شارح الدرس: اتزان جسم على مستوًى أفقي خشن الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد مقدار قوة تؤثر على جسم في حالة اتزان على مستوى أفقي خشن

جسم وزنه ٢٥٫٥ نيوتن وُضِعَ على مستوًى أفقي خشن. أثَّرت قوة أفقية على الجسم، جعلته على وشك الحركة. إذا كان معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى ، فأوجد مقدار القوة.

الحل

تُعطى أقصى قوة احتكاك مؤثرة على الجسم بالمعادلة:

لدينا: ومن ثَمَّ:

قيمة هي . إذن، يصبح لدينا:

لكي يظل الجسم في حالة اتزان، يجب أن يكون مقدار القوة المؤثرة هو نفسه مقدار قوة الاحتكاك، أي ٤٫٥ نيوتن.

مثال ٢: إيجاد محصلة القوة العمودية وقوة الاحتكاك

جسم يستند على مستوًى أفقي خشن. مُعامِل الاحتكاك بين الجسم والمستوى ٠٫٢، وقوة الاحتكاك النهائي التي تؤثر على الجسم ٨٠ نيوتن. إذا عُلِم أن محصلة قوة الاحتكاك ورد الفعل العمودي، فأوجد مقدار .

الحل

يوضح الشكل الآتي القوى المؤثرة على الجسم.

لم يَرِد في السؤال الوزن ولا القوة المؤثرة، لكن بالنسبة لجسم في حالة سكون يستند على سطح، توجد قوة رد فعل عمودي تؤثر على الجسم بسبب وزنه، كما توجد قوة احتكاك تؤثر على الجسم نتيجة القوة المؤثرة عليه، لذا لا بد أن توجد هاتان القوتان غير المذكورتين.

الاحتكاك النهائي هو أقصى قوة احتكاك يؤثر بها السطح على الجسم قبل أن يبدأ الجسم في الحركة بفعل القوة المؤثرة. ويُعطى الاحتكاك النهائي بالمعادلة: حيث قوة رد الفعل العمودي على الجسم، معامل الاحتكاك السكوني بين السطح والجسم.

ينص السؤال على أن الاحتكاك النهائي يساوي ٨٠ نيوتن، وأن يساوي ٠٫٢. نلاحظ من ذلك أن قوة رد الفعل يُمكِن الحصول عليها كالآتي:

ذُكِر في السؤال أن القوة هي محصلة قوة رد الفعل والاحتكاك النهائي، كما هو موضَّح بالشكل الآتي.

يمكن إيجاد مقدار باستخدام نظرية فيثاغورس:

مثال ٣: إيجاد زاوية الاحتكاك

إذا كان معامل الاحتكاك السكوني بين جسم ومستوى هو ، فما قياس زاوية الاحتكاك؟ قرِّب إجابتك لأقرب دقيقة إذا لزم الأمر.

الحل

يمكن إيجاد قياس زاوية الاحتكاك باستخدام المعادلة:

نوجد قيمة كالآتي:

وعند التقريب لأقرب دقيقة، نحصل على:

مثال ٤: إيجاد أقل قوة أفقية تجعل الجسم في حالة اتزان عند دفعه في اتجاه حائط رأسي خشن

يوضح الشكل الآتي جسمًا كتلته ٣٠ كجم تدفعه قوة أفقية في اتجاه حائط رأسي خشن. إذا كان معامل الاحتكاك السكوني بين الجسم والحائط يساوي ، فأوجد أقل قوة أفقية تجعل الجسم في حالة اتزان.

الحل

على الرغم من أن هذا السؤال يتضمن جسمًا يرتكز على سطح رأسي، إلا أنه يكافئ تمثيل جسم يرتكز على سطح أفقي، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

تؤثر قوة رد الفعل من السطح على الجسم عموديًّا على السطح، ومن ثَمَّ فإنها تؤثر في الاتجاه المعاكس للقوة وتساوي في المقدار مقدار القوة . يُعطى الاحتكاك النهائي المؤثر على الجسم، أي ، بالمعادلة:

ويُعطى وزن الجسم بالمعادلة:

لكي يكون الجسم في حالة اتزان، يجب أن يكون مقدارا الوزن والاحتكاك النهائي متساويين، ومن ثَمَّ يصبح لدينا:

قيمة غير مُعطاة في السؤال. إذن، يمكننا الإجابة باستخدام وحدة القياس ثقل كيلوجرام لتصبح على الصورة ٣٦ ث. كجم.

مثال ٥: إيجاد الوزن الذي يجعل نظامًا على وشك الحركة

يرتكز جسم وزنه ٧٩ نيوتن على منضدة أفقية ذات سطح خشن. رُبِط الجسم بواسطة حبل غير مرن ذي كتلة مهملة يمر عبْر بكرة ملساء مُثبَّتة على حافة المنضدة، بجسم آخر وزنه ٤١ نيوتن يتدلى رأسيًّا أسفل البكرة. في ظل هذه الظروف، كان النظام على وشك الحركة. بعد ذلك رُبط الجسم بواسطة حبل آخر غير مرن يمر عبْر بكرة أخرى مُثبَّتة على الحافة المقابلة للمنضدة، بجسم آخر وزنه نيوتن يتدلى رأسيًّا أسفل البكرة. أوجد الوزن الذي يجعل الجسم على وشك الحركة.

الحل

رُبط جسم وزنه ٧٩ نيوتن بجسم آخر وزنه ٤١ نيوتن، ويوضح الشكل الآتي بعض القوى المؤثرة على الجسمين.

قوة الاحتكاك المؤثرة على الجسم لا بد أن تساوي قوة الشد في الحبل لكي يكون الجسم في حالة اتزان، ومقدار قوة الشد في الحبل يساوي وزن الجسم المُعلَّق في الحبل. قوة الاحتكاك التي مقدارها ٤١ نيوتن هي أقصى قوة احتكاك يمكن أن توجد بين الجسم والسطح؛ لأن النظام على وشك الحركة.

عند ربط جسم وزنه ٧٩ نيوتن بجسم آخر وزنه غير معلوم، فإن القوة المحصلة المؤثرة على الجسم تكون في اتجاه الجسم ذي الوزن غير المعلوم؛ حيث يكون الجسم الذي وزنه ٧٩ نيوتن على وشك الحركة في اتجاه قوة الشد في الحبل بفعل الوزن غير المعلوم. قوة الاحتكاك المؤثرة على الجسم الذي وزنه ٧٩ نيوتن مقدارها يساوي ٤١ نيوتن أيضًا، لكنها تؤثر في الاتجاه المعاكس لقوة الشد في الحبل المربوط بالجسم ذي الوزن غير المعلوم، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

الجسم ذو الوزن غير المعلوم وزنه يساوي قوة الشد في الحبل المربوط بالجسم. وقوة الشد في هذا الحبل تساوي مجموع قوة الشد في الحبل المربوط بالجسم الذي وزنه ٤١ نيوتن وقوة الاحتكاك المؤثرة على الجسم الذي وزنه ٧٩ نيوتن. يُعطى الوزن غير المعلوم، أي ، كالآتي: