في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نجري عمليات على المتجهات في ثلاثة أبعاد؛ مثل: الجمع، والطرح، والضرب في عدد ثابت.
تُجرى العمليات على المتجهات؛ مثل: الجمع، والطرح، والضرب في عدد ثابت، بالطريقة نفسها في ثلاثة أبعاد أو أكثر مثلما تُجرى في بُعدين. سنبدأ بتذكُّر كيف يبدو متجه مكتوب في ثلاثة أبعاد.
المتجه المرسوم في ثلاثة أبعاد له ذيل (نقطة بداية)، ورأس (نقطة نهاية). يُرمز إلى اتجاه المتجه بسهم، ويُعرف طول المتجه بأنه معياره. يمكننا كتابة متجه بدلالة متجهات الوحدة ، ، ، أو على الصورة الإحداثية.
تعريف: متجهات الوحدة
متجه الوحدة هو متجه طوله (معياره) يساوي ١. متجهات الوحدة في الاتجاهات ، ، يُرمز إليها بالرموز ، ، على الترتيب.
يمكن كتابة أيِّ متجه على الصورة: + + . وبدلًا من ذلك، يمكن تمثيلها على الصورة: ، .
سنتناول الآن شكل أيِّ متجه في الفضاء تقع نقطة بدايته عند نقطة الأصل.
في الشكل التالي، النقطة إحداثياتها ، والمتجه (ويُرمز إليه أحيانًا بـ ) هو القطعة المستقيمة من نقطة الأصل إلى النقطة .
من نقطة الأصل، نتحرَّك وحدتين في اتجاه ، و٥ وحدات في اتجاه ، و٣ وحدات في اتجاه ؛ وبهذا يكون المتجه .
لنتذكَّر الآن بعض التعريفات الرئيسية حول المتجهات.
تعريف: متجهات الموضع
إذا كانت النقطة إحداثياتها كما هو موضَّح في الشكل، فإن المتجه ؛ حيث المركِّبات ، ، هي إزاحات النقطة في الاتجاهات ، ، من نقطة الأصل، يُسمَّى متجه الموضع.
تعريف: جمع المتجهات وطرحها
يمكننا جمع أيِّ متجهين أو طرحهما عن طريق جمع مركِّباتهما المتناظرة أو طرحها.
إذا كان ، ؛ فإن .
إذا كان ، ؛ فإن .
في المثال الأول، سنشرح كيف نطرح متجهًا من متجه آخَر عندما يكون كلاهما معطًى بدلالة متجهات الوحدة.
مثال ١: طرح المتجهات في ثلاثة أبعاد
إذا كان ، ، فأوجد .
الحل
نعرف أنه لطرح متجهين في ثلاثة أبعاد، فإننا نطرح المركِّبات المتناظرة كلًّا على حدة. إذا كان ، ؛ فإن .
في هذا السؤال، علينا طرح مركِّبات ، ، بشكل منفصل للحصول على:
إذن، .
لنتناول الآن كيف يمكننا جمع متجهين في ثلاثة أبعاد.
مثال ٢: جمع متجهات في ثلاثة أبعاد
إذا كان لديك المتجهان ، ، فأوجد .
الحل
نعرف أنه لجمع متجهين في ثلاثة أبعاد، فإننا نجمع المركِّبات المتناظرة كلًّا على حدة. إذا كان ، ؛ فإن .
هذا يعني أن: .
إذن، .
يمكننا توسيع نطاق قاعدة جمع المتجهات وطرحها في ثلاثة أبعاد لتشمل المتجهات في عدد من الأبعاد.
إذا كان ، ؛ فإن: ، .
تعريف: ضرب متجه في كمية قياسية
لضرب أيِّ متجه في كمية قياسية، فإننا نضرب كلَّ مركِّبة من مركِّباته في هذه الكمية القياسية.
إذا كان ، فإن ؛ لجميع الثوابت الحقيقية .
يمكن أن يمتدَّ ذلك أيضًا إلى حالة من الأبعاد. إذا كان ، فإن .
في المثال التالي، سنشرح كيف يمكننا ضرب متجه في كمية قياسية.
مثال ٣: ضرب متجه في ثلاثة أبعاد في كمية قياسية
ما المتجه الناتج عن ضرب المتجه في العامل ؟
الحل
لضرب أيِّ متجه في كمية قياسية، فإننا نضرب كلَّ مركِّبة من مركِّباته في هذه الكمية القياسية. إذا كان ، فإن .
في هذا السؤال، علينا ضرب ، ، في . نتذكَّر أنه عند ضرب عددين سالبين فإننا نحصل على إجابة موجبة:
إذن، بضرب في العامل نحصل على المتجه .
في المثال الرابع، سنجمع بين ضرب متجه في كمية قياسية وطرح المتجهات.
مثال ٤: طرح مضاعفات كمية قياسية لمتجهات
إذا كان ، ، فأوجد .
الحل
لضرب أيِّ متجه في كمية قياسية، فإننا نضرب كلَّ مركِّبة من مركِّباته في هذه الكمية القياسية.
بما أن ، فإن:
وبما أن ، فإن:
لطرح متجهين في ثلاثة أبعاد، فإننا نطرح المركِّبات المتناظرة كلًّا على حدة:
إذن، .
في المثال التالي، سنوجد المتجه الناقص في تعبير يحتوي على متجهات.
مثال ٥: إيجاد متجه مجهول بمعلومية تعبير يحتوي على متجهات
إذا كان ، ، فأوجد المتجه ؛ حيث .
الحل
يخبرنا السؤال أن ، وعليه يمكن أن نبدأ بإعادة الترتيب، وطرح من طرفَي المعادلة. نحصل من ذلك على المعادلة: .
بعد ذلك، نحسب ، . لضرب أيِّ متجه في كمية قياسية، فإننا نضرب كلَّ مركِّبة من مركِّباته في هذه الكمية القياسية.
إذا كان ، إذن .
إذا كان ، إذن .
لطرح متجهين في ثلاثة أبعاد، فإننا نطرح المركِّبات المتناظرة كلًّا على حدة.
إذن:
بما أن ، فيمكننا قسمة كلِّ مركِّبة من مركِّباته على ٢ لحساب المتجه .
إذن، .
عندما تكون لدينا نقطتان في الفضاء، يمكننا تطبيق صيغة المسافة لإيجاد المسافة بينهما. تُعتبر هذه صورة أخرى لنظرية فيثاغورس. إذا كانت النقطتان ، معطاتين؛ فإننا نحصل على المسافة بينهما من العلاقة:
يمكن تعميم ذلك بشكل أكبر لنحصل على المسافة بين نقطة في فضاء ثلاثي الأبعاد ونقطة الأصل. بالنسبة للمتجهات، هذا يعني أنه يمكننا إيجاد طول المتجه، وهو ما نطلق عليه معيار المتجه.
تعريف: معيار المتجه
يخبرنا معيار المتجه بطوله، ويُرمز له بـ .
إذا كان ، فإن .
في المثال التالي، سنحسب معيار المتجهات في ثلاثة أبعاد.
مثال ٦: المقارنة بين معايير تعبيرات تحتوي على متجهات
، متجهان؛ حيث ، . بالمقارنة بين ، و، أيُّ كمية أكبر؟
الحل
لحساب معيار أيِّ متجه، علينا حساب الجذر التربيعي لمجموع مربعات كلِّ مركِّبة من مركِّباته. إذا كان ، فإن .
يخبرنا السؤال أن .
إذن، .
ويخبرنا أيضًا أن .
إذن، .
هذا يعني أن .
لطرح متجهين، فإننا نطرح المركِّبات المتناظرة كلًّا على حدة:
إذن:
إذن، ، وهو أكبر من ٢٫١٦٠٦.
إذن، أكبر من .
في المثال الأخير، شرحنا أن معيار الفرق بين متجهين لا يساوي الفرق بين معياري كلٍّ منهما. من المهمِّ أن ندرك أنه بينما بإمكاننا إيجاد مجموع متجهين أو أكثر أو الفرق بينهما بسهولة إلى حدٍّ ما، فإنه لا يمكننا تطبيق مفهوم مشابه على مجموع معياريهما أو الفرق بينهما.
في المثال الأخير، سنحسب القيم الناقصة الممكنة في مسألة تحتوي على متجهات.
مثال ٧: حلُّ مسألة تحتوي على متجهات تتضمَّن متجهات وحدة
إذا كان ، وكان متجه وحدة يساوي ، فأوجد قيم الممكنة.
الحل
لضرب أيِّ متجه في كمية قياسية، فإننا نضرب كلَّ مركِّبة من مركِّباته في هذه الكمية القياسية.
بما أن ، فإن:
معطًى لدينا أن متجه وحدة، ونعرف أن أيَّ متجه وحدة له معيار يساوي ١؛ حيث ، إذا كان :
بتربيع طرفَي المعادلة:
بالضرب في ٢٥، وتجميع الحدود المتشابهة:
بإيجاد الجذر التربيعي للطرفين، فإن يمكن أن يساوي أو .
سننهي هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.
النقاط الرئيسية
- متجه الوحدة له معيار يساوي ١، ويُرمز إلى متجهات الوحدة التي توازي المحاور ، ، بالرموز: ، ، على الترتيب.
- يمكن كتابة متجه في فضاء ثلاثي الأبعاد على الصورة الإحداثية: ، أو بدلالة متجهات الوحدة الأساسية: .
- لجمع متجهين أو طرحهما، فإننا نجمع مركِّباتهما المتناظرة أو نطرحها.
إذا كان ، ؛ فإن .
إذا كان ، ؛ فإن . - لضرب أيِّ متجه في كمية قياسية، فإننا نضرب كلَّ مركِّبة من مركِّباته في هذه الكمية القياسية. إذا كان ، فإن .
- معيار المتجه هو طوله، ويمكن حسابه عن طريق تطبيق نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد. إذا كان ، فإن .
