في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَحُلُّ المعادلات التربيعية باستخدام التحليل.
قبل أن نتناول كيفية حل معادلة تربيعية باستخدام التحليل، دعونا أولًا ننظر في التمثيل البياني للمعادلة التربيعية .
عندما نتحدَّث عن حل معادلة تربيعية، فإننا نتحدَّث عن تحديد جذرَي المعادلة التربيعية، وهي القيم التي يقطع عندها التمثيل البياني المحور (الأجزاء المقطوعة من المحور )؛ أي قيمة ؛ حيث . يمكننا أن نرى من التمثيل البياني أن جذرَي هما ، . سنتحدَّث عن هذا بعد قليل، ونفكِّر الآن في تحليل المقدار التربيعي. علينا أولًا تحديد أزواج عوامل العدد ١٢، لدينا:
يمكننا إذن أن نلاحظ من أزواج العوامل هذه أن: ومن ثَمَّ، يمكن تحليل المقدار التربيعي إلى:
في هذه المرحلة، قد تلاحِظ أن العددين داخل كلا القوسين هما جذرا المعادلة التربيعية تمامًا، لكن الإشارات معكوسة. هيا نلقِ نظرة على ذلك عن قرب. وكما ذكرنا من قبل، يمكننا إيجاد جذرَي المعادلة التربيعية بإيجاد قيم التي تعطينا القيمة المخرَجة صفرًا؛ أي حل المعادلة:
بهذا نكون قد أوضحنا أن المعادلة التربيعية يمكن كتابتها على الصورة التحليلية، وبذلك تُعاد كتابتها على الصورة:
إذا فكَّرنا في هذين المقدارين لذواتَي الحدين على أنهما عددان مضروبان معًا، فإن الطريقة الوحيدة التي نحصل بها على صفر، هي أن يكون أحد العددين صفرًا. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد الحل عن طريق حل كلٍّ من المعادلتين الآتيتين:
إذا طرحنا ٦ من كلا طرفَي المعادلة الأولى، فسنحصل على ، وإذا أضفنا ٢ إلى كلا طرفَي المعادلة الثانية، فسنجد أن (وهما الجذران كما هو محدَّد في التمثيل البياني).
إحدى النقاط الجديرة بالملاحظة هنا، هي أنه في المعادلات التربيعية التي يساوي معاملها الرئيسي واحدًا، تكون الجذور مساوية للأعداد في الصورة التحليلية ولكن بإشارات معكوسة. لكن هذا لا ينطبق على المعادلات التربيعية التي لا يساوي معاملها الرئيسي ١.
عادةً ما يكون هناك ثلاثة أنواع من الأسئلة الأساسية عند حل المعادلات التربيعية باستخدام التحليل؛ الأول يتضمَّن معادلات مثل: حيث يتحلَّل المقدار إلى قوس واحد؛ أما النوع الثاني، فيحتوي على معادلات مثل تلك التي تناولناها للتو؛ أي: حيث معامل الحد الرئيسي يساوي واحدًا؛ والنوع الثالث يتضمَّن معادلات مثل: حيث المعادلات التربيعية التي لا يساوي معاملها الرئيسي ١. قد تقابلنا أيضًا أسئلة تكون الخطوة الأولى فيها هي إعادة ترتيب المعادلة للحصول عليها في الصورة القياسية التي نعرف كيف نَحلُّها. نتناول الآن كل نوع من هذه الأنواع الثلاثة من الأسئلة.
مثال ١: إيجاد جذور المعادلة التربيعية على الصورة أس٢ + ب س = ٠.
- حلِّل المعادلة .
- عند أي قيم يتقاطع التمثيل البياني للمعادلة مع المحور ؟
الحل
في هذا السؤال، حل الجزء الأول يساعدنا في حل الجزء الثاني. لتحليل المقدار في الجزء الأول، علينا تحديد العامل المشترك الأكبر لهذين الحدين في المقدار. العدد ٣ هو العدد الأكبر الذي يقبل كلٌّ من الحدين القسمة عليه، هو المتغير الأكبر. إذن، العامل المشترك الأكبر هو . إذا قسمنا بعد ذلك كل حد من الحدود على هذا المقسوم عليه، فسنحصل على و٣، ما يعني أن المقدار يمكن تحليله على النحو الآتي:
يمكننا دائمًا التحقُّق من ذلك عن طريق فك المقدار. بعبارةٍ أخرى ، وهذا صحيح.
لحل الجزء الثاني، علينا أن نجعل المقدار بعد التحليل يساوي صفرًا، ثم نَحُلُّ المعادلة الآتية:
الطرف الأيسر في هذه المعادلة يساوي صفرًا فقط إذا كان أو يساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، لحل المعادلة، يمكننا حل كلٍّ من المعادلتين الآتيتين:
إذا قسمنا طرفَي المعادلة الأولى على ٣، فسنجد أن ، وإذا طرحنا ٣ من كلا طرفَي المعادلة الثانية ثم قسمنا على ٢، فسنحصل على . ومن ثَمَّ، فإن حلَّي المعادلة التربيعية هما: ، .
مثال ٢: إيجاد جذور معادلة تربيعية على الصورة س٢ + ج + ب س = ٠
حُلَّ بالتحليل.
الحل
يخبرنا السؤال أن علينا حل هذه المعادلة التربيعية باستخدام التحليل؛ لذا، فإن الخطوة الأولى هي تحليل الطرف الأيسر من المعادلة. لفعل ذلك، علينا التفكير في أزواج عوامل الحد الثابت ٤. لدينا:
نحتاج بعد ذلك إلى استخدام أحد أزواج العوامل هذه لتكوين معامل ، وهو ما يمكننا فعله هنا باستخدام ٢، ٢؛ أي:
وهذا يعني أن المقدار يُحلَّل إلى العوامل:
يمكن أن يكون حاصل ضرب ذَوَاتَي الحدين هذا صفرًا فقط إذا كانت إحدى ذَوَاتَي الحدين تساوي صفرًا. في هذه الحالة، ذواتا الحدين متساويتان، ومن ثَمَّ يكون لدينا حل واحد فقط يمكن إيجاده بحل المعادلة:
إذا أضفنا ٢ إلى كل طرف، فسنجد أن:
مثال ٣: إيجاد جذور معادلة تربيعية على الصورة أس٢ + ج + ب س = ٠
حُلَّ المعادلة بالتحليل.
الحل
لدينا هنا معادلة تحتوي على مقدار تربيعي معامله الرئيسي لا يساوي واحدًا؛ أي إنه مقدار تربيعي معامل الحد الرئيسي فيه لا يساوي واحدًا. لتحليل هذا المقدار، يمكننا أن نلاحظ أنه مربع كامل؛ حيث ، كلاهما عددان مربعان، وهو ما يعني أنه يُحلَّل إلى .
وإذا لم نلاحظ ذلك على الفور، يمكننا استخدام التجربة والخطأ، أو يمكننا اتباع طريقة أكثر منهجية. يمكننا ضرب ، ، ثم إعادة كتابة بدلالة أحد أزواج عوامل . إذا كتبنا أزواج عوامل ٢٢٥، فسنحصل على:
يمكننا بعد ذلك إعادة كتابة المعادلة على الصورة:
بعد ذلك، نُحلِّل الحدين الأوَّلين والحدين الأخيرين لنحصل على:
إذا أخرجنا المقدار ذا الحدين عاملًا مشتركًا، فسنحصل على:
يمكن أن يكون حاصل ضرب ذَوَاتَي الحدين هذا صفرًا فقط إذا كانت إحدى ذَوَاتَي الحدين تساوي صفرًا. في هذه الحالة، ذواتا الحدين متساويتان؛ ومن ثَمَّ يكون لدينا حل واحد فقط يمكن إيجاده بحل المعادلة:
إذا طرحنا ٥ من كلا الطرفين، وقسمنا على ٣، فسنجد أن:
كما رأينا في المثال السابق، يجب دائمًا الانتباه إلى الأنواع الخاصة من المعادلات التربيعية للمساعدة في عملية التحليل. ففي المثال السابق، تناولنا تحليل مربع كامل، ولكن سنتناول أيضًا مثالًا على فرق بين مربعين؛ أي المقادير على الصورة:
هيا نلقِ نظرة على مثال يتضمَّن الفرق بين مربعين.
