في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم قوانين اللوغاريتمات لتبسيط المقادير اللوغاريتمية.
نذكر أنه إذا كان لدينا العدد الموجب (بشرط أن يكون )، وأي عدد موجب آخر ، فإن لوغاريتم الأساس لـ هو العدد ؛ حيث:
نكتب ذلك في صورة: . وتوضح قوانين اللوغاريتمات كيف تحوِّل اللوغاريتمات حواصل الضرب وخوارج القسمة إلى مجاميع وفروق، وكذلك كيف يمكن تفسير خارج قسمة لوغاريتمات في صورة لوغاريتم.
قوانين اللوغاريتمات
بالنسبة لأي أساس ثابت ؛ حيث ، وأي أعداد موجبة ، ، فإن:
- الضرب: ،
- القسمة: ،
- القوى: لأي أس حقيقي ،
- تغيير الأساس: .
يوجد تعليق بسيط على رقم (٤). لاحظ أنه يمكن قراءته أيضًا على الصورة: بجعل . يأتي قانون «تغيير الأساس» هذا من قانون الأسس الذي ينص على أن: بما أن رفع الطرف الأيمن في المتطابقة السابقة كقوة لـ يعطينا:
هذا يعني أن العدد يحقِّق ، وهذا هو المطلوب لكي يساوي هذا العدد .
مثال ١: استخدام قوانين اللوغاريتمات لإيجاد قيم المقادير
احسب .
الحل
بتطبيق قانون اللوغاريتمات للقسمة، نحصل على:
نلاحظ أن طريقة الحل هي: تطبيق قوانين اللوغاريتمات قبل تبسيط المقادير العددية وإجراء مزيد من عمليات التبسيط.
مثال ٢: استخدام قوانين اللوغاريتمات لإيجاد قيم المقادير
أوجد قيمة ، دون استخدام الآلة الحاسبة.
الحل
بتطبيق قانون اللوغاريتمات للمجاميع، ثم قانون اللوغاريتمات للفروق على التوالي، يصبح لدينا:
مثال ٣: استخدام قوانين اللوغاريتمات لإيجاد قيم المقادير
أوجد قيمة ، دون استخدام الآلة الحاسبة.
الحل
سنبسِّط ذلك إلى خارج قسمة لوغاريتمات بتطبيق قوانين المجاميع والفروق أولًا لتبسيط البسط والمقام:
وأخيرًا، سنطبق القانون الذي ينص على أن هذا نفسه لوغاريتم:
في كثير من الأحيان، تكمن الحيلة في تطبيق القوانين «بصورة عكسية».
مثال ٤: استخدام قوانين اللوغاريتمات لإيجاد المقادير المكافئة
أيٌّ من التالي يساوي ؟
الحل
يشير بالطبع إلى . سنبدأ بتبسيط البسط باستخدام قانون القوة للوغاريتمات:
وبتطبيق قانون المجموع للوغاريتمات على المقام نحصل على:
ومن ثم:
إذن، الخيار الصحيح هو (ج).
تذكَّر أن قانون تغيير الأساس له صيغتان مختلفتان. لاحظ الصيغة التي نستخدمها هنا.
مثال ٥: استخدام قوانين اللوغاريتمات لتبسيط المقادير
بسِّط .
الحل
إن نتيجة تغيير الأساس هي:
حاصل الضرب الموجود لدينا ليس مناسبًا، لكن إذا تذكرنا أن ، يمكننا استخدام قاعدة القوة:
ومن ثم:
