تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الأحداث المتنافية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحدِّد الأحداث المتنافية ونُوجِد احتمالاتها.

نقول إن الحدثين 𞸀، 𞸁 متنافيان إذا كان لا يمكن أن يحدثا في الوقت نفسه. على سبيل المثال، لا يمكن أن يكون الحيوان كلبًا وقطةً في الوقت نفسه. لنقل إننا سنختار حيوانًا أليفًا عشوائيًّا من متجر. في هذا السياق، يكون حدث اختيار حيوان أليف يكون كلبًا، وحدث اختيار حيوان أليف يكون قطة، حدثين متنافيين. يمكننا أيضًا تصوُّر الأحداث المتنافية باستخدام شكل فن الآتي:

كما رأينا في شكل فن السابق، لا يوجد أيُّ تداخل بين الحدثين المتنافيين.

تعريف: الأحداث المتنافية

يكون الحدثان 𞸀، 𞸁 متنافيين إذا كان: 𞸀𞸁=.

إذا كان 𞸀، 𞸁 حدثين متنافيين، فإن: 𞸋(𞸀𞸁)=٠.

نذكر أن احتمال وجود مجموعة خالية يساوي ٠. حسب التعريف السابق، إذا كان 𞸀، 𞸁 حدثين متنافيين، فإن:𞸋(𞸀𞸁)=٠.

نتناول مثالًا لنضع هذا المبدأ في سياق.

مثال ١: إيجاد احتمال تقاطع حدثين متنافيين

إذا رُمي حجر نرد مرة واحدة، فما احتمال ظهور عدد فردي وعدد زوجي معًا؟

الحل

نفترض أن 𞸀 هو حدث ظهور عدد فردي، وأن 𞸁 هو حدث ظهور عدد زوجي. بصياغة رياضية، يمكننا كتابة: 𞸀={١،٣،٥}،𞸁={٢،٤،٦}.

نلاحظ أن 𞸀𞸁=؛ لأنه يوجد ناتج في كلٍّ من 𞸀، 𞸁. ومن ثَمَّ، فإنهما حدثان متنافيان. ويعبَّر عن احتمال ظهور عدد فردي وعدد زوجي معًا بدلالة 𞸋(𞸀𞸁). إننا نتذكَّر أن 𞸋(𞸀𞸁)=٠ إذا كان الحدثان 𞸀، 𞸁 متنافيين.

إذن احتمال ظهور عدد فردي وعدد زوجي معًا يساوي ٠.

بالنسبة إلى الأحداث المتنافية، لدينا قاعدة الجمع لحساب احتمال عبارات «أو».

نظرية: قاعدة الجمع للأحداث المتنافية

إذا كان 𞸀، 𞸁 حدثين متنافيين، فإن: 𞸋(𞸀𞸁)=𞸋(𞸀)+𞸋(𞸁).

لكي نفهم قاعدة الجمع السابقة بوضوحٍ أكثر، نتناول مثال متجر الحيوانات الأليفة الذي ذكرناه سابقًا. نحن نختار حيوانًا أليفًا عشوائيًّا من هذا المتجر. إنَّ حدث اختيار كلب وحدث اختيار قطة لا يمكن وقوعهما معًا، إذن فهما حدثان متنافيان. بما أن اختيار حيوان أليف يكون عشوائيًّا، إذن نعرف أن: 𞸋󰁓󰁒=،𞸋󰁓󰁒=.اردابدااتااردادااتا

والآن نتناول اتحاد هذين الحدثين، وهو الحدث الذي نختار فيه إما كلبًا وإما قطةً. ومن ثَمَّ، نعرف أن: 𞸋󰁓󰁒=+=+=𞸋󰁓󰁒+𞸋󰁓󰁒.ارأودابدادااتادابدااتادادااتاارار

هذا يؤكِّد قاعدة الجمع للأحداث المتنافية.

لا تنطبق قاعدة الجمع الموضَّحة سابقًا إلا عندما تكون الأحداث متنافية. نوضِّح كيف تفشل هذه الصيغة من قاعدة الجمع عندما تكون الأحداث غير متنافية.

