في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نطبِّق قانون نيوتن الثاني للحركة: ؛ لإيجاد العجلة الناتجة عن القوى المؤثِّرة في اتجاهات مختلفة.
يثبت قانون نيوتن الأول للحركة أن الجسم لا يغير سرعته إلا إذا أثرت عليه قوة محصلة، وأن سرعة الجسم لا بد أن تتغير إذا أثَّرت عليه قوة محصلة. أما قانون نيوتن الثاني للحركة فيوضح مقدار تغير سرعة الجسم عندما تؤثر عليه قوة محصلة.
يخبرنا قانون نيوتن الثاني للحركة أن مقدار تغيُّر سرعة الجسم يعتمد على القوة المؤثِّرة عليه. ولكي يغير الجسم سرعته، لا بد أن يتحرَّك الجسم بعجلة. وعجلة الجسم هي المعدَّل الذي تتغير به سرعة الجسم بمرور الزمن. ينص قانون نيوتن الثاني للحركة على أن عجلة الجسم تتناسب طرديًّا مع القوة المؤثرة على الجسم. يمكن التعبير عن ذلك بالصيغة: حيث هي القوة المؤثِّرة على الجسم و هي عجلة الجسم.
والقوة والعجلة كميتان متجهتان، ومن ثمَّ، فإن عجلة الجسم تكون في اتجاه القوة المؤثِّرة عليه.
وعادة ما يُعبَّر عن قانون نيوتن الثاني للحركة بالصيغة: حيث هو ثابت التناسب بين القوة المؤثرة على الجسم وعجلة الجسم الناتجة. ويسمى ذلك كتلة الجسم. وكلما كانت كتلة الجسم أكبر، كانت القوة اللازمة ليتحرك الجسم بعجلة قوةً أكبر.
ترتبط كتلة الجسم أيضًا بقوة الجاذبية الناتجة عن الجسم، لكن في هذا الشارح، لا يعنينا سوى الكتلة باعتبارها ثابت التناسُب بين القوة والعجلة. وتُسمى هذه بكتلة القصور. وكل «كتلة» مذكورة في هذا الشارح تشير إلى كتلة القصور.
دعونا نتناول مثالًا تؤثر فيه القوة على جسم يغير سرعته.
مثال ١: تحديد القوة المؤثرة على جسم يغير سرعته
تؤثر قوة على جسم كتلته 22 kg. يوضِّح التمثيل البياني التغير في سرعة الجسم عند تأثير هذه القوة عليه. ما مقدار القوة التي تؤثِّر على الجسم؟ أوجد الإجابة لأقرب نيوتن.
الحل
مقدار القوة المؤثرة على الجسم يُعطى بالصيغة: حيث كتلة الجسم، ، تساوي 22 kg والعجلة، ، غير مُعطاة.
عجلة الجسم هي معدل تغير سرعته بمرور الزمن. ويوضح التمثيل البياني المُعطى التغيُّر في سرعة الجسم مُقابل الزمن.
يوضح التمثيل البياني أن سرعة الجسم تتغير من 5 m/s إلى 20 m/s. وعليه، فإن الزيادة في السرعة تساوي:
يوضح التمثيل البياني أن الزمن الذي يستغرقه الجسم لزيادة السرعة هو: 5 ثوانٍ.
عجلة الجسم تعني معدَّل التغير في سرعة الجسم بمرور الزمن، ومن ثمَّ يمكن إيجادها هكذا:
والآن بعد أن أصبح لدينا عجلة الجسم وكتلته، يمكننا إيجاد مقدار القوة المؤثرة عليه كالتالي:
دعونا الآن نرَ مثالًا نستخدم فيه العلاقة بين القوة والعجلة استخدامًا أوضح.
مثال ٢: تحديد القوة المؤثرة على جسيم يتحرك بعجلة
ما مقدار القوة المؤثرة على جسم كتلته 5 kg يتحرك نتيجة هذه القوة بعجلة مقدارها 2 m/s2؟
الحل
القوة المؤثرة على جسم تُعطى بالصيغة: حيث كتلة الجسم، ، تساوي 5 kg والعجلة، ، تساوي: 2 m/s2.
إذن، لدينا:
دعونا نرَ الآن مثالًا آخر نحدد فيه القوة المؤثرة على جسم في الحياة اليومية
مثال ٣: تحديد القوة المؤثرة التي تجعل نظامًا من الأجسام يتحرك بعجلة
متزلج كتلته 50 kg يقف على لوح تزلج كتلته 1.5 kg، بالقرب من جدار مبنى. يقف المتزلج بقدم واحدة على لوح التزلج ويستخدم القدم الأخرى ليدفع نفسه بعيدًا عن الجدار. يتحرك لوح التزلج بعيدًا عن الجدار بعجلة: 4.66 m/s2. ما مقدار القوة التي دفع بها المتزلِّج نفسه عن الجدار؟ قرب إجابتك لأقرب نيوتن.
الحل
القوة المؤثرة على جسم تُعطى بالصيغة: حيث هي كتلة الجسم الذي تؤثر عليه القوة، والعجلة، ، تساوي: 4.66 m/s2.
يقف المتزلج على لوح تزلج. عندما يتحرَّك لوح التزلج بعجلة بعيدًا عن الجدار، فإن هذا يعني أن المتزلِّج يتحرك بعجلة بعيدًا عن الجدار أيضَا وبالمعدل نفسه (غير ذلك كان من المحتمل أن يوضح السؤال أن المتزلج سقط من على لوح التزلُّج مثلًا). إذن، الكتلة التي تتحرك بعجلة هي كتلة لوح التزلُّج والمتزلِّج معًا. وهذه الكتلة تساوي:
يصبح لدينا إذن:
يطلب منا السؤال إيجاد القوة لأقرب نيوتن وهو ما يساوي 240 N.
قانون نيوتن الثاني للحركة، ونعبر عنه بالصيغة: يصف العلاقة بين القوة المؤثرة على جسم، وكتلة هذا الجسم، وعجلته، وعليه، يمكن تحديد أي من هذه الكميات باستخدام صيغة القانون. لإيجاد كتلة أو عجلة جسم باستخدام صيغة قانون نيوتن الثاني للحركة، علينا إعادة ترتيب الصيغة لتصبح الكمية المطلوب تحديدها في طرف بمفردها.
على سبيل المثال، لتحديد عجلة الجسم باستخدام هذه الصيغة، لا بد أن يكون: في طرف بمفرده. ويمكننا فعل ذلك بقسمة الصيغة على :
وفي الطرف الأيمن من المعادلة الناتجة نجد أن لدينا الحد في كل من البسط والمقام:
وبقسمة على يتبقى لدينا واحد: و يساوي: إذن مقدار يُعطى بالصيغة:
دعونا نتناول الآن مثالًا نحدد فيه عجلة الجسم باستخدام قانون نيوتن الثاني للحركة.
مثال ٤: تحديد عجلة جسم تؤثر عليه قوة
جسم كتلته 1.5 kg تؤثر عليه قوة مقدارها 4.5 N. ما العجلة التي يتحرك بها الجسم تحت تأثير هذه القوة؟
الحل
يمكن التعبير عن قانون نيوتن الثاني للحركة بالصيغة: حيث هي القوة المؤثرة على الجسم، و هي كتلة الجسم، و هي العجلة.
لتحديد عجلة الجسم باستخدام هذه الصيغة، يجب أن يكون في طرف بمفرده. ويمكننا جعله كذلك بقسمة الصيغة على :
بالتعويض بالقيمتين المذكورتين في السؤال، نجد أن:
لنتناول الآن مثالًا آخر نحدد فيه كتلة الجسم باستخدام قانون نيوتن الثاني للحركة.
مثال ٥: تحديد كتلة جسم تؤثر عليه قوة
يتحرَّك جسم بعجلة 4 m/s2 بينما تؤثِّر عليه قوة قدرها 20 N. ما كتلة الجسم؟
الحل
يمكن التعبير عن قانون نيوتن الثاني للحركة بالصيغة: حيث هي القوة المؤثِّرة على الجسم، و هي كتلة الجسم، و هي العجلة.
لتحديد كتلة الجسم باستخدام هذه الصيغة، لا بد أن يكون في طرف بمفرده. ويمكننا جعله كذلك بقسمة الصيغة على :
بالتعويض بالقيمتين المذكورتين في السؤال، نجد أن:
هيا نلقِ نظرة الآن على مثال يتضمن تحديد عجلة جسم حقيقي.
مثال ٦: تحديد عجلة جسم تؤثِّر عليه قوة
كرة كتلتها 250 g. رُكِلَت الكرة بقوة مقدارها: 15 N، كما هو موضح بالشكل. ما مقدار عجلة الكرة التي تتحرك في اتجاه الركلة.
الحل
يمكن التعبير عن قانون نيوتن الثاني للحركة بالصيغة: حيث هي القوة المؤثِّرة على الجسم، و هي كتلة الجسم، و هي العجلة.
لتحديد عجلة الجسم باستخدام هذه الصيغة، لا بد أن يكون في طرف بمفرده. ويمكننا جعله كذلك بقسمة الصيغة على: :
كتلة الكرة تساوي 250 جرامًا، ولكن الصيغة: تعطينا القوة، مقيسة بالنيوتن، والتي تؤثِّر على كتلة مقيسة بالكيلوجرام، والمطلوب منها أن تحرك جسمًا بعجلة مقيسة بمتر لكل ثانية مربعة.
القوة المؤثرة على الكرة معطاة بالنيوتن؛ إذن لتحديد عجلة الكرة بالمتر لكل ثانية مربعة، لا بد أن تكون كتلة الكرة معطاة بالكيلوجرام. الكتلة 250 جرامًا تكافئ الكتلة 0.250 كيلوجرام.
عجلة الكرة في اتجاه الركلة تُعطى بالصيغة:
وفي الواقع، لا يعني هذا أن سرعة الكرة بعد ركلها 50 m/s.
سيكون هذا صحيحًا فقط إذا كان حذاء اللاعب سيركل الكرة بقوة متوسطة مقدارُها 15 نيوتن خلال ثانية واحدة بدون قوة أفقية أخرى مؤثِّرة على الكرة أثناء ركلِها.
عند ركل الكرة، يستمر التلامُس بينها وبين القدم التي تركلها لفترة أقل بكثير من ثانية واحدة. والكرة التي تلامس الأرض تؤثر عليها أيضًا قوة الاحتكاك التي تقلل سرعتها، وكذلك مقاومة الهواء التي تفعل الشيء نفسه.
القوة والعجلة كميتان متجهتان؛ وعليه فإن لهما اتجاهًا ومقدارًا. وعندما تؤثر قوة واحدة فقط على جسم ما، فإن اتجاه عجلة الجسم لا بد أن يكون في اتجاه القوة.
ويمكن أن تؤثر قوى متعددة على جسم، وهذه القوى لا تؤثِّر بالضرورة في الاتجاه نفسه. وعجلة الجسم الذي تؤثر عليه قوى متعدِّدة تعتمد على القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم.
دعونا ننظر إلى مثال تؤثِّر فيه قوى متعددة على جسم.
مثال ٧: تحديد كتلة جسم تؤثر عليه قوَّتان
تؤثر قوتان مقدارهما 30 N و55 N على جسم. تؤثِّر القوتان في اتجاهين معاكسين، كما هو موضَّح بالشكل. يتحرك الجسم بعجلة لليسار مقدارها 0.5 m/s2. ما كتلة الجسم؟
الحل
يمكن التعبير عن قانون نيوتن الثاني للحركة بالصيغة: حيث هي القوة المؤثرة على الجسم، و هي كتلة الجسم، و هي العجلة.
في السؤال الذي لدينا، القوة المؤثرة على الجسم هي محصلة قوتين تؤثران في اتجاهين معاكسين: قوة مقدارها 30 N تؤثِّر في اتجاه اليمين وقوة مقدارها 55 N تؤثِّر في اتجاه اليسار.
نعرف أن الجسم يتحرك بعجلة إلى اليسار، وهو نفس اتجاه القوة التي مقدارها 55 N. اتجاه العجلة يكون في اتجاه القوة الأكبر.
إذا افترضنا أن اتجاه اليسار هو الموجب، فإنَّ القوة التي تؤثِّر إلى اليسار لها مقدار موجب، والقوة التي تؤثِّر إلى اليمين لها مقدار سالب.
إذن مقدار القوى المؤثرة على الجسم هو: 55 N و N. ومجموع هذه القوى يُعطى بالصيغة:
والآن بعد أن حددنا القوة، ولكي نحدد كتلة الجسم باستخدام الصيغة: لا بد أن يكون في طرف بمفرده. ويمكننا جعله كذلك بقسمة الصيغة على :
بالتعويض بالقيم المذكورة في السؤال، نجد أن:
هيا نُلقِ نظرةً الآن على مثال يتضمن قوى متعدِّدة تؤثر على أجسام حقيقة.
مثال ٨: تحديد عجلة جسم تؤثِّر عليه قوتان
سبّاحة كتلتها 48 kg تستخدم ساقيها لتدفع نفسها بعيدًا عن جدار المسبح، فتؤثِّر عليه بقوة مقدارها 280 N. المياه التي تتحرك السبَّاحة خلالها بعجلة تؤثر عليها بقوة مقدارها 160 N في الاتِّجاه المضاد لحركتها. ما عجلة السباحة في المياه؟
الحل
يمكن التعبير عن قانون نيوتن الثاني للحركة بالصيغة: حيث هي القوة المؤثِّرة على الجسم، و هي كتلة الجسم، و هي العجلة.
في السؤال الذي لدينا، القوة المؤثرة على الجسم هي محصلة قوتين مؤثرتين في اتجاهين معاكسين: القوة التي مقدارها: 280 N وتؤثر بعيدًا عن جدار المسبح، والقوة التي مقدارها: 160 N وتؤثِّر في اتجاه جدار المسبح.
بافتراض أن الاتِّجاه البعيد عن المسبح هو الموجب، فإن القوة المؤثرة بعيدًا عن جدار المسبح سيكون لها مقدار موجب، والقوة المؤثرة في اتجاه المسبح لها مقدار سالب.
إذن، مقدارا القوتين المؤثرتين على الجسم هما: 280 N و N. ومجموع هذين القوتين يساوي:
والآن بعد أن حددنا مقدار القوة، ولكي نحدد عجلة السبّاحة باستخدام الصيغة: لا بد أن يكون في طرف بمفرده. ويمكننا جعله كذلك بقسمة الصيغة على :
بالتعويض بالقيم المذكورة في السؤال، نجد أن:
من المنطقي أن ساقي السبَّاحة قد تلمسان جدار المسبح ثانية واحدة قبل أن تبتعد قدما السبَّاحة عن جدار المسبح فقط إذا كانت الساقان مثنيتين في البداية وأصبحتا مفرودتين خلال زمن قدره ثانية واحدة. القوة التي تؤثر في الاتجاه المعاكس لاتجاه حركة السبّاحة متضمنة بالفعل في العملية الحسابية، إذن: 2.5 m/s2 في هذه الحالة قد تعني منطقيًّا أن سرعة السبَّاحة تساوي 2.5 m/s في اللحظة التي تبتعد فيها ساقاها عن جدار المسبح.
ولكنها لن تحتفظ بهذه السرعة؛ لأن مقاومة الماء ستستمر في التأثير عليها، وإذا لم تعُد ساقاها تلمُس جدار المسبح، ستكون القوة الوحيدة المؤثرة عليها هي المقاومة؛ ومن ثَمَّ ستقل سرعتها.
هيا نلخِّص الآن ما تعلمناه في هذه الأمثلة.
النقاط الرئيسية
- عجلة الجسم الذي تؤثر عليه قوة تتناسب طرديًّا مع القوة المؤثرة على الجسم وكتلة الجسم. يمكن التعبير عن هذه العلاقة بالصيغة: حيث هي القوة المؤثِّرة على الجسم، و هي كتلة الجسم، و هي عجلة الجسم.
- الصيغة: يمكن إعادة ترتيبها لإيجاد كتلة الجسم أو عجلته.
- عندما تؤثِّر قوى متعددة على جسم، فإن عجلة الجسم تتناسب طرديًّا مع محصِّلة هذه القوى.
