في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نربط بين الدفع المؤثِّر على جسم والتغيُّر في كمية حركة الجسم.
حسب قانون نيوتن الثاني، نعلم أنه عندما تؤثِّر قوة ثابتة على جسم، فإنها تجعله يتسارع، وهذا يعني أن سرعة الجسم تتغيَّر. سنتعرَّف الآن على كمية جديدة، وهي الدفع، وهي كمية تتعلَّق بالزمن الذي تؤثِّر خلاله القوة.
تعريف: الدفع
الدفع، ، هو تكامل القوة، ، بالنسبة إلى الزمن على الفترة الزمنية، ، التي تؤثِّر خلالها القوة:
هيا الآن نُعرِّف كمية الحركة لجسم.
تعريف: كمية الحركة لجسم
تُعطى كمية الحركة لجسمٍ ما بالعلاقة: حيث كتلة الجسم، سرعة الجسم.
نلاحظ أن كمية الحركة للجسم تتناسب مع كلٍّ من كتلة الجسم وسرعته.
كما نُشير إلى أن كمية الحركة للجسم هي كمية متجهة لها نفس اتجاه السرعة المتجهة للجسم. عندما تؤثِّر قوة محصلة، ، على جسم كتلته ثابتة، ، فإن عجلة الجسم تتناسب طرديًّا مع القوة، وعكسيًّا مع الكتلة، حسب قانون نيوتن الثاني للحركة، ونوضِّح ذلك بالمعادلة الآتية: أو: حيث عجلة الجسم.
بما أن ، إذن نحصل على:
وبما أن ، ثابت، إذن يمكن كتابة العلاقة السابقة كالآتي:
عن طريق تكامل طرفَي المعادلة على الفترة ، نحصل على: حيث سرعة الجسم قبل تأثير القوة عليه، سرعة الجسم عند توقُّف تأثير القوة عليه.
خاصية: الدفع والتغيُّر في كمية الحركة
بالنسبة إلى جسمٍ كتلتُه ثابتة، يكون الدفع الناتج عن تأثير قوة خلال فترة زمنية مساويًا للتغيُّر في كمية حركة الجسم:
نفترض أن جسمًا كتلته ثابتة يتحرَّك بسرعة ثابتة يصطدم بحائط ويرتد منه.
لعل الحالة الأشهر للدفع المؤثِّر على جسم هي تلك الحالة التي يتحرَّك فيها الجسم، بعد تصادم كهذا، بسرعة ثابتة في الاتجاه المعاكس للاتجاه الذي تحرَّك فيه قبل التصادم. يوضِّح الشكل الآتي هذه الحالة.
في هذه الحالات، لا يلزم معرفة الزمن الذي تؤثِّر فيه القوة على الجسم، وإنما السرعة الابتدائية والسرعة النهائية للجسم فقط.
نُلقي نظرة على مثال يوضِّح هذه الحالة.
مثال ١: إيجاد الدفع المؤثِّر على كرة تتحرَّك على مستوى أفقي أملس بعد اصطدامها بحاجز
تحرَّكت كرة ملساء كتلتها ١ ٤١٢ جم أفقيًّا في خط مستقيم بسرعة ١٣٫٥ م/ث، فاصطدمت بحائط رأسي أملس، وارتدت بسرعة ٩ م/ث. أوجد مقدار الدفع المؤثِّر على الكرة.
الحل
إن الدفع الناتج عن القوة المؤثِّرة على الكرة أثناء ارتدادها يؤدِّي إلى تغيُّر كمية حركة الكرة. ويمكن إيجاد التغيُّر في كمية الحركة من كمية حركة الكرة قبل وبعد الارتداد.
قبل الارتداد، تُعطَى كمية حركة الكرة بالعلاقة:
بما أن الكرة تتحرَّك في خط أفقي، فإن مركبة كمية الحركة في اتجاه المحور الأفقي، ، هي: حيث مركبة سرعة الكرة في اتجاه المحور الأفقي قبل اصطدامها بالحائط.
تُقاس كمية الحركة عادةً بوحدة كيلوجرام ⋅ متر لكل ثانية (كجم⋅م/ث)؛ لذا، نُحوِّل كتلة الكرة من ١ ٤١٢ جرامًا إلى ١٫٤١٢ كيلوجرام لتتوافق مع ذلك.
نعتبر اتجاه سرعة الكرة قبل الارتداد اتجاهًا موجبًا، وبهذا تكون كمية الحركة الابتدائية للكرة:
بعد الارتداد، نحصل على مركبة كمية الحركة للكرة في اتجاه المحور الأفقي من العلاقة: حيث مركبة سرعة الكرة في اتجاه المحور الأفقي بعد الارتداد. لكن، بما أن اتجاه الكرة ينعكس، إذن تصبح قيمة السرعة الآن سالبة، فنحصل على كمية الحركة كالآتي:
الدفع الناتج عن القوة يساوي التغيُّر في كمية الحركة للكرة، ويُعطَى كالآتي:
اتجاه الدفع عكس اتجاه السرعة الابتدائية للكرة. مقدار التغيُّر في كمية حركة الكرة يساوي مقدار الدفع المؤثِّر على الكرة، ٣١٫٧٧ كجم⋅م/ث.
جدير بالملاحظة أن الفترة الزمنية التي حدث فيها تلامس بين الكرة والحائط غير مُعطاة، ولا حاجة لمعرفتها لتحديد الدفع؛ لأن الدفع يساوي التغيُّر في كمية الحركة، وهو ما يمكن تحديده من التغيُّر في سرعة الكرة.
ثمة حالة أخرى للدفع المؤثِّر على جسم، وهي الحالة التي يؤثِّر فيها الدفع على جسمٍ يتحرَّك في وسط مقاوِم. إذ يؤدِّي الدفع الناتج عن الوسط المقاوِم إلى تسارع الجسم في الاتجاه المعاكس لاتجاه سرعته؛ حيث تئُول السرعة إلى قيمة صغرى غير سالبة في الاتجاه الابتدائي لحركة الجسم، بدلًا من أن تجعل الجسم يعكس اتجاهه. ويؤثِّر الدفع الناتج من الوسط على الجسم خلال حركة هذا الجسم في الوسط. يوضِّح الشكل الآتي هذه الحالة.
نُلقي نظرة الآن على مثال؛ حيث يُنتِج الوسط المقاوِم دفعًا على الجسم.
مثال ٢: إيجاد التغيُّر في كمية حركة جسم نتيجة مقاومة الماء
سقط جسم كتلته ٥ كجم رأسيًّا من السكون. استغرق الجسم مدة ٢٫٢ ثانية قبل الوصول إلى سطح الماء. بعد ذلك، تحرَّك الجسم داخل الماء وغاص رأسيًّا لأسفل بسرعة متوسطة حتى قطع ٣٫٩ م في ١٫٥ ثانية. أوجد مقدار التغيُّر في كمية حركة الجسم نتيجة مقاومة الماء.
الحل
في هذا السؤال، يتحرَّك الجسم في خط مستقيم، وهذا يعني أن الكميات المتجهة؛ مثل القوة والإزاحة والسرعة والعجلة، جميعها أحادية البُعد (في اتجاه محور الحركة). يمكننا، بناءً على ذلك، استخدام معادلات الحركة الأحادية البُعد التي تتضمَّن المركبات المفردة لتلك المتجهات. نعتبر هنا أن الاتجاه الموجب هو الاتجاه لأسفل. من ثَمَّ، تُعطى سرعة الجسم عند وصوله للماء من خلال: حيث السرعة الرأسية الابتدائية للجسم، العجلة الرأسية، الزمن الذي يتسارع فيه الجسم.
الجسم في البداية في حالة سكون؛ ومن ثَمَّ، فإن يساوي صفرًا. قيمة هي قيمة عجلة الجاذبية الأرضية، وتساوي تقريبًا ٩٫٨ م/ث٢. بمراعاة ذلك، يصبح لدينا:
عندما يتحرَّك الجسم في الماء، تتغيَّر سرعته. ورد في السؤال أن إزاحة الجسم الرأسية لأسفل، التي تساوي ٣٫٩ م، تحدث في فترة زمنية تساوي ١٫٥ ثانية بعد أن يصل الجسم إلى الماء.
عندما يغوص الجسم ويقطع ٣٫٩ م في ١٫٥ ثانية، تكون له سرعة متوسطة في هذه الفترة الزمنية تُعطَى كالآتي:
ومن ثَمَّ، فإن الدفع المؤثِّر على الجسم يُعطَى بالعلاقة:
بالتعويض بقيم الكتلة وسرعة الجسم عندما يصل إلى الماء والسرعة المتوسطة للجسم في الماء، نحصل على:
الدفع المؤثِّر على الجسم سالب على الرغم من استمرار الجسم في الحركة في الاتجاه نفسه قبل تأثير القوة عليه وبعده. تقلِّل القوة التي تُنتِج الدفع من سرعة الجسم في اتجاه سرعته الابتدائية؛ ولذا، تكون إشارة الدفع عكس إشارة السرعة الابتدائية.
مقدار التغيُّر في كمية حركة الجسم يساوي مقدار الدفع المؤثِّر على الجسم، ٩٤٫٨ كجم⋅م/ث.
في المثال الأول، نتج الدفع عن قوة أثَّرت أثناء التلامس بين جسم وحائط. وأثَّرت القوة خلال فترة زمنية غير معلومة. أما في المثال الثاني، فنتج الدفع عن قوة أثَّرت نتيجة مقاومة وسط. وأثَّرت القوة خلال حركة الجسم في الوسط.
من المقبول أن نتحدَّث عن فترة زمنية محدَّدة للتلامس بين الجسم والحائط، حتى إذا كانت الفترة الزمنية صغيرة. في الواقع، يجب إيجاد الفترة الزمنية للتلامس بين الجسم والحائط لتحديد القوة المؤثِّرة على الجسم الناتجة عن تلامسه مع الحائط.
افترض أن جسمًا ينتقل من النقطة إلى النقطة ، ثم إلى النقطة ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
لا شك أن الجسم لا بد أن يتسارع عند نقطة ما أثناء حركته؛ لأنه يعكس اتجاهه. بمعلومية إزاحتَي كلٍّ من ، من فقط، لا يمكن إيجاد مقدار عجلة الجسم. لا بد من معرفة معدَّل تغيُّر الإزاحة لإيجاد عجلة الجسم.
وبالمثل، لا يمكن أن نُوجِد مقدار القوة التي تؤثِّر على جسم فتؤدِّي لتغيير كمية حركته بمعلومية التغيُّر في كمية حركة الجسم وحده، فلا بد من معرفة معدَّل تغيُّر كمية حركة الجسم لتحديد مقدار القوة.
وإذا كانت الفترة الزمنية التي تؤثِّر فيها القوة معلومة، فيمكن تحديد متوسط القوة المؤثِّرة خلال هذه الفترة الزمنية. هيا نتناول مثالًا مطلوبًا فيه إيجاد القوة المتوسطة خلال فترة زمنية.
مثال ٣: إيجاد قوة تصادم جسم يسقط رأسيًّا على الأرض ويرتد
سقطت كرة كتلتها ٨٣ جم رأسيًّا من ارتفاع ٨٫١ م على أرضية أفقية. ارتدَّت الكرة لأعلى حتى وصلت إلى ارتفاع ٣٫٦ م. إذا كانت مدة التصادم ٠٫٤٢ ثانية، وعجلة الجاذبية الأرضية ٩٫٨ م/ث٢، فأوجد متوسط قوة التصادم لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
في هذا السؤال، تتحرَّك الكرة رأسيًّا في خط مستقيم، وهذا يعني أن الكميات المتجهة؛ مثل القوة والإزاحة والسرعة والعجلة، جميعها أحادية البُعد (في اتجاه محور الحركة). يمكننا، بناءً على ذلك، استخدام معادلات الحركة الأحادية البُعد التي تتضمَّن المركبات المفردة لتلك المتجهات.
لحل هذا السؤال، علينا افتراض أن الكرة تسقط من السكون. وعلى هذا الافتراض، يمكننا حساب سرعة الكرة عند وصولها إلى الأرضية، باستخدام المعادلة: حيث يساوي صفرًا، يساوي ٩٫٨ م/ث٢. نلاحظ أننا نعتبر العجلة في الاتجاه الرأسي لأسفل موجبة.
تُعطَى قيمة كالآتي:
ويمكن استخدام المعادلة نفسها لحساب سرعة الكرة لأعلى بعد ارتدادها عن الأرض مباشرةً؛ حيث تساوي سرعة الكرة صفرًا عند بلوغها أقصى ارتفاع بعد ارتدادها. عندما ترتد الكرة، يمكننا تعريف الاتجاه الرأسي لأعلى بأنه الاتجاه الموجب.
تُعطَى قيمة كالآتي:
لقد عرَّفنا الاتجاه الرأسي لأعلى بأنه الاتجاه الموجب؛ ومن ثَمَّ، فإن قيمة سالبة. يصبح لدينا إذن:
نحصل على التغيُّر في سرعة الكرة الناتج عن قوة تصادمها كالآتي:
السرعة الابتدائية في الاتجاه المعاكس للسرعة النهائية، ولأننا عرَّفنا السرعة النهائية بأنها موجبة، تكون السرعة الابتدائية سالبة.
تتناسب كمية حركة الكرة طرديًّا مع كتلتها. وحدة كمية الحركة اللازمة عندما يكون الزمن بالثانية والإزاحة بالمتر، والتي يمكن استخدامها مباشرةً لإيجاد قوة مقيسة بالنيوتن، هي كيلوجرام ⋅ متر لكل ثانية (كجم⋅م/ث)؛ ولذلك نحوِّل الكتلة التي مقدارها ٨٣ جرامًا إلى ٠٫٠٨٣ كجم. يمكن الحصول على التغيُّر في كمية حركة الكرة من العلاقة:
وباستخدام المعادلة: مع تذكُّر أن الدفع يساوي التغيُّر في كمية الحركة، نجد أن: حيث ورد في السؤال أن مدة التصادم، ، تساوي ٠٫٤٢ ث.
نحصل على قيمة القوة المتوسطة كالآتي:
نتناول الآن مثالًا مطلوبًا فيه إيجاد الدفع الناتج عن تأثير قوى مكتوبة على الصورة الإحداثية للمتجهات.
مثال ٤: إيجاد الدفع المؤثِّر على جسم تؤثِّر عليه ثلاث قوى مكتوبة على الصورة المتجهة خلال فترة زمنية معطاة
ثلاث قوى: ، ، ؛ حيث ، ، متجهات وحدة يتعامد بعضها على بعض، تؤثِّر على جسمٍ لمدة ٣ ثوانٍ. أوجد مقدار الدفع الكلي المؤثِّر على الجسم.
الحل
هناك ثلاث قوى مؤثِّرة على الجسم، يمكن جمع هذه القوى لإيجاد القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم.
القوة المحصلة في اتجاه تساوي:
القوة المحصلة في اتجاه تساوي:
القوة المحصلة في اتجاه تساوي:
محصلة هذه القوى هي القوة ، وهي كالآتي:
نحصل على مقدار القوة كالآتي:
يُعطَى الدفع الناتج عن بالعلاقة:
الفترة الزمنية التي تؤثِّر فيها هي ٣ ثوانٍ؛ ومن ثَمَّ، فإن مقدار الدفع يكون:
كان من الممكن الحصول على النتيجة نفسها بضرب كل مركبة من مركبات في كالآتي:
دَفْع القوة هو حاصل ضرب القوة والزمن الذي تؤثِّر فيه القوة؛ ومن ثَمَّ، فإن دفع القوة يساوي المساحة تحت التمثيل البياني للقوة مُقابِل الزمن. نُلقي نظرة على مثال يتضمَّن التمثيل البياني للقوة مُقابِل الزمن.
مثال ٥: حساب مقدار الدفع المؤثِّر على جسم بمعلومية التمثيل البياني للقوة مُقابِل الزمن
يوضِّح الشكل الآتي تمثيلًا بيانيًّا لقوة تؤثِّر في اتجاه ثابت على جسم يتحرَّك على مستوى أفقي أملس مُقابِل الزمن. باستخدام المعلومات المعطاة، احسب مقدار دفع القوة.
الحل
مقدار دفع القوة هو حاصل ضرب القوة والزمن الذي تؤثِّر فيه القوة.
تُعطَى مساحة شبه المنحرف بالعلاقة: حيث ، طولا الضلعين المتوازيين، الارتفاع العمودي بينهما.
وبالنظر إلى التمثيل البياني، نجد أن:
نحصل على مساحة شبه المنحرف كالآتي:
دفع القوة يساوي هذه المساحة، إذن:
الآن، هيا نُلقِ نظرة على مثال مطلوب فيه إيجاد دفع القوة؛ حيث تكون القوة دالة في الزمن.
مثال ٦: إيجاد مقدار دفع قوة مؤثِّرة على جسم لفترة زمنية معيَّنة باستخدام القوة باعتبارها دالة في الزمن
يوضِّح الشكل الآتي تمثيلًا بيانيًّا للقوة مُقابِل الزمن. عند الزمن ثانية؛ حيث ، تُعطَى القوة بالعلاقة . أوجد الدفع خلال الثواني الأربع الأولى.
الحل
دفع القوة في الثواني الأربع الأولى يساوي المساحة المحصورة بين المنحنى الذي يمثِّل التغيُّر في قيمة القوة مع الزمن، ومحورَي القوة والزمن بين ، . يمكن إيجاد هذه المساحة باستخدام التكامل، وذلك باستخدام المعادلة: في هذه الحالة لدينا:
باستخدام هذه القيم، نجد أن:
يمكن حل هذا التكامل بالتعويض.
لفعل ذلك، نجعل:
نستنتج بعد ذلك أن:
يمكن التعبير عن حدَّي التكامل بدلالة ؛ ولذلك عندما يكون: وعندما يكون:
يمكننا إذن ملاحظة أن:
النقاط الرئيسية
- الدفع، ، هو تكامل القوة، ، بالنسبة إلى الزمن، على الفترة الزمنية، ، التي تؤثِّر خلالها القوة:
- بالنسبة إلى قوة ثابتة، ، تؤثِّر في فترة زمنية ، يُعطَى الدفع بالمعادلة:
- بالنسبة إلى قوة ذات قيمة متوسطة، ، تؤثِّر في الفترة الزمنية ، يُعطَى الدفع بالمعادلة:
- بالنسبة إلى جسم كتلته ثابتة، نجد أن: حيث سرعة الجسم قبل تأثير القوة عليه، سرعة الجسم عند توقُّف تأثير القوة عليه.
