شارح الدرس: عدد أويلر (هـ) في صورة نهاية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد قيمة النهاية باستخدام ثابت أويلر

أوجد قيمة .

الحل

يمكننا أولًا أن نحاول إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرةً. لدينا في هذه النهاية، تقترب من ما لا نهاية، ما يعني أن مقام يزداد بلا حدود، أما البسط فيظل ثابتًا، إذن يقترب من الصفر. هذا يعني أن التعبير داخل القوس يقترب من الواحد. مع ذلك، فإن الأس () يقترب من ما لا نهاية عند اقتراب من ما لا نهاية.

إذن نحصل على: وهي صيغة غير معيَّنة. هذا يعني أنه علينا تجربة طريقة أخرى لإيجاد قيمة النهاية.

نلاحظ أن النهاية المعطاة مشابهة جدًّا للنهاية التي تعبِّر عن قيمة عدد أويلر:

الفرق بين تعبيرَي النهاية هو أن النهاية المعطاة لها الأس وليس . يمكننا استخدام قوانين الأسس لإعادة التعبير عنه كالآتي:

قبل أن نتمكَّن من التعويض بعدد أويلر في تعبير النهاية، علينا نقل الأس أربعة خارج النهاية. وبافتراض أن النهاية الجديدة موجودة، يمكننا استخدام قاعدة القوة للنهايات لتحقيق ذلك:

النهاية داخل القوس المرفوع للقوة موجودة؛ لأنها هي نتيجة النهاية نفسها لعدد أويلر . إذن نستخدم نتيجة النهاية ونستبدل النهاية التي داخل القوسين ونستخدم بدلًا من ذلك، ما يعطينا:

مثال ٢: حل النهايات من خلال تحويلها إلى صور نهاية تُعبِّر عن عدد أويلر

أوجد قيمة .

الحل

بما أن المطلوب منا هو إيجاد قيمة النهاية، إذن يمكننا البدء بمحاولة فعل ذلك أولًا. عندما تقترب من الصفر، فإن التعبير داخل القوس يقترب من الواحد، ويزداد مقدار الأس بلا حدود. وهذه صيغة غير معيَّنة، وتحديدًا ؛ لذا نحتاج إلى تجربة طريقة أخرى.

يمكننا ملاحظة أن النهاية تشبه إحدى نتيجتَي النهاية التي تتضمَّن عدد أويلر، وهي:

لذا، يمكننا أن نجرِّب استخدام هذه النتيجة لمساعدتنا في إيجاد قيمة النهاية.

للقيام بذلك، نريد أن يكون الأس مماثلًا لأس نتيجة النهاية؛ أي . للقيام بذلك، نبدأ باستخدام قوانين الأسس لإعادة كتابة النهاية: حيث نُعيد ترتيب الحدود داخل القوس، ونستخدم حقيقة أن .

في هذه المرحلة، نريد استخدام نتيجة النهاية التي تتضمَّن عدد أويلر؛ مع ذلك، علينا أولًا وضع الأس خارج النهاية، ولكي نفعل ذلك علينا استخدام قاعدة القوة للنهايات.

وهذا يعني أنه يمكننا وضع الأس خارج النهاية، بشرط أن تكون النهاية الجديدة موجودة.

في هذه الحالة، لدينا: ونعرِف أن هذا صحيح؛ لأن النهاية داخل القوس هي نتيجة النهاية نفسها التي تتضمَّن عدد أويلر. بالتعويض بهذه النهاية التي تساوي ، نحصل على:

مثال ٣: إيجاد قيمة النهاية عن طريق تحويلها إلى صورة نهاية تُعبِّر عن عدد أويلر

أوجد قيمة .

الحل

مطلوب منا إيجاد قيمة النهاية التي يمكننا محاولة إيجادها مباشرةً. إذن عند اقتراب من ، يقترب التعبير داخل القوس من الواحد، ويزداد الأس بلا حدود. ومن ثَمَّ، نحصل على:

وهذه صيغة غير معيَّنة؛ لذا علينا تجربة طريقة أخرى لإيجاد قيمة هذه النهاية.

تشبه هذه النهاية إحدى نتائج النهايات التي تتضمَّن عدد أويلر؛ لذا يمكننا تجربة هذه النتيجة لمساعدتنا في إيجاد قيمة النهاية. لدينا العديد من الخيارات التي يمكننا من خلالها فعل ذلك.

نحاول كتابة هذه النهاية على صورة يمكننا استخدامها:

لكن من الممكن أيضًا استخدام:

عادةً ما تكون إحدى نتيجتَي النهاية أسهل من الأخرى، وقد يكون من الصعوبة تحديد نتيجة النهاية التي يتعيَّن علينا استخدامها بمجرد النظر إلى السؤال؛ لذا، إذا تعثَّرنا أثناء استخدام إحدى النتيجتين، يمكننا أن نحاول دائمًا استخدام النهاية الأخرى التي تكون على الصورة التي تحتوي على الأس .

ولكتابة النهاية على هذه الصورة، علينا استخدام التعويض. نريد أن يكون داخل القوس؛ لذا نستخدم التعويض:

يمكننا إعادة ترتيب هذا التعويض لإيجاد بدلالة ، فيكون:

وبضرب الطرفين في خمسة، نحصل على:

باستخدام هذا التعويض، يمكننا إعادة كتابة النهاية على الصورة:

مع ذلك، هذه هي النهاية عند اقتراب من ما لا نهاية، كما نريد معرفة ما يحدث عندما تكون النهاية بدلالة ؛ لذا علينا النظر إلى التعويض الذي أجريناه. عند اقتراب من ما لا نهاية، يقترب من الصفر، وبما أن ، إذن نجد بالتأكيد أن يقترب أيضًا من الصفر.

