شارح الدرس: الأحداث المتنافية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحدِّد الأحداث المتنافية ونُوجِد احتمالاتها.

نقول إن الحدثين ، متنافيان إذا كان لا يمكن أن يحدثا في الوقت نفسه. على سبيل المثال، لا يمكن أن يكون الحيوان كلبًا وقطةً في الوقت نفسه. لنقل إننا سنختار حيوانًا أليفًا عشوائيًّا من متجر. في هذا السياق، يكون حدث اختيار حيوان أليف يكون كلبًا، وحدث اختيار حيوان أليف يكون قطة، حدثين متنافيين. يمكننا أيضًا تصوُّر الأحداث المتنافية باستخدام شكل فن الآتي:

كما رأينا في شكل فن السابق، لا يوجد أيُّ تداخل بين الحدثين المتنافيين.

نذكر أن احتمال وجود مجموعة خالية يساوي ٠. حسب التعريف السابق، إذا كان ، حدثين متنافيين، فإن:

نتناول مثالًا لنضع هذا المبدأ في سياق.

بالنسبة إلى الأحداث المتنافية، لدينا قاعدة الجمع لحساب احتمال عبارات «أو».

لكي نفهم قاعدة الجمع السابقة بوضوحٍ أكثر، نتناول مثال متجر الحيوانات الأليفة الذي ذكرناه سابقًا. نحن نختار حيوانًا أليفًا عشوائيًّا من هذا المتجر. إنَّ حدث اختيار كلب وحدث اختيار قطة لا يمكن وقوعهما معًا، إذن فهما حدثان متنافيان. بما أن اختيار حيوان أليف يكون عشوائيًّا، إذن نعرف أن:

والآن نتناول اتحاد هذين الحدثين، وهو الحدث الذي نختار فيه إما كلبًا وإما قطةً. ومن ثَمَّ، نعرف أن:

هذا يؤكِّد قاعدة الجمع للأحداث المتنافية.

لا تنطبق قاعدة الجمع الموضَّحة سابقًا إلا عندما تكون الأحداث متنافية. نوضِّح كيف تفشل هذه الصيغة من قاعدة الجمع عندما تكون الأحداث غير متنافية.

نفترض أننا نختار طالبًا واحدًا من أحد الفصول عشوائيًّا. نتناول حدث أن يكون الطالب المختار يلعب كرة القدم، وحدث أن يكون الطالب المختار يلعب البيسبول.

نلاحِظ أن الطالب الذي يلعب كرة القدم قد يلعب أيضًا البيسبول. بعبارةٍ أخرى، من الممكن أن يلعب الطالب المختار كرة القدم، ويلعب كذلك البيسبول. لذا، فإن الحدثين ليسا متنافيين.

ننظر إلى حالة بعيدة الحدوث؛ حيث يلعب كلُّ طالب في الفصل كرة القدم والبيسبول أيضًا، بحيث يكون:

إذن، إذا طبقنا قاعدة الجمع للأحداث المتنافية دون تفكير، فسيكون لدينا:

لكننا نتذكَّر أنه وفقًا لقاعدة الاحتمال، لا يمكن أن تزيد قيمة الاحتمال عن ١. لذا، لا يمكن أن يكون الناتج صحيحًا؛ لأن . يذكِّرنا هذا المثال البعيد الحدوث بأن قاعدة الجمع الموضَّحة سابقًا لا تنطبق عندما تكون الأحداث غير متنافية. من المهم للغاية أن نتحقَّق من وجود أيِّ أحداث متنافية قبل تطبيق قاعدة الجمع.

نتناول بعض الأمثلة لكي نتعرَّف على السياقات المختلفة.

نتذكَّر أن الحدث المكمِّل لحدث ، الذي يُرمَز له بـ ، هو حدث جميع النواتج الممكنة خارج . على سبيل المثال، الحدث المكمِّل لاختيار الكلب هو حدث اختيار أيِّ حيوان أليف غير الكلب. لا يمكن أبدًا لحدث ومكمِّله أن يحدثا معًا؛ ومن ثَمَّ، فإنهما حدثان متنافيان. إذن، وفقًا لقاعدة جمع الأحداث المتنافية:

من ناحية أخرى، يحتوي اتحاد الحدث ومكمِّله على جميع النواتج الممكنة. ويرجع ذلك إلى أن أيَّ ناتج غير موجود في الحدث لا بد أن ينتمي إلى مكمِّله. نتذكَّر أن احتمال جميع النواتج الممكنة يساوي ١. ومن ثَمَّ:

بوضع هاتين المعادلتين معًا، يكون لدينا:

يُعرَف هذا بقاعدة الحدث المكمِّل.

نتناول بعض الأمثلة التي نستخدم فيها قاعدة الحدث المكمِّل للتعرُّف على السياقات المختلفة.

مثال ٥: إيجاد احتمال اتحاد الحدث المكمِّل لأحداث متنافية

إذا كان ، حدثين متنافيين من فضاء عيِّنة لتجربة عشوائية، فأوجد .

الحل

في هذه المسألة، من المفيد رسم شكل فن لتصوُّر السياق. بدايةً، نبدأ بالشكل الخاص بالحدثين المتنافيين ، ، كما هو موضَّح.

نلاحِظ أنه لا يوجد تداخل بين ، . ويرجع ذلك إلى أنهما متنافيان. بعد ذلك، نرسم الحدثين المكمِّلين ، كلٌّ على حدة.

نأخذ اتحاد الحمراء، الزرقاء باستخدام شكل فن.

في الشكل السابق، تُلوَّن منطقة التداخل باللون الأرجواني. نلاحظ أن الاتحاد يمثِّل فضاء العيِّنة بالكامل، وهو مجموعة كل النواتج الممكنة. إذن .

ونتذكَّر أن احتمال جميع النواتج الممكنة يساوي ١. إذن:

إذن .

عندما يكون الحدثان ، متنافيين، لا تؤدِّي فروق المجموعة إلى أيِّ تغيُّر في المجموعة الأصلية. بعبارة أخرى، . تؤدِّي هذه الحقيقة على الفور إلى قاعدة الفرق.

كما هو الحال مع قاعدة الجمع، من المهم جدًّا أن نتحقَّق من الأحداث المتنافية قبل تطبيق قاعدة الفرق.

لقد ناقشنا ثلاث قواعد مختلفة للاحتمال في هذا الشارح: قاعدة الجمع، وقاعدة الفرق، وقاعدة الحدث المكمِّل. نلخِّص هذه المفاهيم في النقاط الرئيسية الآتية.