تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الدوال المركبة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نكوّن دالة مركبة من خلال تركيب دالتين فأكثر من الدوال الخطية أو التربيعية أو الأسية أو الجذرية.

ستأخذك رحلة لركوب الدراجات على طول مسار جبلي. يُعطى موضعك بعد 𞸍 دقيقة من ركوب الدراجة بالتعبير 𞸌(𞸍). افترض أن ما يعنينا حقًا بدلالة «الموضع» هو ارتفاعك، لنقل أنه 𞸏، مقيسًا بالأمتار فوق سطح البحر. إذن، 𞸏=𞸌(𞸍) يعطينا ارتفاعك خلال 𞸍 دقيقة من جولتك بالدراجة.

لنفترض أيضًا أنه في المنطقة التي تتجول فيها بالدراجة، لا تعتمد درجة الحرارة (درجة سلزية) إلا على الارتفاع. لذا، وبغض النظر عن مكانك بالضبط، فإن ارتفاعك يحدد درجة الحرارة. بعبارة أخرى، درجة الحرارة 𞸇(𞸏) هي دالة الارتفاع 𞸏.

بعد مرور ١٢ دقيقة، إذا أصبحت على ارتفاع ٣٣٥ م ومعروف أن درجة الحرارة عند ٣٣٥ م هي ١٤°س، يُفهم من ذلك أن درجة الحرارة التي تتجول أثنائها بعد ١٢ دقيقة هي ١٤°س.

يمكننا «تركيب» هاتين الدالتين لنحصل على درجة الحرارة حولك عند الزمن 𞸍 بواسطة: 𞸍𞸌(𞸍)=𞸏𞸇(𞸏)=𞸇(𞸌(𞸍))ويعطينا ذلك الدالة الجديدة: 𞸍𞸇(𞸌(𞸍))،التي يُطلق عليها «اسم» 𞸇𞸌 وتُقرأ «𞸇 لـ 𞸌».

وبدلالة المقادير، إذا كانت 𞸓(𞸎)=٣𞸎+𝜋 بينما 󰎨(𞸎)=٢𞸎+𞸎١٢، فإن 󰎨𞸓 تنتج عن «التعويض» في كل ظهور لـ 𞸎 في 󰎨(𞸎) مع 𞸓(𞸎): (󰎨𞸓)(𞸎)=󰎨(𞸓(𞸎))=󰎨(٣𞸎+𝜋)=٢(٣𞸎+𝜋)+(٣𞸎+𝜋)١=٢󰁓٩𞸎+٦𝜋𞸎+𝜋󰁒+٣𞸎+𝜋١=٨١𞸎+(٢١𝜋+٣)𞸎+󰁓٢𝜋+𝜋١󰁒.٢٢٢٢٢

مثال ١: إيجاد قيم دوال مركبة عند قيمة معطاة

إذا كانت 󰎨(𞸎)=٣𞸎١، 𞸓(𞸎)=𞸎+١٢، فأوجد (󰎨𞸓)(٢).

الحل

وفقًا للتعريف، (󰎨𞸓)(𞸎)=󰎨(𞸓(𞸎)). إذن، هنا: (󰎨𞸓)(٢)=󰎨(𞸓(٢))=󰎨󰁓٢+١󰁒𞸓(𞸎))=󰎨(٥)=(٥)٣١󰎨(𞸎))=٤١.٢(وً(وً

إذن، (󰎨𞸓)(٢)=٤١.

لاحظ أنه كان بإمكاننا إيجاد المقدار من خلال إيجاد (󰎨𞸓)(𞸎)=٣𞸎+٢٢ ثم الحصول على (󰎨𞸓)(٢)=٣(٢)+٢=٤١٢. بالرغم من ذلك، يُعد هذا أكثر من المطلوب منا.

لا يختلف المثال التالي كثيرًا من حيث المبدأ.

مثال ٢: إيجاد قيم دوال مركبة عند قيمة معطاة

اجعل 󰎨=󰎨󰎨،󰎨=󰎨󰎨󰎨(٢)(٣) وهكذا؛ بحيث 󰎨(𞸎)=󰎨(󰎨(𞸎))(٢)، 󰎨(𞸎)=󰎨(󰎨(󰎨(𞸎)))(٣) وهكذا. افترض أن 𞸓(𞸎)=٤𞸎٥. أوجد 𞸓(٣)(٤).

الحل

قد يبدو إيجاد مقدار يعبر عن 𞸓(𞸎)(٤) في البداية عملًا شاقًا. لكن بدلًا من ذلك، «سنتبع» القيم: 𞸓(٣)=(٣)٤٥=٧𞸓(٣)=𞸓(𞸓(٣))=𞸓(٧)=(٧)٤٥=٣٢𞸓(٣)=𞸓(٣٢)=(٣٢)٤٥=٧٨𞸓(٣)=𞸓(٧٨)=(٧٨)٤٥=٣٤٣.(٢)(٣)(٤)

لاحظ أنه توجد طرق مختلفة لتمثيل الدوال. إحداها بواسطة الأزواج المرتبة. على سبيل المثال، انظر إلى الدالتين 󰎨، 𞸓 المعطاتين بواسطة: 󰎨={(١،󰏡)،(٢،𞸁)،(٣،𞸁)،(٤،𞸢)}و: 𞸓={(󰏡،٤)،(𞸁،٣)،(𞸢،٢)،(𞸃،١)}.

يمكننا إيجاد قيمة كل من:

  1. (󰎨𞸓)(󰏡)،
  2. (𞸓󰎨)(٣)،
  3. 𞸓󰎨.

بالطبع، (󰎨𞸓)(󰏡)=󰎨(𞸓(󰏡))=󰎨(٤)=𞸢،

و: (𞸓󰎨)(٣)=𞸓(󰎨(٣))=𞸓(𞸁)=٣.

وبالنسبة إلى 𞸓󰎨، فسنجيب بقائمة أخرى من الأزواج المرتبة. مجال 𞸓󰎨 هو نفس مجال 󰎨، وبالتالي هو {١،٢،٣،٤}. سيكون المدى عبارة عن مجموعة جزئية من مدى 𞸓 وهي المجموعة نفسها.

مما سبق، وجدنا أن (𞸓󰎨)(٣)=٣، بالتالي(٣،٣) هو أحد هذه الأزواج. سنكمل ذلك لإيجاد: 𞸓󰎨={(١،٤)،(٢،٣)،(٣،٣)،(٤،٢)}.

هناك طريقة أخرى لتمثيل الدوال، وهي تمثيلها بيانيًا.

مثال ٣: إيجاد قيم دوال مركبة عند قيمة معطاة من تمثيلاتها البيانية

في الشكل، يوضح التمثيل البياني الأحمر 𞸑=󰎨(𞸎) بينما يوضح التمثيل البياني الأزرق 𞸑=𞸓(𞸎).

ما قيمة 󰎨(𞸓(٢))؟

الحل

من التمثيل البياني الأزرق، نلاحظ أن النقطة التي فيها 𞸎=٢ هي (٢،١)، بالتالي 𞸓(٢)=١. ومن التمثيل البياني الأحمر، نلاحظ أن النقطة التي فيها 𞸎=١ هي (١،٣)، بالتالي 󰎨(١)=٣.

إذن، 󰎨(𞸓(٢))=٣.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.