في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحدِّد شروط ضرب المصفوفة، ونُوجِد قيمة حاصل ضرب مصفوفتين، إنْ أمكن.
يُمكن تقسيم ضرب المصفوفات إلى فئتين: الضرب في عدد ثابت، والضرب في مصفوفة. الضرب في عدد ثابت يعني ضرب المصفوفة في كمية قياسية (أو عدد ثابت). على سبيل المثال، إذا كان لدينا المصفوفة: وأردنا إيجاد ، فستكون هذه عملية ضرب في عدد ثابت. فلإيجاد ، سنضرب كلَّ عنصر في المصفوفة في اثنين:
أمَّا عملية ضرب المصفوفات، فهي أصعب نوعًا ما، وهناك معايير خاصة يجب اتِّباعها. أولًا، يجب أن يُنظَر إلى أبعاد المصفوفات بعين الاعتبار.
وهذا لأنه عادةً ما يُشار إلى المصفوفة بدلالة عدد الصفوف والأعمدة. على سبيل المثال، مصفوفة بها من الصفوف، من الأعمدة تُسمَّى مصفوفة من الرتبة . لا يُمكن ضرب مصفوفتين إحداهما في الأخرى إلَّا إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساويًا لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية.
وبصفة عامة، إذا أُجريت عملية ضرب المصفوفات بين المصفوفتين ، وكانت أبعاد المصفوفة هي ، فيجب أن تكون أبعاد المصفوفة هي . هناك ملاحظة مفيدة، وهي أن أبعاد حاصل الضرب الناتج عن هاتين المصفوفتين ستكون . وهذا موضَّح في الصورة الآتية.
وبما أننا نعلم الآن كيف نتحقَّق إذا ما كانت عملية ضرب المصفوفات موجودة، هيَّا نلقِ نظرةً على كيفية حساب حاصل عملية الضرب هذه. سنوضِّح كيف نفعل ذلك بمثال. إذا كان لدينا مصفوفة من الرتبة هي: ، ومصفوفة من الرتبة هي: ، فيجب أن يكون حاصل الضرب موجودًا، وستكون له الأبعاد . تتَّضح كيفية إكمال عملية الضرب هذه كما يأتي:
إذا كنتَ على دراية بكيفية حساب حاصل الضرب القياسي، فقد تلاحظ أن عملية الضرب هذه تُشبه كثيرًا عملية إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ، . وفي الحقيقة، يُمكن تعريف حاصل الضرب القياسي بأنه عملية ضرب لمصفوفات هذين المتجهين، إذا أخذنا في الاعتبار مدوَّر المصفوفة ، المُشار إليه بالرمز . سيكون حاصل الضرب إذن هو نفسه حاصل الضرب .
لنلقِ نظرةً على الطريقة التي سنضرب بها مصفوفة من الرتبة في مصفوفة من الرتبة . نحن نعلم أن عملية الضرب موجودة؛ لأن عدد أعمدة المصفوفة الأولى يتطابق مع عدد صفوف المصفوفة الثانية. ونعلم أيضًا أن المصفوفة الناتجة ستكون مصفوفة من الرتبة . وهكذا، وكما فعلنا من قبل، سنضرب الصفوف في الأعمدة، لكن علينا أن ننظر إلى موضع كلِّ عنصر من العناصر في المصفوفة الناتجة بعين الاعتبار. على سبيل المثال، إذا ضربنا الصف العلوي من المصفوفة الأولى في العمود الموجود ناحية اليمين بالمصفوفة الثانية، فستكون النتيجة عنصرًا أعلى اليمين. وبضرب الصف السفلي في العمود الأوسط، نحصل على عنصر أسفل المنتصف. تتَّضح هاتان الخطوتان في عملية ضرب المصفوفتين الآتية:
نأخذ أولًا الصف العلوي والعمود ناحية اليمين:
بعد ذلك، نأخذ الصف العلوي والعمود الأوسط:
وتستمرُّ هذه العملية حتى ننتهي من عملية ضرب المصفوفتين:
لنلقِ نظرةً على مثال آخَر.
مثال ١: ضرب المصفوفات
انظر المصفوفتين: ، :
أوجد ، إنْ أمكن.
الحل
نحن نعلم أن عملية الضرب تكون موجودة عندما يتطابق عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية. ونعلم أيضًا أن المصفوفة الناتجة ستكون مصفوفة من الرتبة . سنتناول أولًا الصف العلوي من والعمود الأول من لإيجاد العنصر العلوي الأيمن من المصفوفة الناتجة. بعد ذلك، سنتناول الصف العلوي من والعمود الأوسط من لإيجاد العنصر العلوي الأوسط، ونستمرُّ في هذه العملية حتى نُكمل المصفوفة كلها:
من الجدير بالملاحظة هنا أن ضرب المصفوفات ليس إبداليًّا. هذا يعني، بوجهٍ عام، أنه إذا كان لدينا المصفوفتان ، ، فإن . ويُمكن ملاحظة ذلك بسهولة في المثال ٣. حاصل الضرب سيكون مصفوفة من الرتبة ، لكن حاصل الضرب سيكون مصفوفة من الرتبة . من المُمكن إيجاد قُوى المصفوفات أيضًا، إذا كان حاصل الضرب موجودًا. هيَّا نوضِّح ذلك بمثال آخَر.
مثال ٢: إيجاد مربع مصفوفة
إذا كان: فأوجد .
الحل
تذكَّر أن يعني . يُمكننا ضرب المصفوفات بالنظر إلى كلٍّ من عدد الصفوف والأعمدة:
وإذا أردنا إيجاد ، فسيكون علينا إذن ضرب هذا الناتج في في الطرف الأيسر.
قبل أن ننتهي، هيَّا نلقِ نظرةً على مثال أخير.
مثال ٣: ضرب المصفوفات
إذا كان: فأوجد ، إنْ أمكن.
الحل
لنرَ أولًا إذا ما كان الضرب ممكنًا. المصفوفة الأولى أبعادها ، والمصفوفة الثانية أبعادها . إذن، بما أن عدد أعمدة المصفوفة الأولى هو نفسه عدد الصفوف في المصفوفة الثانية، فإن حاصل الضرب موجود، وأبعاد المصفوفة الناتجة ستكون . من الأفضل دائمًا أن نتحقَّق من الإجابة بهذه الطريقة لتجنُّب ارتكاب أخطاء. بعد ذلك سنضرب المصفوفتين:
في المثالين الأخيرين، سنستخدم ضرب المصفوفات لإيجاد العناصر المجهولة في المصفوفات التي تشكِّل جزءًا من حاصل الضرب.
مثال ٤: إيجاد العناصر المجهولة في معادلات مصفوفية
أوجد قيمتَيْ ، بمعلومية الآتي:
الحل
سنفكِّر أولًا في العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة الناتجة ناحية اليسار:
وهذا سيعطينا المعادلة ، التي نجد من خلالها أن . الآن وقد عرفنا قيمة ، سنعوِّض بها في المعادلة الأصلية:
سنتمكَّن الآن من إيجاد قيمة بالنظر إلى العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة الناتجة ناحية اليسار:
بعد ذلك، سنحلُّ المعادلة ، وهو ما يُعطينا . المعادلة المصفوفية الأخيرة هي إذن:
يُمكننا التحقُّق أيضًا من أن قيمتَيْ ، صحيحتان بحساب العنصرين المتبقِّيَيْن في الصف الثاني من المصفوفة الناتجة ناحية اليسار. وبفعل ذلك سنتأكَّد من أن قيمتَيْ ، صحيحتان.
مثال ٥: حلُّ معادلات مصفوفية تتضمَّن عناصر مجهولة في الطرفين
أوجد قيمة كلٍّ من ، التي تحل:
الحل
سنبدأ بأخْذ المصفوفة الناتجة ناحية اليسار، وننظر إلى العنصر في الصف الأول والعمود الأول. يُمكننا أيضًا تحديد العناصر ذات الصلة من المصفوفتين في الطرف الأيمن من المعادلة:
وفقًا لقواعد ضرب المصفوفات، فإن . وكل ما تؤكِّد عليه هذه المعادلة في الأساس هو أن ، وهو أمر مشجِّع، حتى وإنْ كان غير مفيد إلى حدٍّ ما.
نتابع العملية، ونتناول الآن العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة ناحية اليسار:
وبذلك نحصل على المعادلة ، التي تُشير إلى أن ، أو . هذا يعني أن له قيمتان محتملتان.
بعد ذلك، سننظر إلى العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثالث من المصفوفة ناحية اليسار:
وهذا يُعطينا المعادلة ، التي تُشير إلى أن ؛ ومن ثَمَّ، نستنتج أن . إذن المعادلة المصفوفية الآتية هي:
والآن، وبعد أن أوجدنا ، علينا فقط إيجاد قيمة . يظهر هذا المتغيِّر مرَّة واحدة فقط في الصف الثاني والعمود الثالث من المصفوفة ناحية اليسار:
وهذا يُعطينا المعادلة ، التي نحصل منها على .
النقاط الرئيسية
- بافتراض أن مصفوفة رتبتها ، مصفوفة رتبتها ؛ حيث: نستنتج أن حاصل ضرب المصفوفتين هو مصفوفة رتبتها ؛ ومن ثَمَّ، نحصل على الصيغة الآتية: . تُحسَب العناصر بجمع حواصل ضرب أزواج العناصر من ، ، كما هو موضَّح:
- عملية ضرب المصفوفات بشكل عام ليستْ عملية إبدالية؛ وهذا يعني أنه، بوجهٍ عام، بالنسبة إلى المصفوفتين ، ، فإن .
