شارح الدرس: المعادلات التربيعية: المعاملات والجذور الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نعرف العلاقة بين معاملات معادلة تربيعية وجذريها.

نبدأ بمراجعة مختصرة لكيفية تحليل معادلة تربيعية لإيجاد جذريها. انظر المعادلة: 𞸎٧𞸎+٠١=٠.٢

يمكن تحليل المقدار الجبري التربيعي في الطرف الأيمن لهذه المعادلة على الصورة: (𞸎٢)(𞸎٥)=٠، وهو ما ينتج عنه الجذران 𞸎=٢، 𞸎=٥. عندما ننظر عن قرب إلى عملية التحليل هذه، نجد أننا بحثنا أولًا عن زوج من الأعداد يكون حاصل ضربه الحد الثابت ١٠ ومجموعه المعامل ٧. وبعد التحليل، نجد أن هذا الزوج عبارة عن سالب جذري المعادلة التربيعية. بالتفكير في هذه العملية بشكل معكوس، يجب أن يحقق جذرا هذه المعادلة، 𞸎١، 𞸎٢، المعادلتين: 󰁓𞸎󰁒+󰁓𞸎󰁒=٧󰁓𞸎󰁒×󰁓𞸎󰁒=٠١.١٢١٢،

بعبارة أخرى، نبدأ بافتراض أن معاملات المعادلة التربيعية تتضمن معلومات بشأن جذريها. يمكننا التحقق من صحة ذلك في هذا المثال، حيث إننا نعرف أن الجذرين هما 𞸎=٢١، 𞸎=٥٢، وعليه: (٢)+(٥)=٧(٢)×(٥)=٠١.،

لكن هل ينطبق هذا على أي معادلة تربيعية؟ وما العلاقة بين معاملات أي معادلة تربيعية وجذريها؟

لنبدأ بمعادلة تربيعية بسيطة، 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢، التي يساوي معامل الحد الرئيسي بها (أي معامل 𞸎٢) ١. نفترض أنه يمكننا تحليل هذه المعادلة إلى: 󰁓𞸎𞸎󰁒󰁓𞸎𞸎󰁒=٠١٢ لأي قيمة لـ 𞸎١، 𞸎٢. إذن المعادلة التربيعية 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢ لها الجذران 𞸎١، 𞸎٢. نضرب أقواس هذه المعادلة: 𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎+𞸎𞸎=٠.٢٢١١٢

يشترك الحدان الأوسطان في العامل 𞸎؛ ومن ثم يمكننا إخراج هذا العامل المشترك لنكتب: 𞸎󰁓𞸎+𞸎󰁒𞸎+𞸎𞸎=٠.٢١٢١٢

بعد ذلك، يمكننا المقارنة بين معاملات هذه المعادلة ومعاملات المعادلة الأصلية، 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢. وبمقارنة هذه المعادلة بالمعادلة التربيعية الأصلية، 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢، نلاحظ أن: 𞸁=󰁓𞸎+𞸎󰁒𞸢=𞸎𞸎.١٢١٢،

بعبارة أخرى، المعادلات التربيعية على الصورة 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢ بالجذرين 𞸎١، 𞸎٢ يجب أن تحقق: 𞸎+𞸎=𞸁𞸎𞸎=𞸢.١٢١٢،

إذن ما الذي يمكننا قوله عن المعاملات في المعادلة التربيعية العامة، حيث لا يساوي معامل الحد الرئيسي ١؟ انظر إلى المعادلة التربيعية 󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢ ذات الجذرين 𞸎١، 𞸎٢. بما أن 󰏡٠ إذن يمكننا قسمة الطرفين على 󰏡 لنكتب: 𞸎+𞸁󰏡𞸎+𞸢󰏡=٠.٢

والآن، لدينا معادلة تربيعية معامل الحد الرئيسي بها ١. إذن، باستخدام النتائج السابقة، لا بد أن تحقق معاملات المعادلة التربيعية وجذراها المعادلتين التاليتين.

نظرية: معاملات المعادلة التربيعية وجذريها

لنفترض أن 󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢ معادلة تربيعية جذراها 𞸎١، 𞸎٢. إذن، يجب أن يحقق الجذران المعادلتين: 𞸎+𞸎=𞸁󰏡𞸎×𞸎=𞸢󰏡.١٢١٢،

بالنسبة إلى المعادلات التربيعية الأبسط على الصورة 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢ وجذريها 𞸎١، 𞸎٢، لدينا الصيغتان المختصرتان: 𞸎+𞸎=𞸁𞸎×𞸎=𞸢.١٢١٢،

تنطبق هذه الصيغ على جميع المعادلات التربيعية، حتى إذا كان جذراها عددين مركبين أو كانا متكررين. ويمكن الحصول على نفس الصيغ باستخدام القانون العام.

على سبيل المثال، انظر إلى المعادلة التربيعية ٧𞸎+٢𞸎+٠٢=٠٢. دون حل المعادلة، يمكننا إيجاد مجموع جذريها وحاصل ضربهما. بما أن: 󰏡=٧،𞸁=٢،𞸢=٠٢، إذن نحصل على: 𞸎+𞸎=𞸁󰏡=٢٧𞸎×𞸎=𞸢󰏡=٠٢٧،١٢١٢، حيث 𞸎١، 𞸎٢ جذرا هذه المعادلة التربيعية.

يمكننا التحقق من ذلك بحساب الجذرين باستخدام القانون العام. لدينا: 𞸎=𞸁±󰋴𞸁٤󰏡𞸢٢󰏡=٢±󰋴٢٤×٧×٠٢٢×٧=٢±󰋴٦٥٥٤١=١٧±𞸕󰋴٩٣١٧.٢٢

إذن: 𞸎=١٧+𞸕󰋴٩٣١٧𞸎=١٧𞸕󰋴٩٣١٧.١٢،

ومن ثم: 𞸎+𞸎=󰃭١٧+𞸕󰋴٩٣١٧󰃬+󰃭١٧𞸕󰋴٩٣١٧󰃬=٢٧،١٢ وهو ما يتفق مع ما حصلنا عليه سابقًا باستخدام النظرية.

وأيضًا باستخدام صيغة الفرق بين مربعين، (𞸎+𞸑)(𞸎𞸑)=𞸎𞸑٢٢ يمكننا حساب: 𞸎×𞸎=󰃭١٧+𞸕󰋴٩٣١٧󰃬×󰃭١٧𞸕󰋴٩٣١٧󰃬=󰂔١٧󰂓󰃭𞸕󰋴٩٣١٧󰃬=١٩٤𞸕٩٣١٩٤=١+٩٣١٩٤=٠٤١٩٤=٠٢٧،١٢٢٢٢ وهو ما يتفق أيضًا مع الناتج الذي حصلنا عليه باستخدام النظرية.

في المثال الأول، سنوضح كيف يمكن أن تساعدنا هذه النظرية في إيجاد مجموع جذرين دون حل المعادلة.

مثال ١: العلاقة بين معاملات معادلة تربيعية وجذريها

بدون حل المعادلة ٣𞸎٦١𞸎+٣٦=٠٢، أوجد مجموع جذريها.

الحل

نتذكر أنه بالنسبة للمعادلات التربيعية على الصورة 󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢ بالجذرين 𞸎١، 𞸎٢، يكون لدينا: 𞸎+𞸎=𞸁󰏡𞸎×𞸎=𞸢󰏡.١٢١٢،

بما أن المعادلة التربيعية المعطاة هي ٣𞸎٦١𞸎+٣٦=٠٢، إذن: 󰏡=٣،𞸁=٦١،𞸢=٣٦.

وباستخدام الصيغة أعلاه، نعرف أن مجموع جذري المعادلة يساوي: 𞸎+𞸎=𞸁󰏡=٦١٣=٦١٣.١٢

إذن، مجموع جذري هذه المعادلة يساوي ٦١٣.

باستخدام العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذريها، يمكننا إيجاد المعادلة التربيعية بمعلومية جذريها. وهذه هي العملية العكسية للمسائل التي نُوجِد فيها جذري المعادلة التربيعية. وفي هذه الأنواع من المسائل، يمكننا أيضًا التحقق من إجابتنا بإيجاد جذري المعادلة التربيعية ومقارنتهما بالجذرين المعطيين.

عند استنتاج معادلة تربيعية من جذرين، يكون من الأسهل البدء بالصورة الأبسط 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢ حيث معامل الحد الرئيسي يساوي ١. وإذا كان أحد المعاملين 𞸁، 𞸢 كسرًا، فيمكننا ضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك لتبسيط المعادلة التربيعية أكثر من ذلك.

على سبيل المثال، هيا نستنتج المعادلة التربيعية التي جذريها ٧٢، ٢. نبدأ بالمعادلة التربيعية 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢، يمكننا استخدام النظرية لنكتب أن: ٧٢٢=𞸁𞸁=٣٢٧٢×(٢)=𞸢𞸢=٧.