وهذا يعطينا:

والآن، نستخدم أحد قوانين الأسس:

وأخيرًا، نطبِّق قاعدة القوة للنهايات: وهو ما يمكننا فعله في هذه الحالة؛ لأن النهاية هي نتيجة النهاية التي تتضمَّن عدد أويلر.

كلُّ ما علينا فعله الآن هو التعويض عن النهاية بـ ، ثم نُعيد الترتيب، وبذلك نحصل أخيرًا على:

مثال ٤: إيجاد قيم النهايات من خلال تحويلها إلى صورة نهاية تُعبِّر عن عدد أويلر

أوجد .

الحل

يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرةً. داخل القوس، لدينا دالة كسرية، ونعلم أيضًا أنه عند اقتراب من ، يمكننا معرفة ما يحدث بالنظر إلى خارج قسمة الحدود الرئيسية في الدالة الكسرية. وبما أن هذا يساوي واحدًا، إذن نهاية الدالة الكسرية تساوي واحدًا أيضًا. لكننا نعلم أن الأس يزداد بلا حدود؛ لذا يكون لدينا: وهي صيغة غير معيَّنة. ومن ثَمَّ، يتعيَّن علينا تجربة طريقة أخرى لإيجاد قيمة هذه النهاية.

بدلًا من ذلك، هيا نحاول إيجاد قيمة ذلك باستخدام نتيجة نهاية تتضمَّن عدد أويلر:

نبدأ بإعادة كتابة الدالة الكسرية:

إذا قارنَّا بين النهايتين، فسنجد أنه علينا استخدام التعويض. نريد داخل القوس؛ لذا نستخدم التعويض:

نلاحِظ أنه عندما تقترب من ما لا نهاية، فإن يقترب من الصفر، إذن لا بد أن يقترب أيضًا من ما لا نهاية.

قبل استخدام هذا التعويض، علينا أيضًا إعادة الترتيب لإيجاد قيمة بدلالة ، وهو ما يمكننا فعله على النحو الآتي.

نأخذ مقلوب كلا طرفَي التعويض، ما يعطينا:

بعد ذلك، نضرب كلا الطرفين في ثمانية، ونضيف أربعة إلى كلا الطرفين:

يمكننا الآن استخدام هذا التعويض لإعادة كتابة النهاية:

نريد استخدام نتيجة النهاية، لكننا نريد أولًا أن يكون الأس هو . للقيام بذلك، علينا أولًا استخدام قوانين الأسس جنبًا إلى جنب مع قاعدة الضرب للنهايات؛ وبذلك:

لاستخدام قاعدة الضرب للنهايات، يجب أن تكون نهايتا العاملين موجودتين. أثناء الحل، نثبت أن هاتين النهايتين موجودتان.

يمكننا إيجاد قيمة إحدى هاتين النهايتين مباشرةً:

بعد ذلك، لكي نُوجِد قيمة النهاية الأخرى، نستخدم قوانين الأسس وقاعدة القوة للنهايات: وهذا صحيح بشرط أن تكون النهاية موجودة، ونحن نعلم أنها موجودة بالفعل؛ لأنها نتيجة النهاية السابقة. هذا يعني أنه يمكننا أن نستبدل بهذه النهاية ثابت أويلر :

ومن ثَمَّ، نكون قد أوضحنا أن:

مثال ٥: إيجاد قيم النهايات بتحويلها إلى صور نهاية تُعبِّر عن عدد أويلر

أوجد .

الحل

يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرةً. داخل القوس، لدينا دالة متصلة؛ لذا يمكننا التعويض بـ . لكننا نعلم أن الأس يزداد بلا حدود؛ ومن ثَمَّ، يكون لدينا: وهي صيغة غير معيَّنة؛ لذا علينا تجربة طريقة أخرى لإيجاد قيمة هذه النهاية.

بدلًا من ذلك، هيا نحاول إيجاد قيمة ذلك باستخدام نتيجة نهاية تتضمَّن عدد أويلر، وهي:

للمقارنة بين هذه والنهاية المطلوب منا إيجاد قيمتها، علينا إعادة كتابة التعبير داخل القوس على الصورة . للقيام بذلك، نبدأ بالتعويض:

ونعلم أنه عند اقتراب من الصفر، فإن يقترب من الصفر بالتعويض المباشر؛ وعليه فإن يجب أن يقترب أيضًا من الصفر. وكذلك من خلال إيجاد مقلوب كلا طرفَي عملية التعويض وإعادة الترتيب، نحصل على:

باستخدام كل ذلك، يمكننا إعادة كتابة النهاية على الصورة:

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام قوانين الأسس وقاعدة القوة للنهايات للحصول على الأس المطلوب :

وبالطبع، يتحقَّق هذا بشرط أن تكون النهاية داخل القوس موجودة، وهذا ما نعرفه بالفعل؛ حيث:

وأخيرًا، يمكننا استخدام نتيجة النهاية لإيجاد قيمة النهاية داخل القوس على صورة ثابت أويلر:

ومن ثَمَّ، نكون قد تمكَّنا من توضيح أن: