شارح الدرس: المتجهات المتوازية والمتعامدة في الفضاء الثنائي الأبعاد الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: تحديد إذا ما كان المتجهان المُعطيان متوازيَيْن

صواب أم خطأ: المتجهان ، متوازيان.

1. صواب
2. خطأ

الحل

يكون المتجهان ، متوازيَيْن إذا كان كلٌّ منهما مضاعفًا قياسيًا للآخَر؛ أيْ: لأيِّ كمية قياسية ؛ حيث .

لذلك، نتحقَّق إذا ما كانت هناك قيمة للثابت ؛ بحيث يكون:

وبما أن ، ، يصبح لدينا:

بمساواة مركِّبتَيْ ، نحصل على:

وبمساواة مركِّبتَيْ ، يصبح لدينا:

ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة ذلك على الصورة: وبذلك تكون عبارة أن المتجهين ، متوازيان صواب.

مثال ٢: تحديد متجهَيْن متعامِدَيْن

أيُّ أزواج المتجهات الآتية متعامِدة؟

الحل

نتذكَّر أن المتجهين، ، ، يكونان متعامِدَيْن إذا كان:

لحساب ، نضرب المركِّبتين المتناظِرتين لكلِّ متجه، ثم نجمع الأعداد الناتِجة:

لذا، لكلِّ متجهين من المتجهات السابقة، نتحقَّق إذا كان:

بالنسبة إلى المتجهين الأولين ، ، لدينا:

وبما أن ، فإن المتجهين ، ليسا متعامِدَيْن.

حاصل الضرب القياسي للمتجهين الثانيَيْن في الخيار (ب)، ، ، يُمكن إيجاده من خلال:

وبما أن ، فإن المتجهين ، ليسا متعامِدَيْن.

بعد ذلك، حاصل الضرب القياسي للمتجهين ، يساوي:

إذن المتجهان ، ليسا متعامِدَيْن.

آخِر متجهين في الخيار (د)، ، ، لهما حاصل الضرب القياسي:

وبما أن حاصل الضرب القياسي يساوي صفرًا، فإن المتجهين ، متعامِدَان.

مثال ٣: إيجاد قيمة الثابت التي تجعل المتجهين متوازيَيْن

إذا كان ، ، فإن إحدى قِيَم التي تجعل تساوي .

1. ٧
2. ٥

الحل

نتذكَّر أن المتجهين ، متوازيان، ، إذا كان أحدهما مضاعفًا قياسيًّا للآخَر.

يُمكننا كتابة ذلك على الصورة: لأيِّ كمية قياسية ؛ حيث .

يُمكننا التعويض بكلٍّ من ، لإيجاد قيمة ، وهو ما يُعطينا:

بمساواة مركِّبتَيْ ، يصبح لدينا:

وبالقسمة على ، نحصل على:

وبمساواة مركِّبتَيْ ، يصبح لدينا:

بالتعويض بالقيمة في هذه المعادلة، نحصل على:

وبفكِّ القوسين، وطرح من طرفَيِ المعادلة، يصبح لدينا:

بتبسيط هذه المعادلة بإضافة إلى الطرفين، ثم الضرب في ٣، يصبح لدينا:

ومن ثَمَّ، إحدى قِيَم التي تجعل هي الإجابة المُعطاة في الخيار (أ)، وهي ٧.

يُمكننا التحقُّق من إجابتنا بالتعويض بالقيمة في المتجهين ، ، والتحقُّق مما إذا كان . هذا يُعطينا:

يُمكننا أن نلاحِظ أن المتجهين كلٌّ منهما مضاعف قياسي للآخَر. في هذه الحالة، .

سنتحقَّق من خيارات الإجابات الأخرى. في الخيار (ب)، . وعليه، إذا كان ، يصبح لدينا:

لكن، لا تُوجَد قيمة لـ تجعل هذا صحيحًا، إذن ، ، عندما يكون .

وفي الخيار (ج)، . إذن إذا كان ، فسيكون لدينا:

لكن، لا تُوجَد قيمة لـ تجعل ذلك صحيحًا، إذن ، ، عندما يكون .

وأخيرًا، نتحقَّق من الخيار (د) بالتعويض بالقيمة في ، وهو ما يُعطينا:

ولكن، لا تُوجَد قيمة صحيحة لـ هنا؛ ومن ثَمَّ ، ، عندما يكون .

وعليه، فقد أوضحنا أن الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الخيارات المُتاحة هنا هي .

مثال ٤: إيجاد قيمة الثابت التي تجعل متجهين متعامِدَيْن

إذا كان ، ، ، فإن .

1. ٢
4. ٤

الحل

يُمكننا أن نتذكَّر أنه إذا كان المتجهان ، متعامِدَيْن؛ أي ، فإن حاصل الضرب القياسي لهما يساوي صفرًا.

وهذا يعني أنه لأيِّ متجهين متعامِدَيْن، ، :

أخبرنا السؤال أن ، . إذن:

وبما أن ، يُمكننا كتابة ذلك على الصورة:

بالتبسيط عن طريق إضافة ٨ إلى الطرفين، ثم القسمة على ٢، يصبح لدينا:

ومن ثَمَّ، يُمكننا أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، لكن علينا الانتباه للقيمتين الموجبة والسالبة لهذا الجذر. ومن ثَمَّ:

إذن، الإجابة هي أن قِيَمتي لا بدَّ أن تكونا هاتين القيمتين المُعطاتين في الخيار (ج): .

مثال ٥: تحديد إذا ما كان المتجهان المُعطيان متوازيَيْن أو متعامِدَيْن أو غير ذلك

املأ الفراغ: المتجهان ،  .

الحل

يُمكننا حلُّ هذا السؤال من خلال التفكير إذا ما كان المتجهان ، متوازيَيْن، أو متعامِدَيْن، أو غير ذلك.

يُمكننا أن نتذكَّر أن المتجهين يكونان متوازيَيْن إذا كان كلٌّ منهما مضاعفًا قياسيًا للآخَر. وهنا، يُمكننا التحقُّق إذا كان: لأيِّ كمية قياسية ؛ حيث .

بالتعويض بالمتجهين المُعطَيَيْن، ، ، سنتحقَّق مما إذا كانت هناك قيمة لـ ؛ بحيث يكون:

بمساواة مركِّبتَيْ ، يصبح لدينا:

وبمساواة مركِّبتَيْ ، يصبح لدينا:

ومع ذلك، بما أن قيمتَيْ مختلفتان، فلا تُوجَد قيمة واحدة لـ تحلُّ المعادلة. إذن:

ومن ثَمَّ، يكون المتجهان ، غير متوازيَيْن.

بعد ذلك، يُمكننا التحقُّق إذا ما كان ، متعامِدَيْن من خلال إيجاد حاصل ضربهما القياسي.

حاصل الضرب القياسي للمتجهين ، يُعطى بواسطة:

ومن ثَمَّ، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ، يُعطى بواسطة:

نتذكَّر أن المتجهين يكونان متعامِدَيْن إذا كان حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا.

ومن ثَمَّ، يُمكننا الإجابة عن السؤال بأن المتجهين ، متعامِدان.