شارح الدرس: الكميات القياسية والمتجهة الفيزياء • الصف الأول الثانوي

مثال ١: تحديد الكميات القياسية والمتجهة

أيٌّ من الآتي كمية متجهة؟

1. الطاقة
2. فرق الجهد
3. الشحنة
4. القوة
5. الضغط

الحل

تذكَّر أن الكمية المتجهة لها مقدار واتجاه، عكس الكمية القياسية، التي لها مقدار فقط. نفكِّر في بعض القيم التي يمكن أن تكون لهذه الكميات، معبَّرًا عنها بالوحدات الأساسية في النظام الدولي للوحدات. على سبيل المثال، يمكن أن تكون لدينا طاقة مقدارها 200 J، أو فرق جهد مقداره 12 V، أو شحنة مقدارها C، أو قوة مقدارها 50 N لأعلى، أو ضغط مقداره 900 Pa.

جميع هذه الكميات لها مقادير، لكن لكي تكون كميات متجهة، يجب أن تتضمَّن الكمية اتجاهًا أيضًا. نحدِّد إذا ما كان من المنطقي تعيين اتجاه لكل كمية من هذه الكميات. تقيس الطاقة مقدرة الجسم على بذل شغل بسبب حركته أو موضعه أو خواصه الداخلية. على سبيل المثال، إذا علمنا أن طاقة وضع الكرة الموجودة على التل في الشكل الآتي تساوي 200 J، فإننا نعلم مقدار الطاقة، لكن لا يمكننا أن نُعيِّن لها اتجاهًا. يمكن للكرة أن تتدحرج إلى أسفل التل في أي اتجاه، ولكن جميع المسارات أسفل التل لا يمكن تمييزها بدلالة الطاقة؛ لأن الكمية لا ترتبط بأي اتجاه معيَّن.

فرق الجهد والشحنة كميتان مرتبطتان بالقوة الكهربية، التي يمكن أن تتجه في أي اتجاه. على سبيل المثال، تُنشِئ الشحنة النقطية الموجبة مجالًا كهربيًّا يتجه قطريًّا نحو الخارج، كما هو موضَّح بالأسهم السوداء في الشكل الآتي. وإذا وُضِعت أي شحنة اختبار سالبة على مقربة، فستؤثِّر الشحنة الموجبة عليها بقوة تنافر، كما هو موضَّح بالأسهم الأرجوانية، وهو ما يؤدِّي إلى تسارع الشحنة السالبة عبر فرق الجهد. ومع ذلك، يعتمد اتجاه قوة التنافر على مواضع الشحنات الموجبة والسالبة، وليس الشحنة أو فرق الجهد هما اللذان يتجهان إلى اتجاه ما. ومن ثَمَّ، لا معنى لربط أيٍّ من الكميتين باتجاه.

الضغط هو قوة تتوزَّع على مساحة ما. تخيَّل الضغط لأسفل على غطاء وعاء مملوء بمعجون، مع وجود فتحات في جميع جوانب الوعاء، كما هو موضَّح في الآتي. لاحظ كيف أن الضغط لأسفل على الغطاء يؤدِّي إلى ضغط المعجون الموجود في الوعاء بأكمله، كما هو موضَّح بالأسهم الحمراء، ويتدفَّق المعجون للخارج عبر الفتحات الموجودة في جميع جوانب الوعاء. يؤثِّر الضغط في جميع الاتجاهات في وقت واحد؛ ومن ثَمَّ، لا يمكننا ربطه باتجاه واحد محدَّد، وبدلًا من ذلك نمثِّل الضغط على أنه كمية قياسية.

الكمية الوحيدة المذكورة سابقًا التي لها اتجاه مرتبط بها هي القوة؛ حيث ذُكر أنها تؤثِّر لأعلى. تخيَّل لو أن كرة أُلقيت بقوة مقدارها 50 N لأعلى، وأُلقيت كرة أخرى بقوة مقدارها 50 N إلى اليمين، كما هو موضَّح في الآتي. على الرغم من أن الكرتين أُلقيتا بمقدار القوة نفسه، فإنه يمكن تمييز القوتين إحداهما من الأخرى بطريقة لا يمكن استخدامها مع الكميات القياسية. في هذه الحالة، يكون الاختلاف في الاتجاه جزءًا ذا معنى من القياس. ولكي تُوصَف القوة وصفًا كاملًا، يجب تحديد كلٍّ من مقدارها واتجاهها.

ومن ثَمَّ، فالقوة كمية متجهة.

مثال ٢: تحديد الكميات القياسية والكميات المتجهة

سُجِّلت مجموعة من القيم المقيسة لكمية ما على أنها 7 وحدات، و4 وحدات، وسالب وحدتين، و6 وحدات. أيُّ أنواع الكميات الآتية يمكن أن تمثِّله هذه القياسات؟

1. كمية متجهة فقط
2. كمية قياسية فقط
3. إما كمية قياسية وإما كمية متجهة
4. لا كمية قياسية ولا كمية متجهة

الحل

في البداية، نتذكَّر أن الكمية القياسية هي كمية لها مقدار فقط، والكمية المتجهة هي كمية لها مقدار واتجاه، ولاحِظ أن جميع القيم المذكورة سابقًا لا تتضمَّن اتجاهًا مكتوبًا. لكن هذا لا يعني أن هذه المقادير لا يمكن أن ترتبط أبدًا باتجاه؛ لذا، نتخيَّل إذا ما كان من المنطقي أن يكون لبعض الكميات المتجهة القيم ، 6.

القوة كمية متجهة تُستخدَم كثيرًا في الفيزياء؛ لذا، تخيَّل أن تلك القيم معبَّر عنها بوحدة القوة الأساسية في النظام الدولي للوحدات، النيوتن، لتصبح 7 N، 4 N، N، 6 N. قد تثير القيمة السالبة بعض الارتياب، لكن ينبغي ملاحظة أن الكميات المتجهة السالبة عادةً ما تُمثِّل قيمًا في الاتجاه المعاكس للقوى الموجبة. على سبيل المثال، تخيَّل دفع صندوق على الأرض بقوة مقدارها 100 N نحو اليمين، في حين يتسبَّب الاحتكاك في قوة مقاومة مقدارها 25 N نحو اليسار. إذا أوجدنا القوة المحصلة المؤثِّرة على الصندوق، باختيار تمثيل الاتجاه إلى اليمين على أنه موجب، واليسار على أنه سالب، يمكننا حساب القوة المحصلة على النحو الآتي: . ومن ثَمَّ، نَعرِف أن القوة المحصلة المؤثِّرة على الصندوق، وهي 75 N، تؤثِّر نحو اليمين.

استطعنا تعيين قيمة سالبة لكمية متجهة بشكل ذي معنى؛ لذا، من المنطقي أن نستنتج أن مجموعة القيم ، 6 يمكن أن تُمثِّل كميات متجهة.

يجب أن نُحدِّد الآن إذا ما كانت مجموعة القيم هذه يمكن أن تُمثِّل كميات قياسية؛ لذا، نتناول ما يعنيه الأمر أن يكون للكمية القياسية قيمة سالبة. على الرغم من أن بعض وحدات القياس، مثل الزمن، لا يمكن افتراض أن تكون لها قيمة سالبة بشكل ذي معنى، فإن هناك بعض الكميات القياسية التي يمكن أن تكون لها قيم سالبة بشكل منطقي. على سبيل المثال، بالنظر إلى الشحنة الكهربية: تساوي قيمة شحنة البروتون C، وتساوي قيمة شحنة الإلكترون C. لاحظ أن القيمتين متساويتان في المقدار، لكن، بما أن إحداهما موجبة والأخرى سالبة، فمن المهم أن نعرف أنهما مختلفتان. ومن ثَمَّ، فالشحنة كمية قياسية يمكن أن تكون لها قيمة سالبة بشكل ذي معنى.

إذن يمكن أن تُمثِّل مجموعة القيم المقيسة ، 6 إما كمية قياسية وإما كمية متجهة، وهو ما يناظِر خيار الإجابة ج.

مثال ٣: تحديد التمثيل البياني الصحيح لمجموع متجهين

يمكن جمع المتجهين الموضَّحين للحصول على متجه المحصلة. أيٌّ من الأشكال الآتية يوضِّح بطريقة صحيحة كلا المتجهين مقارنةً بمحصلتهما؟

لاحظ أن أطوال المتجهات ليست مرسومة بمقياس رسم.

الحل

عند جمع المتجهات بيانيًّا، نستخدم طريقة «الرأس للذيل».

تُجمَع المتجهات باستخدام خاصية الإبدال؛ ما يعني أنه سينتج عنها دائمًا المجموع نفسه، دون النظر إلى ترتيبها في عملية الجمع. بدءًا بأيٍّ من المتجهين، حدِّد موقع «رأسه» (الطرف عند رأس السهم). بعد ذلك، حدِّد موقع «الذيل» (الطرف بدون رأس السهم) للمتجه الآخر. نستخدم رأس المتجه الأزرق وذيل المتجه الأخضر، كما هو موضَّح في الآتي:

بعد ذلك، ننقل أو نحرِّك المتجه الثاني بدون دوران؛ فيكون ذيله عند رأس المتجه الأول. هذه الخطوة موضَّحة في الآتي:

والآن، بعد ترتيب المتجهين من «الرأس للذيل»، يمكننا رسم متجه جديد لتمثيل مجموعهما، بدايةً بذيل المتجه الأول، وانتهاءً برأس المتجه الثاني. يُمثَّل هذا المجموع بالمتجه الأصفر الآتي:

علاوةً على ذلك، لاحظ أنه بسبب خاصية الإبدال، يمكننا جمع المتجهين بترتيب مختلف، والحصول على المجموع نفسه، كما هو موضَّح في الآتي:

وبذلك نَعرِف أن الخيار ب يوضِّح بطريقة صحيحة كيفية جمع المتجهين.

مثال ٤: تحديد إذا ما كان حاصل ضرب كميتين يساوي كمية قياسية أو متجهة

إذا ضُرِبت السرعة القياسية في الزمن، فهل تكون الكمية الناتجة كمية متجهة أم كمية قياسية؟

الحل

علينا أن نضرب سرعة قياسية في زمن؛ نتذكَّر أولًا خواص هاتين الكميتين. علينا أن نحرص على عدم الخلط بين السرعة القياسية والسرعة المتجهة؛ نظيرتها المتجهة. لا تتضمَّن السرعة القياسية اتجاهًا؛ لذا، فهي كمية قياسية.

كما أن الزمن كمية قياسية؛ لذا، علينا أن نضرب كميتين قياسيتين معًا، الأمر الذي تعرَّفنا عليه بالفعل: ببساطة نضرب مقدارَيْهما ووحدتَيْهما. وبما أنه لا يوجد اتجاه مرتبط بالزمن أو السرعة القياسية، إذن يكون حاصل ضربهما كمية قياسية أيضًا.

مثال ٥: تحديد إذا ما كان حاصل ضرب كميتين يساوي كمية قياسية أو متجهة

إذا ضُرب الزمن في السرعة المتجهة، فهل تكون الكمية الناتجة كمية متجهة أم كمية قياسية؟

الحل

علينا أن نضرب زمنًا في سرعة متجهة، وللتحقُّق من صحة هذا، نتذكَّر الكميتين وخواصهما. الزمن كمية قياسية؛ إذ يمكن وصفه وصفًا كاملًا باستخدام المقدار فقط؛ وتذكَّر أن السرعة المتجهة كمية متجهة:

لكيلا نخلط بين السرعة المتجهة والسرعة القياسية؛ نظيرتها القياسية، تُعرَّف السرعة المتجهة بأنها الإزاحة مقسومة على الزمن؛ وتذكَّر أن الإزاحة كمية متجهة لأن لها مقدارًا واتجاهًا.

نريد أن نضرب كمية قياسية في كمية متجهة، وهو ما يمكن فعله بضرب مقدارَيْهما ووحدتَيْهما وتعيين الاتجاه الأصلي للكمية المتجهة لحاصل الضرب. وبما أننا سنحصل في النهاية على اتجاه يصاحب حاصل الضرب، إذن الكمية الناتجة ستكون كمية متجهة.

يمكننا التحقُّق من ذلك؛ يُعطينا ضرب الزمن والسرعة المتجهة:

تُحذَف وحدتا الزمن وتتحوَّل الكمية إلى إزاحة، لها مقدار واتجاه؛ ومن ثَمَّ، تكون الكمية الناتجة كمية متجهة.