في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد العزم لنظام من القوى المستوية يؤثر على جسم حول نقطة ما على صورة متجِه.
نعرف أنه يمكن أن يكون لأي قوة أو نظام من القوى تأثير دوراني على جسم ما، ويُوصَف بأنه عزم القوة أو عزم نظام القوى حول نقطة. نتذكر أنه في الحركة المستوية، يُعرَّف العزم للقوة حول نقطة ما، باعتباره كمية قياسية مقدارها يعطى بالعلاقة: حيث البعد العمودي بين النقطة وخط عمل القوة . يمكننا بعد ذلك تحديد إشارة العزم بتحديد إذا ما كان التأثير الدوراني في اتجاه دوران عقارب الساعة أو عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. وفقًا للاصطلاح المُتعارَف عليه، نُعرِّف العزم الذي تأثيره في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بأنه موجب، وهو ما يعني تعريف العزم الذي له تأثير دوراني في اتجاه دوران عقارب الساعة بأنه سالب.
على الرغم من أن هذا التعريف مناسب للحركة المستوية، فإنه ليس كافيًا عندما نفكر في الحركة في فضاء ثلاثي الأبعاد؛ لأن مفهوم اتجاه دوران عقارب الساعة أو مفهوم عكس اتجاه دوران عقارب الساعة لا يتحقق هنا. ومن ثَمَّ، نريد توسيع نطاق تعريف العزم ليشمل الحركة في ثلاثة أبعاد من العزم القياسي المحدد للحركة المستوية. وحفاظًا على مفهوم اتجاه الدوران، نعرِّف العزم بأنه متجه على النحو الآتي.
تعريف: عزم القوة
عزم القوة المؤثر على جسم ما، الذي يؤخذ حول النقطة ، يُعطى بالعلاقة: حيث متجه موضع النقطة ، وهي النقطة التي تؤثر فيها القوة .
في هذا التعريف، نلاحظ أننا اخترنا النظام الإحداثي بحيث تطابق نقطة الأصل النقطة التي نأخذ عندها العزم. فإذا أردنا إيجاد عزم القوة حول النقطة: والتي ليست نقطة الأصل، فإننا نعوض ببساطة عن بـ :
أُضيف الحرف كرمز أسفل للإشارة إلى أن العزم يؤخذ حول النقطة: .
في المثال الأول، سنستخدم هذه الصيغة لحساب متجه عزم قوة في مستوى حول نقطة.
مثال ١: إيجاد متجه عزم قوة حول نقطة
إذا كانت القوة تؤثر على النقطة ، فعيِّن عزم حول النقطة .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد عزم قوة مستوية حول نقطة. تذكر أن متجه عزم قوة تؤثر على النقطة حول النقطة يُعطى بالعلاقة:
لنبدأ بإيجاد المتجه :
يمكننا كتابة على الصورة:
بحساب الضرب الاتجاهي:
نلاحظ حذف الثابت المجهول في القوة عندما نحسب الضرب الاتجاهي. إذن، عزم القوة حول النقطة يساوي .
في المثال السابق، حسبنا متجه العزم لقوة مستوية حول نقطة باستخدام الصيغة الآتية:
نلاحظ أن المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي يتضمن فقط المركبة ، وتنعدم المركبتان ، . لا يفاجئنا ذلك إذا فكرنا في الخاصية الهندسية لحاصل الضرب الاتجاهي. تذكر أن المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي لمتجهين يجب أن يكون عموديًا على المتجهين. بما أن يُعرَف على أنه حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ، ، فلا بد أن يكون عموديًّا على المتجهين. نحن نعرف أن ، كلاهما يقع في المستوى ؛ لذا لا بد أن يكون عموديًّا على المستوى . أي متجه عمودي على المستوى لا بد أن يكون موازيًا لمتجه الوحدة في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد. هذا يعني أن: لأيِّ كمية قياسية . وبما أن هذه الحالة تتحقق دائمًا، فيمكننا تبسيط حساب حاصل الضرب الاتجاهي باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي في بعدين.
تعريف: حاصل الضرب الاتجاهي في بعدين
إذا كان لدينا متجهان في بعدين ، ، فإن حاصل الضرب الاتجاهي في بعدين يُعرَف كالآتي:
كما نرى، حساب حاصل الضرب الاتجاهي في بعدين يكون أسرع. سنستخدم في بقية هذا الشارح هذه الصيغة لحساب حاصل الضرب الاتجاهي بين متجهين في بعدين.
بعد ذلك، دعونا نتناول معيار العزم، الذي يساوي معيار حاصل الضرب الاتجاهي الآتي:
تذكر أن حاصل الضرب الاتجاهي بين متجهين يساوي مساحة متوازي أضلاع يكون فيه المتجهان ضلعين متجاورين. هيا نلاحظ ذلك باستخدام الشكل الآتي.
في الشكل الموضح أعلاه، تمثل مساحة المنطقة المظللة مقدار حاصل الضرب الاتجاهي ؛ ومن ثَمَّ مقدار العزم . يمكننا أيضًا إيجاد مساحة متوازي الأضلاع هندسيًّا باستخدام الصيغة الهندسية الآتية:
في الشكل، تتكون قاعدة متوازي الأضلاع من المتجه ، والارتفاع هو البعد العمودي من نقطة الأصل إلى خط عمل القوة ، والذي يشار إليه بالرمز .
وبذلك نحصل على الصيغة الآتية لمعيار متجه العزم لقوة في بعدين حول نقطة.
خاصية: معيار متجه العزم لقوة ما
معيار متجه العزم لقوة مستوية حول نقطة يُعطى بالعلاقة: حيث البعد العمودي بين النقطة وخط عمل القوة .
نلاحظ أن معيار متجه العزم المعطى أعلاه يساوي مقدار العزم القياسي. إذن، معيار متجه العزم يتوافق مع العزم القياسي في الحركة المستوية.
عندما نعيد ترتيب هذه المعادلة، نحصل على صيغة مفيدة لحساب البعد العمودي بين نقطة ما وخط عمل القوة.
صيغة: البعد العمودي بين نقطة وخط العمل
لنفترض أن متجه عزم قوة أو نظام من القوى في مستوى حول نقطة. إذن، البعد العمودي بين النقطة وخط عمل القوة يُعطى بالعلاقة:
في المثال الآتي، سنحسب عزم قوة مستوية حول نقطة، ثم نستخدم هذه الصيغة لإيجاد البعد العمودي بين النقطة وخط عمل القوة.
مثال ٢: إيجاد متجه العزم لقوة تؤثر عند نقطة والبعد العمودي بين العزم وخط عمل القوة
إذا كانت القوة تؤثر عند النقطة ، فأوجد العزم حول نقطة الأصل للقوة . أيضًا، احسب البعد العمودي بين وخط عمل القوة.
الحل
في هذا المثال، علينا أولًا إيجاد العزم حول النقطة للقوة ثم حساب البعد العمودي بين وخط عمل القوة . هيا نبدأ بإيجاد العزم. تذكر أن متجه عزم القوة التي تؤثر على النقطة حول نقطة الأصل يُعطى بالعلاقة:
لدينا إحداثيات النقطة ، وهو ما يعني أن هو متجه الموضع ويساوي:
يمكننا كتابة على الصورة الإحداثية كالآتي:
والآن، نحن جاهزون لحساب حاصل الضرب الاتجاهي . تذكر أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في بعدين يُعرَف كالآتي:
بتطبيق هذه الصيغة، نحصل على:
ومن ثَمَّ، عزم القوة حول نقطة الأصل يساوي: .
بعد ذلك، دعونا نوجد البعد العمودي بين نقطة الأصل وخط العمل القوة . تذكر أن معيار متجه العزم لقوة مستوية حول نقطة يُعطى بالعلاقة: حيث البعد العمودي بين النقطة وخط عمل القوة . يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لكتابة الآتي:
بما أننا نعرف أن ، فيمكننا الحصول على . هيَّا نُوجِد :
بالتعويض بهاتين القيمتين في صيغة ، نحصل على:
إذن:
لاحظنا أن عزم القوة حول نقطة ينتج عنه متجه موازي لمتجه الوحدة . أي، تكون هناك كمية قياسية حيث إن:
بالإضافة إلى ذلك، لاحظنا أن معيار العزم يساوي مقدار العزم القياسي: . وهذا يعني إما أو . لتحديد أيها صحيح، علينا التحقق مما إذا كانت إشارة تطابق إشارة العزم القياسي أم لا.
تتيح لنا خواصُّ الضرب الاتجاهي استنتاج أولًا أن متجه عمودي على المستوى المُعرَّف بواسطة ، . إن اتجاه يُعرَّف بواسطة قاعدة اليد اليمنى. وتُفسَّر هذه القاعدة أحيانًا بالإشارة إلى الدوران حول القلاووظ هكذا: اتجاه المتجه يتوافق مع اتجاه الحركة (لأعلى أو لأسفل) لغطاء زجاجة، أو صامولة تدور بحيث نتجه من إلى كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
تذكر أن لدينا:
إذا كان ، فإن متجه العزم يكون إلى خارج المستوى (لأعلى)، وهو ما يناظر الدوران في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة وفقًا للشكل الموضح أعلاه. إذا كان ، فإن متجه العزم يكون إلى داخل المستوى (لأسفل)، وذلك ما يشير إلى الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة. تذكر أنه في العزم القياسي ، يناظر الدوران في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة الإشارة الموجبة، بينما الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة ينتج عنه إشارة سالبة. هذا يوضح أن إشارة العزم القياسي تتفق مع إشارة الكمية القياسية . ومن ثم، نكون قد أوضحنا أن .
خاصية: متجه عزم القوة في بعدين
لنفترض أن ، كميتان قياسية ومتجهة لعزم قوة، أو نظام من القوى في مستوى حول نقطة. إذن:
تؤكد هذه الخاصية بشكل قاطع سبب أن متجه العزم هو امتداد منطقي للعزم القياسي للقوة المستوية. علاوة على ذلك، يمكن تعميم متجه العزم لتمثيل عزم أي قوة في ثلاثة أبعاد حول نقطة ما؛ لأننا نحصل عليه باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي.
يمكننا استنتاج عدة ملاحظات مفيدة من هذه الخاصية. أولًا، نحن نعلم أن العزم القياسي لا يعتمد على موقع النقطة التي تؤثر عليها القوة، ما دامت النقطة تقع على نفس خط عمل القوة. وهذا لأنه لا يمكن الحصول على العزم القياسي إلا باستخدام معيار القوة والبعد العمودي . هذا يعني أن متجه العزم لا يعتمد أيضًا على موقع النقطة التي تؤثر عندها القوة. يمكننا فهم ذلك بشكل أفضل عند مقارنة معيار العزم عندما نحرك هذه النقطة على طول خط العمل.
نلاحظ أن مساحتي متوازيي الأضلاع متساويتان؛ لأن طول القاعدة والارتفاع متساويان في متوازيي الأضلاع. هذا يوضح أن معيار العزم لهذين النظامين متساوٍ. علاوة على ذلك، نلاحظ أن النظامين سيتسببان في حدوث دوران في اتجاه دوران عقارب الساعة حول نقطة الأصل، ما يعني أن إشارة العزم ستكون متماثلة في كلا النظامين. ومن ثَمَّ، يكون متجه العزم متساويًا في هذين النظامين. وبذلك نحصل على الخاصية المفيدة الآتية.
خاصية: متجه عزم قوة ما
متجه العزم لقوة حول نقطة ما لا يعتمد على النقطة التي تؤثر عليها القوة، ما دامت النقطة تقع على خط العمل نفسه.
في المثال الآتي، سنوجد متجه العزم لقوة مستوية حول نقطة عندما تكون النقطة الابتدائية غير معطاة.
مثال ٣: إيجاد متجه عزم قوة تؤثر عند نقطة
الطرف في عند ، نقطة منتصفها هي . إذا كان خط عمل القوة ينصف ، فأوجد عزم حول النقطة .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد عزم قوة مستوية حول نقطة. تذكر أن متجه عزم القوة التي تؤثر على النقطة حول النقطة يُعطى بالعلاقة:
وعلى الرغم من أنه ليس لدينا النقطة التي تؤثر عندها القوة، فإننا نعرف أن خط عمل القوة ينصف . هذا يعني أن خط العمل يمر بنقطة المنتصف من . تذكر أن متجه العزم لأي قوة حول نقطة ما لا يعتمد على النقطة الابتدائية، ما دامت تلك النقطة تقع على خط العمل نفسه. ومن ثَمَّ، يمكننا حساب العزم بالنظر إلى النقطة الابتدائية عند: . هذا يعني أن عزم القوة حول يُعطى بالعلاقة:
هيا نبدأ بإيجاد المتجه . بما أن هي نقطة منتصف ، فإننا نعرف أن:
وأيضًا، يكون لهذين المتجهين اتجاهين متضادين، وهو ما يعني أن:
يمكننا إيجاد: باستخدام إحداثيات النقطتين ، :
إذن:
والآن، نحن جاهزون لحساب حاصل الضرب الاتجاهي . تذكر أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في بعدين يُعرَف كالآتي:
بتطبيق هذه الصيغة، نحصل على:
إذن، عزم القوة حول النقطة يساوي .
في المثال التالي، سنوجد عزم نظام من القوى المستوية التي تؤثر عند نقطة واحدة حول نقطة أخرى بإيجاد محصلة القوى أولًا.
مثال ٤: حساب عزم ثلاث قوى تؤثر على نقطة واحدة حول نقطة معطاة وحساب المسافة بين النقطتين
إذا كانت القوى ، ، تؤثر عند النقطة ، فاحسب العزم لمحصلة القوى حول النقطة ، واحسب طول الخط العمودي الذي يربط النقطة بخط عمل المحصلة.
الحل
في هذا المثال، لدينا نظام من القوى المستوية تؤثر عند النقطة نفسها. هيا نبدأ بإيجاد محصلة القوى. تذكر أن محصلة نظام من القوى تؤثر عند النقطة نفسها تساوي مجموع كل متجهات القوى في هذا النظام. إذن: المحصلة تساوي:
هذا يوضح أن محصلة القوى تساوي: . بعد ذلك، دعونا نوجد العزم للمحصلة حول النقطة . تذكر أن متجه عزم القوة التي تؤثر عند النقطة حول النقطة يُعطى بالعلاقة:
باستخدام إحداثيات النقطتين ، ، يمكننا إيجاد
والآن، نحن جاهزون لحساب حاصل الضرب الاتجاهي . تذكر أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في بعدين يُعرَّف كالآتي:
هذا يؤدي إلى:
إذن، عزم محصلة القوى حول النقطة يساوي: .
بعد ذلك، دعونا نوجد طول الخط العمودي الذي يربط النقطة بخط عمل المحصلة. هذا الطول يعرف أيضًا بالبعد العمودي بين النقطة وخط عمل المحصلة. لحساب هذا الطول، نتذكر أن معيار متجه عزم القوة المستوية حول نقطة، يُعطى بالعلاقة: حيث البعد العمودي بين النقطة وخط عمل القوة . يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لكتابة:
بما أننا نعرف أن ، فيمكننا الحصول على . هيا نوجد :
بالتعويض بهاتين القيمتين في صيغة: ، نحصل على:
إذن:
في المثال السابق، أوجدنا عزم نظام من القوى المستوية تؤثر عند النقطة نفسها حول نقطة أخرى. نلاحظ أن عملية إيجاد عزم نظام من القوى تماثل عملية إيجاد عزم قوة واحدة، إذا كانت هذه القوى تؤثر على النقطة نفسها.
دعونا الآن نتناول إيجاد عزم نظام من القوى المستوية بحيث لا تؤثر هذه القوى عند النقطة نفسها.
تعريف عزم نظام من القوى المستوية
افترض أن لدينا نظامًا من القوى: ، ، ، تؤثر عند النقاط: ، ، ، على الترتيب. لإيجاد عزم هذا النظام من القوى حول النقطة: ، علينا إيجاد العزوم: ، ، ، للقوى ، ، ، حول النقطة . بعد ذلك، نحصل على عزم النظام حول النقطة من العلاقة:
يوضح هذا التعريف أن عزم نظام من القوى يساوي مجموع العزوم الفردية لكل قوة في النظام حول النقطة نفسها.
في المثال الأخير، سنوجد الثوابت المجهولة في نظام من القوى تؤثر على نقاط مختلفة بمعلومية عزم نظام القوى حول نقطتين مختلفين.
مثال ٥: إيجاد قيم المركبات المجهولة لقوتين بمعلومية مجموع عزميهما حول نقطتين
، ؛ حيث ، قوتان تؤثران في النقطتين ، على الترتيب. مجموع العزوم حول نقطة الأصل يساوي صفرًا. وكذلك مجموع العزوم حول النقطة يساوي صفرًا. عيِّن قيمتَي ، .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد الثابتين المجهولين ، في القوتين ، عندما يكون مجموع عزمي القوتين حول نقطة الأصل وحول النقطة يساوي صفرًا. يمكننا إيجاد الثابتين المجهولين عن طريق تحديد معادلتين آنيتين تتضمنان ، . سنحصل على المعادلة الأولى بحساب مجموع العزمين للقوتين ، حول نقطة الأصل ومساواته بصفر.
تذكر أن متجه عزم القوة التي تؤثر عند النقطة حول النقطة يُعطى بالعلاقة: حيث هو المتجه من النقطة إلى المتجه . دعونا نوجد أولًا عزم حول نقطة الأصل. بما أن تؤثر عند النقطة ، فيمكننا كتابة الآتي:
يمكننا كتابة على الصورة الإحداثية على النحو الآتي:
والآن، نحن جاهزون لحساب حاصل الضرب الاتجاهي: . تذكر أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في بعدين يُعرَف كالآتي:
هذا يؤدي إلى:
بعد ذلك، دعونا نوجد عزم القوة حول نقطة الأصل. بما أن تؤثر عند النقطة ، فيمكننا كتابة الآتي:
يمكننا كتابة على الصورة الإحداثية كالآتي:
بحساب حاصل الضرب الاتجاهي:
إذن، مجموع هذين العزمين حول نقطة الأصل يساوي:
وبما أننا نعرف أن مجموع هذين العزمين يجب أن يساوي صفرًا، نحصل على:
هذا يعطينا معادلة تتضمن: ، . يمكننا تكرار هذا العملية الحسابية لإيجاد العزم حول النقطة للحصول على معادلة أخرى، لكن يمكننا أيضًا إيجاد المعادلة الثانية باستخدام خواص العزوم. هيا نوجد عزم القوة حول النقطة :
بحساب حاصل الضرب الاتجاهي:
بعد ذلك، عزم القوة حول :
بحساب حاصل الضرب الاتجاهي:
وبجمع هذين العزمين حول النقطة :
بما أننا نعرف أن مجموع هذين العزمين يجب أن يساوي صفرًا، نحصل على الآتي:
والآن بعد أن حصلنا على معادلتين في ، ، دعونا نكتب المعادلتين (١) و(٢) هنا:
يمكننا جمع المعادلتين لنحذف: . وهذا يؤدي إلى:
بإعادة ترتيب هذه المعادلة؛ بحيث يكون هو المتغير التابع، نحصل على: . يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة (١) لكتابة:
بإعادة ترتيب هذه المعادلة؛ بحيث يكون: هو المتغير التابع يؤدي ذلك إلى . إذن، يصبح لدينا:
دعونا نختتم بتذكر بعض المفاهيم الرئيسية المستخلصة من هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- متجه عزم القوة التي تؤثر عند النقطة حول النقطة يُعطى بالعلاقة: حيث هو المتجه من النقطة إلى النقطة .
- معيار متجه العزم لقوة مستوية حول نقطة يُعطى بالعلاقة: حيث البعد العمودي بين النقطة وخط عمل القوة .
- متجه العزم لقوة حول نقطة ما لا يعتمد على النقطة الابتدائية ما دامت النقطة تقع على خط العمل نفسه.
- لنفترض أن ، كميتان قياسية ومتجهة لعزم قوة، أو نظام من القوى في مستوى حول نقطة. إذن:
- يمكن تبسيط حساب حاصل الضرب الاتجاهي لحساب العزم لقوة مستوية حول نقطة باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي في بعدين، والذي يُعرَف كالآتي:
- افترض أن لدينا نظام من القوى ، ، ، تؤثر عند ، ، ، على الترتيب. لإيجاد عزم هذا النظام من القوى حول النقطة علينا إيجاد العزوم ، ، ، للقوى ، ، ، حول النقطة . بعد ذلك، نحصل على عزم النظام حول النقطة من العلاقة:
