شارح الدرس: التغيُّر الطردي الرياضيات

مثال ١: إيجاد ثابت التناسب

إذا كان ، عندما يكون ، فعيِّن ثابت التناسب.

الحل

نتذكَّر أن يعني أن النسبة بين قيم ، المتناظرة تظل ثابتة؛ ومن ثَمَّ، فإن ؛ حيث يُسمَّى ثابت التناسب . يمكننا التعويض بالقيمتين ، في هذه المعادلة، لنحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن ثابت التناسب هو .

مثال ٢: حل معادلات التناسب التي تتضمَّن التغيُّر الطردي

إذا كان ، عندما يكون ، فأوجد قيمة عندما يكون .

الحل

نتذكَّر أن يعني أن النسبة بين قيم ، المتناظرة تظل ثابتة؛ ومن ثَمَّ، فإن لأي ثابت ؛ حيث . تحديدًا، يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة للحصول على ، وهو ما يسمح بالقيمة .

يمكننا التعويض بقيمتَي ، في المعادلة الأولى، للحصول على:

التعويض بقيمة هذه في المعادلة الخطية يُعطينا:

يمكننا بعد ذلك التعويض بالقيمة في هذه المعادلة لإيجاد قيمة المناظرة لها:

إذن قيمة عندما يكون تساوي ١٠.

مثال ٣: تحديد التمثيل البياني الذي يمثِّل التغيُّر الطردي

أيٌّ من التمثيلات البيانية المُعطاة يمثِّل التغيُّر الطردي بين ، ؟

الحل

نتذكَّر أن يعني أن النسبة بين قيمتَي ، المتناظرتين تظل ثابتة؛ ومن ثَمَّ، فإن لأي ثابت؛ حيث . تحديدًا، يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة للحصول على ، وهو ما يسمح بالقيمة .

نتذكَّر بعد ذلك أن المعادلة تُمثَّل بخط مستقيم ميله يساوي ، والجزء المقطوع من المحور يساوي . ومن ثَمَّ، فإن التمثيل البياني لأي علاقة تناسب طردي عبارة عن خط مستقيم؛ حيث يكون الجزء المقطوع من المحور بواسطة هذا الخط صفرًا، وهذا يعني أنه يمر بنقطة الأصل.

الخيار (ب) هو الخط المستقيم الوحيد الذي يمر بنقطة الأصل؛ لذا، فهو الرسم البياني الوحيد الذي يمثِّل علاقة التناسب الطردي.

مثال ٤: التعرُّف على التغيُّر الطردي من جدول

ما الجدول الذي لا يبيِّن أن تتغيَّر طرديًّا مع ؟

1. 	١	٢	٣
   	١٢	٢٤	٣٦

2. 	١٠	٢٠	٣٠
   	٢	٤	٦

3. 	٢	٠
   	٨	٠

4. 	٥	٣	١
   	٦	١٠	٣٠

5. 	٢	٤	٦
   	١٫٥	٣	٤٫٥

الحل

نتذكَّر أن يتغيَّر طرديًّا مع يعني أن النسبة بين قيم ، المتناظرة تظل ثابتة؛ ومن ثَمَّ، فإن لثابت ؛ حيث . يمكننا السماح بالقيمة بإعادة كتابة المعادلة على الصورة ، وهو ما يُعطينا ، .

ومن ثَمَّ، علينا تحديد الجدول الذي تكون فيه النسب بين قيم ، المتناظرة غير ثابتة. يمكننا حساب النسب في كل جدول على حِدة. سنفعل ذلك عن طريق إضافة صف إضافي في كل جدول لحساب النسبة بين الحدين الموجودين في العمود نفسه.

في الجدول (أ)، نجد أن ، ، ، وبذلك نحصل على الآتي.

بما أن النسبة بين قيم ، المتناظرة تظل ثابتة، فإن هذا الجدول يمثِّل تغيُّرًا طرديًّا؛ حيث يكون ثابت التناسب هو ١٢.

في الجدول (ب)، نلاحظ أن ، ، وبذلك نحصل على الآتي.

بما أن النسبة بين قيم ، المتناظرة تظل ثابتة، فإن هذا الجدول يمثِّل تغيُّرًا طرديًّا؛ حيث يكون ثابت التناسب هو ٠٫٢.

في الجدول (ج)، نجد أن ، ؛ ومع ذلك، لا يمكننا إيجاد قيمة ؛ لأنه لا يمكننا القسمة على صفر. نتذكَّر أنه يمكن كتابة علاقة التغيُّر الطردي بين ، على صورة المعادلة ، إذن عند ، نحصل على . ومن ثَمَّ، فإن هذا يمثِّل تغيُّرًا طرديًّا؛ حيث يكون ثابت التناسب هو ٤.

في الجدول (د)، نجد أن ، ، .

تختلف هذه النسب، إذن هذا لا يمثِّل التغيُّر الطردي.

لمزيد من التأكُّد، يمكننا أيضًا التحقُّق من الجدول (هـ). نجد أن ، ، ، وبذلك نحصل على الجدول الآتي.

لأن النسبة بين قيم ، المتناظرة تظل ثابتة، إذن يمثِّل هذا الجدول تغيُّرًا طرديًّا؛ حيث يكون ثابت التناسب هو ٠٫٧٥.

ومن ثَمَّ، فإن العلاقة في الجدول (د) لا تمثِّل تغيُّرًا طرديًّا بين ، .

مثال ٥: تحديد المعادلة التي تمثِّل التغيُّر الطردي

أيٌّ من العلاقات الآتية يمثِّل التغيُّر الطردي بين المتغيِّرين ، ؟

الحل

نتذكَّر أن يتغيَّر طرديًّا مع يعني أن النسبة بين قيم ، المتناظرة تظل ثابتة؛ ومن ثَمَّ، فإن لثابت ؛ حيث . يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة لنسمح بالقيمة ، ونلاحظ أن أي متغيِّر في علاقة تغيُّر طردي يجب أن يحقِّق معادلة على هذه الصورة. إذن علينا تحديد أيُّ المعادلات المُعطاة تكون على هذه الصورة.

في العلاقة (أ)، يمكننا ضرب طرفَي المعادلة في ، لنحصل على:

ثم نقسم الطرفين على ، لنحصل على: وهي ليست على الصورة لثابت لا يساوي صفرًا؛ أي إن هذه المعادلة لا تمثِّل التغيُّر الطردي.

في العلاقة (ب)، لدينا دالة خطية على الصورة ، ونلاحظ أن الدوال الخطية لا تمثِّل التغيُّر الطردي إلا عندما يكون . بما أن ، فإن هذه المعادلة لا تمثِّل التغيُّر الطردي.

في العلاقة (ج)، يمكننا قسمة طرفَي المعادلة على ، لنحصل على:

وهذه ليست على الصورة لثابت لا يساوي صفرًا؛ لذا، فإن هذه المعادلة لا تمثِّل التغيُّر الطردي.

في العلاقة (د)، نضرب طرفَي المعادلة في ٤، لنحصل على المعادلة:

وهي مكتوبة على الصورة ؛ حيث يكون ثابت التغيُّر هو .

ومن ثَمَّ، فإن العلاقة في الخيار (د) فقط هي التي تمثِّل التغيُّر الطردي.

مثال ٦: إيجاد ثابت التغيُّر من معادلة

كمية اللحم اللازمة لتغذية أسد أسير تُعطَى بالمعادلة ؛ حيث وزن اللحم بالكيلوجرام اللازم لتغذية أسد لمدة يوم. ما معدل وحدة علاقة التناسب؟

الحل

نتذكَّر أن يتغيَّر طرديًّا مع يعني أن النسبة بين قيم ، المتناظرة تظل ثابتة؛ ومن ثَمَّ، فإن لثابت ؛ حيث ، ويُسمَّى هذا الثابت ثابت التناسب.

في هذه المسألة، علمنا أن ؛ لذا، يمكننا استنتاج أن النسبة بين ، تظل ثابتة عند قيمة تساوي ٩. ومن ثَمَّ، فإنهما متناسبان طرديًّا، وثابت التناسب هو ٩.

يطلب منا السؤال إيجاد معدل الوحدة لهذه العلاقة، ونتذكَّر أن هذا يُشير إلى النسبة بين كميتين عندما تكون الكمية الثانية هي ١. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد معدل الوحدة عن طريق التعويض بالقيمة في المعادلة ، وهو ما يُعطينا:

بما أن يقاس بالكيلوجرام، وأن يُقاس باليوم، إذن نجد أن معدل الوحدة يساوي ٩ كجم /يوم.

مثال ٧: حل معادلات التناسب التي تتضمَّن تغيُّرًا طرديًّا

جسم وزنه على الأرض ١٢٠ نيوتن، ووزنه على القمر ٢٠ نيوتن. إذا كان وزن الأجسام على الأرض تتناسب طرديًّا مع وزنها على القمر، فأوجد وزن جسم على القمر، إذا كان وزنه على الأرض ١٢٦ نيوتن.

الحل

تُخبرنا المسألة أن وزن جسم على الأرض يتناسب طرديًّا مع وزنه على القمر. نتذكَّر أن هذا يعني أن النسبة بين وزن أي جسم على سطح القمر إلى وزنه على الأرض ثابتة. ويمكن كتابة ذلك رياضيًّا على صورة: لثابت ، والوزن على الأرض لا يساوي صفرًا.

يمكننا إيجاد قيمة باستخدام أول قيمتين لدينا في السؤال، وهما ، . ومن ثَمَّ، باستخدام المعادلة المُعطاة بالأعلى والتعويض بهاتين القيمتين، نجد أن:

ومن ثَمَّ، تصبح لدينا المعادلة: التي يمكن كتابتها أيضًا على الصورة:

وجدنا أن وزن الجسم المُعطى على القمر يساوي سُدس وزنه على الأرض. ومن ثَمَّ، فإن الجسم الذي يكون وزنه على الأرض ١٢٦ نيوتن يكون وزنه على القمر:

مثال ٨: كتابة معادلة بين كميتين متناسبتين

إذا كان ؛ حيث عندما يكون ، فأوجد العلاقة بين ، .

الحل

لعلنا نتذكَّر أن يعني وجود ثابت لا يساوي صفرًا؛ حيث:

يمكننا إيجاد قيمة بالتعويض بالقيمتين ، في هذه المعادلة:

نقسم طرفَي المعادلة على ٢٠، لنحصل على:

بالتعويض بهذه القيمة مرة أخرى في المعادلة الخطية، نحصل على: