في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب حاصل الضرب الثلاثي القياسي ونستخدمه في التطبيقات الهندسية.
قبل أن نتناول الضرب الثلاثي القياسي، يجب أن نكون على دراية سابقة بالضرب القياسي والضرب الاتجاهي. نتناول هنا تعريف ضرب ثلاثة متجهات، بالجمع بين الضربين القياسي والاتجاهي.
تعريف: الضرب الثلاثي القياسي
يُعرَّف الضرب الثلاثي القياسي للمتجهات الثلاث ، ، على الصورة:
يُمكِننا أيضًا كتابة حاصل الضرب الثلاثي القياسي على الصورة: . إلا أن القوسين غير ضروريين؛ إذ إنه عند إجراء أولًا سنحصل على كمية قياسية، ونحن لا يمكننا إجراء ضرب اتجاهي بين كمية قياسية ومتجه.
إن الضرب الثلاثي القياسي ينتج عنه كمية قياسية، كما يشير الاسم.
نعلم أن:
ومن ثَمَّ، فإن:
خاصية: حساب حاصل الضرب الثلاثي القياسي باستخدام مركبات المتجهات
إن حساب حاصل الضرب الثلاثي القياسي يكافئ حساب المحدِّد:
هيا نطبِّق ذلك بالمثال الأول.
مثال ١: حساب حاصل الضرب الثلاثي القياسي لثلاثة متجهات
إذا كان ، ، ، فأوجد .
الحل
نعلم أن حساب يكافئ حساب . إذن، هيا نعوِّض بمركبات المتجهات ، ، لحساب هذا المحدِّد:
هيا نُلقِ نظرة الآن على بعض خواص الضرب الثلاثي القياسي. نعرف أن تبديل مكانَيْ صفَّين أفقيين في محدِّد يُغيِّر إشارته. ومن ثَمَّ، فإن تبديل مكانَيْ متجهين في الضرب الثلاثي القياسي يُغيِّر إشارة حاصل الضرب:
وإذا أجرينا عملية تبديل إضافية، فستعكس الإشارة مرةً أخرى. إذن، بتبديل ، أو ، في ، نجد أن:
نلاحِظ هنا أن حواصل الضرب الثلاثي القياسي متساوية عندما لا يتغيَّر الترتيب الدوري للمتجهات الثلاثة، وهو هنا ، ، .
نستخدم هذه الخاصية في المثال الآتي.
مثال ٢: حساب حاصل الضرب الثلاثي القياسي لثلاثة متجهات وحدة مع تبديلها
أوجد .
الحل
لدينا ثلاثة حواصل ضرب ثلاثي قياسي للمتجهات الثلاثة نفسها، ، ، ، لكن بترتيبات مختلفة. دائمًا ما يكون لحواصل الضرب الثلاثي القياسي للمتجهات الثلاثة نفسها القيمة المطلقة نفسها، لكن لا تكون بنفس الإشارة، إلا إذا كانت المتجهات الثلاثة بالترتيب الدوري نفسه. هنا، الترتيب الدوري في حاصل الضرب الثلاثي القياسي الأول هو ، وهو الترتيب نفسه في حاصِلَي الضرب الآخرَيْن أيضًا.
وعليه، فإن القيمة الكلية للمقدار المعطى تساوي ٣ في قيمة أحد الحدود.
لحساب أحد حواصل الضرب الثلاثي القياسي، يمكننا استخدام حقيقة أن ، ومن ثَمَّ، فإن:
أو بدلًا من ذلك، يمكننا استخدام طريقة المحدِّد:
ومن ثَمَّ، فإن:
خاصية: حاصل الضرب القياسي لمتجهات تقع في نفس المستوى
حاصل الضرب الثلاثي القياسي هو حاصل الضرب القياسي للمتجه مع ، هذا يماثل حاصل الضرب القياسي للمتجه ومتجه عمودي على المستوى المعرَّف بواسطة ، .
وينتج عن ذلك أنه إذا كان ، ، في نفس المستوى، فإن ؛ حيث يساوي حاصل الضرب القياسي لمتجهين متعامدين صفرًا.
بطريقة عكسية، إذا كان ، فإن ، ، في المستوى نفسه.
هيا نستخدم هذه الخاصية لحل السؤال الآتي.
مثال ٣: إيجاد المركبات الناقصة لمتجهات في نفس المستوى
أوجد قيمة التي تجعل النقاط ، ، ، تقع على نفس المستوى.
الحل
كما نعرف أن النقاط الثلاث التي ليست على استقامة واحدة تُعرِّف المستوى، إذا كانت النقاط ، ، بالفعل ليست على استقامة واحدة، فسيكون علينا إذن إيجاد قيمة ، التي تكون عندها في المستوى الذي يحتوي على ، ، .
