في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد معيار متجه الموضع في الفضاء.
تُوجَد عدة طرق يمكن التعبير بها عن المتجه الثلاثي الأبعاد، لكننا سنركِّز على الصورة الإحداثية وصورة متجه الوحدة.
تعريف: التمثيل بدلالة المركبات ومتجهات الوحدة
انظر إلى النقطة في الفضاء الثلاثي الأبعاد الموضَّحة في الشكل الآتي.
إحداثيات النقطة هي ، ويمثِّل المتجه من نقطة الأصل إلى النقطة .
يمكن تمثيل هذا المتجه بطريقتين:
لاحِظ أن هاتين الطريقتين تمثِّلان ببساطة صورتين مختلفتين فيما يتعلَّق بالترميز. إذ تستخدم الصورة الأخيرة متجهات الوحدة ، ، ، وهي متجهات معيارها ١ في الاتجاهات ، ، على الترتيب:
يجب أن نكون على دراية بحقيقة أن متجه الوحدة له معيار (أو طول) يساوي ١. ويجب أن نكون على دراية أيضًا بإيجاد معيار المتجه في بُعدَين بالاستعانة بنظرية فيثاغورس الموضَّحة أدناه: 
لاحِظ أن هذا في الأساس يمثِّل نفس المسألة المتعلِّقة بإيجاد معيار متجه في بُعدَين. تذكَّر أنه إذا كان لدينا متجه ما ، فإن معياره يُمثَّل عادةً باستخدام الرمز ، أو أحيانًا :
ربما تكون الحقيقة الأقل شهرةً حول نظرية فيثاغورس، هي أنه يمكن تعميمها على أيِّ عدد نريده من الأبعاد. ويمكننا الاستفادة من هذه الحقيقة بتوسيع نطاق الطريقة في بُعدَين لتشمل الفضاء الثلاثي الأبعاد.
فبدلًا من إيجاد القطر الكبير لمستطيل، كما هو موضَّح في المثال الثنائي الأبعاد، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس في مثال ثلاثي الأبعاد لإيجاد القُطر الكبير لمتوازي مستطيلات:
قد يفترض المرء في البداية أنه نظرًا لأن النظرية المطبَّقة في ثنائي الأبعاد تستخدم التربيع (أو الجذور التربيعية)، فإن النظرية المطبَّقة في ثلاثي الأبعاد ستتطلَّب التكعيب (أو الجذور التكعيبية). لحسن الحظ، هذا ليس صحيحًا!
في هذا الشارح، لن نخوض في إثبات النظرية، لكن يكفي أن نُدرك أن إيجاد طول القُطر الكبير لمتوازي مستطيلات يماثِل في الأساس مسألة إيجاد معيار متجه في ثلاثة أبعاد.
هذه هي الفكرة الأساسية التي نحتاج إليها لصياغة تعريفنا.
تعريف: معيار متجه في ثلاثة أبعاد
افترض أن المتجه في فضاء ثلاثي الأبعاد؛ حيث يمكن كتابة المتجه على الصورة:
معيار يُعطى بالعلاقة:
لاحِظ أنه من الشائع استخدام المتغيِّرات ، ، في حساب المعيار:
عند حساب المعيار، يتم تربيع كل مركبة من مركبات المتجه قبل أخذ الجذر التربيعي لمجموعها. هذا يعني أننا في النهاية دائمًا سنأخذ الجذر التربيعي لعدد موجب، وهو محدَّد لكنْ له حلَّان. على سبيل المثال، قد يكون ٥ أو .
من الجدير بالملاحظة أن معيار المتجه يُعرَف على أنه غير سالب. هذا يعني أنه يمكننا تجاهل الحلول السالبة لجميع المعايير في هذا الشارح ببساطة.
والآن بعد أن فهمنا كيفية إيجاد معيار متجه عام في ثلاثة أبعاد، دعونا نتدرَّب على تطبيق ما تعلَّمناه على بعض الأمثلة.
مثال ١: إيجاد معيار متجه ثلاثي الأبعاد
إذا كان ، فأوجد .
الحل
هذا السؤال يعطينا المتجه على الصورة الإحداثية. وبما أن المتجه له ٣ مركبات، إذن نُدرك أنه موجود في فضاء ثلاثي الأبعاد.
هناك طريقة بديلة للتعبير عن باستخدام متجهات الوحدة، هي:
مطلوب منا إيجاد ، الذي يمثِّل معيار (أو طول) المتجه. لحل هذا السؤال، نتذكَّر أن معيار أيِّ متجه في فضاء ثلاثي الأبعاد يُعطَى بالعلاقة: حيث تمثِّل ، ، مركبات المتجه في الاتجاهات الأساسية.
يتكون المتجه الذي لدينا من المركبات الآتية:
ولإيجاد معياره، نعوِّض بهذه القيم في الصيغة الآتية:
بالتبسيط قليلًا، نصل إلى الإجابة.
في هذا النوع من الأسئلة، قد يكون من المفيد أحيانًا تقريب إجابتك لرقم عشري (ربما نحتاج إلى ذلك عند إجراء المقارنات). في هذه الحالة، لا يُعَدُّ هذا ضروريًّا، وبما أنه لا توجد طريقة لتبسيط بشكل مفيد، إذن يمكننا تَرْك الإجابة في صورة جذر.
مثال ٢: إيجاد معيار متجه ثلاثي الأبعاد مُعبَّر عنه بدلالة متجهات الوحدة
إذا كان ، فأوجد .
الحل
هذا السؤال على صورة تُشبه المثال السابق كثيرًا؛ لكن هذه المرة نتعامل مع متجه ثلاثي الأبعاد، ، مُعطى بدلالة متجهات الوحدة.
مرة أخرى، مطلوب منا إيجاد معيار هذا المتجه ؛ لذا يمكننا استخدام صيغة حساب معيار المتجه في ثلاثة أبعاد:
المتجه له المركبات الآتية:
ومن الجدير بالملاحظة أنه على الرغم من أن متجه الوحدة لا يبدو أن له معاملًا، فإن مركبات المتجه تشير إلى خلاف ذلك. يجب أن نحرص دائمًا على عدم تجاهل المعاملات التي قيمتها ١ أو في هذه الحالة، عند التعامل مع المتجهات المُعبَّر عنها على صورة مجموع متجهات الوحدة. مرةً أخرى، نعوِّض بالقيم الموجودة لدينا في الصيغة ونبسطها لإيجاد :
كالمثال السابق تمامًا، من الجيد تَرْك المعيار على الصورة الجذرية.
لا تساعدنا الصيغة التي استخدمناها في إيجاد معيار المتجه فحسب، بل يمكن استخدامها أيضًا لإيجاد أحد المركبات المجهولة لمتجه إذا كان لدينا المعيار.
نلقي نظرة على مثال يتضمَّن ذلك.
مثال ٣: إيجاد قيمة مركبة مجهولة في متجه باستخدام معياره
إذا كان ، ، فأوجد كل قيم الممكنة.
الحل
في هذا المثال، لدينا معيار متجه ثلاثي الأبعاد، وعلينا استخدام هذه المعلومة لإيجاد أحد مركباته المجهولة. معامل متجه الوحدة مُعطى بالبارامتر . وهذا هو المجهول الذي علينا إيجاد قيمته.
يتكوَّن المتجه من المركبات الآتية:
يمكننا التعويض بهذه القيم في صيغة حساب المعيار لمتجه ثلاثي الأبعاد:
في هذه الحالة، لدينا معلومة أخرى. معيار المتجه . ولإيجاد قيمة المجهول، علينا التعويض بقيمة هذا المعيار في المعادلة أيضًا:
للمتابعة، يمكننا تربيع كلا الطرفين ثم التبسيط:
في هذه المرحلة، لدينا معادلة لـ . هنا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفَي المعادلة:
ينبغي أن نتذكَّر أن أخذ الجذر التربيعي لعدد ما يعطينا حلَّين موجبًا وسالبًا. وبما أننا نُوجِد معامل أحد مركبات المتجه (وليس معيار المتجه)، إذن لا يمكننا تجاهل الحل السالب.
إذن الإجابة هي أن القيم الممكنة لـ هي ٢، .
وتعقيبًا على المثال السابق، ضع في اعتبارك أنه إذا كان معيار المتجه مُعطًى، فيمكننا إيجاد قيمة مركبة مجهولة واحدة فقط من هذا المتجه. وإذا كان لدينا أكثر من مركبة مجهولة، لكانت المعادلة بهذا الشكل:
وبما أن المعادلة السابقة بها مجهولان، إذن سيكون هناك عدد لا نهائي من الحلول؛ ومن ثم لن نتمكَّن من إيجاد زوج واحد فريد لقيمتَي ، .
بالانتقال إلى المثال التالي، نتذكَّر أنه عند التعامل مع المتجهات، تكون عمليات الجمع والطرح أدوات مهمة. فلإيجاد معيار المتجه، قد نحتاج أولًا إلى استخدام هذه العمليات لإيجاد مركباته.
مثال ٤: حل المسائل التي تتضمَّن معيار المتجه
إذا كان ، ، فأوجد .
الحل
تذكَّر أنه عند جمع متجهين، تُجمَع المركبات الفردية معًا ببساطة. التعبير المعطى هو متجه في حد ذاته، ولدينا مركباته، بالإضافة إلى مركبات المتجه . بما أن مركبات مجهولة، إذن سنمثِّلها باستخدام ، ، :
يسمح لنا هذا بتكوين المعادلة:
ولكي نعزل القيم المجهولة في طرف بمفردها، يمكننا طرح المتجه أو من كلا طرفَي هذه المعادلة، ليتبقَّى لدينا المتجه فقط أو في الطرف الأيمن:
عند هذه النقطة، يمكننا تكوين ثلاث معادلات منفصلة للاتجاهات ، ، ؛ لكن، لن يكون هذا ضروريًّا. بتذكُّر خواص جمع المتجهات وطرحها، يمكننا تبسيط الطرف الأيمن مباشرةً من خلال التعامل مع كل مركبة بشكل منفصل:
ولأننا حدَّدنا لتمثيل المتجه ، وجدنا أن:
والآن بعد أن توصَّلنا إلى مركبات المتجه ، يمكننا إيجاد معياره:
وبهذا نكون قد أنهينا المسألة. وبما أنه لا توجد عمليات تبسيط مفيدة لنجريها، إذن يمكننا ترك الإجابة في صورة جذر أصم.
لاحِظ أنه يمكن استخدام خواص جمع المتجهات وطرحها عند التعامل مع الأنظمة التي تتضمَّن نقاطًا إحداثية.
افترض وجود نظام له نقطتان ، . تخيَّل أننا نريد إيجاد المسافة بين هاتين النقطتين.
هذه المسألة تماثِل إيجاد معيار المتجه الواصل بين النقطتين ، ؛ بعبارة أخرى، .
نعلم أن:
ويمكن إيجاد المتجه بسهولة، بتذكُّر أن:
يمكننا بعد ذلك إيجاد المسافة بين النقطتين باستخدام صيغة إيجاد المعيار:
أحد الفوارق المهمة جدًّا التي سنلاحظها هو أن معيار المجموع أو الفرق ليس ضروريًّا أن يكون هو نفسه مجموع المعيارين أو الفرق بينهما:
وسنعرف سبب ذلك في المثال الآتي.
مثال ٥: حل المسائل التي تتضمَّن إيجاد معيار متجه وجمع متجهين
إذا كان ، ، فأوجد ، .
الحل
لدينا في السؤال متجهان ثلاثيا الأبعاد، ومطلوب منا إيجاد معيار مجموع المتجهين، ، بالإضافة إلى مجموع معيارَي المتجهين، . على الرغم من أن هذين الأمرين قد يبدوان متشابهين تمامًا، فإن علينا أن نحرص على عدم افتراض أنهما متساويان.
نبدأ بـ . نحتاج أولًا إلى إيجاد مركبات المتجه عن طريق جمع المتجهين المعطيين:
بالقيام ببعض التبسيط، يمكننا إيجاد المركبات. ويمكن الآن التعويض بمعاملات كل متجه وحدة في صيغة إيجاد معيار المتجه:
والآن ماذا عن ؟ أصبح إيجاد معيار متجه مركباته معلومة أمرًا مألوفًا الآن. نبدأ بإيجاد :
ثم نُوجِد :
باستخدام هاتين المعلومتين معًا، نحصل على الإجابة:
من أجل المقارنة، قد نختار تقريب هاتين الكميتين إلى قيمة عشرية معينة:
ومن المؤكد أننا أوضحنا، في هذه الحالة، أن .
إذا نظرنا إلى و بشكل أوضح، فقد نلاحظ أن هذه هي متباينة المثلث في الأساس، كما هو موضَّح أدناه!
لا يمكن أبدًا أن يكون معيار مجموع متجهين أكبر من مجموع المعيارين:
لاحِظ أن هناك حالة واحدة تكون فيها هذه الكميات متساوية، وهي تحدث عندما يكون المتجهان ، في الاتجاه نفسه. بعبارة أخرى، عندما يكون ، متوازيين.
ويمكن أيضًا تطبيق هذا المنطق لمقارنة بـ . ويقودنا القيام بذلك إلى نتيجة مماثلة، تلخِّصها النقاط الرئيسية الآتية.
النقاط الرئيسية
- يمثِّل معيار المتجه طوله، ويُعرَف على أنه عدد موجب دائمًا.
- يمثِّل معيار المتجه .
- إذا كان لدينا ، يمكن إيجاد معياره باستخدام الصيغة الآتية:
- إذا كان المتجهان ، متوازيين، فإن:
- وإذا كان المتجهان ، غير متوازيين، فإن:
