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الشارح للدرس: Lois des logarithmes الرياضيات

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les lois des logarithmes pour simplifier les expressions logarithmiques.

Tout d’abord, rappelons ce qu’est un logarithme. Une fonction logarithmique est la fonction réciproque d’une fonction exponentielle. Nous pouvons utiliser des logarithmes pour déterminer des exposants inconnus dans des équations exponentielles et les utiliser pour réécrire une équation de sorte que l’exposant soit l’inconnue de l’équation. Nous le faisons en utilisant la définition suivante.

Définition : Logarithmes

Si une équation exponentielle est de la forme 𝑎=𝑛, 𝑎>0, alors elle peut être écrite comme une équation logarithmique log𝑛=𝑥,𝑎 est la base du logarithme, 𝑛 est l’argument, et 𝑥 est l’exposant.

Par conséquent, 𝑎=𝑛𝑛=𝑥log.

Tout comme avec les exposants, nous avons des lois pour les logarithmes. Comme les fonctions logarithmiques sont les réciproques des fonctions exponentielles, les lois des logarithmes sont contraires aux lois des exposants. Nous pouvons également utiliser les lois des exposants pour nous aider à déduire les lois des logarithmes, ce que nous ferons tout au long de cette fiche explicative. Rappelons d’abord les lois des exposants.

Règle : Lois des exposants

  • 𝑎×𝑎=𝑎
  • 𝑎÷𝑎=𝑎, 𝑎0
  • (𝑎)=𝑎
  • 𝑎=𝑎, 𝑛0
  • 𝑎=1𝑎, 𝑎0
  • 𝑎=𝑎, 𝑎0
  • 𝑎=1, 𝑎0

Nous commencerons par déduire deux cas particuliers des logarithmes en utilisant la définition d’un logarithme et deux des lois des exposants comme suit.

Comme 𝑎=𝑛𝑛=𝑥log, alors en posant 𝑥=1, on peut dire que 𝑎=𝑎𝑎=1,log𝑎0.

De même, en posant 𝑥=0 on peut dire que 𝑎=11=0,𝑎0.

Cela nous mène aux propriétés ci-dessous.

Propriété : Valeurs particulières des logarithmes

Pour un logarithme de base 𝑎, 𝑎>0,

  • log𝑎=1,
  • log1=0.

En raison du fait que les logarithmes sont définis comme étant les réciproques des fonctions exponentielles et que 𝑓𝑓(𝑥)=𝑥 et 𝑓(𝑓(𝑥))=𝑥, les propriétés suivantes sont conservées.

Propriétés : Composition des fonctions exponentielles et logarithmiques

Pour 𝑎>0, nous avons

  • 𝑎=𝑥log,
  • log𝑎=𝑥.

Aussi, notez que 𝑥>0 est une condition pour la première propriété car nous ne pouvons pas prendre le logarithme d’un nombre négatif.

Nous allons maintenant déduire chacune des lois des logarithmes de même base tour à tour.

Premièrement, nous allons déduire la loi d’un produit pour les logarithmes, qui est liée à la loi d’un produit pour les exposants.

Disons que nous avons deux équations logarithmiques 𝑚=𝑥log et 𝑛=𝑦log que les deux sont de base 𝑎, 𝑎>0 et d’arguments 𝑥, 𝑦>0. En les réécrivant comme des exposants, on obtient 𝑚=𝑥𝑎=𝑥log et 𝑛=𝑦𝑎=𝑦.log

En multipliant ces deux équations exponentielles ensemble et en utilisant la loi d’un produit pour les exposants, on obtient 𝑥×𝑦=𝑎×𝑎𝑥𝑦=𝑎.

Si nous réécrivons cela comme une équation logarithmique de base 𝑎 et d’argument 𝑥𝑦 on obtient log𝑥𝑦=𝑚+𝑛.

Puis, en remplaçant 𝑚=𝑥log et 𝑛=𝑦log on obtient logloglog𝑥𝑦=𝑚+𝑛=𝑥+𝑦.

Par conséquent, logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦.

Ensuite, nous déduirons la loi d’un quotient pour les logarithmes, qui est liée à la loi d’un quotient pour les exposants.

Disons que nous avons deux équations logarithmiques, 𝑚=𝑥log et 𝑛=𝑦log qui sont de base 𝑎, 𝑎>0 et d’arguments 𝑥, 𝑦>0. En les réécrivant comme exposants, on obtient 𝑚=𝑥𝑎=𝑥log et 𝑛=𝑦𝑎=𝑦.log

En divisant la première équation exponentielle par la seconde et en utilisant la loi d’un quotient pour les exposants, on obtient 𝑥𝑦=𝑎𝑎𝑥𝑦=𝑎.

Si nous réécrivons cela comme une équation logarithmique de base 𝑎 et d’argument 𝑥𝑦, on obtient log𝑥𝑦=𝑚𝑛.

Puis, en remplaçant 𝑚=𝑥log et 𝑛=𝑦log, on obtient logloglog𝑥𝑦=𝑚𝑛=𝑥𝑦.

Par conséquent, logloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦.

Enfin, nous déduirons la loi d’une puissance pour les logarithmes, qui est liée à la loi d’une puissance pour les exposants.

Disons que nous avons une équation logarithmique 𝑚=𝑥log de base 𝑎, 𝑎>0 et d’argument 𝑥>0. En réécrivant ceci sous forme d’exposant, nous obtenons 𝑚𝑥𝑎=𝑥.log

Si nous élevons alors les deux membres à la puissance 𝑛 et utilisons la loi d’une puissance pour les exposants, nous obtenons (𝑎)=𝑥𝑎=𝑥.

Si nous réécrivons cela comme une équation logarithmique, de base 𝑎 et d’argument 𝑥, on obtient 𝑎=𝑥𝑥=𝑚𝑛.log

Puis, en remplaçant 𝑚=𝑥log dans l’équation logarithmique, on obtient logloglog𝑥=𝑚𝑛=𝑥𝑛=𝑛𝑥.

Par conséquent, loglog𝑥=𝑛𝑥.

Après avoir déduit les trois lois du logarithme pour des bases égales, nous les résumons dans les propriétés suivantes.

Propriété : Lois des logarithmes de même base

Pour les logarithmes de même base 𝑎, 𝑎>0, les règles suivantes des logarithmes s’appliquent:

  • Loi d’un produit:logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦,𝑥>0 et 𝑦>0.
  • Loi d’un quotient:logloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦,𝑥>0 et 𝑦>0.
  • Loi d’une puissance:loglog𝑥=𝑛𝑥,𝑥>0.

Dans le premier exemple, nous déterminerons si une affirmation à propos des logarithmes est vraie ou fausse en utilisant les lois des logarithmes de même base.

Exemple 1: Utiliser les lois des logarithmes pour vérifier les affirmations d’égalité

Est-il vrai que logloglog(𝑥+𝑦)=𝑥+𝑦?

Réponse

Nous savons d’après la loi d’un produit de logarithmes que logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦,

𝑎>0, 𝑥>0 et 𝑦>0.

Comme loglog𝑥+𝑦 est le membre droit de l’équation, alors on peut dire loglogloglog(𝑥+𝑦)=𝑥+𝑦=𝑥𝑦.

Par conséquent, pour que les deux membres soient égaux, les arguments doivent être égaux, ce qui signifie 𝑥+𝑦=𝑥𝑦.

Comme cela n’est pas vrai pour toutes les valeurs de 𝑥 et 𝑦, alors l’affirmation est fausse.

Dans l’exemple suivant, nous utiliserons les lois des logarithmes de même base pour calculer un logarithme, où il serait difficile de le calculer sans une calculatrice ou des tables de logarithmes.

Exemple 2: Calculer des expressions logarithmiques en utilisant les lois des logarithmes

Déterminez la valeur de logloglog1280225 sans utiliser de calculatrice.

Réponse

Pour calculer logloglog1280225, on peut utiliser la loi des logarithmes de même base, car les deux termes ont la même base. Nous avons deux opérations dans cette expression, une multiplication et deux soustractions. Nous commencerons par simplifier le terme avec la multiplication car il s’agit d’une priorité dans l’ordre des opérations.

Pour simplifier 22log, on utilise la loi d’une puissance des logarithmes, selon laquelle loglog𝑥=𝑛𝑥,𝑥>0. En appliquant ceci à 22log, on obtient 22=2=4.logloglog

En le remettant dans l’expression originale, on obtient alors loglogloglogloglog1280225=128045.

Ensuite, nous pouvons simplifier les soustractions en utilisant la loi d’un quotient des logarithmes, selon laquelle logloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦,𝑎>0, 𝑥>0 et 𝑦>0.

Nous allons commencer par appliquer cette loi aux deux premiers termes, en nous donnant loglogloglog12804=12804=320.

En remplaçant dans l’expression, on obtient logloglogloglog128045=3205.

Ensuite, nous pouvons appliquer à nouveau la loi d’un quotient aux deux termes restants pour nous donner loglogloglog3205=3205=64.

Comme la base est 4, alors en écrivant l’argument 64 comme une puissance de 4, on peut utiliser la loi d’une puissance à nouveau.

Donc, cela nous donne alors logloglog64=4=34.

Comme nous le savons log4=1, on obtient 34=3.log

Par conséquent, logloglog1280225=3.

Lors de la recherche d’inconnues dans les logarithmes, il est utile d’utiliser les propriétés suivantes pour chaque logarithme égal à un autre.

Propriété : Mise en équation des logarithmes

  • Si deux logarithmes de même base sont égaux, alors leurs arguments doivent être égaux;c’est-à-dire loglog𝑥=𝑦𝑥=𝑦, 𝑎>0.
  • Si deux logarithmes avec les mêmes arguments sont égaux, alors leurs bases doivent être égales;c’est-à-dire loglog𝑥=𝑥𝑎=𝑏, 𝑎, 𝑏>0.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment trouver des inconnues dans l’argument des logarithmes multiples en utilisant les lois des logarithmes et les propriétés pour assimiler les logarithmes.

Exemple 3: Déterminer une inconnue dans une équation logarithmique

Déterminez l’ensemble solution de logloglog𝑥+(𝑥8)=9 dans .

Réponse

Pour trouver l’ensemble solution de logloglog𝑥+(𝑥8)=9, on peut utiliser les lois des logarithmes car tous les termes ont la même base.

Tout d’abord, nous allons simplifier le membre de gauche de l’équation en utilisant la loi d’un produit des logarithmes. Cela dit que logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦,𝑎>0, 𝑥>0 et 𝑦>0.

Par conséquent, en appliquant cela sur le membre gauche, on obtient logloglogloglogloglog𝑥+(𝑥8)=9𝑥×(𝑥8)=9𝑥(𝑥8)=9.

Comme les deux membres de l’équation forment un seul logarithme avec la même base, nous utilisons la propriété loglog𝑥=𝑦𝑥=𝑦 pour déterminer 𝑥.

Par conséquent, nous obtenons loglog𝑥(𝑥8)=9𝑥(𝑥8)=9.

En simplifiant et déterminant 𝑥(𝑥8)=9, on obtient 𝑥(𝑥8)=9𝑥8𝑥=9𝑥8𝑥9=0(𝑥9)(𝑥+1)=0𝑥=1𝑥=9.ou

Maintenant, puisque nous avons logloglog𝑥+(𝑥8)=9 comme l’équation d’origine et l’argument d’un logarithme ne peuvent être que positifs, alors la seule solution valide est 𝑥=9.

Par conséquent, l’ensemble solution de logloglog𝑥+(𝑥8)=9 est 𝑥=9.

Dans l’exemple suivant, nous utiliserons les lois des logarithmes pour trouver une inconnue dans l’argument, où un terme n’est pas écrit comme un logarithme.

Exemple 4: Déterminer une inconnue dans une équation logarithmique

Déterminez l’ensemble solution de l’équation loglog𝑥=4(𝑥+6) dans .

Réponse

Pour déterminer l’ensemble solution de l’équation loglog𝑥=4(𝑥+6), on peut utiliser les lois des logarithmes pour simplifier cela.

Pour utiliser les lois des logarithmes, nous commencerons par déplacer tous les termes avec logarithmes vers la gauche de l’équation en réarrangeant. Cela nous donne loglogloglog𝑥=4(𝑥+6)𝑥+(𝑥+6)=4.

Ensuite, nous utiliserons la loi d’un produit des logarithmes pour simplifier le membre de gauche. La loi énonce que logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦,𝑎>0, 𝑥>0 et 𝑦>0.

L’appliquer sur le membre gauche nous donne loglogloglog𝑥+(𝑥+6)=4𝑥×(𝑥+6)=4𝑥(𝑥+6)=4.

Ensuite, pour trouver l’inconnue, nous pouvons réécrire le logarithme sous la forme d’exposant, ce qui nous donne log𝑥(𝑥+6)=42=𝑥(𝑥+6).

Nous pouvons maintenant simplifier et résoudre 2=𝑥(𝑥+4), ce qui nous donne 2=𝑥(𝑥+6)16=𝑥+6𝑥𝑥+6𝑥16=0(𝑥8)(𝑥+2)=0𝑥=2𝑥=8.ou

Maintenant, puisque nous avons loglog𝑥=4(𝑥+6) comme l’équation d’origine et l’argument doivent être positifs, alors 𝑥=8 est la seule solution valide à l’équation.

Par conséquent, l’ensemble solution de loglog𝑥=4(𝑥+6) est 𝑥=8.

En plus d’utiliser les lois des logarithmes pour simplifier et évaluer les expressions avec plusieurs termes, nous pouvons les utiliser pour développer un seul logarithme. Dans l’exemple suivant, nous utiliserons les lois des logarithmes de même base pour le faire, mais avant de le faire, nous rappellerons une notation sur les bases particulières.

Définition : Notation pour les logarithmes de base 10

  • Pour un logarithme de base 10, on omet la base et on écrit uniquement log. C’est loglog𝑥=𝑥, qui est appelé le « logarithme commun ».

Nous utiliserons log𝑥 pour un logarithme de base 10 dans l’exemple suivant.

Exemple 5: Développer les logarithmes

Développez log𝑎𝑏𝑐 en utilisant les propriétés du log.

Réponse

Comme on nous demande de développer un logarithme en utilisant les propriétés du log, nous devrons utiliser les lois des logarithmes de même base, qui sont les suivantes:loidunproduit:logloglogloidunquotient:logloglogloidunepuissance:loglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦,𝑥𝑦=𝑥𝑦,𝑥=𝑛𝑥,

𝑎>0, 𝑥>0 et 𝑦>0.

Afin de développer, nous appliquons les règles dans l’ordre inverse des opérations indiquées. Étant donné que la multiplication et la division sont du même ordre, il est généralement conseillé d’appliquer la loi d’un quotient car elle est moins susceptible de conduire à une erreur d'inattention (surtout si l’opération de multiplication est utilisée au numérateur et au dénominateur). Cela nous donne logloglog𝑎𝑏𝑐=𝑎𝑏𝑐.

Ensuite, nous appliquerons la loi d’un produit au premier logarithme, ce qui nous donne logloglogloglog𝑎𝑏𝑐=𝑎+𝑏𝑐.

Enfin, nous appliquerons la loi d’une puissance à chaque terme, ce qui nous donne loglogloglogloglog𝑎+𝑏𝑐=2𝑎+3𝑏5𝑐.

Par conséquent, loglogloglog𝑎𝑏𝑐=2𝑎+3𝑏5𝑐.

Développement

En plus des lois des logarithmes de même base, nous avons ensuite des lois pour changer la base d’un logarithme. Ceci est particulièrement utile quand il y a différents logarithmes de différentes bases dans une équation, car cela nous permet de rendre les bases identiques.

Nous déduisons la règle du changement de base d’une manière similaire aux règles des logarithmes de même base, mais au lieu de définir deux équations logarithmiques de même base, changeons la base et posons-les avec le même argument. Nous procédons comme suit.

Disons que nous avons deux équations logarithmiques 𝑚=𝑥log et 𝑛=𝑥log qui ont des bases 𝑦 et 𝑎, 𝑦, 𝑎>0, et le même argument 𝑥, 𝑥>0. En les réécrivant comme exposants, on obtient 𝑚=𝑥𝑦=𝑥log et 𝑛=𝑥𝑎=𝑥.log

Puis, en substituant 𝑥=𝑦 dans 𝑛=𝑥log on obtient 𝑛=𝑦.log

En utilisant la loi des puissances des logarithmes, on obtient 𝑛=𝑚𝑦.log

En remplaçant 𝑚=𝑥log, on obtient 𝑛=𝑥𝑦.loglog

Par conséquent, comme 𝑛=𝑥log on obtient logloglog𝑥=𝑥𝑦, qui lors de la division par log𝑦 est logloglog𝑥=𝑥𝑦, qui est la règle de changement de base pour les logarithmes, comme indiqué dans la règle ci-dessous.

Règle : Règle de changement de base pour les logarithmes

Pour log𝑥 de base 𝑦>0 et d’argument 𝑥>0, on l’écrit avec une base choisie 𝑎>0 en utilisant la règle suivante:logloglog𝑥=𝑥𝑦.

Note

Comme on ne peut pas diviser par 0, alors log𝑦0 et 𝑦1 (car log1=0).

En utilisant la règle de changement de base, nous pouvons déduire une autre règle pour les logarithmes, qui est la loi de l’inverse pour la multiplication.

Disons que pour certains logarithmes log𝑥 de base 𝑦>0 et d’argument 𝑥>0, si on utilise la règle de changement de base pour changer la base en 𝑥, alors cela nous donnerait logloglog𝑥=𝑥𝑦.

On sait d’après les valeurs particulières des logarithmes que log𝑥=1 (comme la base et l’argument sont égaux);par conséquent, loglog𝑥=1𝑦.

Ceci est rendu explicite dans la règle ci-dessous.

Règle : Loi de l’inverse pour les logarithmes

Pour log𝑥 de base 𝑦>0 et d’argument 𝑥>0, nous pouvons échanger la base et l’argument en utilisant la loi de l’inverse, qui dit que loglog𝑥=1𝑦.

Note

Comme on ne peut pas diviser par 0, alors log𝑦0 et 𝑦1 (car log1=0).

Dans l’exemple suivant, nous utiliserons la règle de changement de base pour identifier quelle expression est égale à quelle autre.

Exemple 6: Utiliser les lois des logarithmes pour relier des expressions

Sélectionnez l’expression égale à loglog𝑥𝑦.

  1. loglog𝑦𝑥
  2. loglog𝑎𝑎
  3. loglog𝑥𝑦
  4. loglog𝑏𝑏

Réponse

Pour déterminer laquelle des expressions est égale à loglog𝑥𝑦, nous examinerons chaque expression à tour de rôle et appliquerons les lois des logarithmes lorsque cela est nécessaire.

Pour l’option A, si loglogloglog𝑥𝑦=𝑦𝑥, alors puisque tous les logarithmes des deux expressions sont de base 𝑎, on peut dire que les arguments au numérateur sont égaux et les arguments au dénominateur sont égaux, ce qui nous donne 𝑥=𝑦𝑦=𝑥().etcequiestpareil

Par conséquent, ceci n’est vrai que lorsque 𝑥=𝑦 et donc ce n’est pas vrai pour toutes les valeurs possibles de 𝑥 et 𝑦, ce qui signifie que la réponse n’est pas l’option A.

Pour l’option B, si loglogloglog𝑥𝑦=𝑎𝑎,

alors nous pouvons voir que l’argument et la base ont été échangés pour les deux logarithmes au numérateur et le dénominateur de l’expression initiale pour obtenir les logarithmes dans la deuxième expression. Par conséquent, pour vérifier si cela est vrai, nous pouvons appliquer la loi de l’inverse pour les logarithmes, qui dit que loglog𝑥=1𝑦,𝑥>0, 𝑦>0 et 𝑦0.

En appliquant ceci au numérateur de l’expression initiale, on obtient loglog𝑥=1𝑎,et en appliquant cela au dénominateur de l’expression initiale, on obtient loglog𝑦=1𝑎.

Par conséquent, lors de la substitution dans l’expression initiale, nous avons loglogloglogloglog𝑥𝑦==1𝑎×𝑎1=𝑎𝑎.loglog

Comme il s’agit de l’inverse de l’option B et non de l’option B, cela ne peut pas être équivalent pour toutes les valeurs de 𝑥 et 𝑦. Donc, la réponse n’est pas l’option B.

Pour l’option C, si loglogloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦, alors nous pouvons voir que les arguments de la deuxième expression sont les mêmes que les arguments de la première expression, mais la base a changé. Par conséquent, nous pouvons voir si les deux expressions sont équivalentes en utilisant la règle de changement de base, qui est la suivante:logloglog𝑥=𝑥𝑦,𝑎>0, 𝑥>0, 𝑦>0, et 𝑦0.

En appliquant la règle de changement de base au membre de gauche de l’équation et en passant à la base 𝑦 on obtient logloglog𝑥𝑦=𝑥.

Par conséquent, comme le membre gauche est le même que le membre droit, alors loglogloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦.

Ainsi, l’option C est la bonne réponse.

Notez que bien que nous ayons trouvé que l’option C est correcte, nous verrons brièvement pourquoi l’option D ne l’est pas. Comme l’option D est très similaire à l’option B (mais avec un argument différent), alors en appliquant la même méthode que celle utilisée pour l’option B, nous pouvons montrer que l’option D est fausse.

Dans le dernier exemple, nous utiliserons les lois des logarithmes pour résoudre un problème dans un contexte réel.

Exemple 7: Utiliser les lois des logarithmes pour déterminer le périmètre d’une figure donnée

Calculez le périmètre de la figure ci-dessous.

Réponse

Premièrement, nous allons trouver une expression pour le périmètre en fonction des logarithmes en additionnant les longueurs du rectangle. Cela nous donne les éléments suivants:périmètredurectanglelongueurlargeurloglog=2(+)=29+81.

Pour simplifier cela, nous pouvons utiliser les lois des logarithmes de même base. Nous commencerons par la loi d’un produit, qui énonce que logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦,𝑎>0, 𝑥>0 et 𝑦>0.

Cela nous donne alors 29+81=29×81=2729.loglogloglog

Puisque 729 est 27, on peut simplifier l’expression et l’évaluer en utilisant la loi de puissance selon laquelle loglog𝑥=𝑛𝑥,𝑎>0 et 𝑥>0.

Par conséquent, 2729=227=2227=427.loglogloglog

Comme log27=1, le périmètre du rectangle est 4 m.

Dans cette fiche explicative, nous avons dérivé les lois des logarithmes de même base, la règle du changement de base et la loi de l’inverse pour la multiplication. Nous avons utilisé ces règles pour simplifier et développer les logarithmes et résoudre des problèmes impliquant des logarithmes. Récapitulons les points clés.

Points clés

  • Pour les logarithmes de même base 𝑎>0, nous avons les lois suivantes:
    • Loi d’un produit:logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦,𝑥>0 et 𝑦>0.
    • Loi d’un quotient:logloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦,𝑥>0 et 𝑦>0.
    • Loi d’une puissance:loglog𝑥=𝑛𝑥,𝑥>0.
  • Nous avons deux cas particuliers de logarithmes, qui sont
    • log𝑎=1, 𝑎>0;
    • log1=0, 𝑎>0.
  • Pour résoudre des logarithmes égaux, on peut utiliser les propriétés suivantes:
    • loglog𝑥=𝑦𝑥=𝑦, 𝑎>0;
    • loglog𝑥=𝑥𝑎=𝑏, 𝑎, 𝑏>0.
  • Développement:On peut changer la base d’un logarithme en utilisant les lois suivantes:
    • Règle du changement de base:logloglog𝑥=𝑥𝑦,𝑎>0, 𝑥>0, 𝑦>0 et 𝑦0.
    • Propriété de l’inverse:loglog𝑥=1𝑦,𝑥>0, 𝑦>0 et 𝑦0.

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