شارح الدرس: زوايا الاتجاه وجيوب تمام الاتجاه الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد متجه بمعلومية معياره وزوايا اتجاهه

أوجد المتجه الذي معياره ٤١، وقياسات زوايا اتجاهه .

الحل

معيار المتجه هو مقداره أو طوله، وزوايا الاتجاه ، ، هي الزوايا المحصورة بين المتجه والمحاور ، ، ، على الترتيب.

باستخدام صيغ جيوب تمام الاتجاه، نعلم أنه لأي متجه ، فإن:

بضرب كلٍّ من هذه المعادلات في ، تكون مركبات كالآتي:

إذن .

مثال ٢: إيجاد زاوية الاتجاه الثالثة لمتجه

نفترض أن ، ، هي زوايا اتجاه متجه. أيٌّ ممَّا يلي قياس الزاوية ، لأقرب جزء من مائة؟

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، نستخدم حقيقة أنه إذا كانت زوايا اتجاه المتجه الثلاث هي ، ، ، فإن:

إذا جعلنا ، ، ، فسيصبح لدينا:

بأخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة، فإن:

بأخذ معكوس جيب تمام كلا الطرفين، فإن:

إذن قياس الزاوية ، لأقرب جزء من مائة، هو .

مثال ٣: إيجاد جيوب تمام الاتجاه لمتجه

أوجد جيوب تمام الاتجاه للمتجه .

الحل

إذا كان لدينا أي متجه مركباته ، ، ، فإن جيوب تمام الاتجاه هي: حيث:

بالتعويض بكلٍّ من ، ، ، يصبح لدينا:

إذن:

جيوب تمام اتجاه المتجه هي .

مثال ٤: إيجاد زوايا الاتجاه لمتجه

أوجد زوايا الاتجاه للمتجه .

الحل

إذا كان لدينا أي متجه مركباته ، ، ، فإن جيوب تمام الاتجاه هي: حيث:

بالتعويض بكلٍّ من ، ، ، يصبح لدينا:

إذن: وهو ما يمكن تبسيطه إلى:

بأخذ معكوس جيب تمام طرفَي كل معادلة من هذه المعادلات الثلاث، فإن:

زوايا الاتجاه للمتجه هي .

مثال ٥: إيجاد زوايا الاتجاه لمتجه

أوجد قياسات زوايا الاتجاه للمتجه ، الممثَّلة في الشكل الآتي، مقرِّبًا الناتج لأقرب منزلة عشرية.

الحل

نبدأ بكتابة المتجه بدلالة مركباته الثلاث؛ حيث نُحدِّد أن الوحدة الواحدة تساوي ١ سم.

في الاتجاه ، نتحرَّك بمقدار ٨ سم، إذن المركبة تساوي ٨. في الاتجاه ، نتحرَّك بمقدار ١٩ سم، إذن المركبة تساوي ١٩. في الاتجاه ، نتحرَّك بمقدار ٩ سم، إذن المركبة تساوي ٩:

معيار المتجه هو: حيث ، ، هي المركبات ، ، للمتجه :

إذا كان لدينا أي متجه مركباته ، ، ، وزوايا اتجاهه ، ، ، فإن:

إذن:

وعليه، فإن زوايا الاتجاه للمتجه هي ، ، .