شارح الدرس: المتجهات في الفضاء الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نمثِّل متجهًا في الفضاء باستخدام نظام إحداثي ثلاثي الأبعاد.

نُوجِد مركبات متجه يصل بين نقطتين في فضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام إحداثيات معلومة، بالإضافة إلى جمع المتجهات وطرحها. نُوجِد بعد ذلك إحداثيات نقطة مجهولة باستخدام إحداثيات نقطة معلومة ومركبات المتجه المعلوم بينهما. وأخيرًا، نُوجِد مركبات متجه ثلاثي الأبعاد ممثَّل بيانيًّا.

يُرمَز إلى اتجاه المتجه الممثَّل بيانيًّا بسهم، له ذيل (نقطة البداية) ورأس (نقطة النهاية). نبدأ بتناول المقصود بمتجه الوحدة.

تعريف: متجهات الوحدة

متجه الوحدة هو متجه مقداره يساوي ١. ويُشار إلى متجهات الوحدة في الاتجاهات 𞸎، 𞸑، 𞸏 بالرموز 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞹏 على الترتيب.

يمكن كتابة أي متجه على الصورة 𞸎󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸑󰄮󰄮󰄮𞹑+𞸏󰄮󰄮𞹏. وبدلًا من ذلك، يمكن تمثيل المتجهات على الصورة (𞸎،𞸑،𞸏) والصورة 󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬.

في المثال الأول، نتناول متجه الوحدة في اتجاه أحد المحاور.

مثال ١: إيجاد متجه الوحدة في اتجاه المحور ص

أوجد متجه الوحدة في اتجاه المحور 𞸑.

الحل

ننظر إلى شبكة الإحداثيات الثلاثية الأبعاد التي نقطة أصلها 𞸅. يمكن كتابة أي متجه على الصورة (𞸎،𞸑،𞸏)؛ حيث 𞸎، 𞸑، 𞸏 هي مركبات المتجه في كل اتجاه من هذه الاتجاهات. ويُشار إلى متجهات الوحدة في كلٍّ من هذه الاتجاهات الموجبة بالرموز 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞹏 على الترتيب.

متجهات الوحدة مقدارها يساوي ١، وعرفنا من معطيات السؤال أن متجه الوحدة يتحرَّك في اتجاه المحور 𞸑. يمكننا اختيار البدء من نقطة الأصل التي إحداثياتها (٠،٠،٠)، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

نلاحظ من الشكل أن المتجه يتحرَّك بالكامل في الاتجاه 𞸑، إذن مركبتاه 𞸎، 𞸏 تساويان صفرًا. إذا كان 𞸎=٠، 𞸏=٠، ولكي يكون للمتجه اتجاه موجب ومقدار (طول) يساوي ١، فإن المركبة 𞸑 يجب أن تساوي ١.

متجه الوحدة 󰄮󰄮󰄮𞹑 في اتجاه المحور 𞸑 يساوي (٠،١،٠).

وبالمثل، متجه الوحدة في اتجاه المحور 𞸎 يساوي (١،٠،٠)، ومتجه الوحدة في اتجاه المحور 𞸏 يساوي (٠،٠،١).

الإجابة: (٠،١،٠)

نتناول الآن متجهًا في الفضاء يبدأ من نقطة الأصل.

في الشكل التالي، إحداثيات النقطة 󰏡 هي (٢،٥،٣)، والمتجه 󰄮󰄮𞸅󰏡 يبدأ من نقطة الأصل وينتهي عند النقطة 󰏡.

نتحرَّك من نقطة الأصل بمقدار وحدتين في اتجاه 𞸎 الموجب، و٥ وحدات في اتجاه 𞸑 الموجب، و٣ وحدات في اتجاه 𞸏 الموجب؛ إذن 󰄮󰄮𞸅󰏡=(٢،٥،٣).

