شارح الدرس: مبدأ الشغل والطاقة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم مبدأ الشغل والطاقة لحل مسائل حركة جسيم.

نتذكَّر أولًا تعريف طاقة الحركة.

تعريف: طاقة الحركة

تعتمد طاقة حركة الجسيم على كتلة الجسيم وسرعته المتجهة وفقًا للصيغة: 𞸈=١٢𞸊𞸏،٢ حيث 𞸊 كتلة الجسم، 𞸏 السرعة المتجهة للجسم.

يمكن بذل شغل على جسيم عن طريق التأثير عليه بقوة ما.

تعريف: الشغل المبذول على جسيم بواسطة قوة ثابتة

الشغل المبذول على جسيم بواسطة قوة ثابتة لتحريكه من موضع ابتدائي إلى موضع نهائي يساوي حاصل الضرب القياسي لمتجهَي القوة والإزاحة بين الموضعين: 𞸔=󰄮󰄮𞹟󰄮󰄮𞸐.

بمعلومية خواص حاصل الضرب القياسي، إذا كان 󰄮󰄮𞹟 ثابتًا بالنسبة إلى إزاحة محدَّدة، فإن: 𞸔=𞹟𞸐𝜃، حيث 𞹟 مقدار القوة، 󰄮󰄮𞹟، 𞸐 مقدار إزاحة الجسيم، 󰄮󰄮𞸐، 𝜃 الزاوية المحصورة بين كلٍّ من 󰄮󰄮𞹟، 󰄮󰄮𞸐. في هذا الشارح، سوف نتعامل فقط مع الحالات التي يكون فيها 󰄮󰄮𞹟، 󰄮󰄮𞸐 متوازيين؛ بحيث يكون 𞸔=±𞹟𞸐، وذلك بناءً على إذا ما كان 󰄮󰄮𞹟، 󰄮󰄮𞸐 لهما الاتجاه نفسه أو في اتجاهين متضادين. تُعرَف القوة التي تبذل شغلًا سالبًا بقوة المقاومة؛ لأنها تؤثِّر في الاتجاه المضاد لحركة الجسيم أو الجسم.

إذا تغيَّر 󰄮󰄮𞹟 أثناء حركة الجسيم، فعلينا استخدام التعريف الرياضي المناسب للشغل المبذول بواسطة قوة أثناء التحرُّك من النقطة 󰏡 إلى 𞸁: 𞸔=󰏅󰄮󰄮𞹟𞸃󰄮󰄮𞸐.𞸁󰏡

نلاحِظ أنه إذا تغيَّر اتجاه 󰄮󰄮𞹟 في المسار الذي يسلكه بين 󰏡، 𞸁 كما يحدث في حالة وجود احتكاك في مسار منحنٍ، فإن الشغل المبذول بواسطة 󰄮󰄮𞹟 يعتمد على المسار المقطوع. وعلى النقيض، بالنسبة إلى الوزن، يعتمد الشغل المبذول على النقطتين الابتدائية والنهائية، أي 󰏡، 𞸁 فقط.

نقول إن القوة محافظة إذا كان الشغل الكلي المبذول لتحريك جسيم بين نقطتين لا يعتمد على المسار المقطوع. ومن ثَمَّ، إذا عاد الجسيم إلى موضعه الابتدائي، يكون الشغل الكلي الذي بذلته هذه القوة صفرًا. يُعَدُّ الوزن قوة محافظة، أما الاحتكاك فيُعَدُّ قوة غير محافظة.

يربط مبدأ الشغل والطاقة بين الشغل الكلي المبذول على الجسم والتغيُّر في طاقة حركة الجسم.

تعريف: مبدأ الشغل والطاقة

التغيُّر في طاقة الحركة لجسم ما هو مجموع الشغل المبذول على الجسم بواسطة القوى المؤثِّرة عليه، دون النظر إلى كون هذه القوى محافظة أو لا: 𞸔=󰌇𞸔=Δ𞸈.ااى

هيا نتناول الآن المثال الأول ونرى كيف يساعدنا مبدأ الشغل والطاقة على إيجاد القوة التي تُحدِث تغيُّرًا في السرعة المتجهة للجسم في فترة زمنية غير محدَّدة، عندما يقتصر المطلوب على معرفة التغيُّر في السرعة المتجهة للجسم وإزاحته.

مثال ١: استخدام مبدأ الشغل والطاقة لإيجاد مقدار قوة

يتحرَّك جسم كتلته ٩٦ كجم في خط مستقيم بسرعة ١٧ م/ث. بدأت تؤثِّر عليه قوة في اتجاه مُعاكِس لحركته. نتيجةً لذلك، أثناء حركته لمسافة ٩٦ م، تباطأت سرعته إلى ١١ م/ث. باستخدام مبدأ الشغل والطاقة، أوجد مقدار هذه القوة.

الحل

وفقًا لمبدأ الشغل والطاقة، فإن: 𞸔=Δ𞸈=𞸈𞸈=١٢𞸊󰁓𞸏𞸏󰁒،ا𞸍󰏡٢𞸍٢󰏡 حيث 𞸈𞸍، 𞸈󰏡 طاقتا الحركة النهائية والابتدائية، على الترتيب، 𞸏𞸍، 𞸏󰏡 السرعتان النهائية والابتدائية. كتلة الجسم تساوي ٩٦ كجم، وسرعتاه الابتدائية والنهائية تساويان ١٧ م/ث، ١١ م/ث، على الترتيب. ومن ثَمَّ، فإن: Δ𞸈=١٢×٦٩×󰁓١١٧١󰁒Δ𞸈=٤٦٠٨.٢٢ل

وبما أن 𞸔=Δ𞸈ا، إذن الشغل المبذول بواسطة القوة المؤثِّرة على الجسم يساوي ٤٦٠٨ جول. ونحن نعلم أن: 𞸔=𞹟𞸐𝜃، حيث 𞹟 مقدار القوة، 𞸐 مقدار إزاحة الجسيم، 𝜃 الزاوية بين 󰄮󰄮𞹟، 󰄮󰄮𞸐. تؤثِّر القوة على الجسم في الاتجاه المعاكس لاتجاه حركته. ومن ثَمَّ، فإن 𝜃=٠٨١؛ وبناءً على ذلك، فإن: 𞸔=𞹟𞸐.

هذا الشغل مبذول لمسافة طولها ٩٦ م. والجسم يتحرَّك في خط مستقيم. ومن ثَمَّ، فإن المسافة المقطوعة تساوي الإزاحة، 𞸐. بالتعويض عن هذه القيم، نحصل على: ٤٦٠٨=٦٩𞹟.

وبإعادة ترتيب هذا الجزء؛ بحيث يكون 𞹟 في طرف بمفرده، نحصل على: 𞹟=٤٦٠٨٦٩=٤٨.

مقدار القوة يساوي ٨٤ نيوتن.

دعونا الآن نلقِ نظرة على مثال آخر يتضمَّن قوى مقاومة.

مثال ٢: استخدام مبدأ الشغل والطاقة لحساب نسبة المقاومة

أُطلِقت رصاصتان لهما نفس الكتلة بسرعتين متساويتين وفي اتجاهين متضادين على هدف. يتكوَّن الهدف من طبقتين معدنيتين مختلفتين وملتصقتين معًا. سُمك الطبقة الأولى ٩ سم، وسُمك الطبقة الثانية ١٢ سم . عندما اخترقت الرصاصتان الهدف، اخترقت الرصاصة الأولى الطبقة الأولى واستقرَّت داخل الطبقة الثانية بعد أن اخترقتها بعمق ٤ سم، أما الرصاصة الثانية، فاخترقت الطبقة الثانية واستقرت داخل الطبقة الأولى بعد أن اخترقتها بعمق ٥ سم. احسب النسبة بين مقاومة الطبقة المعدنية الأولى ومقاومة الطبقة المعدنية الثانية باستخدام مبدأ الشغل والطاقة.

الحل

يخبرنا السؤال أن الرصاصتين لهما نفس الكتلة والسرعة، وبناءً على ذلك، فإن لهما نفس طاقة الحركة. وبما أن طاقتَي حركة الرصاصتين متساويتان، إذن لا بد من بذل مقدار متساوٍ من الشغل على كل رصاصة منهما لتصبح ساكنة.

تؤثِّر قوتا مقاومة مختلفتان على الرصاصتين، وهما تناظران مقاومتَي الطبقتين اللتين تمر عبرهما الرصاصتان. يمتد تأثير قوتَي المقاومة المؤثِّرتين على كل رصاصة إلى مسافتين مختلفتين، تمثِّلان المسافتين المقطوعتين من قِبل الرصاصتين عبر الطبقتين.

بالنسبة إلى الرصاصة الأولى، تؤثِّر قوة المقاومة الناتجة عن اختراق الطبقة الأولى خلال سُمك الطبقة بأكمله، والذي يساوي ٩ سم. أما قوة المقاومة الناتجة عن اختراق الطبقة الثانية، فتؤثِّر لمسافة ٤ سم. يوضِّح الشكل التالي المسار الذي سلكته كل رصاصة عبر الطبقتين.

بكتابة مقدارَي قوتَي المقاومة الناتجتين عن اختراق الطبقتين الأولى والثانية 𞹟١، 𞹟٢، على الترتيب، وبما أن هاتين القوتين تؤثِّران في اتجاه موازٍ لاتجاه الحركة لكن في الاتجاه المعاكس لها، إذن الشغل المبذول على الرصاصة الأولى، 𞸔، يُعطى بواسطة: 𞸔=٩𞹟٤𞹟.١٢

تخترق الرصاصة الثانية سُمك الطبقة الثانية بالكامل، ثم تخترق جزءًا من سُمك الطبقة الأولى. إذن، بالتعامل مع الرصاصة الثانية بالطريقة نفسها التي اتبعناها مع الرصاصة الأولى، نحصل على: 𞸔=٥𞹟٢١𞹟.١٢

الشغل المبذول على إحدى الرصاصتين يساوي الشغل المبذول على الرصاصة الأخرى، وبناءً على ذلك، فإن: ٩𞹟٤𞹟=٥𞹟٢١𞹟.١٢١٢

نضرب كل طرف في ١، ونحصل على: ٩𞹟+٤𞹟=٥𞹟+٢١𞹟.١٢١٢

يمكن إعادة ترتيب ذلك لإيجاد النسبة بين القوتين: ٩𞹟٥𞹟=٢١𞹟٤𞹟٤𞹟=٨𞹟𞹟=٢𞹟.١١٢٢١٢١٢

ومن ثَمَّ، فإن نسبة 𞹟١ إلى 𞹟٢ هي ٢١.

نتناول مثالًا يوضِّح كيف يمكن استخدام مبدأ الشغل والطاقة لإيجاد طاقة حركة جسم قُذِف رأسيًّا لأسفل عندما يكون على وشك الاصطدام بالأرض.

مثال ٣: إيجاد طاقة الحركة لجسم قُذِف رأسيًّا لأسفل عندما يكون على وشك الاصطدام بالأرض

جسم كتلته ٤٠٠ جم قُذِف رأسيًّا لأسفل بسرعة ٤ م/ث من نقطة تبعُد عن سطح الأرض بمقدار ٥ م. استخدِم مبدأ الشغل والطاقة لحساب طاقة حركة الجسم عندما يكون على وشك الارتطام بالأرض. افترِض أن عجلة الجاذبية الأرضية 𞸃=٨٫٩/مث٢.

الحل

ينص مبدأ الشغل والطاقة على أن الشغل المبذول بواسطة كل القوى المؤثِّرة على الجسم يساوي التغيُّر في طاقة حركة الجسم: 𞸔=Δ𞸈=𞸈𞸈.ا𞸍󰏡

نحن نحاول إيجاد 𞸈𞸍؛ لذا، علينا إيجاد 𞸈󰏡، 𞸔ا.

بما أن الجسم قُذِف، إذن هذا يعني أن له طاقة حركة ابتدائية. وعند إيجاد طاقة الحركة الابتدائية للجسم، نحوِّل كتلته من جرام إلى كيلوجرام: 𞸈=١٢𞸊𞸏𞸈=١٢×٤٫٠×٤=٢٫٣.󰏡󰏡٢٢ل

القوة الوحيدة المؤثِّرة على الجسم هي وزنه. والشغل المبذول بواسطة قوة ما يُعطى بالعلاقة: 𞸔=𞹟𞸐𝜃، حيث 𞹟 مقدار القوة، 󰄮󰄮𞹟، 𞸐، مقدار إزاحة الجسيم، 󰄮󰄮𞸐، 𝜃، الزاوية بين 󰄮󰄮𞹟، 󰄮󰄮𞸐. وبما أن اتجاه الوزن موازٍ لاتجاه إزاحة الجسم وفي نفس اتجاهها، إذن الشغل الذي يبذله خلال المسافة من الموضع الذي يبعد عنده بمقدار ٥ م عن سطح الأرض حتى يصل إلى الأرض يساوي: 𞸔=٥𞸊𞸃=٥×٤٫٠×٨٫٩=٦٫٩١.ل

بتطبيق مبدأ الشغل والطاقة الآن، نجد أن: 𞸔=𞸈𞸈٦٫٩١=𞸈٢٫٣𞸈=٢٫٣+٦٫٩١=٨٫٢٢.ا𞸍󰏡𞸍ل

إذن طاقة حركة الجسم عندما كان على وشك الاصطدام بالأرض تساوي ٢٢٫٨ جول.

نتناول الآن مثالًا يُستخدَم فيه مبدأ الشغل والطاقة لإيجاد قوة المقاومة التي تؤثِّر على جسم ما.

مثال ٤: استخدام مبدأ الشغل والطاقة لحساب المقاومة

سقط جسم كتلته ١٢٥ كجم رأسيًّا من ارتفاع ١١٢ سم على أرض رملية. غاص الجسم في الرمل حتى استقر على عمق ٥ سم. احسب مقاومة الرمل لحركة الجسم باستخدام مبدأ الشغل والطاقة. افترِض أن عجلة الجاذبية الأرضية 𞸃=٨٫٩/مث٢.

الحل

ينص مبدأ الشغل والطاقة على أن الشغل المبذول بواسطة كل القوى المؤثِّرة على الجسم يساوي التغيُّر في طاقة حركة الجسم: 𞸔=Δ𞸈=𞸈𞸈.ا𞸍󰏡

علمنا من الوصف أن الجسم يسقط من ارتفاع؛ لذا، نفترض أنه ليس له طاقة حركة قبل سقوطه؛ أي إن 𞸈=٠󰏡. ويصبح الجسم في حالة سكون في النهاية، وهو ما يعني أن 𞸈=٠𞸍. ومن ثَمَّ، نجد أن 𞸔=٠ا.

علينا الآن إيجاد جميع القوى المؤثِّرة على الجسم؛ أي وزنه وقوة تأثير الرمل. نعتبر قوة مقاومة الهواء مهملة.

نحسب الشغل المبذول بواسطة كلٍّ من هاتين القوتين. تذكَّر أن الشغل المبذول بواسطة قوة ما يساوي: 𞸔=𞹟𞸐𝜃، حيث 𞹟 مقدار القوة، 󰄮󰄮𞹟، 𞸐، مقدار إزاحة الجسيم، 󰄮󰄮𞸐، 𝜃، الزاوية بين 󰄮󰄮𞹟، 󰄮󰄮𞸐. تؤثِّر كلتا القوتين في اتجاه موازٍ لحركة الجسم، ولكن بينما يؤثِّر الوزن في نفس اتجاه حركة الجسم، تؤثِّر مقاومة الرمل في الاتجاه المعاكس لها (إنها بالفعل قوة مقاومة).

ومن ثَمَّ، فإن: 𞸔=𞸊𞸃𞸐،ازن حيث 𞸐 هو مقدار الإزاحة الكلية للجسم عند سقوطه مسافة ١١٢ سم وصولًا إلى الأرض وغوصه مسافة ٥ سم في الرمل، كما هو موضَّح بالشكل الآتي.

المسافة التي يقطعها الجسم تساوي ارتفاع الجسم فوق سطح الأرض، وهو ١١٢ سم زائد المسافة ٥ سم التي يغوصها الجسم في الرمل لتكون المسافة الكلية ١١٧ سم.

تُحوَّل المسافة ١١٧ سم إلى ١٫١٧ م؛ لكي تكون وحدة المسافة متسقة مع الوحدة متر لكل ثانية مربعة المستخدَمة لقيمة 𞸃 المُعطاة. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: 𞸔=٥٢١×٨٫٩×٧١٫١=٥٢٫٣٣٤١.ازنل

لا تؤثِّر مقاومة الرمل إلا عندما يخترق الجسم الرمل؛ أي في المسافة الأخيرة التي تساوي ٥ سم أو ٠٫٠٥ م. لذلك، فإن الشغل الذي تبذله يساوي: 𞸔𞸌𞸓=٥٠٫٠𞹟𞸌𞸓، حيث 𞹟𞸌𞸓 مقدار القوة التي يبذلها الرمل.

بتطبيق مبدأ الشغل والطاقة الآن، نجد أن: 𞸔=𞸔+𞸔𞸌𞸓=٠٥٢٫٣٣٤١٥٠٫٠𞹟𞸌𞸓=٠٥٠٫٠𞹟𞸌𞸓=٥٢٫٣٣٤١𞹟𞸌𞸓=٥٢٫٣٣٤١٥٠٫٠=٥٦٦٨٢.اازن

إذن مقدار قوة مقاومة الرمل يساوي ٢٨‎ ‎٦٦٥ نيوتن.

النقاط الرئيسية

  • نقول إن قوة ما هي قوة محافظة، مثل الوزن، إذا كان الشغل الكلي المبذول لتحريك جسيم بين نقطتين لا يعتمد على المسار المقطوع.
  • نقول إن قوة ما هي قوة غير محافظة، مثل الاحتكاك، إذا كان الشغل الكلي المبذول لتحريك جسيم بين نقطتين يعتمد على المسار المقطوع.
  • ينص مبدأ الشغل والطاقة على أن التغيُّر في طاقة الحركة لجسم ما يساوي مجموع الشغل المبذول على الجسم بواسطة جميع القوى المؤثِّرة عليه، دون النظر إلى كون هذه القوى محافظة أو لا: 𞸔=󰌇𞸔=Δ𞸈.ااى

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.