في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحلِّل حركة المقذوفات: الأجسام التي لها عجلة رأسية منتظِمة غير صفرية وتتحرَّك أفقيًّا بسرعة ثابتة.
يعتمد فهْم حركة المقذوفات على فهْم أن الحركة الرأسية للمقذوف تختلف عن حركته الأفقية.
إن الحركة الأفقية للمقذوفات حركة منتظِمة. افترض أن لدينا جسمًا يتحرَّك حركة أفقية منتظِمة بسرعة متجهة رأسية تساوي صفرًا. إذا سُجِّل موضع الجسم عند فترات زمنية متساوية، فستفصل بين مواضعه مسافات متساوية، كما في الحالة الموضَّحة في الشكل الآتي.
أمَّا الحركة الرأسية للمقذوفات فهي حركة بعجلة منتظِمة. افترض أن لدينا جسمًا يتحرَّك بعجلة منتظِمة رأسيًّا باتجاه الأسفل، وله سرعة متجهة أفقية تساوي صفرًا. ومثال ذلك كرة أُسقِطت من قمة مبنًى. إذا سُجِّل موضع الجسم عند فترات زمنية متساوية، فستفصل بين مواضعه مسافات تزيد بمرور الفترات الزمنية المتعاقِبة، كما في الحالة الموضَّحة في الشكل الآتي.
افترض الآن أن المواضع الرأسية موضَّحة لكلِّ موضع أفقي، وأن المواضع الأفقية والرأسية خلال الفترات الزمنية المتعاقِبة مُحدَّدة، كما هو موضَّح في الشكل البياني الآتي.
وأخيرًا، لنوضِّح المسار الذي سيتحرَّك فيه الجسم بين المواضع المحدَّدة، وهو ما يوضِّحه المنحنى الأزرق في الشكل الآتي.
ما يُمكننا رؤيته في الشكل هو مسار مقذوف ليس له سرعة متجهة رأسية ابتدائية. ومثال هذا النوع من المسارات هو الحجر المُلقَى أفقيًّا من أعلى جُرف، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
دعونا نلقِ نظرةً على مثال يتناول الحركة الرأسية والأفقية للمقذوفات.
مثال ١: مقارنة الحركة الأفقية والرأسية للمقذوفات
يوضِّح الشكل التغيُّرات في الإزاحة الأفقية والرأسية لجسم عند فترات زمنية متساوية. الجاذبية هي القوة الوحيدة المؤثِّرة على الجسم.
- هل تزيد سرعة الجسم الأفقية أم تقلُّ أم تظلُّ ثابتة؟
- هل تزيد سرعة الجسم الرأسية أم تقلُّ أم تظلُّ ثابتة؟
- هل تزيد عجلة الجسم الأفقية أم تقلُّ أم تظلُّ ثابتة؟
- هل تزيد عجلة الجسم الرأسية أم تقلُّ أم تظلُّ ثابتة؟
- هل تزيد سرعة الجسم الكلية أم تقلُّ أم تظلُّ ثابتة؟
الحل
الجزء الأول
سرعة الجسم الأفقية هي معدَّل تغيُّر المسافة الأفقية التي يقطعها الجسم مع الزمن. يوضِّح الشكل أن المسافة الأفقية التي يقطعها الجسم هي نفسها خلال كلِّ فترة زمنية؛ ومن ثَمَّ تظلُّ السرعة الأفقية ثابتة.
إجابة الجزء الأول هي «تظلُّ ثابتة».
الجزء الثاني
سرعة الجسم الرأسية هي معدَّل تغيُّر المسافة الرأسية التي يقطعها الجسم مع الزمن. يوضِّح الشكل أن المسافة الرأسية التي يقطعها الجسم تزداد خلال الفترات الزمنية المتعاقِبة؛ ومن ثَمَّ تزيد سرعة الجسم الرأسية.
إجابة الجزء الثاني هي «تزيد».
الجزء الثالث
عجلة الجسم الأفقية هي معدَّل تغيُّر السرعة المتجهة الأفقية مع الزمن.
عرفنا من الجزء الأول من السؤال أن السرعة المتجهة الأفقية تظلُّ ثابتة، ولهذا السبب يجب أن تساوي العجلة الأفقية صفرًا خلال حركة الجسم. وبما أن العجلة الأفقية تساوي صفرًا خلال الحركة، فإن قيمة العجلة الأفقية تظلُّ ثابتة.
إجابة الجزء الثالث هي «تظلُّ ثابتة».
الجزء الرابع
عجلة الجسم الرأسية هي معدَّل تغيُّر السرعة المتجهة الرأسية مع الزمن.
عرفنا من الجزء الثاني من السؤال أن السرعة المتجهة الرأسية تزيد خلال الفترات الزمنية المتعاقِبة. ولا يُمكننا معرفة إذا ما كانت السرعة المتجهة الرأسية تزيد خلال الفترات الزمنية المتعاقِبة من الشكل أم لا؛ نظرًا لأن الشكل يوضِّح الإزاحة الرأسية وليس السرعة المتجهة الرأسية.
لكن السؤال ينصُّ على أن القوة الوحيدة المؤثِّرة على الجسم هي الجاذبية. إن قوة الجاذبية الأرضية المؤثِّرة على جسم يقع بالقرب من سطح الأرض تكون ثابتة تقريبًا؛ ومن ثَمَّ تظلُّ قيمة العجلة الرأسية ثابتة.
إجابة الجزء الرابع هي «تظلُّ ثابتة».
الجزء الخامس
تزيد سرعة الجسم في الاتجاه الرأسي. ولكي يظلَّ للجسم السرعة الكلية نفسها، وهي سرعة الجسم في اتجاه حركته، يجب أن تتناقص سرعة الجسم في الاتجاه الأفقي بالمعدَّل نفسه الذي تتزايد به سرعته في الاتجاه الرأسي. عرفنا أن السرعة الأفقية ثابتة؛ ومن ثَمَّ نجد أن سرعة الجسم في اتجاه حركته لا بدَّ أن تزيد.
إجابة الجزء الخامس هي «تزيد».
يُمكن دراسة الفرق بين سرعة المقذوف الرأسية وسرعته الأفقية خلال حركته باستخدام التمثيلات البيانية.
لنلقِ نظرةً على مثال ندرس فيه سرعة المقذوف الرأسية وسرعته الأفقية خلال حركته باستخدام التمثيلات البيانية.
مثال ٢: التعرُّف على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن للمقذوفات
يُعطَى جسمٌ دفعةً أفقيةً صغيرةً تجعله في حالة حركة على سطح أفقي أملس. عندما يَصِل الجسم لنهاية السطح، فإنه يتبع حركة المقذوفات من موضع ابتدائي لموضع نهائي، كما هو موضَّح في الشكل.
- أيُّ التمثيلات البيانية (أ)، (ب)، (ج)، (د) يوضِّح التغيُّر في السرعة الرأسية للجسم بين موضعَيْه الابتدائي والنهائي؟
- أيُّ التمثيلات البيانية (ھ)، (و)، (ز)، (ح) يوضِّح التغيُّر في السرعة الأفقية للجسم بين موضعَيْه الابتدائي والنهائي؟
الحل
الجزء الأول
يخضع الجسم لحركة المقذوفات؛ وعليه يتحرَّك حركة منتظِمة باتجاه الأسفل. يتحرَّك الجسم في البداية أفقيًّا فقط؛ نظرًا للدفعة الأفقية الصغيرة المُعطاة له. ومن ثَمَّ فإن السرعة الرأسية الابتدائية للجسم تساوي صفرًا. ومن ذلك، نلاحِظ أن التمثيل البياني الصحيح يجب أن يكون (ب) أو (د)؛ لأن (أ) و(ج) كليهما يوضِّحان أن السرعة الرأسية الابتدائية لا تساوي صفرًا.
يتحرَّك الجسم بعجلة منتظِمة باتجاه الأسفل خلال حركته. وتؤدِّي العجلة المنتظِمة إلى تغيُّرات متساوية في السرعة خلال فترات زمنية متساوية. ميل منحنى السرعة-الزمن هو ؛ حيث تُعطَى كالآتي: حيث السرعة، الزمن.
إن التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن الذي يوضِّح تغيُّرات متساوية في السرعة خلال فترات زمنية متساوية يجب أن يكون خطًّا ذا ميل ثابت؛ أيْ خطًّا مستقيمًا. والتمثيل البياني الذي له خط مستقيم هو التمثيل البياني (د) فقط؛ وعليه يكون التمثيل البياني الصحيح.
إجابة الجزء الأول هي التمثيل البياني (د).
الجزء الثاني
تكون عجلة الجسم رأسية فقط خلال حركته. فالسرعة المتجهة الأفقية للجسم لا تزيد خلال الحركة. وهذا يَستبعِد التمثيل البياني (ح) على الفور. لا يُشير السؤال إلى وجود أيِّ قوة تؤثِّر أفقيًّا على الجسم سوى القوة المسئولة عن السرعة المتجهة الأفقية الابتدائية للجسم. وبذلك لا يُمكن أن يكون التمثيلان البيانيان اللذان يوضِّحان أن السرعة الأفقية النهائية على المنحنى تساوي صفرًا صحيحين؛ ومن ثَمَّ فالتمثيل البياني (هـ) الذي يوضِّح سرعة أفقية ثابتة هو التمثيل البياني الصحيح.
إجابة الجزء الثاني هي التمثيل البياني (هـ).
لقد تناولنا حتى الآن فحسب المقذوفات التي ليس لها سرعة رأسية ابتدائية. ولكي نحصل على مسار المقذوفات، يجب أن تكون للجسم سرعة رأسية ابتدائية. لنناقش الآن مقذوفًا ليس له إزاحة رأسية ابتدائية؛ ومن ثَمَّ لا بدَّ أن تكون له سرعة رأسية ابتدائية.
يتحرَّك المقذوف الذي له سرعة متجهة ابتدائية لأعلى بعجلة منتظِمة في الاتجاه المعاكس لاتجاه حركته الابتدائية. وتتناقص السرعة المتجهة لأعلى حتى تَصِل إلى الصفر، وعند هذه النقطة يكون المقذوف في حالة سكون لحظي. وبعد هذه اللحظة، يتحرَّك المقذوف بالصورة نفسها التي رأينا المقذوف ذا السرعة المتجهة الرأسية التي تساوي صفرًا يتحرَّك بها.
يوضِّح الشكل الآتي العجلة الرأسية والسرعة المتجهة الرأسية على طول مسار المقذوف الذي له سرعة ابتدائية متجهة لأعلى.
إن جزئَيِ المسار حيث يرتفع المقذوف وحيث يهبط متماثِلان. وتكون السرعة الرأسية للمقذوف هي نفسها عند الارتفاع نفسه سواء كان المقذوف يرتفع أم يهبط.
إن المقذوف الذي تُرك ليسقط لأسفل لا تؤثِّر عليه سوى الجاذبية. أمَّا المقذوف الذي يتحرَّك أفقيًّا أو رأسيًّا لأعلى، فلا بدَّ أن تؤثِّر عليه قوة أخرى غير الجاذبية عند لحظة إطلاقه. وتؤثِّر هذه القوة على المقذوف عند لحظة انطلاقه فقط وتتوقَّف عن التأثير بعد ذلك. ففي حالة المقذوفات الذي تُترَك لتسقط، وتلك التي تُطلَق، يُعامَل المقذوف على أنه يتحرَّك بسرعة ابتدائية تتغيَّر بعد ذلك نتيجة لعجلة الجاذبية فحسب.
يكون للقوة التي تُطلِق المقذوف مركِّبة رأسية وأخرى أفقية. وكلما زادت مركِّبة القوة في أحد الاتجاهين، زادت السرعة المتجهة الابتدائية للمقذوف في هذا الاتجاه. ويتحدَّد مسار المقذوف بناء على هاتين السرعتين.
هيَّا نلقِ نظرةً على مثال يقارن بين مقذوفات تتبع مسارات مختلفة.
مثال ٣: المقارنة بين حركة مقذوفات تتبع مسارات مختلفة
يتعرَّض الجسم الموضَّح في الشكل لمثالين من حركة المقذوفات الناتجة عن القوتين ، ، ووزن الجسم. يتضمَّن المثال الأول لحركة المقذوفات، المثال (أ)، زاوية إطلاق للجسم أقرب إلى كونها رأسية. أمَّا المثال الآخَر، المثال (ب)، فيتضمَّن زاوية إطلاق أصغر بكثير، وأقرب إلى كونها أفقية. المسافة الأفقية التي يقطعها الجسم في كلا المثالين واحدة.
- أيُّ مثال لحركة المقذوفات يتضمَّن سرعة رأسية أكبر؟
- أيُّ مثال لحركة المقذوفات يتضمَّن وجود الجسم في الهواء زمنًا أطول؟
- أيُّ مثال لحركة المقذوفات يتضمَّن سرعة أفقية أكبر؟
الحل
الجزء الأول
في المثال (أ)، يقطع المقذوف مسافة رأسية أكبر لأعلى. ويتعرَّض المقذوفان في المثالين إلى عجلة الجاذبية الثابتة نفسها؛ ومن ثَمَّ فإن السرعة المتجهة الرأسية لأعلى يجب أن تكون أكبر في المثال (أ).
إجابة الجزء الأول هي المثال (أ).
الجزء الثاني
إن الزمن الذي يظلُّ فيه المقذوف في الهواء هو الزمن الذي يَستغرِقه إلى أن تتوقَّف حركته الرأسية لأعلى إضافة إلى الزمن الذي يَستغرِقه حتى يسقط على الأرض. وعندما يَصِل المقذوفان إلى أقصى ارتفاع لهما، نجد أن المقذوف في المثال (أ) عليه ليَصِل إلى الأرض قطْع مسافة رأسية أكبر من المقذوف في المثال (ب). ومنه نلاحِظ أن المقذوف في المثال (أ) ليسقط على الأرض من أقصى ارتفاع لا بدَّ أن يَستغرِق زمنًا أطول من المقذوف في المثال (ب).
يُشير هذا إلى أن المقذوف في المثال (أ) يظلُّ في الهواء زمنًا أطول.
إجابة الجزء الثاني هي المثال (أ).
الجزء الثالث
المسافة الأفقية من نقطة الإطلاق إلى نقطة الهبوط هي نفسها في كلا المثالين. قد يبدو من ذلك أن السرعة المتجهة الأفقية للمقذوفين هي نفسها في كلا المثالين.
ولكن هذا غير صحيح. ويُمكننا ملاحَظة ذلك بتذكُّر أن الزمن الذي يتحرَّك خلاله المقذوفان في المثالين ليس متساويًا، وبفهْم أن هذا الاختلاف في الزمن يرتبط بأقصى ارتفاع يَصِل إليه المقذوف في كلِّ مثال.
إن نقطة منتصف مسار المقذوف هي الموضع الذي يكون فيه المقذوف عند أقصى ارتفاع، وعندها تكون السرعة الرأسية صفرًا، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
في هذا السؤال، نلاحِظ أن المقذوفين في كلا المثالين قد أُطلِقا من النقطة نفسها، وهبطا إلى النقطة نفسها. وهذا يعني أن نقطة منتصف مسار المقذوفين في كلا المثالين تقع في المنتصف من نقطة الإطلاق ونقطة الهبوط.
يُمكننا مقارنة السرعة الأفقية للمقذوفين بمعرفة أن المقذوف في المثال (أ) يَستغرِق زمنًا أطول من المقذوف في المثال (ب)، وكذلك بمعرفة أن المقذوف في المثال (أ) يقطع المسافة الأفقية نفسها التي يقطعها المقذوف في المثال (ب).
ترتبط المسافة، والزمن، والسرعة بالمعادلة:
في المثال (أ)، لدينا: وفي المثال (ب)، لدينا: حيث السرعة الأفقية للمقذوف، الزمن الذي يظلُّ خلاله المقذوفان في الهواء في المثالين (أ)، و(ب)، المسافة الأفقية التي قطعها المقذوف.
المسافة الأفقية التي تحرَّكها المقذوفان متساوية؛ لذا يُمكننا القول إن:
يُمكننا قسمة هذه المعادلة على . وبفعل ذلك، نحصل على:
لقد أثبتنا أن:
وعليه لا بدَّ أن يكون:
ومن هذا نستنتج أن:
السرعة الأفقية أكبر في المثال (ب).
لنلقِ نظرةً على مثال يتضمَّن تحليل الحركة الأفقية لمقذوف أُطلِق لأعلى.
مثال ٤: التعرُّف على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن للمقذوفات
يتحرَّك جسم بتأثير القوة الابتدائية التي تؤثِّر عليه قطريًّا لأعلى، كما هو موضَّح في الشكل. يتبع الجسم حركة المقذوفات. 
- أيُّ التمثيلات البيانية (أ)، (ب)، (ج)، (د) يوضِّح التغيُّر في الإزاحة الأفقية للجسم فيما بين قذفه من الأرض وعودته إليها؟
- أيُّ التمثيلات البيانية (هـ)، (و)، (ز)، (ح) يوضِّح التغيُّر في السرعة المتجهة الأفقية للجسم فيما بين قذفه من الأرض وعودته إليها؟
الحل
الجزء الأول
في البداية، كانت إزاحة المقذوف الأفقية تساوي صفرًا. يوضِّح التمثيل البياني (د) إزاحة أفقية لا تساوي صفرًا؛ ومن ثَمَّ يُمكن استبعاده. أمَّا إن كان التمثيل البياني (د) يوضِّح إزاحة ابتدائية تساوي صفرًا، فقد يكون صحيحًا، إلَّا أنه ليس كذلك، فالتمثيل البياني (د) يوضِّح إزاحة ثابتة، وهو ما يعني أن المقذوف لم يتحرَّك أفقيًّا. وهذا صحيح فقط في حالة المقذوف الذي يُطلَق رأسيًّا تمامًا، ويوضِّح الشكل في السؤال أن المقذوف أُطلِق بقوة لا تؤثِّر رأسيًّا تمامًا.
المركِّبة الأفقية للقوة التي تُطلِق المقذوف هي المسئولة عن السرعة المتجهة الأفقية الابتدائية للمقذوف. وبعد إطلاق المقذوف، تصبح السرعة المتجهة الأفقية منتظِمة.
ميل منحنى الإزاحة-الزمن هو ؛ حيث تُعطَى كالآتي: حيث الإزاحة، الزمن. إن الميل في التمثيل البياني يساوي السرعة المتجهة للجسم. ويوضِّح التمثيلان البيانيان (أ) و(ب) ميلين متغيِّرين؛ ومن ثَمَّ فإنهما لا يُمكن أن يمثِّلا السرعة المتجهة الأفقية للمقذوف. أمَّا التمثيل البياني (ج)، فيوضِّح ميلًا ثابتًا؛ ومن ثَمَّ يُمكن أن يكون تمثيلًا صحيحًا لكيفية تغيُّر الإزاحة الأفقية للمقذوف.
إجابة الجزء الأول هي التمثيل البياني (ج).
الجزء الثاني
لقد توصَّلنا إلى أن السرعة المتجهة الأفقية للمقذوف ثابتة؛ أيْ إن التمثيل البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن للحركة الأفقية للمقذوف يجب أن تكون له قيمة ثابتة. والتمثيل البياني الذي له قيمة ثابتة هو التمثيل البياني (هـ) فقط. أمَّا التمثيل البياني (ز) فله ميل ثابت، ولكن هذا يعني أن السرعة المتجهة تزداد بمعدَّل ثابت، ولا يعني أن السرعة المتجهة ثابتة.
إجابة الجزء الثاني هي التمثيل البياني (هـ).
دعونا نلقِ نظرةً الآن على مثال يتضمَّن تحليل الحركة الرأسية فقط لمقذوف أُطلِق لأعلى.
مثال ٥: التعرُّف على التمثيلات البيانية للإزاحة مقابل الزمن، والسرعة مقابل الزمن، لمقذوف.
يتحرَّك جسم بتأثير القوة الابتدائية التي تؤثِّر قطريًّا لأعلى، كما هو موضَّح في الشكل. يتبع الجسم حركة المقذوفات. 
- أيٌّ من التمثيلات البيانية (أ)، (ب)، (ج)، (د) يوضِّح التغيُّر في الإزاحة الرأسية للجسم بين قذفه من الأرض وعودته إليها؟ مع اعتبار أن الإزاحة الرأسية لأعلى موجبة.
- أيٌّ من التمثيلات البيانية (هـ)، (و)، (ز)، (ح) يوضِّح التغيُّر في السرعة المتجهة الرأسية للجسم بين قذفه من الأرض وعودته إليها؟ مع اعتبار أن الإزاحة الرأسية لأعلى موجبة.