إذن، نحصل على 𞸁=٣٢، 𞸢=٧ وهو ما يعطينا المعادلة التربيعية: 𞸎٣٢𞸎٧=٠.٢

بما أن هذه المعادلة تحتوي على معامل عبارة عن عدد غير صحيح، ٣٢، إذن يمكننا تبسيط هذه المعادلة أكثر من ذلك بضرب كلا الطرفين في اثنين. ومن ثَمَّ نحصل على: ٢𞸎٣𞸎٤١=٠.٢

إذن، أبسط معادلة تربيعية جذراها ٧٢، ٢ هي ٢𞸎٣𞸎٤١=٠٢.

يمكننا التحقق من إجابتنا بحل المعادلة التربيعية بالتحليل. يمكننا تحليل المقدار التربيعي ٢𞸎٣𞸎٤١٢ إلى الصورة (٢𞸎٧)(𞸎+٢)؛ ومن ثَمَّ: (٢𞸎٧)(𞸎+٢)=٠.

وينتج عن هذا التحليل الجذران 𞸎=٧٢، 𞸎=٢ وهما يطابقان الجذرين المعطيين. وهذا يؤكد صحة الإجابة.

سنتناول الآن بعض الأمثلة التي نستنتج فيها المعادلة التربيعية من جذريها.

مثال ٢: العلاقة بين معاملات معادلة تربيعية وجذريها

إذا كان ١، ٦ حلَّي المعادلة 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢ فأوجد قيمة كلٍّ من 𞸁، 𞸢.

الحل

نتذكر أنه، بالنسبة إلى المعادلات التربيعية على الصورة 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢ ذات الجذرين 𞸎١، 𞸎٢، يكون: 𞸎+𞸎=𞸁𞸎×𞸎=𞸢.١٢١٢،

يخبرنا السؤال أن 𞸎=١١، 𞸎=٦٢ هما جذرا المعادلة، إذن ١٦=𞸁 وهو ما يعني أن 𞸁=٧. ولدينا أيضًا (١)×(٦)=𞸢 وهو ما ينتج عنه أن 𞸢=٦.

نتحقق من صحة إجابتنا من خلال العمل بطريقة عكسية لحل المعادلة التربيعية بالتحليل. تؤدي هذه الإجابة إلى المعادلة التربيعية: 𞸎+٧𞸎+٦=٠.٢

وبالتحليل نحصل على: (𞸎+١)(𞸎+٦)=٠، نستنتج من ذلك أن الجذرين هما 𞸎=١، 𞸎=٦. وهذان الجذران يماثلان الجذرين المعطيين في المسألة.

إذن، 𞸁=٧، 𞸢=٦.

مثال ٣: تكوين معادلة تربيعية في أبسط صورة بمعلومية جذريها

أوجد المعادلة التربيعية التي جذراها ٣، ٨، في أبسط صورة.

الحل

بما أننا نريد أبسط صورة للمعادلة التربيعية، علينا أن نوجد معادلة تربيعية معاملاتها أعداد صحيحة. لنبدأ بالصورة 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢. إذا كان أي من المعاملات كسرًا، فيمكننا ضرب كلا طرفي المعادلة في المقام المشترك لتبسيط المعادلة.

نتذكر أنه إذا كان 𞸎١، 𞸎٢ جذري هذه المعادلة، فإن: 𞸎+𞸎=𞸁𞸎×𞸎=𞸢.١٢١٢،

نعلم أن 𞸎=٣١، 𞸎=٨٢ هما جذرا المعادلة، إذن ٣٨=𞸁 وهو ما يعني أن 𞸁=١١. ونعرف أيضًا أن (٣)×(٨)=𞸢 وهو ما يعني أن 𞸢=٤٢. وبما أن المعاملين 𞸁، 𞸢 عددان صحيحان، إذن لن نحتاج إلى تغيير هذه المعادلة أكثر من ذلك. ومن ثم، نحصل على المعادلة التربيعية 𞸎+١١𞸎+٤٢=٠٢.

يمكننا التحقق من الإجابة بحل المعادلة التربيعية بالتحليل: 𞸎+١١𞸎+٤٢=٠(𞸎+٣)(𞸎+٨)=٠،٢ ومن ثم نحصل على الجذرين 𞸎=٣، 𞸎=٨. وهذان الجذران يماثلان الجذرين المعطيين في المسألة.

إذن، المعادلة التربيعية التي جذراها ٣، ٨، في أبسط صورة، هي 𞸎+١١𞸎+٤٢=٠٢.

مثال ٤: تكوين معادلة تربيعية في أبسط صورة بمعلومية جذريها

أوجد، في أبسط صورة، المعادلة التربيعية التي جذراها ٥+󰋴٢، ٥󰋴٢.

الحل

لنبدأ بالصورة 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢. نعلم أنه إذا كان أي من المعاملات كسرًا، فيمكننا ضرب كِلَا طرفي المعادلة في المقام المشترك لتبسيط المعادلة. نتذكر أنه إذا كان 𞸎١، 𞸎٢ هما جذري هذه المعادلة، فإن: 𞸎+𞸎=𞸁𞸎×𞸎=𞸢.١٢١٢،

يخبرنا السؤال أن 𞸎=٥+󰋴٢١، 𞸎=٥󰋴٢٢ هما جذرا المعادلة، إذن: 𞸁=󰂔٥+󰋴٢󰂓+󰂔٥󰋴٢󰂓=(٥+٥)+󰂔󰋴٢󰋴٢󰂓=٠١، وهو ما ينتج عنه أن 𞸁=٠١. وباسترجاع صيغة الفرق بين مربعين (𞸎+𞸑)(𞸎𞸑)=𞸎𞸑٢٢، نجد أن: 𞸢=󰂔٥+󰋴٢󰂓×󰂔٥󰋴٢󰂓=٥󰂔󰋴٢󰂓=٥٢٢=٣٢.٢٢

ومن ثم، نحصل على المعادلة التربيعية 𞸎٠١𞸎+٣٢=٠٢.

يمكننا التحقق من الإجابة بحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام: 𞸎=(٠١)±󰋴(٠١)٤×١×٣٢٢×١=٠١±󰋴٨٢=٠١±٢󰋴٢٢=٥±󰋴٢.٢

هذان الجذران يماثلان الجذريين المعطيين في السؤال.

إذن، المعادلة التربيعية التي جذراها ٥+󰋴٢، ٥󰋴٢، في أبسط صورة، هي 𞸎٠١𞸎+٣٢=٠٢.

في المثال التالي، سنشرح كيفية تطبيق ذلك على الجذور المركبة.

مثال ٥: إيجاد المعادلات التربيعية بمعلومية زوج من الجذور المركبة

ما المعادلة التربيعية التي جذراها 𞸎=٢±𞸕؟

  1. 𞸎٤𞸎+٥=٠٢
  2. 𞸎+٤𞸎+٥=٠٢
  3. 𞸎٤𞸎+٣=٠٢
  4. 𞸎+٤𞸎+٣=٠٢
  5. 𞸎٥𞸎+٤=٠٢

الحل

بما أن معامل الحد الرئيسي لجميع الاختيارات المعطاة هو ١، فإننا نبدأ بالمعادلة التربيعية 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢. نتذكر أنه إذا كان 𞸎١، 𞸎٢ هما جذري هذه المعادلة، فإن: 𞸎+𞸎=𞸁𞸎×𞸎=𞸢.١٢١٢،

نعلم أن 𞸎=٢+𞸕١، 𞸎=٢𞸕٢ هما جذرا المعادلة، لذا: 𞸁=(٢+𞸕)+(٢𞸕)=(٢+٢)+(𞸕𞸕)=٤، وهو ما ينتج عنه أن 𞸁=٤. وبتذكر صيغة الفرق بين مربعين، (𞸎+𞸑)(𞸎𞸑)=𞸎𞸑٢٢، نحصل على: 𞸢=(٢+𞸕)×(٢𞸕)=٢(𞸕)=٤(١)=٥.٢٢

إذن المعادلة التربيعية هي 𞸎٤𞸎+٥=٠٢.

يمكننا التحقق من الإجابة بحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام: 𞸎=(٤)±󰋴(٤)٤×١×٥٢×١=٤±󰋴٤٢=٤±٢𞸕٢=٢±𞸕.٢

هذان الجذران يماثلان الجذرين المعطيين في المسألة.

إذن، المعادلة التربيعية التي جذراها ٢+𞸕، ٢𞸕، في أبسط صورة، هي 𞸎٤𞸎+٥=٠٢.

في المثالين الأخيرين، سنتناول المعادلات التربيعية التي تتضمن قيمة مجهولة. وسنستخدم العلاقة بين معاملات المعادلات التربيعية وجذريها لحل هذه المسائل.

مثال ٦: إيجاد قيمة مجهول في معادلة تربيعية بمعلومية أحد جذريها

إذا كان 𞸎=٩ جذرًا للمعادلة 𞸎+𞸌𞸎=٦٣٢، فاحسب قيمة 𞸌.

الحل

نبدأ بوضع المعادلة المعطاة على الصورة القياسية: 𞸎+𞸌𞸎٦٣=٠.٢

نتذكر أنه بمعلومية المعادلة التربيعية 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢، فإن 𞸢 يساوي حاصل ضرب جذريها. في هذا المثال، 𞸢=٦٣. ونحن نعلم أحد جذري المعادلة، 𞸎=٩١، لكننا لا نعرف الجذر الآخر، وسنشير إليه بالرمز 𞸎٢.

إذن: ٩×𞸎=٦٣𞸎=٦٣٩=٤.٢٢

وعليه، فإن الجذر الثاني لهذه المعادلة هو 𞸎=٤٢.

نتذكر أيضًا أنه بالنسبة للمعادلة التربيعية 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢، فإن 𞸁 يساوي مجموع جذريها. في هذا المثال، 𞸁=𞸌. وبما أننا نعرف أن الجذرين هما 𞸎=٩١، 𞸎=٤٢، إذن: ٩+٤=𞸌٥=𞸌𞸌=٥.

إذن، 𞸌=٥.

مثال ٧: إيجاد قيمة مقدار جبري باستخدام العلاقة بين معاملات معادلة تربيعية وجذريها

إذا كان 𞸋، 𞸌 جذرَي المعادلة 𞸎+٠١𞸎+٩=٠٢، فما قيمة 𞸋+𞸌٢٢؟

الحل

هناك طريقتان لحل هذا السؤال. الطريقة الأولى هي استخدام العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذريها للحصول على المقدار المطلوب. الطريقة الثانية هي إيجاد جذري المعادلة التربيعية، ثم حساب المقدار المطلوب. نبدأ بالطريقة الأولى، ثم نستخدم بعدها الطريقة الثانية.

نتذكر أنه بالنسبة إلى المعادلة التربيعية 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢ التي جذريها 𞸋، 𞸌، فإن: 𞸋+𞸌=𞸁𞸋×𞸌=𞸢.،

في هذا المثال، نلاحظ أن 𞸁=٠١، 𞸢=٩، لذا: 𞸋+𞸌=٠١𞸋𞸌=٩.،

نلاحظ الآن أنه يمكن كتابة المقدار المطلوب 𞸋+𞸌٢٢ على الصورة: 𞸋+𞸌=󰁓𞸋+𞸌+٢𞸋𞸌󰁒٢𞸋𞸌=(𞸋+𞸌)٢𞸋𞸌.٢٢٢٢٢

بما أننا نعرف أن 𞸋+𞸌=٠١، 𞸋𞸌=٩، فإن: 𞸋+𞸌=(٠١)٢×٩=٠٠١٨١=٢٨.٢٢٢

إذن، 𞸋+𞸌=٢٨٢٢ وذلك تبعًا للطريقة الأولى.

والآن، سنستخدم الطريقة الثانية. بالنظر إلى المعادلة 𞸎+٠١𞸎+٩=٠٢، يمكننا تحليل الطرف الأيمن: (𞸎+١)(𞸎+٩)=٠، وهو ما يعطينا الجذرين 𞸎=١، 𞸎=٩. نفترض أن 𞸋=١، 𞸌=٩ (ستكون النتيجة مماثلة إذا افترضنا أن 𞸋=٩، 𞸌=١؛ لأن المقدار المطلوب هو 𞸋+𞸌٢٢ والجمع عملية إبدالية).

نحسب الآن المقدار المطلوب: 𞸋+𞸌=(١)+(٩)=١+١٨=٢٨.٢٢٢٢

إذن، 𞸋+𞸌٢٢ يساوي ٨٢.

النقاط الرئيسية

  • معاملات المعادلة التربيعية تتضمن معلومات عن مجموع جذريها وحاصل ضربهما.
  • بالنسبة إلى المعادلات التربيعية على الصورة 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢، إذا كان 𞸎١، 𞸎٢ هما جذريها، فإن: 𞸎+𞸎=𞸁𞸎×𞸎=𞸢.١٢١٢،
  • بالنسبة إلى المعادلات التربيعية العامة 󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢، إذا كان 𞸎١، 𞸎٢ هما جذريها، فإن: 𞸎+𞸎=𞸁󰏡𞸎×𞸎=𞸢󰏡.١٢١٢،
  • عند استنتاج معادلة تربيعية 𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢ من جذريها المعطيين 𞸎١، 𞸎٢، يمكننا استخدام الصيغ المختصرة: 𞸎+𞸎=𞸁𞸎×𞸎=𞸢.١٢١٢،

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.