شارح الدرس: إشارة الدالة الرياضيات

مثال ١: تحديد إشارة دالة ثابتة

في أيِّ الفترات التالية تكون الدالة سالبة؟

الحل

تذكَّر أن إشارة الدالة يمكن أن تكون موجبة أو سالبة، أو أن الدالة نفسها مساوية لصفر. تكون الدالة موجبة على الفترة التي يقع فيها تمثيلها البياني أعلى المحور على المستوى الإحداثي، وتكون سالبة على الفترة التي يقع فيها تمثيلها البياني أسفل المحور ، وتكون مساوية لصفر عند النقاط التي يقطع فيها التمثيل البياني المحور .

لمساعدتنا في تحديد الفترة التي تكون فيها الدالة سالبة، لنبدأ بتمثيل بيانيًّا على مستوًى إحداثي. تذكَّر أن الدالة التي تكون على الصورة ؛ حيث عدد ثابت، تُمثَّل بيانيًّا بخط أفقي. وذلك لأنه بغضِّ النظر عن قيمة المدخَلة في الدالة، فإننا سنحصل دائمًا على القيمة المخرَجة نفسها. في هذه الحالة، ستكون القيمة المخرَجة دائمًا ، لذا سيكون التمثيل البياني على النحو التالي:

يمكننا ملاحظة أن التمثيل البياني يقع بالكامل أسفل المحور ، وأنه عند التعويض عن بأيِّ عدد حقيقي في الدالة؛ فإن ذلك سيعطينا دائمًا . هذا يعني أن التمثيل البياني لن يتقاطع مع المحور أبدًا أو يقع أعلاه. بعبارة أخرى، لن تكون إشارة الدالة موجبة أو مساوية لصفر أبدًا، وعليه فإنها ستكون سالبة دائمًا. ومن ثَمَّ، تكون الدالة سالبة على الفترة .

مثال ٢: تحديد إشارة دالة خطية على فترات مختلفة

عيِّن إشارة الدالة .

الحل

تذكَّر أن إشارة الدالة هي وصف يشير إلى ما إذا كانت الدالة موجبة أم سالبة أم مساوية لصفر. يمكننا تحديد إشارة الدالة بيانيًّا. نحن نعلم أن إشارة الدالة تكون موجبة على الفترة التي يقع فيها التمثيل أعلى المحور ، ومساوية لصفر عند النقاط التي يقطع عندها التمثيل البياني للدالة المحور ، وسالبة على الفترة التي يقع فيها التمثيل البياني أسفل المحور .

أولًا، دعونا نحدِّد الجزء المقطوع من المحور في التمثيل البياني للدالة من خلال التعويض عن بصفر، وحلِّ المعادلة لإيجاد قيمة :

يخبرنا هذا أن التمثيل البياني يتقاطع مع المحور عند النقطة . ومن خلال قاعدة تعريف الدالة، يمكننا أيضًا تحديد أن قيمة الجزء المقطوع من المحور في التمثيل البياني تساوي ٥، إذن برسم خط مستقيم يمرُّ بالنقطة والنقطة ؛ يمكننا تمثيل بيانيًّا كما هو موضَّح:

يمكننا أن نرى أن التمثيل البياني يقع أعلى المحور لجميع قيم الأصغر من ١ التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية؛ وذلك لأن التمثيل البياني يتقاطع مع المحور عند القيمة ١، وأن التمثيل البياني يقع أسفل المحور لجميع قيم الأكبر من ١ التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. وبذلك، يمكننا استنتاج أن الدالة تكون موجبة عند ، وتكون سالبة عند ، وتساوي صفرًا عند .

ملاحظة:

من خلال التعويض بقيم في هذه الدالة وملاحظة إشارات القيم المخرَجة الناتجة، ربما يمكننا اكتشاف الأخطاء الممكنة. هيا نعوِّض ببعض قيم الأصغر من ١، وبعض القيم الأكبر من ١، والقيمة ١ نفسها:

لاحظ أن القيم المدخَلة الأصغر من ١ تنتج عنها قيم مخرَجة أكبر من صفر، والقيم المدخَلة الأكبر من ١ تنتج عنها قيم مخرَجة أصغر من صفر. والتعويض بالقيمة ١ نفسها تنتج عنه القيمة صفر. وهذا يتوافق مع ما نتوقَّعه.

مثال ٣: تحديد إشارة دالة تربيعية على فترات مختلفة

حدِّد إشارة الدالة .

الحل

في هذه المسألة، لدينا الدالة التربيعية . نحن نعلم أنه لقيم ؛ حيث ، تكون إشارة الدالة موجبة، ولقيم ؛ حيث ، تكون إشارة الدالة سالبة، ولقيم ؛ حيث ، تكون الدالة مساوية لصفر. لنبدأ بإيجاد قيم التي تجعل الدالة مساوية لصفر عند التعويض بها. عند جعل تساوي ٠، نحصل على:

لحلِّ هذه المعادلة لإيجاد قيمة ، علينا التحقُّق من إمكانية تحليل الطرف الأيمن من المعادلة إلى زوج من ذوات الحدين. إذا أمكن، فإننا نعلم أن الحد الأول في كلٍّ من العاملَين سيكون ؛ وذلك لأن حاصل ضرب كلٍّ من ، يساوي . ونعرف أيضًا أن الحدين الثانيين لا بد أن يكون حاصل ضربهما ١٦، ومجموعهما ١٠. بما أن ، و؛ يمكننا تحليل الطرف الأيمن لنحصل على:

بما أن حاصل ضرب العاملَين يساوي ٠، فلا بد أن تساوي قيمة أحدهما ٠. وهو ما يعني أنه إما أنَّ أو . يمكننا حلُّ المعادلة الأولى لإيجاد قيمة بطرح ثمانية من الطرفين، وحلُّ المعادلة الثانية بطرح اثنين من كِلا الطرفين. وهذا يخبرنا بأنه إما أنَّ أو . بعبارة أخرى، صفرَا الدالة هما و.

يمكننا تحديد إشارة دالةٍ من تمثيلها البياني، لذا دعونا نمثِّل بيانيًّا. بما أن معامل الحد موجب، فإننا نعلم أن التمثيل البياني عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأعلى. لقد أوضحنا أن الجزأين المقطوعين من المحور هما و، وبما أن: فإننا نعرف أن الجزء المقطوع من المحور يساوي ١٦. وبذلك، يجب أن يظهر التمثيل البياني على النحو التالي:

يمكننا أن نرى أن التمثيل البياني يقع أعلى المحور لجميع قيم الأصغر من ، وأيضًا للقيم الأكبر من ، ويتقاطع مع المحور عند و، ويقع أسفل المحور لجميع قيم التي تقع بين و. هذا يعني أن الدالة تكون موجبة عند ، ، وتكون سالبة عند ، وتساوي صفرًا عند ، . باستخدام رمز المجموعة، يمكننا القول إن الدالة تكون موجبة عند ، وسالبة عند ، وتساوي صفرًا عند .

مثال ٤: تحديد فترة تشترك فيها دالة خطية ودالة تربيعية في الإشارة نفسها

ما قيم التي تكون عندها الدالة ، والدالة موجبتين؟

الحل

في هذه المسألة، المطلوب منَّا هو إيجاد قيم التي تكون عندها الدالتان موجبتين. تذكَّر أن الإشارة الموجبة هي إحدى الإشارات المحتمَلة للدالة. في البداية، لننظر إلى الدالة . نحن نعلم أنها موجبة لأيِّ قيمة لـ ؛ حيث ، لذا يمكننا كتابة ذلك على صورة المتباينة:

إضافة ٥ إلى كِلا الطرفين تعطينا ، وهو ما يمكن كتابته على صورة الفترة . وهو ما يعني أن الدالة موجبة لجميع قيم التي تكون أكبر من خمسة.

والآن لنلقِ نظرة على الدالة . أولًا، سنحدِّد القيم التي تكون عندها الدالة مساوية لصفر. سنفعل ذلك بجعل تساوي ٠، وهو ما يعطينا المعادلة:

علينا الآن التحقُّق لمعرفة ما إذا كان يمكننا تحليل الطرف الأيمن من هذه المعادلة إلى زوج من ذوات الحدين لحلِّ المعادلة وإيجاد قيمة . بما أن حاصل ضرب ، يساوي ؛ فإننا نعلم أنه إذا أمكن التحليل فسيكون الحد الأول في كلِّ عامل هو . ونعلم أيضًا أن حاصل ضرب الحدين الثانيين يساوي ، ومجموعهما يساوي اثنين. وبما أن ، و؛ يمكننا إذن تحليل الطرف الأيمن لنحصل على:

حاصل ضرب هذين العاملَين يساوي صفرًا، ولذلك يجب أن تكون قيمة أحد العاملَين مساوية لصفر. وهو ما يعني أنه إما أَنَّ أو . يمكننا حلُّ المعادلة الأولى بإضافة ٦ إلى كِلا الطرفين، ويمكننا حلُّ المعادلة الثانية بطرح ٨ من كِلا الطرفين. وهذا يخبرنا بأنه أيضًا إما أَنَّ أو ، إذن صفرَا الدالة هما ٦ و.

يمكننا إيجاد إشارة دالة بيانيًّا، لذا دعونا نمثِّل بيانيًّا. معامل الحد موجب، ولهذا نعلم أن التمثيل البياني عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأعلى. لقد أثبتنا بالفعل أن الجزأين المقطوعين من المحور على التمثيل البياني هما ٦ و، وبما أن: فإننا نعلم أن الجزء المقطوع من المحور يساوي . ومن ثَمَّ، يجب أن يكون التمثيل البياني مشابهًا للتمثيل البياني التالي:

يمكننا أن نرى أن التمثيل البياني يقع أعلى المحور لجميع قيم التي تكون أصغر من ، وكذلك للقيم الأكبر من ٦؛ لذا تكون الدالة موجبة عند ، وعند أيضًا. باستخدام رمز الفترة، يمكن كتابة ذلك على الصورة .

والآن بعد أن عرفنا أن الدالة تكون موجبة عند ، وأن الدالة تكون موجبة عند أو ؛ يمكننا إيجاد قيم التي تكون عندها الدالتان موجبتين. بما أن أيَّ قيمة لـ أصغر من ليست أكبر من ٥ أيضًا، يمكننا تجاهل الفترة وتحديد فقط قيم التي تكون أكبر من ٥ وأكبر من ٦. قيم التي تكون أكبر من العددين ٥ و٦ هي نفسها القيم الأكبر من ستة؛ لذا نعرف أن قيم التي تكون عندها الدالتان ، موجبتين هي القيم التي تحقِّق المتباينة .

مثال ٥: تحديد فترة تشترك فيها دالتان تربيعيتان في الإشارة نفسها

أوجد الفترة التي فيها إشارتَا الدالتين ، سالبتان معًا في .

الحل

في هذه المسألة، المطلوب منَّا هو إيجاد الفترة التي تكون فيها إشارتَا كلتا الدالتين سالبتين. تذكَّر أن إشارة الدالة تكون سالبة على فترةٍ ما إذا كانت قيمة الدالة أصغر من صفر على هذه الفترة.

يمكننا تحديد إشارة أي دالة بيانيًّا، ولرسم التمثيل البياني لدالة تربيعية علينا تحديد الأجزاء المقطوعة من المحور في التمثيل البياني. أولًا، لننظر إلى الدالة . لإيجاد الأجزاء المقطوعة من المحور في التمثيل البياني لهذه الدالة، يمكننا البدء بجعل الدالة تساوي صفرًا. هذا يعطينا المعادلة:

لحلِّ هذه المعادلة لإيجاد ، علينا التأكُّد من أنه يمكننا تحليل الطرف الأيمن إلى زوج من ذوات الحدين. إذا تمكَّنا من ذلك، فإننا نعلم أن الحدين الأولين سيكونان ، ؛ وذلك لأننا نعلم أن حاصل ضرب ، يساوي . ونعلم أيضًا أن حاصل ضرب الحدين الثانيين لا بد أن يساوي . وبما أن ، فيمكننا أن نحاول تحليل الطرف الأيمن إلى ، وبذلك نحصل على المعادلة:

بما أن حاصل ضرب ، يساوي ؛ فإننا نعلم أننا قد حلَّلنا تحليلًا صحيحًا. يمكننا أن نلاحظ أن حاصل ضرب العاملَين يساوي صفرًا، ومن ثَمَّ لا بد أن تساوي قيمة أحد العاملَين صفرًا. هذا يعني أنه إما أنَّ أو . بحلِّ هاتين المعادلتين لإيجاد ، نحصل على: كما نحصل على:

وهذا يخبرنا بأنه إما أنَّ أو ؛ لذا فإن صفري الدالة هما و٦.

هيا نمثِّل بيانيًّا. بما أن معامل الحد موجب، نعلم أن التمثيل البياني عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأعلى. لقد أوضحنا أن الجزأين المقطوعين من المحور هما و٦، وبما أن: فإننا نعلم أن الجزء المقطوع من المحور يساوي . وبذلك، يجب أن يظهر التمثيل البياني كما يلي تقريبًا:

يمكننا أن نرى أن التمثيل البياني يقع أسفل المحور لجميع قيم التي تكون أكبر من وأصغر من ٦. هذا يعني أن الدالة سالبة عندما تقع قيمة بين و٦. باستخدام رمز الفترة، يمكن كتابة ذلك على الصورة .

بعد ذلك، لننظر إلى الدالة . بجعل تساوي صفرًا، فإننا نحصل على المعادلة:

لحلِّ هذه المعادلة لإيجاد ، علينا مرة أخرى التحقُّق لمعرفة ما إذا كان يمكننا تحليل الطرف الأيمن إلى زوج من ذوات الحدين. إذا أمكن ذلك، فإننا نعلم أن الحد الأول في كلٍّ من العاملَين سيكون ؛ وذلك لأن حاصل ضرب ، يساوي . ونعلم أيضًا أن حاصل ضرب الحدين الثانيين لا بد أن يساوي ، ومجموعهما لا بد أن يساوي . بما أن ، وبما أن ؛ يمكننا تحليل الطرف الأيمن، وبذلك نحصل على:

بما أن حاصل ضرب العاملَين يساوي صفرًا، فلا بد أن قيمة أحد هذين العاملين تساوي صفرًا. وهو ما يعني أنه إما أن أو ، وبحلِّ هاتين المعادلتين لإيجاد قيمة نحصل على: كما نحصل على:

يمكننا الآن تمثيل بيانيًا. بما أن معامل الحد موجب، لذا فإننا نعلم أن التمثيل البياني عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأعلى. لقد أثبتنا بالفعل أن الجزأين المقطوعين من المحور في التمثيل البياني للدالة هما ٥ و، وبما أن: فإننا نعلم أن الجزء المقطوع من المحور يساوي . وبذلك، يجب أن يكون التمثيل البياني على النحو الآتي:

هذه المرة، يمكننا أن نلاحظ أن التمثيل البياني يقع أسفل المحور لجميع قيم التي تكون أكبر من وأصغر من ٥؛ إذن الدالة تكون سالبة عند ، . باستخدام رمز الفترة، يمكن كتابة ذلك على الصورة .

والآن بعد أن عرفنا أن تكون سالبة عندما تقع قيمة في الفترة ، وأن تكون سالبة عندما تقع قيمة في الفترة ؛ يمكننا تحديد الفترة التي تكون فيها كلتا الدالتين سالبتين. بما أن الفترة تقع بالكامل ضمن الفترة أو الفترة ، فجميع قيم التي تقع ضمن الفترة ستكون أيضًا ضمن الفترة .

وبذلك نكون قد عرفنا أن قيم التي تكون عندها الدالتان ، سالبتين تقع ضمن الفترة .

ملاحظة:

يمكن تمثيل ذلك بيانيًّا من خلال رسم ، في المستوى الإحداثي نفسه كما هو موضَّح.