شارح الدرس: التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن العلوم • الصف الثالث الإعدادي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن للمقارنة بين سرعات الأجسام.

التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن تمثيل بياني يوضِّح الزمن على المحور الأفقي والمسافة المقطوعة على المحور الرأسي، كما هو الحال في التمثيل البياني الآتي.

في هذا الشارح، سنتحدَّث عن كيفية رسم البيانات على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن وكيفية قراءة التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن لفهْم السرعة التي يتحرَّك بها أيُّ جسم.

هيَّا نبدأ بإضافة بعض البيانات إلى التمثيل البياني السابق. في هذا المثال، سنقيس حركة شخص يمشي. بالقياس من نقطة البداية، لدينا علامات بمسافة طولها ٢ متر بين كلِّ علامة والعلامة التي تَلِيها. سنبدأ ساعة إيقاف عندما يكون الشخص عند العلامة الأولى. عند عبوره لكلِّ علامة، نسجِّل الفترة الزمنية التي مرَّت، كما هو موضَّح بالشكل الآتي.

يُمكننا تلخيص هذه البيانات في جدول؛ حيث نسجِّل قياسات المسافة والزمن.

يُعَدُّ الجدول طريقة مُفيدة لتلخيص البيانات، لكنْ تصعب ملاحَظة أيِّ نمط. لتوضيح هذه البيانات بشكلٍ مرئيٍّ، يُمكننا تمثيلها بيانيًّا. للقيام بذلك، علينا إيجاد كلِّ قيمة للزمن على المحور الأفقي، ثم التحرُّك لأعلى لإيجاد قيمة المسافة المناظِرة على المحور الرأسي. في هذا المثال، سنبدأ بإضافة نقطة عند البداية؛ أيْ عند الزمن ٠ ث والمسافة ٠ م. نضع هذه النقطة عند نقطة الأصل في التمثيل البياني، كما هو موضَّح في التمثيل البياني الآتي.

بعد ذلك، نُضيف النقطة الثانية؛ حيث الزمن ٣ ث، والمسافة ٢ م. بما أن هاتين القيمتين مختلفتان، علينا التأكُّد من أننا حدَّدنا المحورين بطريقة صحيحة. نفعل ذلك عن طريق مطابَقة الوصفين، كما هو موضَّح في التمثيل البياني الآتي.

لتمثيل هذه النقطة، علينا أولًا تحديد موقع ٣ ث على المحور الأفقي، و٢ م على المحور الرأسي، كما هو موضَّح في التمثيل البياني الآتي.

نرسم الآن خطَّيْن، أحدهما لأعلى من النقطة ٣ ث على المحور الأفقي، والآخَر يتَّجِه أفقيًّا من النقطة ٢ م على المحور الرأسي. عند نقطة الْتقاء الخطَّيْن، نضع نقطة. وهذا موضَّح في التمثيل البياني الآتي.

يُمكننا إضافة باقي النقاط بالطريقة نفسها للحصول على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن لحركة الشخص.

تُعطينا هذه الأمثلة بعض التدريب على ربط البيانات في الجداول بنقاط على تمثيل بياني.

مثال ١: ربط البيانات في الجداول بنقاط على التمثيل البياني

يوضِّح الجدول المسافات التي تحرَّكتْها ثلاث سيارات لُعبة كلَّ ثانية. أيُّ العلامات على التمثيل البياني توضِّح حركة السيارة المسجَّلة في الجدول؟

الزمن (ث)	٠	١	٢	٣	٤
المسافة المقطوعة (م)	٠	٢	٤	٦	٨

الحل

لدينا هنا تمثيل بياني يحتوي على ثلاث مجموعات من النقاط، ممثَّلة بثلاثة رموز مختلفة، وعلينا تحديد أيٌّ من هذه الرموز يوضِّح حركة السيارة المسجَّلة في الجدول.

إذا بدأنا بمجموعة النقاط (أ)، الصُّلبان الزرقاء، فسنلاحِظ أن النقطة الأولى تُوجَد عند نقطة الأصل، وهو ما يُناظِر زمنًا يساوي ٠ ث، ومسافة مقدارها ٠ م. وهذا يتطابَق مع الجدول، لكنَّ كلًّا من المجموعتين الأخريَيْن يشمل نقطة عند نقطة الأصل أيضًا؛ لذا لا يُمكننا استخدام هذه النقطة للتفرقة بين مجموعات النقاط.

وبالانتقال إلى الصَّلِيب الأزرق التالي، فإنه يتَحاذَى مع ١ ث على المحور الأفقي، و٢ م على المحور الرأسي. وهذا يُطابِق أيضًا المُدخَل الثاني في الجدول. بالنظر إلى العلامتين الأخريَيْن المحاذِيتين لـ ١ ث على المحور الأفقي، لدينا الصَّلِيب الأحمر الذي يتحاذَى مع ١ م على المحور الرأسي والدائرة الخضراء عند ٠٫٥ م تقريبًا. وبهذا فإن الصَّلِيب الأزرق هو الوحيد الموجود عند النقطة الصحيحة المناظِرة لهذه النقطة.

للتأكُّد من أن الصَّلِيب الأزرق يوضِّح القِيَم الصحيحة عند جميع النقاط، يُمكننا تلخيص قِيَم النقاط في جدول.

بالنظر إلى القِيَم المُدخَلة في الجدول، يُمكننا أن نلاحِظ أن الصُّلْبان الزرقاء تتطابَق مع القِيَم المُدخَلة في الجدول الأصلي عند كلِّ نقطة؛ ومن ثَمَّ فإن الإجابة هي (أ).

مثال ٢: التعرُّف على محاور التمثيل البياني عن طريق ربط النقاط بجدول البيانات

يوضِّح الجدول خمس قراءات للمسافة التي قطعتْها سيارة لُعبة تحرَّكتْ لمدة ١٠ ثوانٍ. قِيسَت المسافة عند فترات مقدارها ٢ ث. أيُّ محور مُلوَّن للتمثيل البياني يجب أن يوضِّح الزمن الذي تحرَّكت فيه السيارة؟

الزمن (ث)	٠	٢	٤	٦	٨	١٠
المسافة المقطوعة (م)	٠	٥	١٠	١٥	٢٠	٢٥

الحل

في هذا المثال، لدينا تمثيل بياني محوراه غير مُعرَّفين، وعلينا أن نحدِّد تعريف المحورين بناء على القِيَم الموجودة في الجدول.

للوهلة الأولى، قد يبدو الأمر أن كلَّ نقطة من النقاط الخضراء تمثِّل قيمتين متساويتين على المحورين الأفقي والرأسي. ومع ذلك، فإن القِيَم محدَّدة على المحورين. يُمكننا أن نلاحِظ أن المحور الأفقي يمتدُّ إلى قيمة قصوى هي ١٠، والمحور الرأسي يمتدُّ إلى قيمة قصوى هي ٢٥. أبسط طريقة للتفرقة بين المحورين هي النظر إلى أعلى نقطة على اليمين؛ حيث القيمتان هما ١٠ على المحور الأفقي، و٢٥ على المحور الرأسي.

بالنظر إلى الجدول، فسنَجِد أنه إذا كانت إحدى القيمتين ١٠ والأخرى ٢٥، فلا بدَّ أن هذه النقطة تناظِر المُدخَل الأخير في الجدول. والعدد ١٠ يُشير إلى زمن يساوي ١٠ ث، والعدد ٢٥ يُشير إلى مسافة مقدارها ٢٥ م. ولذلك فإن المحور الأفقي هو الزمن، والمحور الرأسي هو المسافة المقطوعة.

يُمكننا إضافة التعريفين المناسبين على المحورين، كما يأتي.

وعليه، يوضِّح المحور الأحمر الزمن الذي تحرَّكتْ فيه السيارة.

بالعودة إلى التمثيل البياني لشخص يتحرَّك، لدينا الآن تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن به أربع نقاط تمثِّل القياسات الأربعة التي سجَّلناها للزمن والمسافة. لكن، بالطبع لم يختفِ الشخص من موضع ما ويَظهَر فجأة عند الموضع التالي؛ لكنه كان يتحرَّك بانتظام خلال رحلته. يُمكننا توضيح ذلك برسم خط يمرُّ بجميع النقاط، كما هو موضَّح في التمثيل البياني الآتي.

وبالنظر إلى الخط المستقيم، يُمكننا الآن قراءة المزيد من المعلومات حول حركة الشخص. على سبيل المثال، على الرغم من أننا لم نسجِّل المسافة عند الزمن ١ ث، يُمكننا الآن أن نحصل على المسافة التي قطعها الشخص في زمن مقداره ٥ ث من خلال قراءة القيمة من التمثيل البياني. نبدأ من النقطة ٥ ث على المحور الأفقي ونتحرَّك لأعلى حتى نَصِل إلى الخط الأزرق، كما في التمثيل البياني الآتي.

يُمكننا الآن المتابعة أفقيًّا لإيجاد القيمة المُناظِرة على المحور الرأسي، كما في التمثيل البياني الآتي.

عند قراءة القيمة على المحور الرأسي، يُمكننا القول إنه بعد ٥ ث، كان الشخص قد مشى ما يزيد قليلًا عن ٣ م.

بالنظر إلى التمثيل البياني السابق، يُمكننا أن نلاحِظ أن ربط جميع النقاط معًا كوَّن خطًّا مستقيمًا واحدًا. إذا كان الخطُّ مستقيمًا، فإنه يتغيَّر بمقادير متساوية في فترات زمنية متساوية. على سبيل المثال، في أول ٣ ث مشى الشخص ٢ م، وفي الـ ٣ ث التالية (بين الزمن ٣ ث والزمن ٦ ث) مشى ٢ م آخَرَيْن، ليَصِل إلى مسافة ٤ م. في آخِر ٣ ث (بين الزمن ٦ ث والزمن ٩ ث) مشى مرَّة أخرى ٢ م آخَرَيْن، لينتهي على مسافة أخيرة تساوي ٦ م. وهذه الفترات موضَّحة في التمثيل البياني الآتي.

تُشير الزيادة الثابتة في المسافة لكلِّ وحدة زمنية إلى سرعة ثابتة. إذن، بما أن هذا الخط مستقيم، يُمكننا القول إن الشخص مشى بسرعة ثابتة طوال الفترة الزمنية.

في التمثيل البياني الآتي، يوضِّح الخط الأزرق الشخص نفسه وهو يمشي بسرعة ثابتة لمدة ٩ ثوانٍ. يوضِّح الخط البرتقالي المتقطِّع شخصًا آخَر سُجِّلت المسافة التي قطعها على الفترات الزمنية نفسها.

أوَّل ما يُمكننا قوله عن الخط البرتقالي المتقطِّع هو أنه غير مستقيم، إذن الشخص الثاني لا يمشي بسرعة ثابتة.

في أوَّل ٣ ثوانٍ موضَّحة في التمثيل البياني الآتي، الشخص الذي يمثِّله الخط البرتقالي المتقطِّع لم تتغيَّر المسافة التي قطعها على الإطلاق. بعبارة أخرى: لقد كان ساكنًا، أو كانت سرعته تساوي صفرًا.

في ٣ ثوانٍ تالية، بين الزمن ٣ ث والزمن ٦ ث، زادت المسافة التي قطعها الشخص إلى ٢ م. وهذا يعني أنه خلال هذه الفترة، زادت المسافة التي قطعها الشخص الذي يمثِّله الخط البرتقالي المتقطِّع بالمقدار نفسه مثل الشخص الذي يمثِّله الخط الأزرق، على الرغم مِن تخلُّفه عن الآخَر. وهذا يعني أنه خلال هذه الفترة، كما هو موضَّح في التمثيل البياني الآتي، من ٣ ث إلى ٦ ث، كان الشخصان يسيران بالسرعة نفسها.

في ٣ ثوانٍ أخيرة، بين الزمن ٦ ث والزمن ٩ ث، تحرَّك الشخص الذي يمثِّله الخط البرتقالي المتقطِّع فقط من ٢ م إلى ٣ م، بزيادة مقدارها ١ م. هذا يعني أنه تحرَّك مسافة أقلَّ خلال ٣ ثوانٍ مقارنة بالشخص الأول، إذن كان يمشي بسرعة أبطأ. وهذا مُبيَّن في القطعة المستقيمة الأخيرة بالتمثيل البياني الآتي.

كما يوضِّح هذا المثال، يُشير تدرُّج الخط أو ميله على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن إلى السرعة. الخط المستقيم الأكثر انحدارًا يعني سرعة أكبر.

في التمثيل البياني الآتي، لدينا خطَّان يمثِّلان حركة شخصين.

يُمكننا أن نرى هنا أن الخط البرتقالي المتقطِّع أكثر انحدارًا من الخط الأزرق المُتَّصل. هذا يعني أن الشخص الذي يمثِّله الخط البرتقالي المتقطِّع يتحرَّك بسرعة أكبر.

وحقيقة أنه يُمكننا تقدير السرعة من ميل خط التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن تعني أنه يُمكننا المقارنة بين سرعات الأجسام المختلفة في التمثيل البياني نفسه دون معرفة أيٍّ من القِيَم الدقيقة لها. على سبيل المثال، يوضِّح التمثيل البياني الآتي حركة أربعة أجسام ممثَّلة بخطوط مختلفة.

لا تُوجَد أيُّ قِيَم على المحورين، لكنْ يُمكننا أن نعلم على الفور أن الجسم الممثَّل بالخط البرتقالي المتقطِّع يتحرَّك بسرعة أعلى؛ لأن له الميل الأكثر انحدارًا.

بالمثل، يُمكننا تحديد الجسم الذي يمثِّله الخط الأخضر المتقطِّع، بأن له سرعة أقلَّ؛ لأن له الميل الأقلَّ انحدارًا.

المثالان الأخيران يُعطيانِنا بعض التدريب على تفسير التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن.

مثال ٣: فهْم التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن

يوضِّح الخط الأزرق حركة رجل يجري. يوضِّح الخط الأحمر أيضًا حركة امرأة تجري. أيُّ العبارات الآتية صواب؟

1. بدأتِ المرأة الجري قبل الرجل.
2. بدأ كلٌّ من الرجل والمرأة الجري في الوقت نفسه.
3. بدأتِ المرأة الجري بعدما بدأ الرجل.

الحل

في هذا المثال، لدينا خطَّان على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن: الخط الأزرق يمثِّل رجلًا، والخط الأحمر يمثِّل امرأة. لا تُوجَد أيُّ قِيَم على المحورين، إلا عند نقطة الأصل التي تقابل زمنًا مقداره ٠ ث، ومسافة مقدارها ٠ م. علينا هنا تحديد الشخص الذي بدأ الجري أولًا.

بالنظر إلى الخط الأزرق، الذي يمثِّل الرجل، يُمكننا أن نرى أنه بدأ من مسافة ٠ م، ثم بدأتِ المسافة على الفور في الزيادة، وهو ما يعني أنه بدأ الجري عند الزمن ٠ ث.

ومن ناحية أخرى، كانتِ المرأة لا تزال عند مسافة ٠ م بعد مرور بعض الزمن، ولم تبدأ المسافة التي قطعتْها في الزيادة حتى الزمن المناظِر لخط الشبكة الأول على التمثيل البياني.

يُمكننا القول إذن: إن المرأة بدأتْ في الجري بعدما بدأ الرجل، إذن الإجابة (ج) هي الخيار الصحيح.

مثال ٤: تحديد أكبر سرعة من الخطوط على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن

أيٌّ خطٍّ ملوَّن على التمثيل البياني يوضِّح أكبر سرعة؟

الحل

في هذا المثال، لدينا ثلاثة خطوط على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن توضِّح المسافة التي قطعتْها ثلاثة أجسام مختلفة خلال فترة زمنية. علينا تحديد أيُّ خطٍّ على التمثيل البياني يُشير إلى أكبر سرعة.

لا تُوجَد أيُّ مقاييس مُعطاة على المحورين، لكنْ تذكَّر أنه يُمكننا تقدير السرعة من تدرُّج أو ميل الخط على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن. وأكثر الخطوط انحدارًا هو الخط الذي يوضِّح أكبر سرعة. الخط الأكثر انحدارًا في هذا التمثيل البياني هو الخط الأخضر؛ وبهذا فإن الخط الأخضر هو الخط الذي يوضِّح أكبر سرعة.