الشارح للدرس: المشتقات الثانية للمعادلات البارامترية الرياضيات

مثال ١: إيجاد المشتقة الثانية للمعادلات البارامترية

إذا كانت ، ، فأوجد .

الحل

الخطوة الأولى في إيجاد المشتقة الثانية لهاتين المعادلتين البارامتريتين هي إيجاد المشتقة الأولى. ويُمكننا فعل ذلك باستخدام الصيغة:

أولًا، يُمكننا اشتقاق بالنسبة إلى . وبما أن كثيرة حدود بدلالة ، فسوف نستخدم اشتقاق كثيرة الحدود. أولًا، نضرب كلَّ حدٍّ في قوة الخاصة به، ثم نقلِّل قوة بمقدار واحد. وهذا يُعطينا:

وبالمثل، علينا أيضًا اشتقاق بالنسبة إلى . هذا يُعطينا:

بالتعويض بذلك في صيغة المشتقة الأولى، نحصل على:

نحن الآن مستعدون لاستخدام صيغة المشتقة الثانية، وهي كالآتي:

لقد أوجدنا بالفعل ، إذن كلُّ ما علينا فعله هو إيجاد مشتقة بالنسبة إلى . من خلال الاشتقاق، نحصل على:

وبهذا نكون قد أوجدنا جميع أجزاء معادلة المشتقة الثانية، ويُمكننا التعويض بهذه الأجزاء، وهو ما يُعطينا الحل:

مثال ٢: إيجاد قيمة المشتقة الثانية للمعادلات البارامترية عند نقطة مُعطاة

إذا كانت ، ، فأوجد ، عندما تكون .

الحل

بما أننا نحاول إيجاد المشتقة الثانية لـ بالنسبة إلى ؛ حيث ، على الصورة البارامترية، إذن يُمكننا استخدام المعادلة الآتية:

يُمكننا أن نبدأ باشتقاق ، بالنسبة إلى . باستخدام اشتقاق كثيرة الحدود، نحصل على: وعلى:

وباستخدام ذلك، نجد أن:

بعد ذلك، علينا اشتقاق بالنسبة إلى . وعندما نفعل ذلك، نحصل على:

نحن الآن مستعدون لإيجاد . بالتعويض بما أوجدناه في الصيغة، نحصل على:

والآن كلُّ ما علينا فعله هو إيجاد قيمة المشتقة الثانية عند النقطة المُعطاة . وعندما نفعل ذلك، نصل إلى الحل:

مثال ٣: تحديد تقعُّر منحنًى مُعرَّف بارامتريًّا عند نقطة مُعطاة

لدينا المنحنى المُعرَّف بارامتريًّا ، . حدِّد إذا ما كان هذا المنحنى مقعَّرًا لأعلى، أو لأسفل، أو لا شيء من ذلك، عند .

الحل

مطلوب منَّا هنا إيجاد تقعُّر منحنًى، إذن علينا إيجاد قيمة المشتقة الثانية للمنحنى عند النقطة المُعطاة. وبما أن هذا المنحنى مُعرَّف بارامتريًّا، يُمكننا استخدام الصيغة الآتية لإيجاد مشتقته الثانية:

هيَّا نبدأ بإيجاد و. يُمكننا فعل ذلك باستخدام اشتقاق الدوال المثلثية. لدينا: ولدينا:

ومن ثَمَّ، نجد أن:

يُمكننا الآن اشتقاق بالنسبة إلى . وباستخدام تفاضل مقلوب الدوال المثلثية، يصبح لدينا:

والآن يُمكننا التعويض بذلك في صيغة المشتقة الثانية. وعندما نفعل ذلك، نحصل على:

الآن، بعد أن أوجدنا المشتقة الثانية للمنحنى، علينا التعويض بقيمة البارامتر عند النقطة التي نحاول إيجاد التقعُّر عندها. النقطة المُعطاة هي ؛ لذا نعوِّض بهذا في المعادلة ليصبح لدينا:

نلاحظ أن المشتقة الثانية عند لها قيمة سالبة، إذن يصبح لدينا:

ومن ثَمَّ، يجب أن يكون المنحنى مقعَّرًا لأسفل عند هذه النقطة.

مثال ٤: إيجاد المشتقة الثانية لدالة مُعرَّفة بالمعادلات البارامترية

إذا كانت ، ، فأوجد .

الحل

لحلِّ هذا السؤال، علينا أولًا إيجاد . يُمكننا استخدام الصيغة:

ولنتمكَّن من إيجاد علينا إيجاد و. يُمكننا فكُّ حدَّيْ ذات الحدَّيْن لـ ، لنحصل على:

ثم نشتقهما بالنسبة إلى لنحصل على:

باستخدام ما أوجدناه، يُمكننا القول إن:

ولإيجاد المشتقة الثانية، علينا اشتقاق بالنسبة إلى . لكي نفعل ذلك، علينا استخدام قاعدة القسمة للاشتقاق. تنصُّ قاعدة القسمة على أنه إذا كانت لدينا دالة على الصورة ، فإننا نُوجِد مشتقتها باستخدام:

في هذه الحالة، ، . إذن ، . بالتعويض بهذه القِيَم في الصيغة لدينا، نحصل على:

يُمكننا تبسيط البسط لنحصل على:

الآن، نحن على استعداد لإيجاد . بالتعويض في الصيغة، يصبح لدينا:

لكي نُوجِد حلَّ المسألة، كلُّ ما علينا فعله هو ضرب في . وعندما نفعل ذلك، نَصِل إلى الحلِّ: