في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نعرف العلاقة بين معاملات معادلة تربيعية وجذريها.
نبدأ بمراجعة مختصرة لكيفية تحليل معادلة تربيعية لإيجاد جذريها. انظر المعادلة:
يمكن تحليل المقدار الجبري التربيعي في الطرف الأيمن لهذه المعادلة على الصورة: وهو ما ينتج عنه الجذران ، . عندما ننظر عن قرب إلى عملية التحليل هذه، نجد أننا بحثنا أولًا عن زوج من الأعداد يكون حاصل ضربه الحد الثابت ١٠ ومجموعه المعامل . وبعد التحليل، نجد أن هذا الزوج عبارة عن سالب جذري المعادلة التربيعية. بالتفكير في هذه العملية بشكل معكوس، يجب أن يحقق جذرا هذه المعادلة، ، ، المعادلتين:
بعبارة أخرى، نبدأ بافتراض أن معاملات المعادلة التربيعية تتضمن معلومات بشأن جذريها. يمكننا التحقق من صحة ذلك في هذا المثال، حيث إننا نعرف أن الجذرين هما ، ، وعليه:
لكن هل ينطبق هذا على أي معادلة تربيعية؟ وما العلاقة بين معاملات أي معادلة تربيعية وجذريها؟
لنبدأ بمعادلة تربيعية بسيطة، ، التي يساوي معامل الحد الرئيسي بها (أي معامل ) ١. نفترض أنه يمكننا تحليل هذه المعادلة إلى: لأي قيمة لـ ، . إذن المعادلة التربيعية لها الجذران ، . نضرب أقواس هذه المعادلة:
يشترك الحدان الأوسطان في العامل ؛ ومن ثم يمكننا إخراج هذا العامل المشترك لنكتب:
بعد ذلك، يمكننا المقارنة بين معاملات هذه المعادلة ومعاملات المعادلة الأصلية، . وبمقارنة هذه المعادلة بالمعادلة التربيعية الأصلية، ، نلاحظ أن:
بعبارة أخرى، المعادلات التربيعية على الصورة بالجذرين ، يجب أن تحقق:
إذن ما الذي يمكننا قوله عن المعاملات في المعادلة التربيعية العامة، حيث لا يساوي معامل الحد الرئيسي ١؟ انظر إلى المعادلة التربيعية ذات الجذرين ، . بما أن إذن يمكننا قسمة الطرفين على لنكتب:
والآن، لدينا معادلة تربيعية معامل الحد الرئيسي بها ١. إذن، باستخدام النتائج السابقة، لا بد أن تحقق معاملات المعادلة التربيعية وجذراها المعادلتين التاليتين.
نظرية: معاملات المعادلة التربيعية وجذريها
لنفترض أن معادلة تربيعية جذراها ، . إذن، يجب أن يحقق الجذران المعادلتين:
بالنسبة إلى المعادلات التربيعية الأبسط على الصورة وجذريها ، ، لدينا الصيغتان المختصرتان:
تنطبق هذه الصيغ على جميع المعادلات التربيعية، حتى إذا كان جذراها عددين مركبين أو كانا متكررين. ويمكن الحصول على نفس الصيغ باستخدام القانون العام.
على سبيل المثال، انظر إلى المعادلة التربيعية . دون حل المعادلة، يمكننا إيجاد مجموع جذريها وحاصل ضربهما. بما أن: إذن نحصل على: حيث ، جذرا هذه المعادلة التربيعية.
يمكننا التحقق من ذلك بحساب الجذرين باستخدام القانون العام. لدينا:
إذن:
ومن ثم: وهو ما يتفق مع ما حصلنا عليه سابقًا باستخدام النظرية.
وأيضًا باستخدام صيغة الفرق بين مربعين، يمكننا حساب: وهو ما يتفق أيضًا مع الناتج الذي حصلنا عليه باستخدام النظرية.
في المثال الأول، سنوضح كيف يمكن أن تساعدنا هذه النظرية في إيجاد مجموع جذرين دون حل المعادلة.
مثال ١: العلاقة بين معاملات معادلة تربيعية وجذريها
بدون حل المعادلة ، أوجد مجموع جذريها.
الحل
نتذكر أنه بالنسبة للمعادلات التربيعية على الصورة بالجذرين ، ، يكون لدينا:
بما أن المعادلة التربيعية المعطاة هي ، إذن:
وباستخدام الصيغة أعلاه، نعرف أن مجموع جذري المعادلة يساوي:
إذن، مجموع جذري هذه المعادلة يساوي .
باستخدام العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذريها، يمكننا إيجاد المعادلة التربيعية بمعلومية جذريها. وهذه هي العملية العكسية للمسائل التي نُوجِد فيها جذري المعادلة التربيعية. وفي هذه الأنواع من المسائل، يمكننا أيضًا التحقق من إجابتنا بإيجاد جذري المعادلة التربيعية ومقارنتهما بالجذرين المعطيين.
عند استنتاج معادلة تربيعية من جذرين، يكون من الأسهل البدء بالصورة الأبسط حيث معامل الحد الرئيسي يساوي ١. وإذا كان أحد المعاملين ، كسرًا، فيمكننا ضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك لتبسيط المعادلة التربيعية أكثر من ذلك.
على سبيل المثال، هيا نستنتج المعادلة التربيعية التي جذريها ، . نبدأ بالمعادلة التربيعية ، يمكننا استخدام النظرية لنكتب أن:
إذن، نحصل على ، وهو ما يعطينا المعادلة التربيعية:
بما أن هذه المعادلة تحتوي على معامل عبارة عن عدد غير صحيح، ، إذن يمكننا تبسيط هذه المعادلة أكثر من ذلك بضرب كلا الطرفين في اثنين. ومن ثَمَّ نحصل على:
إذن، أبسط معادلة تربيعية جذراها ، هي .
يمكننا التحقق من إجابتنا بحل المعادلة التربيعية بالتحليل. يمكننا تحليل المقدار التربيعي إلى الصورة ؛ ومن ثَمَّ:
وينتج عن هذا التحليل الجذران ، وهما يطابقان الجذرين المعطيين. وهذا يؤكد صحة الإجابة.
سنتناول الآن بعض الأمثلة التي نستنتج فيها المعادلة التربيعية من جذريها.
مثال ٢: العلاقة بين معاملات معادلة تربيعية وجذريها
إذا كان ، حلَّي المعادلة فأوجد قيمة كلٍّ من ، .
الحل
نتذكر أنه، بالنسبة إلى المعادلات التربيعية على الصورة ذات الجذرين ، ، يكون:
يخبرنا السؤال أن ، هما جذرا المعادلة، إذن وهو ما يعني أن . ولدينا أيضًا وهو ما ينتج عنه أن .
نتحقق من صحة إجابتنا من خلال العمل بطريقة عكسية لحل المعادلة التربيعية بالتحليل. تؤدي هذه الإجابة إلى المعادلة التربيعية:
وبالتحليل نحصل على: نستنتج من ذلك أن الجذرين هما ، . وهذان الجذران يماثلان الجذرين المعطيين في المسألة.
إذن، ، .
مثال ٣: تكوين معادلة تربيعية في أبسط صورة بمعلومية جذريها
أوجد المعادلة التربيعية التي جذراها ، ، في أبسط صورة.
الحل
بما أننا نريد أبسط صورة للمعادلة التربيعية، علينا أن نوجد معادلة تربيعية معاملاتها أعداد صحيحة. لنبدأ بالصورة . إذا كان أي من المعاملات كسرًا، فيمكننا ضرب كلا طرفي المعادلة في المقام المشترك لتبسيط المعادلة.
نتذكر أنه إذا كان ، جذري هذه المعادلة، فإن:
نعلم أن ، هما جذرا المعادلة، إذن وهو ما يعني أن . ونعرف أيضًا أن وهو ما يعني أن . وبما أن المعاملين ، عددان صحيحان، إذن لن نحتاج إلى تغيير هذه المعادلة أكثر من ذلك. ومن ثم، نحصل على المعادلة التربيعية .
يمكننا التحقق من الإجابة بحل المعادلة التربيعية بالتحليل: ومن ثم نحصل على الجذرين ، . وهذان الجذران يماثلان الجذرين المعطيين في المسألة.
إذن، المعادلة التربيعية التي جذراها ، ، في أبسط صورة، هي .
مثال ٤: تكوين معادلة تربيعية في أبسط صورة بمعلومية جذريها
أوجد، في أبسط صورة، المعادلة التربيعية التي جذراها ، .
الحل
لنبدأ بالصورة . نعلم أنه إذا كان أي من المعاملات كسرًا، فيمكننا ضرب كِلَا طرفي المعادلة في المقام المشترك لتبسيط المعادلة. نتذكر أنه إذا كان ، هما جذري هذه المعادلة، فإن:
يخبرنا السؤال أن ، هما جذرا المعادلة، إذن: وهو ما ينتج عنه أن . وباسترجاع صيغة الفرق بين مربعين ، نجد أن:
ومن ثم، نحصل على المعادلة التربيعية .
يمكننا التحقق من الإجابة بحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام:
هذان الجذران يماثلان الجذريين المعطيين في السؤال.
إذن، المعادلة التربيعية التي جذراها ، ، في أبسط صورة، هي .
في المثال التالي، سنشرح كيفية تطبيق ذلك على الجذور المركبة.
مثال ٥: إيجاد المعادلات التربيعية بمعلومية زوج من الجذور المركبة
ما المعادلة التربيعية التي جذراها ؟
الحل
بما أن معامل الحد الرئيسي لجميع الاختيارات المعطاة هو ١، فإننا نبدأ بالمعادلة التربيعية . نتذكر أنه إذا كان ، هما جذري هذه المعادلة، فإن:
نعلم أن ، هما جذرا المعادلة، لذا: وهو ما ينتج عنه أن . وبتذكر صيغة الفرق بين مربعين، ، نحصل على:
إذن المعادلة التربيعية هي .
يمكننا التحقق من الإجابة بحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام:
هذان الجذران يماثلان الجذرين المعطيين في المسألة.
إذن، المعادلة التربيعية التي جذراها ، ، في أبسط صورة، هي .
في المثالين الأخيرين، سنتناول المعادلات التربيعية التي تتضمن قيمة مجهولة. وسنستخدم العلاقة بين معاملات المعادلات التربيعية وجذريها لحل هذه المسائل.
مثال ٦: إيجاد قيمة مجهول في معادلة تربيعية بمعلومية أحد جذريها
إذا كان جذرًا للمعادلة ، فاحسب قيمة .
الحل
نبدأ بوضع المعادلة المعطاة على الصورة القياسية:
نتذكر أنه بمعلومية المعادلة التربيعية ، فإن يساوي حاصل ضرب جذريها. في هذا المثال، . ونحن نعلم أحد جذري المعادلة، ، لكننا لا نعرف الجذر الآخر، وسنشير إليه بالرمز .
إذن:
وعليه، فإن الجذر الثاني لهذه المعادلة هو .
نتذكر أيضًا أنه بالنسبة للمعادلة التربيعية ، فإن يساوي مجموع جذريها. في هذا المثال، . وبما أننا نعرف أن الجذرين هما ، ، إذن:
إذن، .
مثال ٧: إيجاد قيمة مقدار جبري باستخدام العلاقة بين معاملات معادلة تربيعية وجذريها
إذا كان ، جذرَي المعادلة ، فما قيمة ؟
الحل
هناك طريقتان لحل هذا السؤال. الطريقة الأولى هي استخدام العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذريها للحصول على المقدار المطلوب. الطريقة الثانية هي إيجاد جذري المعادلة التربيعية، ثم حساب المقدار المطلوب. نبدأ بالطريقة الأولى، ثم نستخدم بعدها الطريقة الثانية.
نتذكر أنه بالنسبة إلى المعادلة التربيعية التي جذريها ، ، فإن:
في هذا المثال، نلاحظ أن ، ، لذا:
نلاحظ الآن أنه يمكن كتابة المقدار المطلوب على الصورة:
بما أننا نعرف أن ، ، فإن:
إذن، وذلك تبعًا للطريقة الأولى.
والآن، سنستخدم الطريقة الثانية. بالنظر إلى المعادلة ، يمكننا تحليل الطرف الأيمن: وهو ما يعطينا الجذرين ، . نفترض أن ، (ستكون النتيجة مماثلة إذا افترضنا أن ، ؛ لأن المقدار المطلوب هو والجمع عملية إبدالية).
نحسب الآن المقدار المطلوب:
إذن، يساوي ٨٢.
النقاط الرئيسية
- معاملات المعادلة التربيعية تتضمن معلومات عن مجموع جذريها وحاصل ضربهما.
- بالنسبة إلى المعادلات التربيعية على الصورة ، إذا كان ، هما جذريها، فإن:
- بالنسبة إلى المعادلات التربيعية العامة ، إذا كان ، هما جذريها، فإن:
- عند استنتاج معادلة تربيعية من جذريها المعطيين ، ، يمكننا استخدام الصيغ المختصرة:
