شارح الدرس: عدد أويلر (هـ) في صورة نهاية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم تعريف عدد أويلر (𞸤) لنُوجِد قيمة بعض النهايات الخاصة.

يُعَدُّ عدد أويلر (𞸤=٨٢٨١٧٫٢) أداة مفيدة للغاية، تُستخدَم في العديد من فروع الرياضيات المختلفة، ومنها حساب الفائدة المركبة ومسائل إيجاد الحل الأمثل والتفاضل والتكامل وفي تعريف الدالة التي تمثِّل التوزيع الاحتمالي الطبيعي المعياري.

ومن المحتمل أن يكون العدد قد اكتُشِف في الأصل عند البحث عن دالة أسية تُشتق إلى نفسها. مع ذلك، يمكننا أيضًا إيجاد عدد أويلر باستخدام النهايات، وهذا ما نستكشفه في هذا الشارح.

لتعريف عدد أويلر في صورة نهاية، علينا أولًا تذكُّر بعض المعلومات عن هذا العدد:

  1. 𞸤(𞸎) هي دالة اللوغاريتم الطبيعي لـ 𞸎، 𞸤(𞸎) هي الدالة العكسية لـ 𞸤𞸎.
  2. إذا كانت 󰎨(𞸎)=(𞸎)𞸤، فإن 󰎨(𞸎)=١𞸎.
  3. إذا كانت 󰎨(𞸎)=(𞸎)𞸤، فإن 󰎨(١)=١.
  4. 𞸤(𞸎) هي دالة متصلة على مجالها بالكامل.

نستخدم النتيجة الثانية للحصول على ناتج النهاية باستخدام تعريف المشتقة من المبادئ الأولى. وقد أوجدنا النتيجة الثالثة بالتعويض بـ 𞸎=١ في النتيجة الثانية.

يخبرنا تعريف المشتقة من المبادئ الأولى حول 󰎨(𞸎) عند 𞸎=١ بأن: 󰎨(١)=󰃁󰎨(١+𞸐)󰎨(١)𞸐󰃀.ـــــ𞸐٠

باستبدال 𞸐 في هذه النهاية واستخدام 𞸎 بدلًا منه، واستخدام حقيقة أن 󰎨(𞸎)=(𞸎)𞸤، نحصل على: 󰎨(١)=󰃁(١+𞸎)(١)𞸎󰃀.ـــــ𞸎٠𞸤𞸤

وبما أن 𞸤(١)=٠، إذن يمكن تبسيط ذلك إلى: 󰎨(١)=󰃁(١+𞸎)𞸎󰃀.ـــــ𞸎٠𞸤

باستخدام قاعدة القوة للوغاريتمات، يمكننا التعبير عن هذه النهاية على الصورة: ـــــــــــــــ𞸎٠𞸤𞸎٠𞸤𞸎٠𞸤󰃁(١+𞸎)𞸎󰃀=󰃁١𞸎×(١+𞸎)󰃀=󰂔󰂔[١+𞸎]󰂓󰂓.١𞸎

تذكَّر أننا نعلم أن هذه النهاية تساوي 󰎨(١)، ونعلم بالفعل أن: 󰎨(١)=١. هذا يعني أننا قد أوضحنا أن: ١=󰂔󰂔[١+𞸎]󰂓󰂓.ـــــ𞸎٠𞸤١𞸎

داخل هذه النهاية، نأخذ اللوغاريتم الطبيعي، وهو دالة متصلة. نعلم أيضًا أن النهاية متقاربة، ويمكننا استخدام هاتين الحقيقتين لإخراج دالة اللوغاريتم الطبيعي خارج النهاية، ما يعطينا: ١=󰃁(١+𞸎)󰃀.ـــــ𞸤𞸎٠١𞸎

ويمكننا تبسيط ذلك أكثر بكتابة كلا طرفَي هذه المعادلة على صورة أسين لـ 𞸤: 𞸤=(١+𞸎)،ـــــ𞸎٠١𞸎 حيث نستخدم حقيقة أن دوال اللوغاريتم الطبيعي هي دوال عكسية للدوال الأسية، 𞸤=𞸤١.

هذه هي نتيجة النهاية الأولى، ويمكننا معرفة فائدتها على الفور. إذا حاولنا إيجاد قيمة النهاية مباشرة، فسنحصل على الصورتين غير المعيَّنتين الآتيتين: ــــــــــ𞸎٠𞸎٠+١𞸎١𞸎(١+𞸎)=١،(١+𞸎)=١.

إذن النهايات التي لا يمكن إيجاد قيمتها مباشرةً، ولكن يمكن التعبير عنها على هذه الصورة، يمكن إيجاد قيمتها بدلالة عدد أويلر، 𞸤.

قبل المتابعة، ثمة نتيجة واحدة أخرى للنهاية يمكننا توضيحها مباشرةً من النتيجة السابقة. بالتعويض بـ 𞸎=١𞸍 في نتيجة النهاية أعلاه، نحصل على: 𞸤=(١+𞸎)=󰃁١+١𞸍󰃀.ــــــــــ𞸎٠𞸎٠𞸍١𞸎

لكن لدينا الآن نهاية تتضمَّن كلًّا من 𞸎، 𞸍 ونريد كتابة ذلك بالكامل بدلالة 𞸍. وبما أن 𞸎=١𞸍، إذن عندما تقترب 𞸎 من الصفر، يجب أن يقترب ١𞸍 أيضًا من الصفر. ويمكن أن يكون هذا صحيحًا إذا اقترب 𞸍 من موجب أو سالب ما لا نهاية، أو حتى ذُبذِبت قيمته ما بين الاثنين، ما يعني أنه لا يمكننا تحديد القيمة التي سيقترب منها 𞸍 على وجه التحديد في النهاية الموجودة لدينا.

يمكننا حل هذه المسألة بتذكُّر أن ـــــ𞸎٠(١+𞸎)١𞸎 متقاربة؛ لذا فإن النهايتين اليسرى واليمنى عند الصفر يجب أن تساويا قيمة هذه النهاية؛ أي 𞸤. سنستخدم النهاية اليمنى: 𞸤=(١+𞸎)=(١+𞸎).ــــــــــ𞸎٠𞸎٠١𞸎+١𞸎

والآن، عند اقتراب 𞸎 من الصفر من جهة اليمين، يقترب ١𞸍 من موجب ما لا نهاية.

هذا يعطينا النتيجة الثانية للنهاية: 𞸤=󰃁١+١𞸍󰃀.ـــــ𞸍𞸍

يمكننا تلخيص النتائج التي أوضحناها للتو.

تعريف: عدد أويلر في صورة نهاية

𞸤=(١+𞸎)،𞸤=󰃁١+١𞸍󰃀ــــــــــ𞸎٠𞸍𞸍١𞸎

نتناول بعض الأمثلة على كيفية استخدام هاتين النتيجتين لإيجاد قيمة النهايات التي لم نتمكَّن من إيجادها قبل.

مثال ١: إيجاد قيمة النهاية باستخدام ثابت أويلر

أوجد قيمة ـــــ𞸎٤𞸎󰃁١+١𞸎󰃀.

الحل

يمكننا أولًا أن نحاول إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرةً. لدينا في هذه النهاية، تقترب 𞸎 من ما لا نهاية، ما يعني أن مقام ١𞸎 يزداد بلا حدود، أما البسط فيظل ثابتًا، إذن يقترب ١𞸎 من الصفر. هذا يعني أن التعبير داخل القوس يقترب من الواحد. مع ذلك، فإن الأس (٤𞸎) يقترب من ما لا نهاية عند اقتراب 𞸎 من ما لا نهاية.

إذن نحصل على: ـــــ𞸎٤𞸎󰃁١+١𞸎󰃀=١، وهي صيغة غير معيَّنة. هذا يعني أنه علينا تجربة طريقة أخرى لإيجاد قيمة النهاية.

نلاحظ أن النهاية المعطاة مشابهة جدًّا للنهاية التي تعبِّر عن قيمة عدد أويلر: 𞸤=󰃁١+١𞸎󰃀.ـــــ𞸎𞸎

الفرق بين تعبيرَي النهاية هو أن النهاية المعطاة لها الأس ٤𞸎 وليس 𞸎. يمكننا استخدام قوانين الأسس لإعادة التعبير عنه كالآتي: ــــــــــ𞸎٤𞸎𞸎𞸎٤󰃁١+١𞸎󰃀=󰃁󰃁١+١𞸎󰃀󰃀.

قبل أن نتمكَّن من التعويض بعدد أويلر في تعبير النهاية، علينا نقل الأس أربعة خارج النهاية. وبافتراض أن النهاية الجديدة موجودة، يمكننا استخدام قاعدة القوة للنهايات لتحقيق ذلك: ــــــــــ𞸎𞸎٤𞸎𞸎٤󰃁󰃁١+١𞸎󰃀󰃀=󰃁󰃁١+١𞸎󰃀󰃀.

النهاية داخل القوس المرفوع للقوة موجودة؛ لأنها هي نتيجة النهاية نفسها لعدد أويلر 𞸤. إذن نستخدم نتيجة النهاية ونستبدل النهاية التي داخل القوسين ونستخدم 𞸤 بدلًا من ذلك، ما يعطينا: ــــــــــ𞸎٤𞸎𞸎𞸎٤٤󰃁١+١𞸎󰃀=󰃁󰃁١+١𞸎󰃀󰃀=𞸤.

يوضِّح المثال الآتي كيف يمكننا استخدام نتيجة النهاية الأخرى لمساعدتنا في إيجاد قيمة النهاية.

مثال ٢: حل النهايات من خلال تحويلها إلى صور نهاية تُعبِّر عن عدد أويلر

أوجد قيمة ـــــ𞸎٠(𞸎+١)١١٠١𞸎.

الحل

بما أن المطلوب منا هو إيجاد قيمة النهاية، إذن يمكننا البدء بمحاولة فعل ذلك أولًا. عندما تقترب 𞸎 من الصفر، فإن التعبير داخل القوس يقترب من الواحد، ويزداد مقدار الأس بلا حدود. وهذه صيغة غير معيَّنة، وتحديدًا ١؛ لذا نحتاج إلى تجربة طريقة أخرى.

يمكننا ملاحظة أن النهاية تشبه إحدى نتيجتَي النهاية التي تتضمَّن عدد أويلر، وهي: ـــــ𞸎٠(١+𞸎)=𞸤.١𞸎

لذا، يمكننا أن نجرِّب استخدام هذه النتيجة لمساعدتنا في إيجاد قيمة النهاية.

للقيام بذلك، نريد أن يكون الأس ١١٠١𞸎 مماثلًا لأس نتيجة النهاية؛ أي ١𞸎. للقيام بذلك، نبدأ باستخدام قوانين الأسس لإعادة كتابة النهاية: ــــــــــ𞸎٠𞸎٠(𞸎+١)=󰂔(١+𞸎)󰂓،١١٠١𞸎١𞸎١١٠١ حيث نُعيد ترتيب الحدود داخل القوس، ونستخدم حقيقة أن ١١٠١𞸎=١𞸎×١١٠١.

في هذه المرحلة، نريد استخدام نتيجة النهاية التي تتضمَّن عدد أويلر؛ مع ذلك، علينا أولًا وضع الأس خارج النهاية، ولكي نفعل ذلك علينا استخدام قاعدة القوة للنهايات.

وهذا يعني أنه يمكننا وضع الأس خارج النهاية، بشرط أن تكون النهاية الجديدة موجودة.

في هذه الحالة، لدينا: ــــــــــ𞸎٠𞸎٠󰂔(١+𞸎)󰂓=󰃁(١+𞸎)󰃀،١𞸎١١٠١١𞸎١١٠١ ونعرِف أن هذا صحيح؛ لأن النهاية داخل القوس هي نتيجة النهاية نفسها التي تتضمَّن عدد أويلر. بالتعويض بهذه النهاية التي تساوي 𞸤، نحصل على: 󰃁(١+𞸎)󰃀=𞸤.ـــــ𞸎٠١𞸎١١٠١١١٠١

ليس من الممكن دائمًا استخدام نتائج النهاية التي تتضمَّن عدد أويلر 𞸤 مباشرةً. فقد نحتاج إلى استخدام أدوات أخرى؛ مثل قسمة كثيرات الحدود أو التحليل أو التعويض. لكن الفرضية الأساسية تظل كما هي؛ فنأخذ النهاية التي لا يمكننا إيجاد قيمتها ونكتبها على صورة لـ 𞸤؛ حيث يمكننا بعد ذلك استخدام نتائج النهاية لإيجاد قيمتها.

مثال ٣: إيجاد قيمة النهاية عن طريق تحويلها إلى صورة نهاية تُعبِّر عن عدد أويلر

أوجد قيمة ـــــ𞸎٥𞸎󰃁١٧𞸎󰃀.

الحل

مطلوب منا إيجاد قيمة النهاية التي يمكننا محاولة إيجادها مباشرةً. إذن عند اقتراب 𞸎 من ، يقترب التعبير داخل القوس من الواحد، ويزداد الأس بلا حدود. ومن ثَمَّ، نحصل على: ـــــ𞸎٥𞸎󰃁١٧𞸎󰃀=١.

وهذه صيغة غير معيَّنة؛ لذا علينا تجربة طريقة أخرى لإيجاد قيمة هذه النهاية.

تشبه هذه النهاية إحدى نتائج النهايات التي تتضمَّن عدد أويلر؛ لذا يمكننا تجربة هذه النتيجة لمساعدتنا في إيجاد قيمة النهاية. لدينا العديد من الخيارات التي يمكننا من خلالها فعل ذلك.

نحاول كتابة هذه النهاية على صورة يمكننا استخدامها: 𞸤=(١+𞸍).ـــــ𞸍٠١𞸍

لكن من الممكن أيضًا استخدام: 𞸤=󰃁١+١𞸍󰃀.ـــــ𞸍𞸍

عادةً ما تكون إحدى نتيجتَي النهاية أسهل من الأخرى، وقد يكون من الصعوبة تحديد نتيجة النهاية التي يتعيَّن علينا استخدامها بمجرد النظر إلى السؤال؛ لذا، إذا تعثَّرنا أثناء استخدام إحدى النتيجتين، يمكننا أن نحاول دائمًا استخدام النهاية الأخرى التي تكون على الصورة التي تحتوي على الأس ١𞸍.

ولكتابة النهاية على هذه الصورة، علينا استخدام التعويض. نريد أن يكون ١+𞸍 داخل القوس؛ لذا نستخدم التعويض: 𞸍=٧𞸎.

يمكننا إعادة ترتيب هذا التعويض لإيجاد 𞸎 بدلالة 𞸍، فيكون: 𞸎=٧𞸍.

وبضرب الطرفين في خمسة، نحصل على: ٥𞸎=٥٣𞸍.

باستخدام هذا التعويض، يمكننا إعادة كتابة النهاية على الصورة: ــــــــــ𞸎٥𞸎𞸎󰃁١٧𞸎󰃀=(١+𞸍).٥٣𞸍

مع ذلك، هذه هي النهاية عند اقتراب 𞸎 من ما لا نهاية، كما نريد معرفة ما يحدث عندما تكون النهاية بدلالة 𞸍؛ لذا علينا النظر إلى التعويض الذي أجريناه. عند اقتراب 𞸎 من ما لا نهاية، يقترب ٧𞸎 من الصفر، وبما أن 𞸍=٧𞸎، إذن نجد بالتأكيد أن 𞸍 يقترب أيضًا من الصفر.

وهذا يعطينا: ــــــــــ𞸎𞸍٠(١+𞸍)=(١+𞸍).٥٣𞸍٥٣𞸍

والآن، نستخدم أحد قوانين الأسس: ــــــــــ𞸍٠𞸍٠٥٣(١+𞸍)=󰂔(١+𞸍)󰂓.٥٣𞸍١𞸍

وأخيرًا، نطبِّق قاعدة القوة للنهايات: ــــــــــ𞸍٠٥٣𞸍٠٥٣󰂔(١+𞸍)󰂓=󰃁(١+𞸍)󰃀،١𞸍١𞸍 وهو ما يمكننا فعله في هذه الحالة؛ لأن النهاية هي نتيجة النهاية التي تتضمَّن عدد أويلر.

كلُّ ما علينا فعله الآن هو التعويض عن النهاية بـ 𞸤، ثم نُعيد الترتيب، وبذلك نحصل أخيرًا على: 󰃁(١+𞸍)󰃀=𞸤=١𞸤.ـــــ𞸍٠٥٣٥٣٥٣١𞸍

في المثال التالي، نتناول نهاية لدالة كسرية مرفوعة لقوة عبارة عن دالة خطية.

مثال ٤: إيجاد قيم النهايات من خلال تحويلها إلى صورة نهاية تُعبِّر عن عدد أويلر

أوجد ـــــ𞸎𞸎٣󰃁𞸎+٤𞸎٤󰃀.

الحل

يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرةً. داخل القوس، لدينا دالة كسرية، ونعلم أيضًا أنه عند اقتراب 𞸎 من ، يمكننا معرفة ما يحدث بالنظر إلى خارج قسمة الحدود الرئيسية في الدالة الكسرية. وبما أن هذا يساوي واحدًا، إذن نهاية الدالة الكسرية تساوي واحدًا أيضًا. لكننا نعلم أن الأس يزداد بلا حدود؛ لذا يكون لدينا: ـــــ𞸎𞸎٣󰃁𞸎+٤𞸎٤󰃀=١، وهي صيغة غير معيَّنة. ومن ثَمَّ، يتعيَّن علينا تجربة طريقة أخرى لإيجاد قيمة هذه النهاية.

بدلًا من ذلك، هيا نحاول إيجاد قيمة ذلك باستخدام نتيجة نهاية تتضمَّن عدد أويلر: 𞸤=󰃁١+١𞸍󰃀.ـــــ𞸍𞸍

نبدأ بإعادة كتابة الدالة الكسرية: ـــــــــــــــ𞸎𞸎٣𞸎𞸎٣𞸎𞸎٣󰃁𞸎+٤𞸎٤󰃀=󰃁𞸎٤+٨𞸎٤󰃀=󰃁١+٨𞸎٤󰃀.

إذا قارنَّا بين النهايتين، فسنجد أنه علينا استخدام التعويض. نريد ١+١𞸍 داخل القوس؛ لذا نستخدم التعويض: ١𞸍=٨𞸎٤.

نلاحِظ أنه عندما تقترب 𞸎 من ما لا نهاية، فإن ٨𞸎٤ يقترب من الصفر، إذن لا بد أن يقترب 𞸍 أيضًا من ما لا نهاية.

قبل استخدام هذا التعويض، علينا أيضًا إعادة الترتيب لإيجاد قيمة 𞸎 بدلالة 𞸍، وهو ما يمكننا فعله على النحو الآتي.

نأخذ مقلوب كلا طرفَي التعويض، ما يعطينا: 𞸍=𞸎٤٨.

بعد ذلك، نضرب كلا الطرفين في ثمانية، ونضيف أربعة إلى كلا الطرفين: 𞸎=٨𞸍+٤.

يمكننا الآن استخدام هذا التعويض لإعادة كتابة النهاية: ـــــــــــــــ𞸎𞸎٣𞸍٨𞸍+٤٣𞸍٨𞸍+١󰃁١+٨𞸎٤󰃀=󰃁١+١𞸍󰃀=󰃁١+١𞸍󰃀.

نريد استخدام نتيجة النهاية، لكننا نريد أولًا أن يكون الأس هو 𞸍. للقيام بذلك، علينا أولًا استخدام قوانين الأسس جنبًا إلى جنب مع قاعدة الضرب للنهايات؛ وبذلك: ـــــــــــــــ𞸍٨𞸍+١𞸍٨𞸍𞸍󰃁١+١𞸍󰃀=󰃁١+١𞸍󰃀×󰃁١+١𞸍󰃀.

لاستخدام قاعدة الضرب للنهايات، يجب أن تكون نهايتا العاملين موجودتين. أثناء الحل، نثبت أن هاتين النهايتين موجودتان.

يمكننا إيجاد قيمة إحدى هاتين النهايتين مباشرةً: ـــــ𞸍󰃁١+١𞸍󰃀=١.

بعد ذلك، لكي نُوجِد قيمة النهاية الأخرى، نستخدم قوانين الأسس وقاعدة القوة للنهايات: ــــــــــ𞸍٨𞸍𞸍𞸍٨󰃁١+١𞸍󰃀=󰃁󰃁١+١𞸍󰃀󰃀، وهذا صحيح بشرط أن تكون النهاية موجودة، ونحن نعلم أنها موجودة بالفعل؛ لأنها نتيجة النهاية السابقة. هذا يعني أنه يمكننا أن نستبدل بهذه النهاية ثابت أويلر 𞸤: 󰃁󰃁١+١𞸍󰃀󰃀=𞸤.ـــــ𞸍𞸍٨٨

ومن ثَمَّ، نكون قد أوضحنا أن: ـــــ𞸎𞸎٣٨󰃁𞸎+٤𞸎٤󰃀=𞸤.

يمكننا كذلك استخدام هذه النتائج لحل النهايات التي تتضمَّن دوال أكثر تعقيدًا.

مثال ٥: إيجاد قيم النهايات بتحويلها إلى صور نهاية تُعبِّر عن عدد أويلر

أوجد ـــــ𞸎٠٣𞸎󰁓٤𞸎+١󰁒٣.

الحل

يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرةً. داخل القوس، لدينا دالة متصلة؛ لذا يمكننا التعويض بـ 𞸎=٠. لكننا نعلم أن الأس يزداد بلا حدود؛ ومن ثَمَّ، يكون لدينا: ــــــــــ𞸎٠٣𞸎𞸎٠٣󰁓٤𞸎+١󰁒=󰁓٤٠+١󰁒=١،٣ وهي صيغة غير معيَّنة؛ لذا علينا تجربة طريقة أخرى لإيجاد قيمة هذه النهاية.

بدلًا من ذلك، هيا نحاول إيجاد قيمة ذلك باستخدام نتيجة نهاية تتضمَّن عدد أويلر، وهي: 𞸤=(١+𞸍).ـــــ𞸍٠١𞸍

للمقارنة بين هذه والنهاية المطلوب منا إيجاد قيمتها، علينا إعادة كتابة التعبير داخل القوس على الصورة ١+𞸍. للقيام بذلك، نبدأ بالتعويض: 𞸍=٤𞸎.٣

ونعلم أنه عند اقتراب 𞸎 من الصفر، فإن ٤𞸎٣ يقترب من الصفر بالتعويض المباشر؛ وعليه فإن 𞸍 يجب أن يقترب أيضًا من الصفر. وكذلك من خلال إيجاد مقلوب كلا طرفَي عملية التعويض وإعادة الترتيب، نحصل على: ٤𞸍=١𞸎=𞸎.٣٣

باستخدام كل ذلك، يمكننا إعادة كتابة النهاية على الصورة: ــــــــــ𞸎٠٣𞸎𞸍٠󰁓٤𞸎+١󰁒=(١+𞸍).٣٤𞸍

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام قوانين الأسس وقاعدة القوة للنهايات للحصول على الأس المطلوب ١𞸍: ـــــــــــــــ𞸍٠𞸍٠٤𞸍٠٤(١+𞸍)=󰂔(١+𞸍)󰂓=󰃁(١+𞸍)󰃀.٤𞸍١𞸍١𞸍

وبالطبع، يتحقَّق هذا بشرط أن تكون النهاية داخل القوس موجودة، وهذا ما نعرفه بالفعل؛ حيث: ـــــ𞸍٠(١+𞸍)=𞸤.١𞸍

وأخيرًا، يمكننا استخدام نتيجة النهاية لإيجاد قيمة النهاية داخل القوس على صورة ثابت أويلر: 󰃁(١+𞸍)󰃀=𞸤=١𞸤.ـــــ𞸍٠٤٤٤١𞸍

ومن ثَمَّ، نكون قد تمكَّنا من توضيح أن: ـــــ𞸎٠٣𞸎٤󰁓٤𞸎+١󰁒=١𞸤.٣

هيا نختم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية لهذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • لقد أوجدنا نتيجتين للنهاية تتضمَّنان عدد أويلر، وأثبتنا ذلك: 𞸤=(١+𞸎)،𞸤=󰃁١+١𞸍󰃀.ــــــــــ𞸎٠𞸍𞸍١𞸎
  • يمكننا استخدام هاتين النتيجتين لإيجاد النهايات التي تعطينا صيغًا غير معيَّنة عن طريق التعويض المباشر أو حساب القيمة.
  • لاستخدام هاتين النتيجتين، قد يتعيَّن علينا أحيانًا إعادة كتابة النهاية باستخدام طرق مثل قسمة كثيرات الحدود أو التعويض أو التحليل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.