الحل
الجزء الأول
في البداية، كانت إزاحة المقذوف الأفقية تساوي صفرًا. توضِّح جميع التمثيلات البيانية ذلك؛ ولذا لا يُمكن استبعاد أيٍّ منها على الفور. عندما يهبط المقذوف، تكون إزاحته الرأسية مساوية لإزاحته الرأسية عند إطلاقه. وهو ما يوضِّحه التمثيلان البيانيان (جـ) و(د) فقط.
إن شكل التمثيل البياني للإزاحة الرأسية لمقذوف مقابل الزمن يكون مشابهًا تقريبًا لمسار المقذوف، والفرق الوحيد بينهما هو أن المحور لهذا التمثيل البياني يُرسَم بحسب الزمن الذي يَستغرِقه المقذوف خلال الإزاحة الرأسية، في حين يوضِّح المسار الإزاحة الأفقية للمقذوف المقابلة لإزاحة رأسية معيَّنة. التمثيل البياني (ج) يُشبه مسار المقذوف، بينما يوضِّح التمثيل البياني (د) المقذوف يتحرَّك بعجلة في البداية باتجاه الأعلى قبل أن يتباطأ. إلا أن عجلة المقذوف تتَّجِه لأسفل خلال حركته؛ ومن ثَمَّ فالتمثيل البياني (د) غير صحيح. والتمثيل البياني (ج) صحيح.
إجابة الجزء الأول هي التمثيل البياني (ج).
الجزء الثاني
السرعة الرأسية الابتدائية للمقذوف لا تساوي صفرًا. فالمقذوف يتحرَّك لأعلى عندما يُطلق. وعليه يُمكن استبعاد التمثيلين البيانيين (هـ) و(و) على الفور.
يوضِّح التمثيلان البيانيان (ز) و(ح) بشكل صحيح أن السرعة المتجهة الرأسية للمقذوف تساوي صفرًا عند نقطة المنتصف بين إطلاقه وهبوطه. ويوضِّح التمثيل البياني (ز) أن مقدار سرعة المقذوف عندما يهبط يساوي مقدارها عند إطلاقه، وهذا صحيح، إلا أن سرعة المقذوف المتجهة تختلف عند إطلاقه وعند هبوطه؛ نظرًا لأن اتجاهي السرعة المتجهة عند الإطلاق والهبوط متعاكسان. أمَّا التمثيل البياني (ح) فيوضِّح أن السرعة المتجهة الابتدائية موجبة، كما نصَّ عليه السؤال من وجوب اعتبار السرعة المتجهة لأعلى موجبة، ويوضِّح سرعة نهائية سالبة، مُشيرًا إلى انعكاس اتجاه الحركة الرأسية للمقذوف. إن العجلة الرأسية للمقذوف ثابتة وتُشير إلى الأسفل؛ وعليه فإن ميل منحنى السرعة-الزمن يجب أن يكون خطًّا مستقيمًا يميل لأسفل، وهذا ينطبق على ميل التمثيل البياني (ح). نجد إذن أن (ح) صحيح.
إجابة الجزء الثاني هي التمثيل البياني (ح).
هيَّا نلخِّص الآن ما تعلَّمناه في هذه الأمثلة.
النقاط الرئيسية
- سرعة المقذوف الأفقية ثابتة وعجلته الرأسية ثابتة، وذلك بافتراض عدم وجود مقاومة هواء.
- مسار المقذوف مسار منحنٍ.
- يعتمد الزمن الذي يَستغرِقه المقذوف في الهواء على سرعته الرأسية الابتدائية.
- تعتمد المسافة الأفقية التي يقطعها المقذوف على السرعة الأفقية للمقذوف والزمن الذي يظلُّ فيه في الهواء.
- تعتمد المسافة الرأسية التي يقطعها المقذوف على السرعة الرأسية الابتدائية للمقذوف.
- تكون السرعة المتجهة الرأسية للمقذوف صفرًا عندما يكون عند أقصى ارتفاع له.
- المقذوف الذي يُطلَق ويهبط عند نقاط لها الارتفاع نفسه يكون له السرعة نفسها عند الارتفاع نفسه سواء كان يرتفع أم يهبط.
