شارح الدرس: زوايا الاتجاه وجيوب تمام الاتجاه الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد زوايا الاتجاه وجيوب تمام الاتجاه لمتجه مُعطى في الفضاء.

نحن نعلم أنه في الفضاء الإحداثي الثلاثي الأبعاد، لدينا المحاور 𞸎، 𞸑، 𞸏. تتعامد هذه المحاور بعضها على بعض، كما هو موضَّح في الشكل الآتي: تؤثِّر متجهات الوحدة 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞹏 في الاتجاهات 𞸎، 𞸑، 𞸏، على الترتيب.

تعريف: زوايا الاتجاه

إذا كان لدينا المتجه 󰏡=󰁓󰏡،󰏡،󰏡󰁒𞸎𞸑𞸏، فإن الزوايا التي يصنعها هذا المتجه مع المحاور 𞸎، 𞸑، 𞸏 هي 𝛼، 𝛽، 𝛾، على الترتيب. تُعرَف هذه الزوايا باسم «زوايا الاتجاه»، وتُكتَب على الصورة (𝛼،𝛽،𝛾).

تقودنا زوايا الاتجاه هذه إلى تعريف جيوب تمام الاتجاه. نحن نعلم أنه في حساب المثلثات القائمة الزاوية، جيب تمام أي زاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور للزاوية مقسومًا على طول الوتر: ااورا𝜃=.

تعريف: جيوب تمام الاتجاه

جيوب تمام الاتجاه هي جيوب تمام زوايا الاتجاه الثلاث 𝛼، 𝛽، 𝛾: 𝛼=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛽=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛾=󰏡󰍼󰏡󰍼.𞸎𞸑𞸏

󰏡𞸎، 󰏡𞸑، 󰏡𞸏 هي المركبات 𞸎، 𞸑، 𞸏 للمتجه 󰏡، و󰍼󰏡󰍼 هو مقدار أو معيار هذا المتجه؛ حيث: 󰍼󰏡󰍼=󰋷󰁓󰏡󰁒+󰁓󰏡󰁒+󰁓󰏡󰁒.𞸎٢𞸑٢𞸏٢

يمكننا إعادة ترتيب المعادلات الثلاث كالآتي: 𝛼=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛽=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛾=󰏡󰍼󰏡󰍼.١𞸎١𞸑١𞸏

في المثال الأول، سنوضِّح كيفية إيجاد المتجه 󰏡 بمعلومية زوايا اتجاهه ومعياره.

مثال ١: إيجاد متجه بمعلومية معياره وزوايا اتجاهه

أوجد المتجه 󰏡 الذي معياره ٤١، وقياسات زوايا اتجاهه (٥٣١،٠٢١،٠٦).

الحل

معيار المتجه هو مقداره أو طوله، وزوايا الاتجاه 𝛼، 𝛽، 𝛾 هي الزوايا المحصورة بين المتجه والمحاور 𞸎، 𞸑، 𞸏، على الترتيب.

باستخدام صيغ جيوب تمام الاتجاه، نعلم أنه لأي متجه 󰏡=󰁓󰏡،󰏡،󰏡󰁒𞸎𞸑𞸏، فإن: 𝛼=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛽=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛾=󰏡󰍼󰏡󰍼.𞸎𞸑𞸏

بضرب كلٍّ من هذه المعادلات في 󰍼󰏡󰍼، تكون مركبات 󰏡 كالآتي: 󰏡=󰍼󰏡󰍼𝛼=١٤٥٣١=١٤󰋴٢٢،󰏡=󰍼󰏡󰍼𝛽=١٤٠٢١=١٤٢،󰏡=󰍼󰏡󰍼𝛾=١٤٠٦=١٤٢.𞸎𞸑𞸏

إذن 󰏡=󰃭١٤󰋴٢٢،١٤٢،١٤٢󰃬.

الإجابة: 󰃭١٤󰋴٢٢،١٤٢،١٤٢󰃬

قبل أن ننتقل إلى المثال التالي، نتناول الصيغة التي تربط بين جيوب تمام الاتجاه.

افترض أن جيوب تمام الاتجاه كالآتي: 𝛼=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛽=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛾=󰏡󰍼󰏡󰍼.𞸎𞸑𞸏

بتربيع طرفَي كل معادلة من هذه المعادلات الثلاث، نحصل على: ٢𞸎٢٢٢𞸑٢٢٢𞸏٢٢𝛼=󰁓󰏡󰁒󰂔󰍼󰏡󰍼󰂓،𝛽=󰁓󰏡󰁒󰂔󰍼󰏡󰍼󰂓،𝛾=󰁓󰏡󰁒󰂔󰍼󰏡󰍼󰂓.

بجمع هذه المعادلات الثلاث، نحصل على: ٢٢٢𞸎٢𞸑٢𞸏٢٢𝛼+𝛽+𝛾=󰁓󰏡󰁒+󰁓󰏡󰁒+󰁓󰏡󰁒󰂔󰍼󰏡󰍼󰂓.

نحن نعرف أيضًا أن: 󰍼󰏡󰍼=󰋷󰁓󰏡󰁒+󰁓󰏡󰁒+󰁓󰏡󰁒.𞸎٢𞸑٢𞸏٢

إذن: 󰂔󰍼󰏡󰍼󰂓=󰁓󰏡󰁒+󰁓󰏡󰁒+󰁓󰏡󰁒.٢𞸎٢𞸑٢𞸏٢

يعني هذا أن الطرف الأيمن من المعادلة يساوي ١.

لذا: ٢٢٢𝛼+𝛽+𝛾=١.

الصيغة: خاصية جيوب تمام الاتجاه لمتجه ثلاثي الأبعاد

إذا كانت الزوايا 𝛼، 𝛽، 𝛾 هي زوايا الاتجاه الثلاث، وكلٌّ من 𝛼، 𝛽، 𝛾 هي جيوب تمام الاتجاه المناظرة لها، فإن: ٢٢٢𝛼+𝛽+𝛾=١.

مثال ٢: إيجاد زاوية الاتجاه الثالثة لمتجه

نفترض أن ١٣، ٥٦، 𝜃 هي زوايا اتجاه متجه. أيٌّ ممَّا يلي قياس الزاوية 𝜃، لأقرب جزء من مائة؟

  1. ٨٨٫٢٧
  2. ٣٠٫٥٨
  3. ٠٠٫٤٦٢
  4. ٠٠٫٤٨

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، نستخدم حقيقة أنه إذا كانت زوايا اتجاه المتجه الثلاث هي 𝛼، 𝛽، 𝛾، فإن: ٢٢٢𝛼+𝛽+𝛾=١.

إذا جعلنا 𝛼=١٣، 𝛽=٥٦، 𝛾=𝜃، فسيصبح لدينا: ٢٢٢٢٢١٣+٥٦+𝜃=١٤٣٣١٩٫٠+𝜃١𝜃١٤٣٣١٩٫٠.

بأخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة، فإن: 𝜃٧٣٤٩٢٫٠.

بأخذ معكوس جيب تمام كلا الطرفين، فإن: 𝜃٧٩٧٨٫٢٧.

إذن قياس الزاوية 𝜃، لأقرب جزء من مائة، هو ٨٨٫٢٧.

الإجابة: (أ) ٨٨٫٢٧

في المثال التالي، نوضِّح كيف نحسب جيوب تمام الاتجاه لمتجه.

مثال ٣: إيجاد جيوب تمام الاتجاه لمتجه

أوجد جيوب تمام الاتجاه للمتجه 󰏡=(٥،٢،٨).

الحل

إذا كان لدينا أي متجه 󰏡 مركباته 󰏡𞸎، 󰏡𞸑، 󰏡𞸏، فإن جيوب تمام الاتجاه هي: 𝛼=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛽=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛾=󰏡󰍼󰏡󰍼،𞸎𞸑𞸏 حيث: 󰍼󰏡󰍼=󰋷󰁓󰏡󰁒+󰁓󰏡󰁒+󰁓󰏡󰁒.𞸎٢𞸑٢𞸏٢

بالتعويض بكلٍّ من 󰏡=٥𞸎، 󰏡=٢𞸑، 󰏡=٨𞸏، يصبح لدينا: 󰍼󰏡󰍼=󰋴(٥)+(٢)+(٨)󰍼󰏡󰍼=󰋴٣٩.٢٢٢

إذن: 𝛼=٥󰋴٣٩،𝛽=٢󰋴٣٩،𝛾=٨󰋴٣٩.

جيوب تمام اتجاه المتجه 󰏡 هي 󰃭٥󰋴٣٩،٢󰋴٣٩،٨󰋴٣٩󰃬.

الإجابة: 󰃭٥󰋴٣٩،٢󰋴٣٩،٨󰋴٣٩󰃬

مثال ٤: إيجاد زوايا الاتجاه لمتجه

أوجد زوايا الاتجاه للمتجه 󰃭١٢٢،١٢󰋴٢٢،١٢٢󰃬.

الحل

إذا كان لدينا أي متجه 󰏡 مركباته 󰏡𞸎، 󰏡𞸑، 󰏡𞸏، فإن جيوب تمام الاتجاه هي: 𝛼=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛽=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛾=󰏡󰍼󰏡󰍼،𞸎𞸑𞸏 حيث: 󰍼󰏡󰍼=󰋷󰁓󰏡󰁒+󰁓󰏡󰁒+󰁓󰏡󰁒.𞸎٢𞸑٢𞸏٢

بالتعويض بكلٍّ من 󰏡=١٢٢𞸎، 󰏡=١٢󰋴٢٢𞸑، 󰏡=١٢٢𞸏، يصبح لدينا: 󰍼󰏡󰍼=󰌁󰌀󰌀󰌂󰂔١٢٢󰂓+󰃭١٢󰋴٢٢󰃬+󰂔١٢٢󰂓󰍼󰏡󰍼=󰋴١٤٤󰍼󰏡󰍼=١٢.٢٢٢

إذن: 𝛼=١٢،𝛽=١٢،𝛾=١٢،١٢٢١٢󰋴٢٢١٢٢ وهو ما يمكن تبسيطه إلى: 𝛼=١٢،𝛽=󰋴٢٢،𝛾=١٢.

بأخذ معكوس جيب تمام طرفَي كل معادلة من هذه المعادلات الثلاث، فإن: 𝛼=٠٦،𝛽=٥٤،𝛾=٠٦.

زوايا الاتجاه للمتجه 󰃭١٢٢،١٢󰋴٢٢،١٢٢󰃬 هي (٠٦،٥٤،٠٦).

الإجابة: (٠٦،٥٤،٠٦)

مثال ٥: إيجاد زوايا الاتجاه لمتجه

أوجد قياسات زوايا الاتجاه للمتجه 󰄮󰄮𞹟، الممثَّلة في الشكل الآتي، مقرِّبًا الناتج لأقرب منزلة عشرية.

الحل

نبدأ بكتابة المتجه 󰄮󰄮𞹟 بدلالة مركباته الثلاث؛ حيث نُحدِّد أن الوحدة الواحدة تساوي ١ سم.

في الاتجاه 𞸎، نتحرَّك بمقدار ٨ سم، إذن المركبة 𞸎 تساوي ٨. في الاتجاه 𞸑، نتحرَّك بمقدار ١٩ سم، إذن المركبة 𞸑 تساوي ١٩. في الاتجاه 𞸏، نتحرَّك بمقدار ٩ سم، إذن المركبة 𞸏 تساوي ٩: 󰄮󰄮𞹟=(٨،٩١،٩).

معيار المتجه هو: 󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹=󰋷󰁓𞹟󰁒+󰁓𞹟󰁒+󰁓𞹟󰁒،𞸎٢𞸑٢𞸏٢ حيث 𞹟𞸎، 𞹟𞸑، 𞹟𞸏 هي المركبات 𞸎، 𞸑، 𞸏 للمتجه 󰄮󰄮𞹟: 󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹=󰋴(٨)+(٩١)+(٩)󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹=󰋴٦٠٥.٢٢٢

إذا كان لدينا أي متجه 󰄮󰄮𞹟 مركباته 𞹟𞸎، 𞹟𞸑، 𞹟𞸏، وزوايا اتجاهه 𝜃𞸎، 𝜃𞸑، 𝜃𞸏، فإن: 𝜃=󰃭𞹟󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹󰃬𝜃=󰃭𞹟󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹󰃬𝜃=󰃭𞹟󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹󰃬.𞸎١𞸎𞸑١𞸑𞸏١𞸏

إذن: 𝜃=󰃭٨󰋴٦٠٥󰃬𝜃=٢٫٩٦،𝜃=󰃭٩١󰋴٦٠٥󰃬𝜃=٤٫٢٣،𝜃=󰃭٩󰋴٦٠٥󰃬𝜃=٤٫٦٦.𞸎١𞸎𞸑١𞸑𞸏١𞸏

وعليه، فإن زوايا الاتجاه للمتجه 󰄮󰄮𞹟 هي 𝜃=٢٫٩٦𞸎، 𝜃=٤٫٢٣𞸑، 𝜃=٤٫٦٦𞸏.

الإجابة: 𝜃=٢٫٩٦𞸎، 𝜃=٤٫٢٣𞸑، 𝜃=٤٫٦٦𞸏

ننهي هذا الشارح باسترجاع بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • زوايا الاتجاه 𝛼، 𝛽، 𝛾 هي الزوايا المحصورة بين متجه والمحاور 𞸎، 𞸑، 𞸏، على الترتيب.
  • جيوب تمام الاتجاه هي جيوب تمام زوايا الاتجاه الثلاث 𝛼، 𝛽، 𝛾؛ حيث: 𝛼=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛽=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛾=󰏡󰍼󰏡󰍼.𞸎𞸑𞸏
  • يعني هذا أن 𝛼، 𝛽، 𝛾 تكون كالآتي: 𝛼=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛽=󰏡󰍼󰏡󰍼،𝛾=󰏡󰍼󰏡󰍼.١𞸎١𞸑١𞸏
  • تربط الصيغة الآتية بين جيوب تمام الاتجاه الثلاثة: ٢٢٢𝛼+𝛽+𝛾=١.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.