تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: إشارة الدالة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحدِّد إشارة الدالة من معادلتها أو التمثيل البياني لها.

تعريف: إشارة الدالة

إشارة الدالة هي وصف يشير إلى ما إذا كانت الدالة موجبة أم سالبة أم مساوية لصفر. لأي دالة 󰎨(𞸎) على الفترة 𞸐:

  • تكون إشارة الدالة موجبة إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠ لكلِّ قيم 𞸎 على الفترة 𞸐.
  • وتكون إشارة الدالة سالبة إذا كانت 󰎨(𞸎)<٠ لكلِّ قيم 𞸎 على الفترة 𞸐.

وتكون الدالة 󰎨(𞸎) مساوية لصفر لكلِّ قيم 𞸎 التي تكون عندها الدالة 󰎨(𞸎)=٠. وبما أن العدد صفر ليس موجبًا ولا سالبًا، فإن الدالة 󰎨(𞸎) تساوي صفرًا عندما تكون إشارة 󰎨(𞸎) ليست موجبة ولا سالبة.

لننظر الآن إلى ثلاثة أنواع من الدوالِّ. النوع الأول هو الدالة الثابتة التي تكون على الصورة 𞸑=󰏡؛ حيث 󰏡 عدد حقيقي. النوع الثاني هو الدالة الخطية التي تكون على الصورة 𞸑=𞸌𞸎+𞸁؛ حيث 𞸌، 𞸁 عددان حقيقيان، 𞸌 يمثِّل ميل الدالة، 𞸁 يمثِّل الجزء المقطوع من المحور 𞸑. النوع الثالث هو الدالة التربيعية التي تكون على الصورة 𞸑=󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢٢؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 أعداد حقيقية، 󰏡 لا يساوي صفرًا. فيما يلي أمثلة على كلِّ نوع من أنواع هذه الدوالِّ، وتمثيلاتها البيانية.

يمكننا تحديد إشارة كلِّ دالة من هذه الدوالِّ، أو إشاراتها إن كان لها أكثر من إشارة على فترات مختلفة، عن طريق تحليل التمثيلات البيانية لهذه الدوالِّ.

خاصية: العلاقة بين إشارة الدالة وتمثيلها البياني

  • عندما يقع التمثيل البياني للدالة أعلى المحور 𞸎، تكون إشارة الدالة موجبة.
  • عندما يقع التمثيل البياني للدالة أسفل المحور 𞸎، تكون إشارة الدالة سالبة.
  • عند النقاط التي يقطع عندها التمثيل البياني للدالة المحور 𞸎، تكون الدالة مساوية لصفر.

يمكننا ملاحظة أن التمثيل البياني للدالة الثابتة يقع بالكامل أعلى المحور 𞸎، كما أن الأسهم توضِّح لنا أنه يمتدُّ إلى ما لا نهاية على اليمين واليسار. هذا يعني أنه لن يتقاطع أبدًا مع المحور 𞸎 أو يقع أسفله. وبذلك، نقول إن هذه الدالة موجبة لجميع قيم 𞸎 التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية.

بعد ذلك، نلاحظ أن التمثيل البياني للدالة الخطية يقع أسفل المحور 𞸎 لبعض قيم 𞸎 وأعلى المحور 𞸎 للقيم الأخرى. كما نلاحظ أنه يتقاطع مع المحور 𞸎 مرة واحدة. لتحديد قيم 𞸎 التي تكون عندها الدالة موجبة وسالبة ومساوية لصفر، يمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور س في التمثيل البياني بالتعويض عن 𞸑 بصفر، وحلِّ المعادلة لإيجاد قيمة 𞸎 على النحو التالي: ٠=٣𞸎١١=٣𞸎𞸎=١٣.

بما أن التمثيل البياني يتقاطع مع المحور 𞸎 عند 𞸎=١٣، فإننا نعرف أن هذه الدالة موجبة لجميع قيم 𞸎 التي تنتمي إلى الأعداد الحقيقية؛ حيث 𞸎>١٣، وسالبة لجميع قيم 𞸎 التي تنتمي إلى الأعداد الحقيقية؛ حيث 𞸎<١٣. كما نعلم أن الدالة تساوي صفرًا عند 𞸎=١٣.

وأخيرًا، نرى أن التمثيل البياني للدالة التربيعية يقع أسفل المحور 𞸎 لبعض قيم 𞸎، ويقع أعلى المحور 𞸎 للقيم الأخرى. كما نلاحظ أن التمثيل البياني يقطع المحور 𞸎 مرتين، عند كلٍّ من 𞸎=٢، 𞸎=٣، وأن للدالة جذرين حقيقيين مختلفين. وعليه، نعرف أن إشارة الدالة تكون موجبة لجميع قيم 𞸎 التي تنتمي إلى الأعداد الحقيقية؛ حيث 𞸎<٢ أو 𞸎>٣، وأن إشارتها سالبة لجميع قيم 𞸎 التي تنتمي إلى الأعداد الحقيقية؛ حيث ٢<𞸎<٣. كما نعلم أن الدالة تساوي صفرًا عند 𞸎=٢، 𞸎=٣.

خواصُّ: إشارات الدوالِّ الثابتة والخطية والتربيعية

  • الدالة الثابتة التي تكون على الصورة 𞸑=󰏡، يمكن أن تكون إما موجبة أو سالبة أو مساوية لصفر. ولا تكون لها إشارات مختلفة خلال فترات مختلفة.
  • الدالة الخطية التي تكون على الصورة 𞸑=𞸌𞸎+𞸁، تكون دائمًا موجبة وسالبة ومساوية لصفر لقيم 𞸎 المختلفة عندما لا يساوي 𞸌 صفرًا.
    • عند 𞸎<𞸁𞸌، فإن إشارة الدالة تكون عكس إشارة 𞸌.
    • عند 𞸎>𞸁𞸌، فإن إشارة الدالة تكون هي نفسها إشارة 𞸌.
    • عند 𞸎=𞸁𞸌، فإن الدالة تساوي صفرًا.
  • الدالة التربيعية التي تكون على الصورة 𞸑=󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢٢، والتي لها جذران حقيقيان مختلفان، تكون دائمًا موجبة وسالبة ومساوية لصفر لقيم 𞸎 المختلفة.
    • عندما تكون قيمة 𞸎 أصغر من الجذر الأصغر أو أكبر من الجذر الأكبر، فإن إشارة الدالة تكون هي نفسها إشارة 󰏡.
    • عندما تقع قيمة 𞸎 بين الجذرين، فإن إشارة الدلة تكون عكس إشارة 󰏡.
    • عند الجذرين، تكون الدالة مساوية لصفر.

لنلقِ الآن نظرة على بعض الأمثلة لأنواع الدوالِّ هذه، وكيفية تحديد إشاراتها عن طريق تمثيلها بيانيًّا.

مثال ١: تحديد إشارة دالة ثابتة

في أيِّ الفترات التالية تكون الدالة 󰎨(𞸎)=٨ سالبة؟

  1. ]٨،٨[
  2. ]،[
  3. ]،٨[
  4. ]٨،[
  5. ]٨،[

الحل

تذكَّر أن إشارة الدالة يمكن أن تكون موجبة أو سالبة، أو أن الدالة نفسها مساوية لصفر. تكون الدالة موجبة على الفترة التي يقع فيها تمثيلها البياني أعلى المحور 𞸎 على المستوى الإحداثي، وتكون سالبة على الفترة التي يقع فيها تمثيلها البياني أسفل المحور 𞸎، وتكون مساوية لصفر عند النقاط التي يقطع فيها التمثيل البياني المحور 𞸎.

لمساعدتنا في تحديد الفترة التي تكون فيها الدالة 󰎨(𞸎)=٨ سالبة، لنبدأ بتمثيل 𞸑=󰎨(𞸎) بيانيًّا على مستوًى إحداثي. تذكَّر أن الدالة التي تكون على الصورة 󰎨(𞸎)=󰏡؛ حيث 󰏡 عدد ثابت، تُمثَّل بيانيًّا بخط أفقي. وذلك لأنه بغضِّ النظر عن قيمة 𞸎 المدخَلة في الدالة، فإننا سنحصل دائمًا على القيمة المخرَجة نفسها. في هذه الحالة، ستكون القيمة المخرَجة دائمًا ٨، لذا سيكون التمثيل البياني على النحو التالي:

يمكننا ملاحظة أن التمثيل البياني يقع بالكامل أسفل المحور 𞸎، وأنه عند التعويض عن 𞸎 بأيِّ عدد حقيقي في الدالة؛ فإن ذلك سيعطينا دائمًا ٨. هذا يعني أن التمثيل البياني لن يتقاطع مع المحور 𞸎 أبدًا أو يقع أعلاه. بعبارة أخرى، لن تكون إشارة الدالة موجبة أو مساوية لصفر أبدًا، وعليه فإنها ستكون سالبة دائمًا. ومن ثَمَّ، تكون الدالة 󰎨(𞸎)=٨ سالبة على الفترة ]،[.

في المسألة التالية، سنتعلَّم كيف نحدِّد إشارة دالة خطية.

مثال ٢: تحديد إشارة دالة خطية على فترات مختلفة

عيِّن إشارة الدالة 󰎨(𞸎)=٥𞸎+٥.

الحل

تذكَّر أن إشارة الدالة هي وصف يشير إلى ما إذا كانت الدالة موجبة أم سالبة أم مساوية لصفر. يمكننا تحديد إشارة الدالة بيانيًّا. نحن نعلم أن إشارة الدالة تكون موجبة على الفترة التي يقع فيها التمثيل أعلى المحور 𞸎، ومساوية لصفر عند النقاط التي يقطع عندها التمثيل البياني للدالة المحور 𞸎، وسالبة على الفترة التي يقع فيها التمثيل البياني أسفل المحور 𞸎.

أولًا، دعونا نحدِّد الجزء المقطوع من المحور 𞸎 في التمثيل البياني للدالة من خلال التعويض عن 󰎨(𞸎) بصفر، وحلِّ المعادلة لإيجاد قيمة 𞸎: ٠=٥𞸎+٥٥=٥𞸎𞸎=١.

يخبرنا هذا أن التمثيل البياني يتقاطع مع المحور 𞸎 عند النقطة (١،٠). ومن خلال قاعدة تعريف الدالة، يمكننا أيضًا تحديد أن قيمة الجزء المقطوع من المحور 𞸑 في التمثيل البياني تساوي ٥، إذن برسم خط مستقيم يمرُّ بالنقطة (١،٠) والنقطة (٠،٥)؛ يمكننا تمثيل 𞸑=󰎨(𞸎) بيانيًّا كما هو موضَّح:

يمكننا أن نرى أن التمثيل البياني يقع أعلى المحور 𞸎 لجميع قيم 𞸎 الأصغر من ١ التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية؛ وذلك لأن التمثيل البياني يتقاطع مع المحور 𞸎 عند القيمة ١، وأن التمثيل البياني يقع أسفل المحور 𞸎 لجميع قيم 𞸎 الأكبر من ١ التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. وبذلك، يمكننا استنتاج أن الدالة تكون موجبة عند 𞸎<١، وتكون سالبة عند 𞸎>١، وتساوي صفرًا عند 𞸎=١.

ملاحظة:

من خلال التعويض بقيم 𞸎 في هذه الدالة وملاحظة إشارات القيم المخرَجة الناتجة، ربما يمكننا اكتشاف الأخطاء الممكنة. هيا نعوِّض ببعض قيم 𞸎 الأصغر من ١، وبعض القيم الأكبر من ١، والقيمة ١ نفسها:

  • 󰎨(٥)=٥(٥)+٥=٥٢+٥=٠٣،
  • 󰎨(٣)=٥(٣)+٥=٥١+٥=٠٢،
  • 󰎨(١)=٥(١)+٥=٥+٥=٠،
  • 󰎨(٢)=٥(٢)+٥=٠١+٥=٥،
  • 󰎨(٣)=٥(٣)+٥=٥١+٥=٠١.

لاحظ أن القيم المدخَلة الأصغر من ١ تنتج عنها قيم مخرَجة أكبر من صفر، والقيم المدخَلة الأكبر من ١ تنتج عنها قيم مخرَجة أصغر من صفر. والتعويض بالقيمة ١ نفسها تنتج عنه القيمة صفر. وهذا يتوافق مع ما نتوقَّعه.

لاحظ أنه في المسألة التي انتهينا من حلِّها للتوِّ، كانت الدالة 󰎨(𞸎)=٥𞸎+٥ على الصورة 󰎨(𞸎)=𞸌𞸎+𞸁. تذكَّر أنه يمكن تحديد إشارة الدالة الخطية التي تكون على هذه الصورة جبريًّا أيضًا.

  • عند 𞸎<𞸁𞸌، تكون إشارة الدالة عكس إشارة 𞸌.
  • عند 𞸎>𞸁𞸌، تكون إشارة الدالة هي نفسها إشارة 𞸌.
  • عند 𞸎=𞸁𞸌، تكون الدالة مساوية لصفر.

في هذه الحالة؛ 𞸌=٥، 𞸁=٥، لذا فإن قيمة 𞸁𞸌 تساوي 󰂔٥٥󰂓 أو ١. إذن، بما أن إشارة 𞸌 سالبة، فإننا نعرف أن الدالة تكون موجبة عند 𞸎<١، وتكون سالبة عند 𞸎>١، وتساوي صفرًا عند 𞸎=١. هذه هي الإجابة نفسها التي حصلنا عليها عند تمثيل الدالة بيانيًّا.

في المثال التالي، سنرسم دالة تربيعية بيانيًّا لمساعدتنا في تحديد إشارتها على فترات مختلفة.

مثال ٣: تحديد إشارة دالة تربيعية على فترات مختلفة

حدِّد إشارة الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+٠١𞸎+٦١٢.

الحل

في هذه المسألة، لدينا الدالة التربيعية 󰎨(𞸎)=𞸎+٠١𞸎+٦١٢. نحن نعلم أنه لقيم 𞸎؛ حيث 󰎨(𞸎)>٠، تكون إشارة الدالة موجبة، ولقيم 𞸎؛ حيث 󰎨(𞸎)<٠، تكون إشارة الدالة سالبة، ولقيم 𞸎؛ حيث 󰎨(𞸎)=٠، تكون الدالة مساوية لصفر. لنبدأ بإيجاد قيم 𞸎 التي تجعل الدالة 󰎨(𞸎) مساوية لصفر عند التعويض بها. عند جعل 󰎨(𞸎) تساوي ٠، نحصل على: 𞸎+٠١𞸎+٦١=٠.٢

لحلِّ هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𞸎، علينا التحقُّق من إمكانية تحليل الطرف الأيمن من المعادلة إلى زوج من ذوات الحدين. إذا أمكن، فإننا نعلم أن الحد الأول في كلٍّ من العاملَين سيكون 𞸎؛ وذلك لأن حاصل ضرب كلٍّ من 𞸎، 𞸎 يساوي 𞸎٢. ونعرف أيضًا أن الحدين الثانيين لا بد أن يكون حاصل ضربهما ١٦، ومجموعهما ١٠. بما أن ٨×٢=٦١، و٨+٢=٠١؛ يمكننا تحليل الطرف الأيمن لنحصل على: (𞸎+٨)(𞸎+٢)=٠.

بما أن حاصل ضرب العاملَين يساوي ٠، فلا بد أن تساوي قيمة أحدهما ٠. وهو ما يعني أنه إما أنَّ 𞸎+٨=٠ أو 𞸎+٢=٠. يمكننا حلُّ المعادلة الأولى لإيجاد قيمة 𞸎 بطرح ثمانية من الطرفين، وحلُّ المعادلة الثانية بطرح اثنين من كِلا الطرفين. وهذا يخبرنا بأنه إما أنَّ 𞸎=٨ أو 𞸎=٢. بعبارة أخرى، صفرَا الدالة هما ٨ و٢.

يمكننا تحديد إشارة دالةٍ من تمثيلها البياني، لذا دعونا نمثِّل 𞸑=󰎨(𞸎) بيانيًّا. بما أن معامل الحد 𞸎٢ موجب، فإننا نعلم أن التمثيل البياني عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأعلى. لقد أوضحنا أن الجزأين المقطوعين من المحور 𞸎 هما ٨ و٢، وبما أن: 󰎨(٠)=٠+٠١(٠)+٦١=٠+٠+٦١=٦١،٢ فإننا نعرف أن الجزء المقطوع من المحور 𞸑 يساوي ١٦. وبذلك، يجب أن يظهر التمثيل البياني على النحو التالي:

يمكننا أن نرى أن التمثيل البياني يقع أعلى المحور 𞸎 لجميع قيم 𞸎 الأصغر من ٨، وأيضًا للقيم الأكبر من ٢، ويتقاطع مع المحور 𞸎 عند ٨ و٢، ويقع أسفل المحور 𞸎 لجميع قيم 𞸎 التي تقع بين ٨ و٢. هذا يعني أن الدالة تكون موجبة عند 𞸎<٨، 𞸎>٢، وتكون سالبة عند ٨<𞸎<٢، وتساوي صفرًا عند 𞸎=٨، 𞸎=٢. باستخدام رمز المجموعة، يمكننا القول إن الدالة تكون موجبة عند 𞸎𞹇[٨،٢]، وسالبة عند 𞸎]٨،٢[، وتساوي صفرًا عند 𞸎{٨،٢}.

لاحظ أن الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+٠١𞸎+٦١٢ في المسألة التي قمنا بحلِّها كانت على الصورة 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢٢، ولها جذران مختلفان. تذكَّر أنه يمكننا أيضًا تحديد إشارة هذه الدالة التربيعية جبريًّا.

  • عندما يكون 𞸎 أصغر من الجذر الأصغر أو أكبر من الجذر الأكبر، فإن إشارة الدالة تكون هي نفسها إشارة 󰏡.
  • عندما تقع قيمة 𞸎 بين الجذرين، فإن إشارة الدالة تكون عكس إشارة 󰏡.
  • عند الجذرين، تساوي الدالة صفرًا.

في هذه الحالة، 󰏡=١، وجذرَا الدالة هما 𞸎=٨، 𞸎=٢. بما أن إشارة 󰏡 موجبة، فإننا نعلم أن الدالة تكون موجبة عند 𞸎<٨، 𞸎>٢، وتكون سالبة عند ٨<𞸎<٢، وتساوي صفرًا عند 𞸎=٨، 𞸎=٢. هذه هي الإجابة نفسها التي حصلنا عليها عند تمثيل الدالة بيانيًّا.

لاحظ أيضًا أننا قد تمكَّنا، في المسألة التي توصَّلنا إلى حلِّها للتوِّ، من تحليل الطرف الأيمن من المعادلة 𞸎+٠١𞸎+٦١=٠٢. وبهذا، استطعنا تحديد أن للدالة التربيعية المناظرة جذرين حقيقيين مختلفين. ومع ذلك، لا يكون هذا صحيحًا دائمًا.

لنتناول الدالة التربيعية 𞸓(𞸎)=٢𞸎𞸎+٣٢. بجَعْل 𞸓(𞸎) تساوي صفرًا، نحصل على ٢𞸎𞸎+٣=٠٢، لكن لا توجد طريقة واضحة لتحليل الطرف الأيمن من المعادلة. يمكننا إثبات أنه لا يمكن تحليل الطرف الأيمن من خلال إيجاد مميِّز المعادلة. لأيِّ معادلة تربيعية على الصورة 󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢=٠٢، فإن ا يساوي 𞸁٤󰏡𞸢٢. ومن ثَمَّ، فإن مميِّز المعادلة ٢𞸎𞸎+٣=٠٢ يساوي: ا=(١)٤(٢)(٣)=١٤٢=٣٢.٢

وبما أن المميِّز سالب، فإننا نعرف أن المعادلة ليست لها حلول حقيقية، ومن ثَمَّ فإن الدالة ليست لها جذور حقيقية. بما أن المعامل الرئيسي للدالة موجب، فإننا نعرف أيضًا أن التمثيل البياني للدالة عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأعلى، ولذلك سيبدو التمثيل البياني كما يلي تقريبًا:

وبما أن التمثيل البياني يقع فوق المحور 𞸎، فإن الدالة تكون موجبة لجميع قيم 𞸎 الحقيقية.

خاصية: العلاقة بين مميِّز معادلة تربيعية وإشارة الدالة التربيعية المناظرة د (س) = أس٢ + ب س + جـ‎

  • عندما يكون مميِّز المعادلة التربيعية سالبًا، لا تكون للدالة المناظرة جذور حقيقية. وتكون إشارة الدالة دائمًا مماثلة لإشارة 󰏡.
  • عندما يكون المميِّز في المعادلة التربيعية مساويًا لصفر، يكون للدالة المناظرة جذر حقيقي واحد. وتكون الدالة دائمًا مساوية لصفر عند الجذر، وتكون إشارتها مماثلة لإشارة 󰏡 لجميع قيم 𞸎 الحقيقية الأخرى.
  • عندما يكون المميِّز في المعادلة التربيعية موجبًا، يكون للدالة المناظرة جذران حقيقيان. وتكون إشارة الدالة مماثلة لإشارة 󰏡 عندما تكون 𞸎 أصغر من الجذر الأصغر أو أكبر من الجذر الأكبر، وتكون عكس إشارة 󰏡 عندما تقع قيمة 𞸎 بين الجذرين، وتكون الدالة مساوية لصفر عند الجذرين.

في المثال التالي، سنبحث عن قيم 𞸎 التي تكون عندها إشارتا دالة خطية ودالة تربيعية موجبتين.

مثال ٤: تحديد فترة تشترك فيها دالة خطية ودالة تربيعية في الإشارة نفسها

ما قيم 𞸎 التي تكون عندها الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٥، والدالة 𞸓(𞸎)=𞸎+٢𞸎٨٤٢ موجبتين؟

الحل

في هذه المسألة، المطلوب منَّا هو إيجاد قيم 𞸎 التي تكون عندها الدالتان موجبتين. تذكَّر أن الإشارة الموجبة هي إحدى الإشارات المحتمَلة للدالة. في البداية، لننظر إلى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٥. نحن نعلم أنها موجبة لأيِّ قيمة لـ 𞸎؛ حيث 󰎨(𞸎)>٠، لذا يمكننا كتابة ذلك على صورة المتباينة: 󰎨(𞸎)>٠𞸎٥>٠.

إضافة ٥ إلى كِلا الطرفين تعطينا 𞸎>٥، وهو ما يمكن كتابته على صورة الفترة ]٥،[. وهو ما يعني أن الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٥ موجبة لجميع قيم 𞸎 التي تكون أكبر من خمسة.

والآن لنلقِ نظرة على الدالة 𞸓(𞸎)=𞸎+٢𞸎٨٤٢. أولًا، سنحدِّد القيم التي تكون عندها الدالة 𞸓(𞸎) مساوية لصفر. سنفعل ذلك بجعل 𞸓(𞸎) تساوي ٠، وهو ما يعطينا المعادلة: 𞸎+٢𞸎٨٤=٠.٢

علينا الآن التحقُّق لمعرفة ما إذا كان يمكننا تحليل الطرف الأيمن من هذه المعادلة إلى زوج من ذوات الحدين لحلِّ المعادلة وإيجاد قيمة 𞸎. بما أن حاصل ضرب 𞸎، 𞸎 يساوي 𞸎٢؛ فإننا نعلم أنه إذا أمكن التحليل فسيكون الحد الأول في كلِّ عامل هو 𞸎. ونعلم أيضًا أن حاصل ضرب الحدين الثانيين يساوي ٨٤، ومجموعهما يساوي اثنين. وبما أن ٦×٨=٨٤، و٦+٨=٢؛ يمكننا إذن تحليل الطرف الأيمن لنحصل على: (𞸎٦)(𞸎+٨)=٠.

حاصل ضرب هذين العاملَين يساوي صفرًا، ولذلك يجب أن تكون قيمة أحد العاملَين مساوية لصفر. وهو ما يعني أنه إما أَنَّ 𞸎٦=٠ أو 𞸎+٨=٠. يمكننا حلُّ المعادلة الأولى بإضافة ٦ إلى كِلا الطرفين، ويمكننا حلُّ المعادلة الثانية بطرح ٨ من كِلا الطرفين. وهذا يخبرنا بأنه أيضًا إما أَنَّ 𞸎=٦ أو 𞸎=٨، إذن صفرَا الدالة هما ٦ و٨.

يمكننا إيجاد إشارة دالة بيانيًّا، لذا دعونا نمثِّل 𞸑=𞸓(𞸎) بيانيًّا. معامل الحد 𞸎٢ موجب، ولهذا نعلم أن التمثيل البياني عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأعلى. لقد أثبتنا بالفعل أن الجزأين المقطوعين من المحور 𞸎 على التمثيل البياني هما ٦ و٨، وبما أن: 𞸓(٠)=٠+٢(٠)٨٤=٠+٠٨٤=٨٤،٢ فإننا نعلم أن الجزء المقطوع من المحور 𞸑 يساوي ٨٤. ومن ثَمَّ، يجب أن يكون التمثيل البياني مشابهًا للتمثيل البياني التالي:

يمكننا أن نرى أن التمثيل البياني يقع أعلى المحور 𞸎 لجميع قيم 𞸎 التي تكون أصغر من ٨، وكذلك للقيم الأكبر من ٦؛ لذا تكون الدالة موجبة عند 𞸎<٨، وعند 𞸎>٦ أيضًا. باستخدام رمز الفترة، يمكن كتابة ذلك على الصورة ]،٨[]٦،[.

والآن بعد أن عرفنا أن الدالة 󰎨(𞸎) تكون موجبة عند 𞸎>٥، وأن الدالة 𞸓(𞸎) تكون موجبة عند 𞸎<٨ أو 𞸎>٦؛ يمكننا إيجاد قيم 𞸎 التي تكون عندها الدالتان موجبتين. بما أن أيَّ قيمة لـ 𞸎 أصغر من ٨ ليست أكبر من ٥ أيضًا، يمكننا تجاهل الفترة ]،٨[ وتحديد فقط قيم 𞸎 التي تكون أكبر من ٥ وأكبر من ٦. قيم 𞸎 التي تكون أكبر من العددين ٥ و٦ هي نفسها القيم الأكبر من ستة؛ لذا نعرف أن قيم 𞸎 التي تكون عندها الدالتان 󰎨(𞸎)=𞸎٥، 𞸓(𞸎)=𞸎+٢𞸎٨٤٢ موجبتين هي القيم التي تحقِّق المتباينة 𞸎>٦.

في المثال الأخير، سنحدِّد الفترة التي تكون فيها إشارتا دالتين تربيعيتين سالبتين.

مثال ٥: تحديد فترة تشترك فيها دالتان تربيعيتان في الإشارة نفسها

أوجد الفترة التي فيها إشارتَا الدالتين 󰎨(𞸎)=٢𞸎٧𞸎٠٣٢، 𞸓(𞸎)=𞸎٣𞸎٠١٢ سالبتان معًا في 𞹇.

الحل

في هذه المسألة، المطلوب منَّا هو إيجاد الفترة التي تكون فيها إشارتَا كلتا الدالتين سالبتين. تذكَّر أن إشارة الدالة تكون سالبة على فترةٍ ما إذا كانت قيمة الدالة أصغر من صفر على هذه الفترة.

يمكننا تحديد إشارة أي دالة بيانيًّا، ولرسم التمثيل البياني لدالة تربيعية علينا تحديد الأجزاء المقطوعة من المحور 𞸎 في التمثيل البياني. أولًا، لننظر إلى الدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎٧𞸎٠٣٢. لإيجاد الأجزاء المقطوعة من المحور 𞸎 في التمثيل البياني لهذه الدالة، يمكننا البدء بجعل الدالة 󰎨(𞸎) تساوي صفرًا. هذا يعطينا المعادلة: ٢𞸎٧𞸎٠٣=٠.٢

لحلِّ هذه المعادلة لإيجاد 𞸎، علينا التأكُّد من أنه يمكننا تحليل الطرف الأيمن إلى زوج من ذوات الحدين. إذا تمكَّنا من ذلك، فإننا نعلم أن الحدين الأولين سيكونان ٢𞸎، 𞸎؛ وذلك لأننا نعلم أن حاصل ضرب ٢𞸎، 𞸎 يساوي ٢𞸎٢. ونعلم أيضًا أن حاصل ضرب الحدين الثانيين لا بد أن يساوي ٠٣. وبما أن ٥×(٦)=٠٣، فيمكننا أن نحاول تحليل الطرف الأيمن إلى (٢𞸎+٥)(𞸎٦)، وبذلك نحصل على المعادلة: (٢𞸎+٥)(𞸎٦)=٠.

بما أن حاصل ضرب ٢𞸎+٥، 𞸎٦ يساوي ٢𞸎٢١𞸎+٥𞸎٠٣=٢𞸎٧𞸎٠٣٢٢؛ فإننا نعلم أننا قد حلَّلنا تحليلًا صحيحًا. يمكننا أن نلاحظ أن حاصل ضرب العاملَين يساوي صفرًا، ومن ثَمَّ لا بد أن تساوي قيمة أحد العاملَين صفرًا. هذا يعني أنه إما أنَّ ٢𞸎+٥=٠ أو 𞸎٦=٠. بحلِّ هاتين المعادلتين لإيجاد 𞸎، نحصل على: ٢𞸎+٥=٠٢𞸎=٥𞸎=٥٢ كما نحصل على: 𞸎٦=٠𞸎=٦.

وهذا يخبرنا بأنه إما أنَّ 𞸎=٥٢ أو 𞸎=٦؛ لذا فإن صفري الدالة هما ٥٢ و٦.

هيا نمثِّل 𞸑=󰎨(𞸎) بيانيًّا. بما أن معامل الحد 𞸎٢ موجب، نعلم أن التمثيل البياني عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأعلى. لقد أوضحنا أن الجزأين المقطوعين من المحور 𞸎 هما ٥٢ و٦، وبما أن: 󰎨(٠)=٢(٠)٧(٠)٠٣=٠٠٠٣=٠٣،٢ فإننا نعلم أن الجزء المقطوع من المحور 𞸑 يساوي ٠٣. وبذلك، يجب أن يظهر التمثيل البياني كما يلي تقريبًا:

يمكننا أن نرى أن التمثيل البياني يقع أسفل المحور 𞸎 لجميع قيم 𞸎 التي تكون أكبر من ٥٢ وأصغر من ٦. هذا يعني أن الدالة سالبة عندما تقع قيمة 𞸎 بين ٥٢ و٦. باستخدام رمز الفترة، يمكن كتابة ذلك على الصورة 󰂖٥٢،٦󰂗.

بعد ذلك، لننظر إلى الدالة 𞸓(𞸎)=𞸎٣𞸎٠١٢. بجعل 𞸓(𞸎) تساوي صفرًا، فإننا نحصل على المعادلة: 𞸎٣𞸎٠١=٠.٢

لحلِّ هذه المعادلة لإيجاد 𞸎، علينا مرة أخرى التحقُّق لمعرفة ما إذا كان يمكننا تحليل الطرف الأيمن إلى زوج من ذوات الحدين. إذا أمكن ذلك، فإننا نعلم أن الحد الأول في كلٍّ من العاملَين سيكون 𞸎؛ وذلك لأن حاصل ضرب 𞸎، 𞸎 يساوي 𞸎٢. ونعلم أيضًا أن حاصل ضرب الحدين الثانيين لا بد أن يساوي ٠١، ومجموعهما لا بد أن يساوي ٣. بما أن ٥×٢=٠١، وبما أن ٥+٢=٣؛ يمكننا تحليل الطرف الأيمن، وبذلك نحصل على: (𞸎٥)(𞸎+٢)=٠.

بما أن حاصل ضرب العاملَين يساوي صفرًا، فلا بد أن قيمة أحد هذين العاملين تساوي صفرًا. وهو ما يعني أنه إما أن 𞸎٥=٠ أو 𞸎+٢=٠، وبحلِّ هاتين المعادلتين لإيجاد قيمة 𞸎 نحصل على: 𞸎٥=٠𞸎=٥ كما نحصل على: 𞸎+٢=٠𞸎=٢.

يمكننا الآن تمثيل 𞸑=𞸓(𞸎) بيانيًا. بما أن معامل الحد 𞸎٢ موجب، لذا فإننا نعلم أن التمثيل البياني عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأعلى. لقد أثبتنا بالفعل أن الجزأين المقطوعين من المحور 𞸎 في التمثيل البياني للدالة هما ٥ و٢، وبما أن: 𞸓(٠)=٠٣(٠)٠١=٠٠٠١=٠١،٢ فإننا نعلم أن الجزء المقطوع من المحور 𞸑 يساوي ٠١. وبذلك، يجب أن يكون التمثيل البياني على النحو الآتي:

هذه المرة، يمكننا أن نلاحظ أن التمثيل البياني يقع أسفل المحور 𞸎 لجميع قيم 𞸎 التي تكون أكبر من ٢ وأصغر من ٥؛ إذن الدالة تكون سالبة عند 𞸎>٢، 𞸎<٥. باستخدام رمز الفترة، يمكن كتابة ذلك على الصورة ]٢،٥[.

والآن بعد أن عرفنا أن 󰎨(𞸎) تكون سالبة عندما تقع قيمة 𞸎 في الفترة 󰂖٥٢،٦󰂗، وأن 𞸓(𞸎) تكون سالبة عندما تقع قيمة 𞸎 في الفترة ]٢،٥[؛ يمكننا تحديد الفترة التي تكون فيها كلتا الدالتين سالبتين. بما أن الفترة ]٢،٥[ تقع بالكامل ضمن الفترة 󰂖٥٢،٦󰂗 أو الفترة ]٥٫٢،٦[، فجميع قيم 𞸎 التي تقع ضمن الفترة ]٢،٥[ ستكون أيضًا ضمن الفترة 󰂖٥٢،٦󰂗.

وبذلك نكون قد عرفنا أن قيم 𞸎 التي تكون عندها الدالتان 󰎨(𞸎)=٢𞸎٧𞸎٠٣٢، 𞸓(𞸎)=𞸎٣𞸎٠١٢ سالبتين تقع ضمن الفترة ]٢،٥[.

ملاحظة:

يمكن تمثيل ذلك بيانيًّا من خلال رسم 𞸑=󰎨(𞸎)، 𞸑=𞸓(𞸎) في المستوى الإحداثي نفسه كما هو موضَّح.

والآن دعونا نختتم الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • الدالة الثابتة تكون إما موجبة أو سالبة أو مساوية لصفر لجميع قيم 𞸎 الحقيقية.
  • الدالة الخطية التي تكون على الصورة 󰎨(𞸎)=𞸌𞸎+𞸁؛ عند 𞸌٠، تتضمَّن فترة تكون عليها الدالة سالبة، وفترة تكون عليها الدالة موجبة، وجزءًا مقطوعًا من المحور 𞸎 تكون عنده الدالة مساوية لصفر.
    • عند 𞸎<𞸁𞸌، تكون إشارة الدالة عكس إشارة 𞸌.
    • عند 𞸎>𞸁𞸌، تكون إشارة الدالة هي نفسها إشارة 𞸌.
    • عند 𞸎=𞸁𞸌، تكون الدالة مساوية لصفر.
  • عندما يكون المميِّز في المعادلة التربيعية سالبًا، لا تكون للدالة المناظرة لها التي على الصورة 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢٢ جذور حقيقية. وتكون إشارة الدالة مماثلة لإشارة 󰏡.
  • عندما يكون المميِّز في المعادلة التربيعية مساويًا لصفر، يكون للدالة المناظرة التي تكون على الصورة 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢٢ جذر حقيقي واحد. وتكون الدالة دائمًا مساوية لصفر عند الجذر، وتكون إشارتها مماثلة لإشارة 󰏡 لجميع قيم 𞸎 الحقيقة الأخرى.
  • عندما يكون المميِّز في المعادلة التربيعية موجبًا، يكون للدالة المناظرة التي على الصورة 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢٢ جذران حقيقيان. دائمًا ما تكون إشارة الدالة مماثلة لإشارة 󰏡 عندما تكون قيمة 𞸎 أصغر من الجذر الأصغر أو أكبر من الجذر الأكبر، وتكون عكس إشارة 󰏡 عندما تقع قيمة 𞸎 بين الجذرين، وتكون صفرًا عند الجذرين.
  • لتحديد إشارة دالة على فترات مختلفة، من المفيد عادةً تمثيل الدالة بيانيًّا. عندما يقع التمثيل البياني أعلى المحور 𞸎؛ فإن إشارة الدالة تكون موجبة، وعندما يقع أسفل المحور 𞸎؛ فإن إشارة الدالة تكون سالبة، وعند النقاط التي يقطع عندها التمثيل البياني للدالة المحور 𞸎 تكون الدالة مساوية لصفر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.