تعريف: المتجه من نقطة الأصل

إذا كانت إحداثيات النقطة 󰏡 هي (𞸎،𞸑،𞸏)، فإن: 󰄮󰄮𞸅󰏡=(𞸎،𞸑،𞸏)، حيث المركبات 𞸎، 𞸑، 𞸏 هي إزاحات النقطة 󰏡 في الاتجاهات 𞸎، 𞸑، 𞸏 من نقطة الأصل.

يتسم اتجاه المتجه بالأهمية؛ إذ يبدأ المتجه 󰄮󰄮𞸅󰏡 من نقطة الأصل وينتهي عند النقطة 󰏡، أما المتجه 󰄮󰄮󰏡𞸅 فيبدأ من النقطة 󰏡 وينتهي عند نقطة الأصل. يعني هذا أن المتجهين سيكونان في اتجاهين متضادين؛ ومن ثَمَّ، تكون لكل مركبة إشارة مختلفة.

إذا كان 󰄮󰄮𞸅󰏡=(٢،٣،٥)، فإن 󰄮󰄮󰏡𞸅=(٢،٣،٥).

تعريف: المتجه في الاتجاه المضاد

لأيِّ نقطة 󰏡: 󰄮󰄮𞸅󰏡+󰄮󰄮󰏡𞸅=󰄮𞸅.

هذا يعني أن: 󰄮󰄮𞸅󰏡=󰄮󰄮󰏡𞸅، وإذا كان 󰄮󰄮𞸅󰏡=(𞸎،𞸑،𞸏)، فإن 󰄮󰄮󰏡𞸅=(𞸎،𞸑،𞸏).

نتناول الآن كيفية إيجاد تعبير لمتجه في فضاء ثلاثي الأبعاد بين أي نقطتين.

مثال ٢: فهم المتجهات بين نقطتين معطاتين

أيٌّ من الآتي يساوي المتجه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁؟

  1. 󰏡󰄮󰄮𞸁
  2. 󰏡+󰄮󰄮𞸁
  3. 󰄮󰄮𞸁󰏡
  4. 󰏡×󰄮󰄮𞸁

الحل

هيا نبدأ بالنظر إلى نقطتين مختلفتين 󰏡، 𞸁 في الفضاء، كما هو موضَّح في الشكل.

نريد رسم المتجه من 󰏡 إلى 𞸁، ويُشار إليه بـ 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁:

لكي نفعل ذلك، يمكننا التحرُّك عبر نقطة الأصل، كما هو موضَّح في الشكل الآتي. يمكننا الانتقال من النقطة 󰏡 إلى النقطة 𞸅، ثم من النقطة 𞸅 إلى النقطة 𞸁:

يمكن كتابة ذلك في صورة المعادلة الآتية باستخدام المتجهات: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮󰏡𞸅+󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁.

لأيِّ نقطة 󰏡، فإن 󰄮󰄮󰏡𞸅=󰄮󰄮𞸅󰏡.

يمكننا استخدام هذه الخاصية لإعادة كتابة المعادلة كالآتي: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮𞸅󰏡+󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁.

أيُّ متجه من نقطة الأصل إلى نقطة معطاة ستكون المركبات 𞸎، 𞸑، 𞸏 له تساوي إحداثيات النقطة، إذن 󰄮󰄮𞸅󰏡=󰏡، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁=󰄮󰄮𞸁.

يمكننا استخدام ذلك لإعادة كتابة المعادلة: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮𞸅󰏡+󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁=󰏡+󰄮󰄮𞸁=󰄮󰄮𞸁󰏡.

إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار (جـ).

الإجابة: 󰄮󰄮𞸁󰏡

النقطة 󰏡 والمتجه 󰄮󰄮𞸅󰏡 لهما المركبات نفسها، ولكن من المهم أن نلاحظ أن ما لدينا هنا هو نقطة ومتجه. يمكننا تعميم فكرة أنه يمكننا إيجاد المتجه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 بطرح المتجه 󰏡󰂔󰄮󰄮𞸅󰏡󰂓 من المتجه 󰄮󰄮𞸁󰁓󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁󰁒.

يقودنا هذا إلى القاعدة التالية عند التعامل مع متجه بين نقطتين.

تعريف: المتجه بين نقطتين

نحصل على المتجه بين أي نقطتين 󰏡󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١، 𞸁󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٢٢٢ من العلاقة: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰁓𞸎𞸎،𞸑𞸑،𞸏𞸏󰁒.٢١٢١٢١

يُعَدُّ اتجاه المتجه مهمًّا. نحن نعلم أن 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡 لهما اتجاهان متضادان والمقدار نفسه. وعند جمع هذين المتجهين معًا، فإن الإزاحة تساوي صفرًا؛ ونحصل من ذلك على نتيجة مفيدة.

تعريف: المتجه في الاتجاه المضاد

لأيِّ نقطتين في الفضاء 󰏡، 𞸁: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡=(٠،٠،٠).

هذا يعني أن: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡.

في المثال التالي، سنُوجِد المتجه بين نقطتين معطاتين في الفضاء.

مثال ٣: إيجاد المتجه بين نقطتين معطاتين

إذا كان 󰏡=(٦،١،٤)، 󰄮󰄮𞸁=(٣،١،٢)، فأوجد 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁.

الحل

لأيِّ نقطتين 󰏡، 𞸁، نعمِّم فكرة أنه يمكننا إيجاد المتجه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 بطرح المتجه 󰏡󰂔󰄮󰄮𞸅󰏡󰂓 من المتجه 󰄮󰄮𞸁󰁓󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁󰁒: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮𞸁󰏡.

هذا يعني أن: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=(٣،١،٢)(٦،١،٤)=(٣٦،١١،٢٤)=(٣،٠،٢).

ومن ثَمَّ، المتجه من 󰏡 إلى 𞸁 يساوي (٣،٠،٢).

الإجابة: (٣،٠،٢)

نتناول الآن المعادلة العامة لمتجه الموضع.

تعريف: معادلة متجه الموضع

لأيِّ نقطتين 󰏡، 𞸁، بالإضافة إلى نقطة الأصل 𞸅: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁󰄮󰄮𞸅󰏡.

يمكننا إضافة 󰄮󰄮𞸅󰏡 إلى طرفَي هذه المعادلة لنحصل على: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+󰄮󰄮𞸅󰏡=󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁.

في المثال الرابع، نُوجِد متجه موضع لنقطة مجهولة باستخدام متجه موضع نقطة معلومة ومركبات المتجه بين النقطتين.

مثال ٤: إيجاد متجه موضع نقطة بمعلومية المتجه الذي يربطها بنقطة أخرى معطاة

إذا كان 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=(١،٣،٠)، 󰏡=(٤،٥،٥)، فأوجد 󰄮󰄮𞸁 بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.

الحل

تذكَّر أنه لأيِّ نقطتين 󰏡، 𞸁، فإننا نعمِّم فكرة أنه يمكننا إيجاد المتجه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 بطرح المتجه 󰏡󰂔󰄮󰄮𞸅󰏡󰂓 من المتجه 󰄮󰄮𞸁󰁓󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁󰁒: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮𞸁󰏡.

بإضافة 󰏡 إلى طرفَي المعادلة، نحصل على: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+󰏡=󰄮󰄮𞸁.

لجمع المتجهات معًا، نجمع المركبات المتناظرة.

بالتعويض بمركبات 󰏡، 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 في المعادلة لدينا، نحصل على: 󰄮󰄮𞸁=(١،٣،٠)+(٤،٥،٥)=(١+(٤)،٣+(٥)،٠+(٥))=(٥،٨،٥).

إذن 󰄮󰄮𞸁=٥󰄮󰄮󰄮𞹎٨󰄮󰄮󰄮𞹑٥󰄮󰄮𞹏.

الإجابة: ٥󰄮󰄮󰄮𞹎٨󰄮󰄮󰄮𞹑٥󰄮󰄮𞹏

في المثالين الأخيرين، سنُوجِد مركبات متجه ثلاثي الأبعاد بيانيًّا.

مثال ٥: إيجاد مركبات متجه موضع ثلاثي الأبعاد ممثَّل بيانيًّا

باستخدام التمثيل البياني، اكتب المتجه 󰏡 بدلالة مركباته.

الحل

نلاحظ من الشكل أن إحداثيات النقطة 󰏡 هي (٢،٣،٤)؛ حيث ننتقل بمقدار وحدتين في اتجاه 𞸎 الموجب، وبمقدار ٣ وحدات في اتجاه 𞸑 الموجب، وبمقدار ٤ وحدات في اتجاه 𞸏 الموجب.

يبدأ المتجه 󰏡 من نقطة الأصل وينتهي عند النقطة 󰏡. يعني هذا أن 󰏡=󰄮󰄮𞸅󰏡. ستكون المركبات 𞸎، 𞸑، 𞸏 للمتجه تساوي إحداثيات النقطة 󰏡: 󰏡=(٢،٣،٤).

الإجابة: (٢،٣،٤)

مثال ٦: إيجاد مركبات متجه ثلاثي الأبعاد ممثَّل بيانيًّا

أوجد المتجه 󰄮󰄮󰏡𞸆 باستخدام التمثيل البياني.

الحل

نتذكَّر أنه يمكن الحصول على المتجه بين أيِّ نقطتين 󰏡󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١، 𞸁󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٢٢٢ من العلاقة: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰁓𞸎𞸎،𞸑𞸑،𞸏𞸏󰁒.٢١٢١٢١

نلاحظ من الشكل أن الرأس 󰏡 إحداثياته (١،١،٠)، والرأس 𞸆 إحداثياته (٤،٤،٣).

إذن: 󰄮󰄮󰏡𞸆=(٤١،٤١،٣٠)󰄮󰄮󰏡𞸆=(٣،٣،٣).

بدلًا من ذلك، يمكننا حل هذه المسألة باستخدام متجهات الموضع. نحن نعلم أنه يمكننا إيجاد المتجه 󰄮󰄮󰏡𞸆 بطرح المتجه 󰏡 أو 󰄮󰄮𞸅󰏡 من المتجه 󰄮𞸆 أو 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸆: 󰄮󰄮󰏡𞸆=󰄮󰄮󰄮𞸅𞸆󰄮󰄮𞸅󰏡.

إحداثيات الرأس 󰏡 هي (١،١،٠)، ما يعني أن 󰄮󰄮𞸅󰏡=(١،١،٠). وبالمثل، إحداثيات الرأس 𞸆 هي (٤،٤،٣)، ما يعني أن 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸆=(٤،٤،٣).

إذن: 󰄮󰄮󰏡𞸆=(٤،٤،٣)(١،١،٠).

بطرح المركبات المتناظرة، نحصل على: 󰄮󰄮󰏡𞸆=(٤١،٤١،٣٠)=(٣،٣،٣).

بما أن الشكل المُعطى مكعب طول حرفه ٣، إذن نعرف أن كل مركبة تساوي ٣، وهو ما يؤكِّد الإجابة بأن المتجه 󰄮󰄮󰏡𞸆=(٣،٣،٣).

الإجابة: (٣،٣،٣)

ننهي هذا الشارح باسترجاع بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • يمكن كتابة أي متجه في فضاء ثلاثي الأبعاد على الصورة الإحداثية (𞸎،𞸑،𞸏)، أو بدلالة متجهات الوحدة الأساسية 𞸎󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸑󰄮󰄮󰄮𞹑+𞸏󰄮󰄮𞹏.
  • يمكن كتابة المتجه الذي يصل النقطة 󰏡 في الفضاء بنقطة الأصل 𞸅 على الصورة 󰏡 أو 󰄮󰄮𞸅󰏡، ومركباته تساوي إحداثيات النقطة 󰏡.
  • يمكن إيجاد المتجه الذي يصل بين النقطتين 󰏡، 𞸁، ويُكتَب على الصورة 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، من خلال طرح المتجه 󰏡 من المتجه 󰄮󰄮𞸁؛ حيث 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁󰄮󰄮𞸅󰏡.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.