نفترض أننا نختار طالبًا واحدًا من أحد الفصول عشوائيًّا. نتناول حدث أن يكون الطالب المختار يلعب كرة القدم، وحدث أن يكون الطالب المختار يلعب البيسبول.

نلاحِظ أن الطالب الذي يلعب كرة القدم قد يلعب أيضًا البيسبول. بعبارةٍ أخرى، من الممكن أن يلعب الطالب المختار كرة القدم، ويلعب كذلك البيسبول. لذا، فإن الحدثين ليسا متنافيين.

ننظر إلى حالة بعيدة الحدوث؛ حيث يلعب كلُّ طالب في الفصل كرة القدم والبيسبول أيضًا، بحيث يكون: 𞸋󰁓󰁒=١𞸋󰁓󰁒=١.ااراة،اارال

إذن، إذا طبقنا قاعدة الجمع للأحداث المتنافية دون تفكير، فسيكون لدينا: 𞸋󰁓󰁒=𞸋󰁓󰁒+𞸋󰁓󰁒=١+١=٢.ااراةأوالااراةاارال

لكننا نتذكَّر أنه وفقًا لقاعدة الاحتمال، لا يمكن أن تزيد قيمة الاحتمال عن ١. لذا، لا يمكن أن يكون الناتج صحيحًا؛ لأن ٢>١. يذكِّرنا هذا المثال البعيد الحدوث بأن قاعدة الجمع الموضَّحة سابقًا لا تنطبق عندما تكون الأحداث غير متنافية. من المهم للغاية أن نتحقَّق من وجود أيِّ أحداث متنافية قبل تطبيق قاعدة الجمع.

نتناول بعض الأمثلة لكي نتعرَّف على السياقات المختلفة.

مثال ٢: إيجاد احتمال اتحاد حدثين متنافيين

𞸀، 𞸁 حدثان متنافيان لهما الاحتمالان 𞸋(𞸀)=١٠١، 𞸋(𞸁)=١٥. أوجد 𞸋(𞸀𞸁).

الحل

نتذكَّر أنه إذا كان 𞸀، 𞸁 حدثين متنافيين، فإن قاعدة الجمع تنص على أن: 𞸋(𞸀𞸁)=𞸋(𞸀)+𞸋(𞸁).

يخبرنا السؤال أن 𞸋(𞸀)=١٠١، 𞸋(𞸁)=١٥؛ ومن ثَمَّ: 𞸋(𞸀𞸁)=١٠١+١٥=٣٠١.

إذن 𞸋(𞸀𞸁)=٣٠١.

مثال ٣: استخدام قاعدة الجمع لإيجاد احتمال اتحاد حدثين

تتكوَّن فرقة صغيرة من مُغنِّي تينور، و٣ مُغنِّيات سوبرانو، ومُغنِّي باريتون، ومُغنِّية ميزو سوبرانو. إذا اختير أحد أسمائهم عشوائيًّا، فأوجد احتمال أن يكون اسم مُغنِّي تينور أو مُغنِّية سوبرانو.

الحل

نفترض أن 𞸀 هو حدث اختيار اسم مُغنِّي تينور، وأن 𞸁 هو حدث اختيار اسم مُغنِّية سوبرانو. يكون حدث اختيار إما اسم تينور وإما سوبرانو ممثَّلًا بدلالة 𞸀𞸁.

لا يمكن أن يكون المُغنِّي مُغنِّي تينور وسوبرانو معًا؛ ومن ثَمَّ، لا يمكن وقوع 𞸀، 𞸁 في الوقت نفسه. وهذا يعني ضمنيًّا أن 𞸀، 𞸁 حدثان متنافيان.

نتذكَّر أنه إذا كان 𞸀، 𞸁 حدثين متنافيين، فإن قاعدة الجمع تنص على أن: 𞸋(𞸀𞸁)=𞸋(𞸀)+𞸋(𞸁).

يوجد إجمالي: ١+٣+١+١=٦.رارنوا

إذن: 𞸋(𞸀)==١٦،𞸋(𞸁)==٣٦.دارداادااداا

وأخيرًا، باستخدام قاعدة الجمع للأحداث المتنافية، نحصل على: 𞸋(𞸀𞸁)=١٦+٣٦=٤٦=٢٣.

