في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ المعادلات التربيعية باستخدام التمثيل البياني للدوال.
هيا نتذكَّر تعريف المعادلة التربيعية.
تعريف: المعادلة التربيعية
المعادلة التربيعية معادلة يُمكِن كتابتها على الصورة القياسية كالآتي: حيث هو المتغيِّر، ، ، ثوابت، .
نلاحظ أنه يُمكِن دائمًا إعادة ترتيب المعادلة التربيعية لتساوي صفرًا، كما هو موضَّح في التعريف السابق، وذلك بنقل جميع المتغيِّرات والثابت إلى أحد طرفَي المعادلة.
والآن، تذكَّر أنه عندما نحل معادلة تربيعية، نُوجِد قيم التي تحقِّق المعادلة. إحدى طرق حل المعادلة التربيعية هي التحليل. وفي هذه الطريقة، نُعيد ترتيب المعادلة التربيعية لتكون على الصورة التحليلية:
ومن هنا، نستنتج أن ، يحقِّقان المعادلة؛ ولذا فهما حلان للمعادلة. في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف يُمكِننا أيضًا استخدام طريقة بيانية لحل المعادلات التربيعية. ولتمثيل معادلة تربيعية بيانيًّا، نُعيد كتابتها على الصورة:
بعبارةٍ أخرى، نكتب المتغيِّر مكان الصفر. لاحظ أننا عادةً ما نرمز إلى الطرف الأيمن في الدوال بالرمز (). إن كتابة المعادلة في صورة دالة يتيح لنا ملاحظة كيف يتغيَّر التمثيل البياني لـ مع القيم المختلفة لـ . وسنفعل ذلك برسم منحنى على تمثيل بياني محوراه ، .
افترِض أننا نريد حل المعادلة التربيعية باستخدام هذا التمثيل البياني. بما أن المعادلة التربيعية تُحَلُّ عندما تساوي صفرًا، نجعل في الدالة، ونُوجِد قيم التي تحقِّق المعادلة. وهذا يعني أن حلول المعادلة هي قيم التي تساوي الدالة عندها صفرًا، وهي التي نُسمِّيها جذور الدالة. وعلى التمثيل البياني، هذه القيم هي إحداثيات للنقاط التي تكون قيمة عندها صفرًا، وهي النقاط التي يقطع عندها المنحنى .
للتمثيلات البيانية للدوال التربيعية خواص مميزة يُمكِن استخدامها لتساعدنا في تحديد النقاط المهمة لمعادلة ما. وسواء كنا ندرس التمثيل البياني لدالة تربيعية أو نستخدم المعادلة لرسم التمثيل البياني، لا ينبغي أن تغيب النقاط الآتية عن ذهنك.
خواص: التمثيلات البيانية للدوال التربيعية
- منحنى الدالة التربيعية المكتوبة على الصورة يكون على شكل قطع مكافئ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
- تكون للمنحنى قيمة صغرى عند الرأس، ويكون مفتوحًا لأعلى عندما يكون أكبر من الصفر (كما هو موضَّح في التمثيل البياني الأيسر). وتكون للمنحنى قيمة عظمى عند الرأس، ويكون مفتوحًا لأسفل عندما يكون أصغر من الصفر (كما هو موضَّح في التمثيل البياني الأيمن).
لاحظ أن قيمة لا يُمكِن أن تساوي صفرًا؛ لأن هذا من شأنه أن يلغي حد ، وهو ما يعني أن المعادلة في هذه الحالة لم تَعُد تربيعية. - يُمكِن أيضًا إعادة ترتيب الدالة التربيعية لتكون على صيغة رأس المنحنى كالآتي: حيث هي إحداثيات رأس القطع المكافئ (نقطة التحول).
- التمثيل البياني للدالة التربيعية متماثل حول الخط الرأسي ؛ حيث هي إحداثيات رأس القطع المكافئ.
- الجزء المقطوع من المحور (الإحداثي الذي يقطع عنده القطع المكافئ ) للدالة يكون دائمًا عند .
- الأجزاء المقطوعة من المحور ؛ حيث يقطع المنحنى ، ستكون عند النقاط التي عندها . وتمثِّل إحداثيات لهذه النقاط جذور الدالة؛ ومن ثَمَّ حلول المعادلة التربيعية. ويُمكِننا تحديد هذه النقاط على التمثيل البياني بالنظر إليه.
- من المفيد أن نتذكَّر أن المعادلة التربيعية لها حلان حقيقيان بحدٍّ أقصى. إذا كان للمعادلة حلان، فستقطع الدالة المناظِرة لها مرتين. وإذا كان للمعادلة حل متكرر، فهذا يعني أن رأس المنحنى يقع على . وأخيرًا، إذا لم يُوجَد حل للمعادلة، فهذا يعني أن المنحنى واقع بأكمله فوق أو أسفله.
- في التمثيلات البيانية السابقة؛ للدالة التي على اليسار جذران، وللدالة الوسطى جذر واحد عند النقطة التي يمس المنحنى فيها ، وليس للدالة التي على اليمين جذور.
هيا نتناول مثالًا يُمكِننا فيه تطبيق الخواص السابقة لإيجاد حل معادلة تربيعية باستخدام تمثيل بياني.
مثال ١: حل معادلة تربيعية بيانيًّا
يوضِّح الشكل التمثيل البياني لـ . ما مجموعة حل معادلة الدالة ؟
الحل
نعلم أن إحداثيات أيِّ نقطة على التمثيل البياني لدالة ما تُكتَب على الصورة . مطلوبٌ منا إيجاد مجموعة حل المعادلة ، وهي مجموعة قيم التي تكون قيم عندها صفرًا. على التمثيل البياني، هذا يناظِر النقاط التي يقطع عندها المنحنى ؛ إذ إن عند هذه النقاط. وبالنظر إلى المنحنى، نلاحظ أنه يقطع عند نقطتين؛ عند ، وعند .
إذن مجموعة الحل هي .
في مثالنا الأول، رأينا أنه بما أن المنحنى قطع مرتين، إذن للمعادلة حلان. هيا نتناول مثالًا آخر يبيِّن أن هذا ليس ما يحدث دائمًا.
مثال ٢: حل معادلة تربيعية بيانيًّا
يوضِّح التمثيل البياني الدالة . ما مجموعة حل ؟
الحل
نعلم أن إحداثيات أيِّ نقطة على التمثيل البياني لدالة ما تُكتَب على الصورة . ومن ثَمَّ، لإيجاد مجموعة حل ، علينا إيجاد النقاط التي يكون عندها ، وإيجاد إحداثيات لها. ويُمكِننا إيجاد هذه القيم على التمثيل البياني من خلال تحديد النقاط التي يقطع عندها المنحنى . وفي هذه الحالة، نلاحظ أن المنحنى لا يقطع ، بل يَمسُّه عند نقطة واحدة؛ عند تحديدًا. ولذا يُمكِننا القول إن يساوي صفرًا عند النقطة التي يكون عندها .
إذن لا تحتوي مجموعة الحل إلا على قيمة واحدة، وهي .
حتى الآن تناولنا منحنيات المعادلات التربيعية التي تقطع مرتين، أو تَمسُّه مرةً واحدةً فقط، لكن ماذا يحدث عندما لا يقطع المنحنى أبدًا؟
مثال ٣: حل معادلة تربيعية بيانيًّا
يوضِّح التمثيل البياني الدالة . ما مجموعة حل ؟
الحل
أعطانا السؤال هنا الدالة ، لكنْ بما أن لدينا التمثيل البياني، إذن يُمكِننا حل المعادلة بيانيًّا بكلِّ بساطة دون الحاجة إلى التحليل أو المعادلة التربيعية. تذكَّر أن مجموعة الحل يُمكِن إيجادها عن طريق إيجاد النقاط على المنحنى التي يكون عندها ، وهي المواضع التي يقطع فيها المنحنى . لكن المنحنى في هذا المثال يقع بأكمله فوق . ولهذا السبب، لا توجد نقاط عندها .
ولذا لا توجد قيم حقيقية لـ تحل المعادلة، وهو ما يعني أن مجموعة حل هذه المعادلة هي .
سنتناول الآن مثالًا يوضِّح كيفية رسم تمثيل بياني لحل معادلة. سنستعين في ذلك بجدول للقيم لإيجاد مجموعة من الإحداثيات لتوقيعها ثم توصيلها لرسم المنحنى. من المفيد أن نتذكَّر أن هذه الطريقة تتيح لنا رسم التمثيل البياني لأي دالة كثيرة حدود معادلتها معطاة.
مثال ٤: رسم التمثيل البياني لدالة تربيعية واستخدامه لحل معادلة
عن طريق رسم تمثيل بياني للدالة ، أوجد مجموعة حل .
الحل
نبدأ برسم تمثيل بياني للدالة من خلال إيجاد إحداثيات بعض النقاط على المنحنى. ونفعل ذلك بإنشاء جدول قيم، وحساب قيمة لكلِّ قيمة من قيم المختارة.
| ٠ | ١ | ٢ | ٣ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| ٨ | ٢ | ٠ | ٢ | ٨ | ١٨ | |
| ٠ | ٣ | ٦ | ٩ | |||
| ١٤ | ٥ | ٠ | ٢ | ٩ |
بأخذ القيم من الصفَّيْن ، ، نحصل على النقاط ، ، ، ، ، . هيا بنا نرسمها على المستوى ونَصِل بينها بمنحنًى أملس.
علينا الآن إيجاد مجموعة حل . تذكَّر أن حلول المعادلة هي إحداثيات للنقاط التي يقطع عندها منحنى الدالة . نلاحظ أن المنحنى يقطع عند نقطتين؛ الأولى هي النقطة ، التي تقع عند ، والثانية هي النقطة التي تقع عند تقريبًا. بإمكاننا التحقُّق من أن هذه هي القيمة الصحيحة بالتعويض بها في صيغة . وهذا يعطينا:
وهذا يوضِّح لنا أن هي بالفعل حل المعادلة. إذن مجموعة الحل هي .
كذلك نستعين بالتمثيل البياني للمعادلة التربيعية لحلها، فيُمكِننا أيضًا الاستعانة بحل المعادلة التربيعية لتحديد التمثيل البياني الصحيح للدالة المقابلة لها. وفي المثال الآتي، سنرى كيف نحلِّل معادلة ونستخدم الإجابة لإيجاد التمثيل البياني لها.
مثال ٥: التعرُّف على التمثيل البياني للدالة التربيعية بعد حلها بالتحليل
حل بالتحليل؛ ومن ثَمَّ حدِّد أيٌّ من الأشكال الآتية يمثِّل رسم الدالة .
الحل
الجزء الأول
بما أن المطلوب منا هو حل بالتحليل، إذن نتذكَّر أولًا كيفية عمل ذلك. في هذه الطريقة، نريد تحليل المعادلة باستخدام القيمتين المجهولتين ، كالآتي:
عند مطابقة المعاملات، نلاحظ أن ذلك يلزم عنه أن ، . بما أن حاصل ضرب ، سالب، فإن واحدًا من ، لا بد أن يكون سالبًا والآخر موجبًا. نفترض أن قيمة سالبة. نتناول بعد ذلك الأزواج الأربعة المُمكِنة لـ ، التي ينتج عن ضربها :
| ١ | ٦ | ٢ | ٣ |
من هذه الخيارات، ، هما فقط ما يعطينا . ومن ثَم فإن التحليل الصحيح هو:
بعد أن حلَّلنا المعادلة، يُمكِننا حلها بمساواتها بالصفر وإيجاد قيمة التي تحقِّق المعادلة. بفعل ذلك، نجد أن:
وهذا يتحقَّق عندما يكون ، أو ، وهو ما يعني أن ، أو .
الجزء الثاني
علينا الآن تحديد الشكل الذي يمثِّل . تذكَّر أن جذور الدالة (وهي نفسها حلول المعادلة المناظِرة لها) تخبرنا بقيم التي تجعل . وهذا يعني أننا نعرف النقاط التي سيقطع عندها المنحنى ؛ وهما النقطتان ، . بالنظر إلى التمثيلات البيانية الخمسة، نلاحظ أن التمثيل البياني الوحيد الذي يقطع عند هاتين النقطتين هو التمثيل البياني الموضَّح في الخيار هـ.
إضافةً إلى ذلك، هيا نتناول الجوانب الأخرى في التمثيل البياني التي يُمكِننا استخدامها للتحقُّق من الإجابة الصحيحة. نلاحظ أن الجزء المقطوع من المحور للمنحنى (النقطة التي يقطع عندها المنحنى ) يساوي . تذكَّر أنه بالنسبة إلى الدالة التربيعية المكتوبة على الصورة ، فإن الجزء المقطوع من المحور هو . وبما أن الدالة هي ، فهذا يعني أن ، وهذا صحيح بالفعل. إضافةً إلى ذلك، نلاحظ أن (أي إن )، وهو ما يستلزم أن يكون المنحنى مفتوحًا لأعلى، وهو بالضبط ما نراه في التمثيل البياني هـ. هذا كله يؤكد لنا أن الخيار هـ هو الإجابة الصحيحة.
إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار هـ.
في بعض الأسئلة، تكون لدينا معادلة تربيعية علينا إعادة ترتيبها قبل أن نتمكَّن من حلها بيانيًّا. وإليك مثالًا لهذا النوع.
مثال ٦: إعادة ترتيب معادلة تربيعية وحلها بيانيًّا
أوجد مجموعة حل المعادلة .
الحل
بما أن المطلوب منا هو إيجاد مجموعة حل المعادلة ، إذن علينا أولًا إعادة ترتيبها على الصورة . لاحظ أنه يُمكِننا فعل ذلك بطرح ، ١٠ من الطرفين، فنحصل على:
تذكَّر أن حلول المعادلة هي قيم التي يقطع منحنى الدالة عندها (بما أن عند هذه النقاط). ويُمكِننا إيجاد هذه القيم برسم التمثيل البياني للدالة ، وإيجاد النقاط التي يقطع عندها المنحنى . ونرسم التمثيل البياني من خلال إنشاء جدول قيم، وحساب قيمة لكلِّ قيمة مختارة من قيم كما يأتي.
| ٠ | ١ | ٢ | ٣ | ٤ | ٥ | ٦ | ||||
| ٨ | ٠ | ٠ | ٨ |
ثم نرسم هذه النقاط في المستوى ونَصِلها معًا بمنحنًى أملس، فنحصل بذلك على التمثيل البياني كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
يتبيَّن بجلاء أن المنحنى يقطع عند ، . لاحظ أنه كان بإمكاننا قراءة هذه القيم من الجدول مباشرةً، فقد أظهر الجدول أن لقيمتَي هاتين.
نستنتج أن مجموعة حل المعادلة هي .
تناولنا حتى الآن المعادلات التربيعية على الصورة أو فحسب، وكيف أنها ترتبط بالدوال على الصورة عندما يكون . وبالمثل، يُمكِننا تكوين معادلات تربيعية أخرى عن طريق مساواة بقيم مختلفة. فمثلًا، إذا قلنا إن ، فستكون لدينا المعادلة: التي يُمكِن إعادة ترتيبها لتصبح:
بعبارةٍ أخرى، أدى جعل إلى معادلة تربيعية أخرى الحد الثابت فيها هو . ويُمكِن حل المعادلات المكتوبة على هذه الصورة بيانيًّا بالطريقة نفسها التي نحل بها تقريبًا، ولكن بدلًا من النظر إلى النقاط التي يقطع عندها المنحنى (أي عندما يكون )، ننظر إلى المواضع التي يقطع فيها الخط المستقيم المنحنى؛ حيث ثابت (وهو ٣ في المثال السابق). ونفعل ذلك برسم خط أفقي على التمثيل البياني عند قيمة هذه. وفي المثال الآتي، سنتناول تطبيقًا لهذه الفكرة.
مثال ٧: حل المعادلات التربيعية التي تختلف بمقدار ثابت بيانيًّا
يوضِّح التمثيل البياني الدالة .
- ما مجموعة حل ؟
- ما مجموعة حل ؟
الحل
الجزء الأول
مجموعة حل هي مجموعة قيم التي يقطع المنحنى عندها (بما أن عند هذه النقاط). بالنظر إلى التمثيل البياني، نلاحظ أن المنحنى يقطع عند النقطتين ، . ومن ثَمَّ فإن مجموعة حل هي .
الجزء الثاني
بما أن مجموعة حل هي مجموعة قيم التي تجعل ، إذن مجموعة حل هي مجموعة القيم التي تجعل . يُمكِننا إيجاد تلك القيم برسم خط أفقي عند ، وتحديد إحداثيات النقاط التي يقطع عندها الخط المنحنى.
نلاحظ من التمثيل البياني أن نقاط التقاطع هي ، . ومن ثَمَّ فإن مجموعة حل هي .
لاحظ أن بإمكاننا استخدام الطريقة السابقة لحل مسائل مستمدة من سياق واقعي، كما في المثال الأخير.
مثال ٨: حل معادلة تربيعية لمسألة مستمدة من سياق واقعي بيانيًّا
قُذِفَت كرة رأسيًّا لأعلى من الأرض بالسرعة . ارتفاع الكرة فوق الأرض، بالمتر يعطى بالمعادلة . يوضِّح الشكل الآتي التمثيل البياني لهذه الدالة.
احسب الزمنين اللذين تكون عندهما الكرة على ارتفاع ٤٩ م فوق الأرض.
الحل
تذكَّر أن مجموعة حل هي مجموعة قيم التي يقطع المنحنى عندها (بما أن عند هذه النقاط)، وتمثِّل قيمتا هاتان الزمنين اللذين تكون الكرة عندهما لحظة بدء الرحلة ونهايتها.
وبالمثل، فإن الزمنين اللذين تكون الكرة عندهما على ارتفاع ٤٩ م فوق الأرض هما مجموعة حل ، وهي مجموعة قيم التي تجعل . يُمكِننا إيجاد هذه القيم برسم خط أفقي عند ، وتحديد إحداثيات النقاط التي يقطع عندها الخط المنحنى.
نلاحظ من التمثيل البياني أن نقاط التقاطع هي ، ؛ وبذلك تكون مجموعة حل هي . نستنتج أن الكرة تكون على ارتفاع ٤٩ م فوق الأرض بعد ثانيتين، وكذلك بعد ٥ ثوانٍ.
هيا نختم بمراجعة النقاط الرئيسية التي تعلَّمناها في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- يُمكِننا حل المعادلة التربيعية بعدة طرق؛ باستخدام طريقة جبرية كالتحليل، أو باستخدام طريقة بيانية، وذلك بالنظر إلى التمثيل البياني للدالة المناظِرة. يمتاز الحل الجبري بأنه حل دقيق. أما الحل البياني فحل تقريبي؛ ولذا يصعب استخدامه غالبًا عندما تكون الجذور أعدادًا غير صحيحة. ومع ذلك، يُمكِن لهذه الطريقة أن تكون أسهل وأسرع لحل المعادلة التربيعية، كما أنها تتيح لنا المقارنة بين عدة معادلات تربيعية.
- لحل معادلة تربيعية بيانيًّا، نرسم أولًا تمثيلًا بيانيًّا للدالة المناظِرة لها عن طريق إنشاء جدول قيم. ثم ننظر إلى التمثيل البياني لإيجاد النقاط التي يقطع عندها المنحنى ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
- من المهم أن نتذكَّر أن المعادلة التربيعية قد يكون لها حلان، أو حل وحيد، أو ليس لها حلول، وذلك بناءً على كون الدالة تقطع مرتين، أو مرة واحدة، أو لا تقطعه أبدًا، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
- يُمكِننا حل المعادلات التربيعية الناتجة عن جعل برسم خط أفقي عند القيمة ، وإيجاد إحداثيات النقاط التي يقطع عندها الخط المنحنى.