مثال ٤: إيجاد جذرَي معادلة تربيعية على الصورة ٢ ‒ ب٢ = ٠
ما قيم التي يقطع عندها التمثيل البياني للمعادلة المحور ؟
الحل
مطلوب منا هنا إيجاد النقاط التي يقطع عندها التمثيل البياني المحور . تُعرَف النقاط أيضًا بجذرَي المعادلة، أو هي حقًّا حلول المعادلة . لحل هذه المعادلة، علينا أولًا تحليل الطرف الأيسر. المقدار التربيعي هو في الحقيقة عبارة عن فرق بين تربيعين، ما يعني أنه يتحلَّل كالآتي:
يمكن أن يكون حاصل ضرب ذَوَاتَي الحدين هذا صفرًا فقط إذا كانت إحدى ذَوَاتَي الحدين تساوي صفرًا. من ثَمَّ، يمكننا إيجاد حلول المعادلة بحل كلِّ معادلة من المعادلتين الآتيتين:
إذا أضفنا إلى طرفَي المعادلة الأولى، نجد أن ، وإذا طرحنا من كلا طرفَي المعادلة الثانية، نجد أن . هذان هما جذرا المعادلة التربيعية، وبالتأكيد هما قيمتا للنقاط التي يقطع عندها التمثيل البياني المحور .
وفي الختام، نلقي نظرة على مثال أخير؛ حيث يمكننا اتباع طريقة مختلفة قليلًا لإيجاد الحل باستخدام المعلومات المعطاة في السؤال.
مثال ٥: إيجاد جذر معادلة تربيعية بمعلومية جذرها الآخر
إذا كان جذرًا للمعادلة ، فما الجذر الآخر؟
الحل
علمنا من رأس السؤال أن هو أحد جذور المعادلة، ما يعني أن قيمة المقدار التربيعي لدينا تساوي صفرًا عند . وهذا يعني أن هو أحد عوامل المعادلة. وسيكون هناك عامل آخر ؛ حيث:
ومن ثَمَّ، بالمقارنة بين المعاملات، يمكننا أن نلاحظ أن: وهو ما يعطينا . هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة المعادلة الأصلية على الصورة:
ونحن نعلم بالفعل أن أحد الحلول هو ، ويمكننا إيجاد الحل الثاني بحل المعادلة:
بطرح ٤ من كلا الطرفين ثم القسمة على ٥، نجد أن:
النقاط الرئيسية
- تحديد إذا ما كانت المقادير التربيعية تتحلَّل إلى حاصل ضرب ذواتَي حدين، أو حاصل ضرب وحيدة حد في ذات حدين. بوجهٍ عام، إذا كانت المقادير التربيعية مكتوبة على الصورة: حيث ، ، لا تساوي صفرًا، فسيُحلَّل المقدار التربيعي إلى ذواتَي حدين. إذا كان يساوي صفرًا، إذن فسيُحلَّل المقدار التربيعي إلى وحيدة حد وذات حدين.
- بالنسبة إلى المقدار التربيعي على الصورة ؛ حيث ، ، لا يساويان صفرًا، يتحلَّل المقدار التربيعي ليصبح على الصورة ؛ حيث .
- بالنسبة إلى المقدار التربيعي على الصورة ؛ حيث ، ، ، لا تساوي صفرًا، يمكن تحليل ذلك عن طريق إيجاد أحد أزواج عوامل ، لنقل ، ؛ حيث . عند هذه النقطة، يمكننا إعادة كتابة المقدار التربيعي على الصورة ، ثم تحليل كلا المقدارين ، .
