن هذا الحد العام لا يُنتِج حدود المتتابعة المُعطاة، ويمكننا استبعاد أن تكون الإجابة هي الخيار (أ).

بالتحقُّق من الحد في إجابة الخيار (ب)، بدايةً بـ ، نحصل على:

بالنسبة إلى الحد الثاني، نعوِّض بـ ، لنحصل على:

بعد ذلك، بالتعويض بـ ، نحصل على:

وأخيرًا، بالتعويض بـ ، ، نحصل على: و:

هذه الحدود الخمسة الأولى، ، ١٥، تُطابِق حدود المتتابعة المُعطاة. ومن ثَمَّ، يمكننا الإجابة بأن الحد العام للمتتابعة هو:

مثال ٧: إيجاد الصيغة التكرارية للمتتابعة

انظر إلى المتتابعة . أيٌّ من الصيغ التكرارية التالية يمكن استخدامها لحساب الحدود المتتالية في المتتابعة للدليل ؟

الحل

يمكننا تذكُّر أن الصيغة التكرارية هي صيغة تُعرَّف بها حدود المتتابعة باستخدام حدٍّ أو أكثر من الحدود السابقة. هنا في هذه الحالة، لإيجاد حدٍّ يحتوي على الدليل ، علينا معرفة الحد السابق الذي يحتوي على الدليل ، .

يمكننا استخدام كل صيغة تكرارية مُعطاة لتكوين متتابعة وتحديد أيُّها يُطابِق المتتابعة المُعطاة.

بدايةً بالصيغة التكرارية في الخيار (أ)، لدينا الحد الأول، . إذن، لإيجاد الحد الثاني، نعوِّض بـ ، في الصيغة ، لنحصل على:

تبدأ المتتابعة الناتجة عن الصيغة التكرارية في الخيار (أ) ؛ وبناءً على ذلك، فإنها لا تُطابِق المتتابعة المُعطاة. إذن يمكننا استبعاد هذه الصيغة.

للتحقُّق من الصيغة التكرارية في الخيار (ب)، لدينا الحد الأول . لإيجاد الحد الثاني، نعوِّض بـ ، في الصيغة ، وهو ما يعطينا:

هذا يماثِل الحد الثاني في المتتابعة المُعطاة؛ لذا، يمكننا الاستمرار في التحقُّق من الحد الثالث. نعوِّض بـ ، ، لنحصل على:

للتحقُّق من الحد الرابع، نعوِّض بهذه القيمة، ، ، لنحصل على:

وبما أن هذه الحدود الأربعة تُطابِق الحدود المُعطاة، إذن الصيغة التكرارية للمتتابعة هي:

بالمناسبة، إذا أردنا شرح هذه الصيغة التكرارية لفظيًّا، فإننا نَصِف كل حدٍّ بأنه ضعف الحد السابق، زائد ٢. بالنظر إلى الصيغة التكرارية، في الخيار (ج)، يمكننا وصف كل حدٍّ باعتباره ضرب الحد السابق في الكسر . وهذا لا يُنتِج حدود المتتابعة المُعطاة. إضافة إلى ذلك، تَصِف الصيغة التكرارية في الخيار (د) المتتابعة التي يُوجَد بها كل حدٍّ بإضافة ٦ إلى الحد السابق. وهذا أيضًا لا يُنتِج الحدود المُعطاة. إذن الصيغة المُعطاة في الخيار (ب) هي الصيغة الصحيحة.