شارح الدرس: المتجهات المتوازية والمتعامدة في الفضاء الثنائي الأبعاد الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نتعرَّف على المتجهات المتوازية والمتعامِدة في الفضاء الثنائي الأبعاد.

دعونا نبدأ بتناول المتجهات المتوازية. يكون المتجهان متوازيَيْن إذا كان كلٌّ منهما مضاعفًا قياسيًا للآخَر. في الشكل الآتي، المتجهات 󰏡، 󰄮󰄮𞸁، 󰄮󰄮𞸢 جميعها موازية للمتجه 󰄮𞸏، وكلٌّ منها موازٍ للآخَر.

سنُعرِّف المتجهات المتوازية بالطريقة الآتية.

تعريف: المتجهات المتوازية

يكون المتجهان 󰄮𞸏، 󰄮𞸒 متوازيَيْن، إذا كان: 󰄮𞸏=𞸊󰄮𞸒 لأيِّ كمية قياسية 𞸊𞹇؛ حيث 𞸊٠.

لاحِظ أنه إذا كان لدينا المتجهان المتوازيان 󰄮𞸏، 󰄮𞸒؛ بحيث يكون 󰄮𞸏=𞸊󰄮𞸒، وتكون قيمة 𞸊 موجبة، إذن يكون المتجهان 󰄮𞸏، 󰄮𞸒 متوازيَيْن ويُشيران إلى الاتجاه نفسه. وإذا كانت قيمة 𞸊 سالبة، يكون المتجهان 󰄮𞸏، 󰄮𞸒 متوازيَيْن، لكنهما يُشيران إلى اتجاهين متعاكسين. في الشكل السابق، المتجهات 󰄮𞸏، 󰏡، 󰄮󰄮𞸢 متوازية في الاتجاه نفسه، لكن المتجه الموازي 󰄮󰄮𞸁 يُشير إلى الاتجاه المعاكس لاتجاه المتجهات الأخرى.

يُمكننا أن نلاحِظ كيف يُمكننا تطبيق هذه المعلومات في المثال الأول.

مثال ١: تحديد إذا ما كان المتجهان المُعطيان متوازيَيْن

صواب أم خطأ: المتجهان 𞸀=(٢،١)، 󰄮󰄮𞸁=(٦،٣) متوازيان.

  1. صواب
  2. خطأ

الحل

يكون المتجهان 󰄮𞸏، 󰄮𞸒 متوازيَيْن إذا كان كلٌّ منهما مضاعفًا قياسيًا للآخَر؛ أيْ: 󰄮𞸏=𞸊󰄮𞸒 لأيِّ كمية قياسية 𞸊𞹇؛ حيث 𞸊٠.

لذلك، نتحقَّق إذا ما كانت هناك قيمة للثابت 𞸊؛ بحيث يكون: 𞸀=𞸊󰄮󰄮𞸁.

وبما أن 𞸀=(٢،١)، 󰄮󰄮𞸁=(٦،٣)، يصبح لدينا: (٢،١)=𞸊(٦،٣).

بمساواة مركِّبتَيْ 𞸎، نحصل على: ٢=٦𞸊١٣=𞸊.

وبمساواة مركِّبتَيْ 𞸑، يصبح لدينا: ١=٣𞸊١٣=𞸊.

ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة ذلك على الصورة: 𞸀=١٣󰄮󰄮𞸁، وبذلك تكون عبارة أن المتجهين 𞸀، 󰄮󰄮𞸁 متوازيان صواب.

سنتناول بعد ذلك كيفية تحديد المتجهات المتعامِدة. يُمكننا أن نتذكَّر أنه لحساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين، نكتبهما على الصورة الإحداثية، ونضرب المركِّبتين المتناظِرتين لكلِّ متجه، ثم نجمع الأعداد الناتجة.

تعريف: حاصل الضرب القياسي للمتجهات في فضاء ثنائي الأبعاد

حاصل الضرب القياسي للمتجهين 󰄮𞸏=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰄮𞸒=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ يُعطَى بواسطة: 󰄮𞸏󰄮𞸒=𞸎×𞸎+𞸑×𞸑.١٢١٢

بالإضافة إلى ذلك، يُمكننا كتابة أن: 󰄮𞸏󰄮𞸒=󰍼󰄮𞸏󰍼󰍼󰄮𞸒󰍼𝜃، حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين 󰄮𞸏، 󰄮𞸒.

يُمكننا استخدام تعريف الزاوية في حاصل الضرب القياسي لمُساعدتنا في تحديد المتجهات المتعامِدة. إذا كان المتجهان 󰄮𞸏، 󰄮𞸒 متعامِدَيْن، فإن قياس الزاوية 𝜃=٠٩.

ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة: 󰄮𞸏󰄮𞸒=󰍼󰄮𞸏󰍼󰍼󰄮𞸒󰍼٠٩=󰍼󰄮𞸏󰍼󰍼󰄮𞸒󰍼×٠=٠.

يُمكننا استخدام هذه الحقيقة لتوضيح أنه إذا كان حاصل الضرب القياسي لمتجهين مُعطَيَيْن يساوي صفرًا، فيجب أن يكون المتجهان متعامِدَيْن. من الشائع استخدام تعريف الزاوية في حاصل الضرب القياسي لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين مُعطَيَيْن. وكمعلومة جانبية، إذا كان قياس الزاوية 𝜃=٠٨١ أو ٠، يكون المتجهان متوازيَيْن.

تعريف: المتجهات المتعامِدة

يكون المتجهان 󰄮𞸏=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰄮𞸒=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ متعامِدَيْن إذا كان: 󰄮𞸏󰄮𞸒=٠.

وبصورة مكافئة، بحساب حاصل الضرب القياسي، يكون 󰄮𞸏، 󰄮𞸒 متعامِدَيْن إذا كان: 𞸎×𞸎+𞸑×𞸑=٠.١٢١٢

في المثال التالي، سنرى كيف يُمكننا تطبيق هذه القاعدة لتحديد متجهين متعامِدَيْن.

مثال ٢: تحديد متجهَيْن متعامِدَيْن

أيُّ أزواج المتجهات الآتية متعامِدة؟

  1. (٢،٠)،(٣،٦)
  2. (١،٤)،(٢،٨)
  3. (٠،٧)،(٠،٩)
  4. (٣،٠)،(٠،٦)

الحل

نتذكَّر أن المتجهين، 󰄮𞸏=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰄮𞸒=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، يكونان متعامِدَيْن إذا كان: 󰄮𞸏󰄮𞸒=٠.

لحساب 󰄮𞸏󰄮𞸒، نضرب المركِّبتين المتناظِرتين لكلِّ متجه، ثم نجمع الأعداد الناتِجة: 󰄮𞸏󰄮𞸒=𞸎×𞸎+𞸑×𞸑.١٢١٢

لذا، لكلِّ متجهين من المتجهات السابقة، نتحقَّق إذا كان: 𞸎×𞸎+𞸑×𞸑=٠.١٢١٢

بالنسبة إلى المتجهين الأولين (٢،٠)، (٣،٦)، لدينا: (٢،٠)(٣،٦)=٢×٣+٠×(٦)=٦+٠=٦.

وبما أن ٦٠، فإن المتجهين (٢،٠)، (٣،٦) ليسا متعامِدَيْن.

حاصل الضرب القياسي للمتجهين الثانيَيْن في الخيار (ب)، (١،٤)، (٢،٨)، يُمكن إيجاده من خلال: (١،٤)(٢،٨)=١×٢+٤×٨=٢+٢٣=٤٣.

وبما أن ٤٣٠، فإن المتجهين (١،٤)، (٢،٨) ليسا متعامِدَيْن.

بعد ذلك، حاصل الضرب القياسي للمتجهين (٠،٧)، (٠،٩) يساوي: (٠،٧)(٠،٩)=٠×٠+٧×٩=٠+٣٦=٣٦.

إذن المتجهان (٠،٧)، (٠،٩) ليسا متعامِدَيْن.

آخِر متجهين في الخيار (د)، (٣،٠)، (٠،٦)، لهما حاصل الضرب القياسي: (٣،٠)(٠،٦)=٣×٠+٠×٦=٠+٠=٠.

وبما أن حاصل الضرب القياسي يساوي صفرًا، فإن المتجهين (٣،٠)، (٠،٦) متعامِدَان.

في المثال التالي، سنرى كيف يُمكننا إيجاد قيمة مجهولة في متجهين، إذا كانا متوازيَيْن.

مثال ٣: إيجاد قيمة الثابت التي تجعل المتجهين متوازيَيْن

إذا كان 𞸀=(𞸓،𞸓+٢)، 󰄮󰄮𞸁=(٣𞸓،٤𞸓١)، فإن إحدى قِيَم 𞸓 التي تجعل 𞸀󰄮󰄮𞸁 تساوي .

  1. ٧
  2. ٥
  3. ٥
  4. ٧

الحل

نتذكَّر أن المتجهين 𞸀، 󰄮󰄮𞸁 متوازيان، 𞸀󰄮󰄮𞸁، إذا كان أحدهما مضاعفًا قياسيًّا للآخَر.

يُمكننا كتابة ذلك على الصورة: 𞸀=𞸊󰄮󰄮𞸁 لأيِّ كمية قياسية 𞸊𞹇؛ حيث 𞸊٠.

يُمكننا التعويض بكلٍّ من 𞸀=(𞸓،𞸓+٢)، 󰄮󰄮𞸁=(٣𞸓،٤𞸓١) لإيجاد قيمة 𞸊، وهو ما يُعطينا: (𞸓،𞸓+٢)=𞸊(٣𞸓،٤𞸓١).

بمساواة مركِّبتَيْ 𞸎، يصبح لدينا: 𞸓=𞸊×٣𞸓𞸓=٣𞸓𞸊.

وبالقسمة على ٣𞸓، نحصل على: 𞸓٣𞸓=٣𞸓𞸊٣𞸓١٣=𞸊.

وبمساواة مركِّبتَيْ 𞸑، يصبح لدينا: 𞸓+٢=𞸊(٤𞸓١).

بالتعويض بالقيمة 𞸊=١٣ في هذه المعادلة، نحصل على: 𞸓+٢=١٣(٤𞸓١).

وبفكِّ القوسين، وطرح 𞸓 من طرفَيِ المعادلة، يصبح لدينا: 𞸓+٢=٤٣𞸓١٣٢=١٣𞸓١٣.

بتبسيط هذه المعادلة بإضافة ١٣ إلى الطرفين، ثم الضرب في ٣، يصبح لدينا: ٧٣=١٣𞸓٧=𞸓.

ومن ثَمَّ، إحدى قِيَم 𞸓 التي تجعل 𞸀󰄮󰄮𞸁 هي الإجابة المُعطاة في الخيار (أ)، وهي ٧.

يُمكننا التحقُّق من إجابتنا بالتعويض بالقيمة 𞸓=٧ في المتجهين 𞸀، 󰄮󰄮𞸁، والتحقُّق مما إذا كان 𞸀=𞸊󰄮󰄮𞸁. هذا يُعطينا: (𞸓،𞸓+٢)=𞸊(٣𞸓،٤𞸓١)(٧،٩)=𞸊(١٢،٧٢).

يُمكننا أن نلاحِظ أن المتجهين كلٌّ منهما مضاعف قياسي للآخَر. في هذه الحالة، 𞸊=١٣.

سنتحقَّق من خيارات الإجابات الأخرى. في الخيار (ب)، 𞸓=٥. وعليه، إذا كان 𞸀=𞸊󰄮󰄮𞸁، يصبح لدينا: (𞸓،𞸓+٢)=𞸊(٣𞸓،٤𞸓١)(٥،٧)=𞸊(٥١،٩١).

لكن، لا تُوجَد قيمة لـ 𞸊 تجعل هذا صحيحًا، إذن (٥،٧)𞸊(٥١،٩١)، 𞸀󰄮󰄮𞸁، عندما يكون 𞸓=٥.

وفي الخيار (ج)، 𞸓=٥. إذن إذا كان 𞸀󰄮󰄮𞸁، فسيكون لدينا: (𞸓،𞸓+٢)=𞸊(٣𞸓،٤𞸓١)(٥،٣)=𞸊(٥١،١٢).

لكن، لا تُوجَد قيمة لـ 𞸊 تجعل ذلك صحيحًا، إذن (٥،٣)𞸊(٥١،١٢)، 𞸀󰄮󰄮𞸁، عندما يكون 𞸓=٥.

وأخيرًا، نتحقَّق من الخيار (د) بالتعويض بالقيمة 𞸓=٧ في (𞸓،𞸓+٢)=𞸊(٣𞸓،٤𞸓١)، وهو ما يُعطينا: (٧،٥)=𞸊(١٢،٩٢).

ولكن، لا تُوجَد قيمة صحيحة لـ 𞸊 هنا؛ ومن ثَمَّ (٧،٥)𞸊(١٢،٩٢)، 𞸀󰄮󰄮𞸁، عندما يكون 𞸓=٧.

وعليه، فقد أوضحنا أن الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الخيارات المُتاحة هنا هي 𞸓=٧.

في المثال التالي، سنرى كيف يُمكننا تحديد قيمة مجهولة في متجه، إذا كان المتجهان متعامِدَيْن.

مثال ٤: إيجاد قيمة الثابت التي تجعل متجهين متعامِدَيْن

إذا كان 𞸀=󰁓𞸊،١󰁒٢، 󰄮󰄮𞸁=(٢،٨)، 𞸀󰄮󰄮𞸁، فإن 𞸊=.

  1. ٢
  2. ٢
  3. ٢،٢
  4. ٤

الحل

يُمكننا أن نتذكَّر أنه إذا كان المتجهان 𞸀، 󰄮󰄮𞸁 متعامِدَيْن؛ أي 𞸀󰄮󰄮𞸁، فإن حاصل الضرب القياسي لهما يساوي صفرًا.

وهذا يعني أنه لأيِّ متجهين متعامِدَيْن، 𞸀=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰄮󰄮𞸁=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢: 𞸀󰄮󰄮𞸁=𞸎×𞸎+𞸑×𞸑=٠.١٢١٢

أخبرنا السؤال أن 𞸀=󰁓𞸊،١󰁒٢، 󰄮󰄮𞸁=(٢،٨). إذن: 𞸀󰄮󰄮𞸁=𞸊×٢+١×(٨)=٢𞸊٨.٢٢

وبما أن 𞸀󰄮󰄮𞸁=٠، يُمكننا كتابة ذلك على الصورة: ٢𞸊٨=٠.٢

بالتبسيط عن طريق إضافة ٨ إلى الطرفين، ثم القسمة على ٢، يصبح لدينا: ٢𞸊=٨𞸊=٤.٢٢

ومن ثَمَّ، يُمكننا أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، لكن علينا الانتباه للقيمتين الموجبة والسالبة لهذا الجذر. ومن ثَمَّ: 𞸊=±󰋴٤=±٢.

إذن، الإجابة هي أن قِيَمتي 𞸊 لا بدَّ أن تكونا هاتين القيمتين المُعطاتين في الخيار (ج): ٢،٢.

في المثال الأخير، سنحدِّد إذا ما كان المتجهان المُعطيان متوازيَيْن، أو متعامِدَيْن، أو غير ذلك.

مثال ٥: تحديد إذا ما كان المتجهان المُعطيان متوازيَيْن أو متعامِدَيْن أو غير ذلك

املأ الفراغ: المتجهان 𞸀=(١،٢)، 󰄮󰄮𞸁=(٢،١) .

الحل

يُمكننا حلُّ هذا السؤال من خلال التفكير إذا ما كان المتجهان 𞸀، 󰄮󰄮𞸁 متوازيَيْن، أو متعامِدَيْن، أو غير ذلك.

يُمكننا أن نتذكَّر أن المتجهين يكونان متوازيَيْن إذا كان كلٌّ منهما مضاعفًا قياسيًا للآخَر. وهنا، يُمكننا التحقُّق إذا كان: 𞸀=𞸊󰄮󰄮𞸁 لأيِّ كمية قياسية 𞸊𞹇؛ حيث 𞸊٠.

بالتعويض بالمتجهين المُعطَيَيْن، 𞸀=(١،٢)، 󰄮󰄮𞸁=(٢،١)، سنتحقَّق مما إذا كانت هناك قيمة لـ 𞸊؛ بحيث يكون: (١،٢)=𞸊(٢،١).

بمساواة مركِّبتَيْ 𞸎، يصبح لدينا: ١=٢𞸊١٢=𞸊𞸊=١٢.

وبمساواة مركِّبتَيْ 𞸑، يصبح لدينا: ٢=𞸊،𞸊=٢.

ومع ذلك، بما أن قيمتَيْ 𞸊 مختلفتان، فلا تُوجَد قيمة واحدة لـ 𞸊 تحلُّ المعادلة. إذن: (١،٢)𞸊(٢،١).

ومن ثَمَّ، يكون المتجهان 𞸀، 󰄮󰄮𞸁 غير متوازيَيْن.

بعد ذلك، يُمكننا التحقُّق إذا ما كان 𞸀، 󰄮󰄮𞸁 متعامِدَيْن من خلال إيجاد حاصل ضربهما القياسي.

حاصل الضرب القياسي للمتجهين 󰄮𞸏=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰄮𞸒=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ يُعطى بواسطة: 󰄮𞸏󰄮𞸒=𞸎×𞸎+𞸑×𞸑.١٢١٢

ومن ثَمَّ، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجهين 𞸀=(١،٢)، 󰄮󰄮𞸁=(٢،١) يُعطى بواسطة: 𞸀󰄮󰄮𞸁=١×(٢)+٢×١=٢+٢=٠.

نتذكَّر أن المتجهين يكونان متعامِدَيْن إذا كان حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا.

ومن ثَمَّ، يُمكننا الإجابة عن السؤال بأن المتجهين 𞸀=(١،٢)، 󰄮󰄮𞸁=(٢،١) متعامِدان.

سنلخِّص الآن النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • يكون المتجهان 󰄮𞸏، 󰄮𞸒 متوازيَيْن إذا كان: 󰄮𞸏=𞸊󰄮𞸒 لأيِّ كمية قياسية 𞸊𞹇؛ حيث 𞸊٠.
  • يكون المتجهان 󰄮𞸏=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰄮𞸒=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ متعامِدَيْن إذا كان حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا: 󰄮𞸏󰄮𞸒=𞸎×𞸎+𞸑×𞸑=٠.١٢١٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.