إذن احتمال اختيار اسم مُغنِّي تينور أو مُغنِّية سوبرانو هو ٢٣.

نتذكَّر أن الحدث المكمِّل لحدث 𞸀، الذي يُرمَز له بـ 𞸀󰍱، هو حدث جميع النواتج الممكنة خارج 𞸀. على سبيل المثال، الحدث المكمِّل لاختيار الكلب هو حدث اختيار أيِّ حيوان أليف غير الكلب. لا يمكن أبدًا لحدث ومكمِّله أن يحدثا معًا؛ ومن ثَمَّ، فإنهما حدثان متنافيان. إذن، وفقًا لقاعدة جمع الأحداث المتنافية: 𞸋󰁓𞸀𞸀󰁒=𞸋(𞸀)+𞸋󰁓𞸀󰁒.󰍱󰍱

من ناحية أخرى، يحتوي اتحاد الحدث ومكمِّله على جميع النواتج الممكنة. ويرجع ذلك إلى أن أيَّ ناتج غير موجود في الحدث لا بد أن ينتمي إلى مكمِّله. نتذكَّر أن احتمال جميع النواتج الممكنة يساوي ١. ومن ثَمَّ: 𞸋󰁓𞸀𞸀󰁒=𞸋󰁓󰁒=١.󰍱ااا

بوضع هاتين المعادلتين معًا، يكون لدينا: 𞸋(𞸀)+𞸋󰁓𞸀󰁒=١𞸋󰁓𞸀󰁒=١𞸋(𞸀).󰍱󰍱

يُعرَف هذا بقاعدة الحدث المكمِّل.

نظرية: قاعدة الحدث المكمِّل

نفترض أن 𞸀، 𞸀󰍱 حدثًا ومكمِّله. من ثَمَّ: 𞸋󰁓𞸀󰁒=١𞸋(𞸀).󰍱

نتناول بعض الأمثلة التي نستخدم فيها قاعدة الحدث المكمِّل للتعرُّف على السياقات المختلفة.

مثال ٤: إيجاد احتمال حدث يتضمَّن أحداثًا متنافية

افترض أن 𞸀، 𞸁 حدثان متنافيان. إذا كان 𞸋󰁓𞸀󰁒=١٦٫٠󰍱، 𞸋(𞸀𞸁)=٦٧٫٠، فأوجد 𞸋(𞸁).

الحل

يخبرنا السؤال أن 𞸋󰁓𞸀󰁒=١٦٫٠󰍱. إننا نتذكَّر أنه لأيِّ حدث 𞸀، يكون احتمال وقوع الحدث المكمِّل 𞸀󰍱 يساوي ١𞸋(𞸀). يكون لدينا إذن: ١٦٫٠=١𞸋(𞸀).

بحل هذه المعادلة لإيجاد 𞸋(𞸀)، نحصل على 𞸋(𞸀)=١١٦٫٠=٩٣٫٠.

بعد ذلك، نتذكَّر قاعدة الجمع التي تخبرنا أنه إذا كان 𞸀، 𞸁 حدثين متنافيين، فإن: 𞸋(𞸀𞸁)=𞸋(𞸀)+𞸋(𞸁).

بما أننا نعرف أن 𞸋(𞸀𞸁)=٦٧٫٠، 𞸋(𞸀)=٩٣٫٠، إذن يكون لدينا: ٦٧٫٠=٩٣٫٠+𞸋(𞸁).

بحل هذه المعادلة لإيجاد 𞸋(𞸁) نحصل على 𞸋(𞸁)=٦٧٫٠٩٣٫٠=٧٣٫٠.

إذن 𞸋(𞸁)=٧٣٫٠.

مثال ٥: إيجاد احتمال اتحاد الحدث المكمِّل لأحداث متنافية

إذا كان 𞸀، 𞸁 حدثين متنافيين من فضاء عيِّنة لتجربة عشوائية، فأوجد 𞸋󰁓𞸀𞸁󰁒󰍱󰍱.

الحل

في هذه المسألة، من المفيد رسم شكل فن لتصوُّر السياق. بدايةً، نبدأ بالشكل الخاص بالحدثين المتنافيين 𞸀، 𞸁، كما هو موضَّح.

نلاحِظ أنه لا يوجد تداخل بين 𞸀، 𞸁. ويرجع ذلك إلى أنهما متنافيان. بعد ذلك، نرسم الحدثين المكمِّلين 𞸀󰍱، 𞸁󰍱 كلٌّ على حدة.

نأخذ اتحاد 𞸀󰍱 الحمراء، 𞸁󰍱 الزرقاء باستخدام شكل فن.

في الشكل السابق، تُلوَّن منطقة التداخل باللون الأرجواني. نلاحظ أن الاتحاد 𞸀𞸁󰍱󰍱 يمثِّل فضاء العيِّنة بالكامل، وهو مجموعة كل النواتج الممكنة. إذن 𞸀𞸁=󰍱󰍱ااا.

ونتذكَّر أن احتمال جميع النواتج الممكنة يساوي ١. إذن: 𞸋󰁓𞸀𞸁󰁒=𞸋󰁓󰁒=١.󰍱󰍱ااا

إذن 𞸋󰁓𞸀𞸁󰁒=١󰍱󰍱.

عندما يكون الحدثان 𞸀، 𞸁 متنافيين، لا تؤدِّي فروق المجموعة إلى أيِّ تغيُّر في المجموعة الأصلية. بعبارة أخرى، 𞸀𞸁=𞸀. تؤدِّي هذه الحقيقة على الفور إلى قاعدة الفرق.

نظرية: قاعدة الفرق للأحداث المتنافية

إذا كان الحدث 𞸀 والحدث 𞸁 متنافيين، فإن: 𞸋(𞸀𞸁)=𞸋(𞸀).

كما هو الحال مع قاعدة الجمع، من المهم جدًّا أن نتحقَّق من الأحداث المتنافية قبل تطبيق قاعدة الفرق.

مثال ٦: إيجاد احتمال حدث يتضمَّن أحداثًا متنافية

افترض أن 𞸀، 𞸁 حدثان متنافيان. إذا كان 𞸋(𞸀𞸁)=٢٥٫٠، فأوجد 𞸋(𞸀).

الحل

نتذكَّر أنه إذا كان 𞸀، 𞸁 حدثين متنافيين، فإن قاعدة الفرق تنص على أن: 𞸋(𞸀𞸁)=𞸋(𞸀).

من المفيد أن نذكِّر أنفسنا بسبب صحة هذه القاعدة. عندما يكون 𞸀، 𞸁 حدثين متنافيين، إذن لا يوجد تداخل بين 𞸀، 𞸁. بعبارة أخرى، 𞸀𞸁=. إذن فرق المجموعة 𞸀𞸁 لا يأخذ أي شيء خارج المجموعة 𞸀. وبطبيعة الحال، يؤدِّي هذا إلى المتطابقة 𞸋(𞸀𞸁)=𞸋(𞸀).

أخبرنا السؤال أن 𞸋(𞸀𞸁)=٢٥٫٠، وكذلك أن 𞸀، 𞸁 حدثان متنافيان.

إذن، وفقًا لقاعدة الفرق، 𞸋(𞸀)=٢٥٫٠.

لقد ناقشنا ثلاث قواعد مختلفة للاحتمال في هذا الشارح: قاعدة الجمع، وقاعدة الفرق، وقاعدة الحدث المكمِّل. نلخِّص هذه المفاهيم في النقاط الرئيسية الآتية.

النقاط الرئيسية

  • الحدثان المتنافيان هما حدثان لا يمكن أن يقعا في الوقت نفسه.
  • إذا كان 𞸀، 𞸁 حدثين متنافيين، فإن:
    • 𞸋(𞸀𞸁)=٠،
    • 𞸋(𞸀𞸁)=𞸋(𞸀)+𞸋(𞸁) (قاعدة الجمع للأحداث المتنافية)،
    • 𞸋(𞸀𞸁)=𞸋(𞸀) (قاعدة الفرق للأحداث المتنافية).
  • لأيِّ حدث 𞸀، تنص قاعدة الحدث المكمِّل على أن: 𞸋󰁓𞸀󰁒=١𞸋(𞸀).󰍱

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.