في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مشتقات الدوال المثلثية، وكيف نُطبِّق قواعد الاشتقاق عليها.
بعد أن تعلَّمنا كيف نشتق الدوال الكثيرات الحدود، نريد أن نتعرَّف أيضًا على مشتقات الدوال المثلثية.
سوف نبدأ بتناول دالة الجيب وما يُمكِننا تعلُّمه عن مشتقتها من خلال النظر إلى تمثيلها البياني. تذكَّر أنه يُمكِننا توسيع نطاق دالة الجيب لتكون دالة مُعرَّفة على جميع الأعداد الحقيقية ، ويُمكِننا أن نكتب حيث تُقاس بالراديان. سوف نبدأ بالنظر إلى التمثيل البياني لدالة الجيب.
يُمكِننا الآن محاولة رسم منحنى مشتقتها. لاحِظْ أن نِقاط الانقلاب تكون عند ؛ حيث — وعند ذلك تساوي المشتقة صفرًا. علاوةً على ذلك، عند النقطة التي يلتقي عندها منحنى دالة الجيب المحور ، تكون المشتقة عند قيمة عظمى أو صغرى. بشكل خاص، عندما تكون ؛ حيث ، يكون ميل المماس يساوي ١، وعندما تكون ؛ حيث ، يكون ميل المماس يساوي . إذن يكون التمثيل البياني لمشتقة دالة الجيب كالآتي:
سيُلاحِظ شخصٌ ما ملاحظة ذكية، وهي أن منحنى مشتقة دالة الجيب يبدو مثل منحنى دالة جيب التمام. هذا في الحقيقة صحيح، وسوف نستخدم المثال التالي لإثبات هذه الحقيقة. على أيَّةِ حال، طريقة النظر إلى منحنيات الدوال ورسم مشتقاتها يُمكِن أن تُساعِدنا في اكتساب نظرة فاحصة عن طبيعة المشتقة. قبل اشتقاق دالة الجيب عمليًّا، يُمكِننا أن نُلخِّص تعريف مشتقة الدالة.
المشتقة
اشتقاق الدالة مُعرَّف بالصورة عند النِّقاط التي توجد النهاية عندها.
مثال ١: اشتقاق دالة الجيب بواسطة التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهاية
أوجد مشتقة الدالة بواسطة التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهاية.
الحل
تذكَّر أن مشتقة الدالة مُعرَّفة بالنهاية
بالتعويض بالجيب عن ، يُصبِح لدينا
لتبسيط المقدار داخل النهاية، يُمكِننا استخدام ما نعرفه عن المتطابقات المثلثية. بشكل خاص، يُمكِننا استخدام صيغة المجموع، ، لإعادة كتابة هذا المقدار على الصورة
باستخدام قواعد المجموع وحاصل الضرب للنهايات، يُمكِننا إعادة كتابة ذلك بالصورة
بما أن ، مستقلان عن ؛ إذن تكون نهايتاهما ببساطة ، على الترتيب. إذن
إيجاد النهايتين الأخريين ليس بنفس السهولة. لكن هو في الواقع ناتج قياسي. يُمكِننا استنتاج ذلك بإثبات أن ، وبتطبيق نظرية الحصر (الساندوتش). على أيَّةِ حال، لن نذكر تفاصيل ذلك هنا. يُمكِننا أيضًا ملاحظة أن لقِيَم الصغيرة، ويُشِير ذلك أيضًا إلى حقيقة أن النهاية ستساوي واحدًا. لاحِظْ أيضًا أنه لكي تكون قيمة هذه النهاية واحدًا، يجب أن تُقاس راديان. لذلك، فإنها ليست الحالة التي تُقاس فيها درجة.
ننقل انتباهنا الآن للنهاية الثانية،
نبدأ بضرب البسط والمقام في مُرافِق البسط الذي يَنْتج عنه
باستخدام متطابقة فيثاغورس للجيب وجيب التمام، يُمكِننا إعادة كتابة البسط بدلالة الجيب هكذا:
بتطبيق القانون الضربي للنهايات، يُصبِح لدينا
بحساب النهايتين، يُصبِح لدينا
هذا ليس أمرًا مُفاجِئًا؛ لأنه بالنسبة إلى قِيَم الصغيرة، يُمكِننا تقريب بواسطة
بالتعويض بقيمتَي هاتين النهايتين في (١)، نحصل على
سنتناول الآن مشتقة دالة جيب التمام. يُمكِننا استخدام طريقة مُشابِهة للتي استخدمناها لاشتقاق دالة الجيب. لكن بدلًا من استخدام المتطابقات المثلثية للمجموع والفرق، سنستخدم صِيَغ تحويل الضرب إلى مجموع لتوضيح طريقة بديلة للاشتقاق.
مثال ٢: اشتقاق دالة جيب التمام بواسطة التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهاية
إذا كانت ، فأوجد بواسطة التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهاية.
الحل
تذكَّر أن مشتقة الدالة مُعرَّفة بالنهاية
بالتعويض عن بدالة جيب التمام، يُصبِح لدينا
لتبسيط المقدار داخل النهاية، يُمكِننا استخدام ما نعرفه عن المتطابقات المثلثية. يُمكِننا على وجه الخصوص استخدام صيغة تحويل الضرب إلى مجموع لإعادة كتابة هذا المقدار بالصورة
باستخدام خواص النهايات، يُمكِننا إعادة كتابة ذلك على الصورة
قيمة النهاية الأولى من هاتين النهايتين تساوي ببساطة . أمَّا النهاية الثانية فهي تُكافِئ . باستخدام النتائج القياسية، نجد أنها تساوي واحدًا. إذن
يُمكِننا تعميم هذه الصِّيَغ لمشتقتَي الجيب وجيب التمام على مشتقتَي ، كما هو موضَّح:
لاشتقاق الدوال المثلثية الأخرى، سوف نلجأ إلى قواعد الاشتقاق، وعلى وجه الخصوص إلى قاعدة خارج القسمة. فيما يلي مُلخَّص لقاعدتَي الضرب وخارج القسمة.
قاعدة الضرب
إذا كان لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق ، ، فإن مشتقة حاصل ضربهما تساوي
يُمكِن كتابة ذلك باختصار باستخدام رمز الشرطة كالآتي:
قاعدة خارج القسمة
إذا كان لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق ، ، فإن مشتقة خارج قسمتهما تساوي
يُمكِن كتابة ذلك باختصار باستخدام رمز الشرطة كالآتي:
مثال ٣: مشتقة دالة الظل
احسب مُعدَّل تغيُّر عند .
الحل
تذكَّر أنه يُمكِننا إيجاد مُعدَّل التغيُّر لدالة مُعطاة عند نقطة مُعيَّنة من خلال إيجاد قيمة مشتقتها عند هذه النقطة. إذن نُوجِد أولًا مشتقة .
باستخدام المتطابقة المثلثية التي تُخبِرنا أن ، يُمكِننا التعبير عن بالصورة
لإيجاد مشتقة ، يُمكِننا استخدام قاعدة خارج القسمة: باعتبار أن ، . نبدأ باشتقاق ، لإيجاد مقدارَي ، . بالبدء بقيمة ، نعلم أن مشتقة هي . إذن
بالمثل،
بالتعويض بهذين المقدارين في قاعدة خارج القسمة، نحصل على
باستخدام متطابقة فيثاغورس للجيب وجيب التمام، يُمكِننا تبسيط البسط. إذن يُصبِح لدينا
يُمكِننا الآن التعويض بالقيمة لإيجاد مُعدَّل تغيُّر عند هذه النقطة ليصبح لدينا
لقد أوضح المثال السابق أن
فيما يلي تمثيل بياني لدالة الظل ومشتقتها.
حتى الآن تناولنا مشتقات دوال الجيب وجيب التمام والظل. فيما يلي مُلخَّص لمشتقاتها.
مشتقات الدوال المثلثية
تبدو مشتقات الدوال المثلثية كالآتي:
بشكل عام، ستكون قادرًا على الاستعانة بهذه النتائج، واستخدامها دون اشتقاق. مع ذلك، من المُتوقَّع أنه يُمكِنك استنتاج هذه النتائج باستخدام الأساليب التي ذكرناها فيما سبق. علاوةً على ذلك، من المفيد بالتأكيد أن تحفظ ذلك عن ظهر قلب. سيزيد ذلك من قدرتك على التعامل مع مسائل الاشتقاق بسهولة وكفاءة إلى حدٍّ كبير.
سنتناول الآن بعض الأمثلة التي يُمكِننا فيها تطبيق هذه النتائج دون استخدام الاشتقاق.
مثال ٤: المشتقات المتتالية لدالة الجيب
أوجد المشتقة الثالثة والثلاثين لـ .
الحل
سيكون بالتأكيد من الصعب اشتقاق هذه الدالة ثلاثًا وثلاثين مرة متتالية. إذن نبدأ بالنظر إلى بعض المشتقات الأولى لمعرفة إذا ما كان هناك نمط مُعيَّن أو لا. مشتقة دالة الجيب هي دالة جيب التمام. إذن
نشتق دالة جيب التمام إلى سالب دالة الجيب:
بالاستمرار في ذلك، نجد أن ، وهو ما يساوي الدالة التي بدأنا بها. إذن يتكرَّر هذا النمط للمشتقات ذات الرُّتَب العُليا. إذن القاعدة العامة هي ؛ حيث . بما أن ؛ إذن يُصبِح لدينا
باستخدام صيغة مُشابِهة نجعل فيها ، يُمكِننا استنتاج الصيغة العامة ؛ حيث ، للمشتقات ذات الرُّتَب العُليا لدالة جيب التمام.
مثال ٥: استخدام قاعدة الضرب مع الدوال المثلثية
إذا كان ، فأوجد .
الحل
هذه الدالة هي حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق ، . إذن يُمكِننا استخدام قاعدة الضرب التي تنُصُّ على أنه لكلِّ دالة ، لإيجاد مشتقتها. نبدأ باشتقاق ، . باستخدام قاعدة اشتقاق وحيدات الحد، يُصبِح لدينا
بالمثل، باستخدام قاعدة اشتقاق دالة الجيب ، نحصل على
يُمكِننا الآن التعويض بهذين المقدارين في صيغة قاعدة الضرب، كما هو موضَّح:
مثال ٦: اشتقاق الدوال المثلثية
إذا كان ، فأوجد .
الحل
عند التعرُّض لسؤال مثل هذا، قد نُفكِّر في تطبيق قاعدة الضرب أو قاعدة السلسلة للدوال المُركَّبة. لكنْ في كثير من الأحيان يكون من المفيد التفكير في إذا ما كان بإمكاننا تبسيط المقدار باستخدام المتطابقات المثلثية التي نعرفها بالفعل أو لا. هذا هو النهج الذي سنستخدمه لتوضيح كيف يُسهِّل ذلك عملية إيجاد المشتقة إلى حدٍّ كبير. سنبدأ بأَخْذ العدد ٢ عاملًا مشتركًا خارج القوسين:
يُمكِننا الآن فك الأقواس كالآتي:
يُمكِننا استخدام متطابقة فيثاغورس الآن لدالتَي الجيب وجيب التمام لتبسيط المقدار كالآتي:
يُمكِننا الآن استخدام صيغة ضِعف الزاوية، ، لإعادة كتابة هذا المقدار بالصورة
لدينا الآن مقدار أبسط للدالة التي يُمكِننا اشتقاقها بسهولة باستخدام قواعد الاشتقاق للدوال المثلثية. باستخدام حقيقة أن ، وأن مشتقة حد ثابت تساوي صفرًا، يُصبِح لدينا
يوضِّح المثال السابق نقطة مهمة تخص الاشتقاق بشكل عام، ولكنها تؤثِّر على الدوال المثلثية بشكل خاص، وهي أنه يُمكِننا عادةً استخدام المعلومات الموجودة لدينا عند التعامل مع تعبير الدالة لتبسيط عملية إيجاد المشتقة. سنُنهِي هذا الشارح بالنظر إلى مثال أخير؛ حيث نُطبِّق قاعدة خارج القسمة لإيجاد قيمة المشتقة.
مثال ٧: استخدام قاعدة خارج القسمة مع الدوال المثلثية
إذا كان ، فأوجد .
الحل
الدالة المُعطاة لنا هي خارج قسمة دالتين قابلتين للاشتقاق. إذن يُمكِننا تطبيق قاعدة خارج القسمة التي تنُصُّ على أنه بالنسبة إلى الدالة ، مشتقتها تساوي
باعتبار أن ، ، نبدأ بإيجاد مشتقتَي ، . باستخدام قاعدة الاشتقاق للدوال المثلثية ، يُصبِح لدينا ،
بالتعويض بهذه المقادير مرة أخرى في قاعدة خارج القسمة، نحصل على
باستخدام متطابقة فيثاغورس للجيب وجيب التمام، يُمكِننا تبسيط البسط كالآتي:
أخيرًا، نحذف العامل المشترك؛ لكي نحصل على
النقاط الرئيسية
- يُمكِننا توسيع نطاق فَهْمنا للمشتقات ليشمل الدوال المثلثية.
- تبدو مشتقات دوال الجيب وجيب التمام والظل كالآتي:
- تُشكِّل المشتقات ذات الرُّتَب العُليا لدالتَي الجيب وجيب التمام نمطًا مُتكرِّرًا. بالنسبة إلى الجيب، يكون النمط كالآتي: بالنسبة إلى جيب التمام، يكون النمط هكذا:
- باستخدام هذه النتائج القياسية، يُمكِننا إيجاد المشتقات لفئة كثيرة من الدوال.