نتحقَّق أولًا من أن النقاط ، ، ليست على استقامة واحدة. لكي نفعل ذلك، نتحقَّق من أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ، لا يساوي صفرًا (يمكننا هنا أخذ أي متجهين مختلفين مكوَّنين باستخدام النقاط الثلاث):
هيا نُوجِد الآن قيمة التي تكون عندها النقطة موجودة في المستوى . بما أن حاصل الضرب الثلاثي القياسي لثلاثة متجهات لا تقع على المستوى نفسه يساوي صفرًا، فعلينا إيجاد قيمة التي يكون عندها، على سبيل المثال، . مركبات هي . ومن ثَمَّ، فإن:
إذا كان ، وذلك عند .
ومن ثَمَّ، فإن قيمة التي تكون عندها النقاط الأربع ، ، ، تقع على نفس المستوى تساوي ٨.
هناك خاصية أخرى مفيدة لحاصل الضرب الثلاثي القياسي قائمة على معناه الهندسي. وكما ذكرنا سابقًا، فحاصل الضرب الثلاثي القياسي هو حاصل الضرب القياسي لـ مع . نعلم أن متجه عمودي على المستوى المعرَّف بواسطة ، الذي معياره يساوي مساحة متوازي الأضلاع المبني على ، .
نتناول متوازي السطوح المبني على ، ، . حجمه يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يتكوَّن من ، مضروبًا في ارتفاعه ، كما هو موضَّح في الشكل. نحصل على الارتفاع من العلاقة ؛ حيث هي الزاوية الحادة المحصورة بين المتجه والارتفاع .
بما أن متجه عمودي على المستوى المعرَّف بواسطة ، ، فإن:
إن التغيُّر في اتجاه (لأعلى أو لأسفل) لا يُغيِّر القيمة المطلَقة لحاصل ضربه القياسي مع ، كما هو موضَّح في الشكل بالزاوية الواقعة بين ، (لأسفل). بما أن ، فإن .
إذن حجم متوازي السطوح هو:
خاصية: المعنى الهندسي لحاصل الضرب الثلاثي القياسي
القيمة المطلَقة لحاصل الضرب الثلاثي القياسي لثلاثة متجهات تساوي حجم متوازي السطوح الذي يحتوي على المتجهات الثلاثة:
جدير بالملاحظة أن ثلاثة متجهات تقع على المستوى نفسه لا تُعرِّف أيَّ متوازي سطوح، وعليه فإن حاصل الضرب الثلاثي القياسي يساوي صفرًا.
هيا نستخدم هذه الخاصية الآن لإيجاد حجم متوازي سطوح.
مثال ٤: إيجاد حجم متوازي سطوح
أوجد حجم متوازي السطوح الذي أضلاعه المتجاورة ، ، .
الحل
متوازي السطوح يحتوي على ، ، . وحجمه يساوي القيمة المطلَقة لحاصل الضرب الثلاثي القياسي للمتجهات الثلاثة. ومن ثَمَّ، فإن:
إذن، حجم متوازي السطوح الذي أضلاعه المتجاورة ، ، يساوي ٩ وحدات حجم.
في المثال الأخير، نُوجِد القيم الممكنة لمركبة متجه ناقصة بمعلومية حجم متوازي السطوح المبني على ثلاثة متجهات.
مثال ٥: إيجاد مركبات متجه ناقصة بمعلومية حجم متوازي سطوح مبني على ثلاثة متجهات
يبلغ حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات ، ، ، ٤٨. ما قيمة ؟
الحل
نحصل على حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات ، ، من العلاقة:
حجم متوازي السطوح يساوي ٤٨ وحدة حجم، إذن:
تتحقَّق هذه المعادلة إذا كان ، أو إذا كان ، وذلك عند: أو:
إذن، حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات ، ، يساوي ٤٨ إذا كان أو .
النقاط الرئيسية
- يُعرَّف حاصل الضرب الثلاثي القياسي للمتجهات الثلاثة ، ، على الصورة:
- حاصل الضرب الثلاثي القياسي يكافئ محدِّد :
- تكون حواصل الضرب الثلاثي القياسي متساوية إذا لم يتغيَّر الترتيب الدوري للمتجهات الثلاثة:
- حاصل الضرب الثلاثي القياسي لثلاثة متجهات في نفس المستوى يساوي صفرًا. بطريقة عكسية، إذا كان ، فإن ، ، تقع في نفس المستوى.
- نحصل على حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات ، ، من العلاقة:
