شارح الدرس: مبدأ الشغل والطاقة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: استخدام مبدأ الشغل والطاقة لإيجاد مقدار قوة

يتحرَّك جسم كتلته ٩٦ كجم في خط مستقيم بسرعة ١٧ م/ث. بدأت تؤثِّر عليه قوة في اتجاه مُعاكِس لحركته. نتيجةً لذلك، أثناء حركته لمسافة ٩٦ م، تباطأت سرعته إلى ١١ م/ث. باستخدام مبدأ الشغل والطاقة، أوجد مقدار هذه القوة.

الحل

وفقًا لمبدأ الشغل والطاقة، فإن: حيث ، طاقتا الحركة النهائية والابتدائية، على الترتيب، ، السرعتان النهائية والابتدائية. كتلة الجسم تساوي ٩٦ كجم، وسرعتاه الابتدائية والنهائية تساويان ١٧ م/ث، ١١ م/ث، على الترتيب. ومن ثَمَّ، فإن:

وبما أن ، إذن الشغل المبذول بواسطة القوة المؤثِّرة على الجسم يساوي جول. ونحن نعلم أن: حيث مقدار القوة، مقدار إزاحة الجسيم، الزاوية بين ، . تؤثِّر القوة على الجسم في الاتجاه المعاكس لاتجاه حركته. ومن ثَمَّ، فإن ؛ وبناءً على ذلك، فإن:

هذا الشغل مبذول لمسافة طولها ٩٦ م. والجسم يتحرَّك في خط مستقيم؛ ومن ثَمَّ، فإن المسافة المقطوعة تساوي الإزاحة، . بالتعويض عن هذه القيم، نحصل على:

وبإعادة ترتيب هذا الجزء؛ بحيث يكون في طرف بمفرده، نحصل على:

مقدار القوة يساوي ٨٤ نيوتن.

مثال ٢: استخدام مبدأ الشغل والطاقة لحساب نسبة المقاومة

أُطلِقت رصاصتان لهما نفس الكتلة بسرعتين متساويتين وفي اتجاهين متضادين على هدف. يتكوَّن الهدف من طبقتين معدنيتين مختلفتين وملتصقتين معًا. سُمك الطبقة الأولى ٩ سم، وسُمك الطبقة الثانية ١٢ سم. عندما اخترقت الرصاصتان الهدف، اخترقت الرصاصة الأولى الطبقة الأولى واستقرَّت داخل الطبقة الثانية بعد أن اخترقتها بعمق ٤ سم، أما الرصاصة الثانية، فاخترقت الطبقة الثانية واستقرت داخل الطبقة الأولى بعد أن اخترقتها بعمق ٥ سم. احسب النسبة بين مقاومة الطبقة المعدنية الأولى ومقاومة الطبقة المعدنية الثانية باستخدام مبدأ الشغل والطاقة.

الحل

يخبرنا السؤال أن الرصاصتين لهما نفس الكتلة والسرعة، وبناءً على ذلك، فإن لهما نفس طاقة الحركة. وبما أن طاقتَي حركة الرصاصتين متساويتان، إذن لا بد من بذل مقدار متساوٍ من الشغل على كل رصاصة منهما لتصبح ساكنة.

تؤثِّر قوتا مقاومة مختلفتان على الرصاصتين، وهما تناظران مقاومتَي الطبقتين اللتين تمر عبرهما الرصاصتان. يمتد تأثير قوتَي المقاومة المؤثِّرتين على كل رصاصة إلى مسافتين مختلفتين، تمثِّلان المسافتين المقطوعتين من قِبل الرصاصتين عبر الطبقتين.

بالنسبة إلى الرصاصة الأولى، تؤثِّر قوة المقاومة الناتجة عن اختراق الطبقة الأولى خلال سُمك الطبقة بأكمله، والذي يساوي ٩ سم. أما قوة المقاومة الناتجة عن اختراق الطبقة الثانية، فتؤثِّر لمسافة ٤ سم. يوضِّح الشكل التالي المسار الذي سلكته كل رصاصة عبر الطبقتين.

بكتابة مقدارَي قوتَي المقاومة الناتجتين عن اختراق الطبقتين الأولى والثانية ، ، على الترتيب، وبما أن هاتين القوتين تؤثِّران في اتجاه موازٍ لاتجاه الحركة لكن في الاتجاه المعاكس لها، إذن الشغل المبذول على الرصاصة الأولى، ، يُعطى بواسطة:

تخترق الرصاصة الثانية سُمك الطبقة الثانية بالكامل، ثم تخترق جزءًا من سُمك الطبقة الأولى. إذن، بالتعامل مع الرصاصة الثانية بالطريقة نفسها التي اتبعناها مع الرصاصة الأولى، نحصل على:

الشغل المبذول على إحدى الرصاصتين يساوي الشغل المبذول على الرصاصة الأخرى، وبناءً على ذلك، فإن:

نضرب كل طرف في ، ونحصل على:

يمكن إعادة ترتيب ذلك لإيجاد النسبة بين القوتين:

ومن ثَمَّ، فإن نسبة إلى هي .

مثال ٣: إيجاد طاقة الحركة لجسم قُذِف رأسيًّا لأسفل عندما يكون على وشك الاصطدام بالأرض

جسم كتلته ٤٠٠ جم قُذِف رأسيًّا لأسفل بسرعة ٤ م/ث من نقطة تبعُد عن سطح الأرض بمقدار ٥ م. استخدِم مبدأ الشغل والطاقة لحساب طاقة حركة الجسم عندما يكون على وشك الارتطام بالأرض. افترِض أن عجلة الجاذبية الأرضية .

الحل

ينص مبدأ الشغل والطاقة على أن الشغل المبذول بواسطة كل القوى المؤثِّرة على الجسم يساوي التغيُّر في طاقة حركة الجسم:

نحن نحاول إيجاد ؛ لذا، علينا إيجاد ، .

بما أن الجسم قُذِف، إذن هذا يعني أن له طاقة حركة ابتدائية. وعند إيجاد طاقة الحركة الابتدائية للجسم، نحوِّل كتلته من جرام إلى كيلوجرام:

القوة الوحيدة المؤثِّرة على الجسم هي وزنه. والشغل المبذول بواسطة قوة ما يُعطى بالعلاقة: حيث مقدار القوة، ، ، مقدار إزاحة الجسيم، ، ، الزاوية بين ، . وبما أن اتجاه الوزن موازٍ لاتجاه إزاحة الجسم وفي نفس اتجاهها، إذن الشغل الذي يبذله خلال المسافة من الموضع الذي يبعد عنده بمقدار ٥ م عن سطح الأرض حتى يصل إلى الأرض يساوي:

بتطبيق مبدأ الشغل والطاقة الآن، نجد أن:

إذن طاقة حركة الجسم عندما كان على وشك الاصطدام بالأرض تساوي ٢٢٫٨ جول.

مثال ٤: استخدام مبدأ الشغل والطاقة لحساب المقاومة

سقط جسم كتلته ١٢٥ كجم رأسيًّا من ارتفاع ١١٢ سم على أرض رملية. غاص الجسم في الرمل حتى استقر على عمق ٥ سم. احسب مقاومة الرمل لحركة الجسم باستخدام مبدأ الشغل والطاقة. افترِض أن عجلة الجاذبية الأرضية .

الحل

ينص مبدأ الشغل والطاقة على أن الشغل المبذول بواسطة كل القوى المؤثِّرة على الجسم يساوي التغيُّر في طاقة حركة الجسم:

علمنا من الوصف أن الجسم يسقط من ارتفاع؛ لذا، نفترض أنه ليس له طاقة حركة قبل سقوطه؛ أي إن . ويصبح الجسم في حالة سكون في النهاية، وهو ما يعني أن . ومن ثَمَّ، نجد أن .

علينا الآن إيجاد جميع القوى المؤثِّرة على الجسم؛ أي وزنه وقوة تأثير الرمل. نعتبر قوة مقاومة الهواء مهملة.

نحسب الشغل المبذول بواسطة كلٍّ من هاتين القوتين. تذكَّر أن الشغل المبذول بواسطة قوة ما يساوي: حيث مقدار القوة، ، ، مقدار إزاحة الجسيم، ، ، الزاوية بين ، . تؤثِّر كلتا القوتين في اتجاه موازٍ لحركة الجسم، ولكن بينما يؤثِّر الوزن في نفس اتجاه حركة الجسم، تؤثِّر مقاومة الرمل في الاتجاه المعاكس لها (إنها بالفعل قوة مقاومة).

ومن ثَمَّ، فإن: حيث هو مقدار الإزاحة الكلية للجسم عند سقوطه مسافة ١١٢ سم وصولًا إلى الأرض وغوصه مسافة ٥ سم في الرمل، كما هو موضَّح بالشكل الآتي.

المسافة التي يقطعها الجسم تساوي ارتفاع الجسم فوق سطح الأرض، وهو ١١٢ سم زائد المسافة ٥ سم التي يغوصها الجسم في الرمل لتكون المسافة الكلية ١١٧ سم.

تُحوَّل المسافة ١١٧ سم إلى ١٫١٧ م؛ لكي تكون وحدة المسافة متسقة مع الوحدة متر لكل ثانية مربعة المستخدَمة لقيمة المُعطاة. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:

لا تؤثِّر مقاومة الرمل إلا عندما يخترق الجسم الرمل؛ أي في المسافة الأخيرة التي تساوي ٥ سم أو ٠٫٠٥ م. لذلك، فإن الشغل الذي تبذله يساوي: حيث مقدار القوة التي يبذلها الرمل.

بتطبيق مبدأ الشغل والطاقة الآن، نجد أن:

إذن مقدار قوة مقاومة الرمل يساوي ٢٨‎ ‎٦٦٥ نيوتن.