تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: جمع المصفوفات وطرحها الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نجمع المصفوفات ونطرحها باستخدام خواص جمعها وطرحها.

إذا كانت 𞸀 مصفوفة من الرتبة 𞸍×𞸌 تتكوَّن من 𞸍 من الصفوف ومن 𞸌 من الأعمدة: 𞸀=󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡،١١٢١١𞸌١٢٢٢٢𞸌𞸍١𞸍٢𞸍𞸌 والمصفوفة المربعة هي مصفوفة من الرتبة 𞸍×𞸍 تحتوي على العدد نفسه من الصفوف والأعمدة (𞸌=𞸍)، فإن: 𞸀=󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡.١١٢١١𞸍١٢٢٢٢𞸍𞸍١𞸍٢𞸍𞸍

في هذا الشارح، لن نتناول سوى المصفوفات حتى الرتبة ٣×٣(𞸍،𞸌٣)، ولكن تنطبق القواعد نفسها على الصفوف والأعمدة الإضافية. لجمع مصفوفتين أو طرحهما، يجب جمع عناصرهما المتناظرة أو طرحهما.

يمكننا جمع أو طرح مصفوفتين من الرتبة نفسها فقط (أي أن يكون للمصفوفتين نفس عدد الصفوف والأعمدة). وهذا منطقي؛ لأنه لا يمكننا إجراء هاتين العمليتين مع العناصر المتناظرة إذا لم يكن للمصفوفتين نفس عدد الصفوف والأعمدة.

جمع مصفوفتين من الرتبة ن × م وطرحهما:

󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡+𞸁𞸁𞸁𞸁𞸁𞸁𞸁𞸁𞸁=󰏡+𞸁󰏡+𞸁󰏡++𞸁󰏡+𞸁󰏡+𞸁󰏡+𞸁󰏡+𞸁󰏡+𞸁󰏡+𞸁󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡𞸁𞸁𞸁𞸁𞸁𞸁𞸁𞸁𞸁=󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁١١٢١١𞸌١٢٢٢٢𞸌𞸍١𞸍٢𞸍𞸌١١٢١١𞸌١٢٢٢٢𞸌𞸍١𞸍٢𞸍𞸌١١١١٢١٢١١𞸌١𞸌١٢١٢٢٢٢٢٢𞸌٢𞸌𞸍١𞸍١𞸍٢𞸍٢𞸍𞸌𞸍𞸌١١٢١١𞸌١٢٢٢٢𞸌𞸍١𞸍٢𞸍𞸌١١٢١١𞸌١٢٢٢٢𞸌𞸍١𞸍٢𞸍𞸌١١١١٢١٢١١𞸌١𞸌١٢١٢٢٢٢٢٢𞸌٢𞸌𞸍١𞸍١𞸍٢𞸍٢𞸍𞸌𞸍𞸌

لكي نفهم هذا عمليًّا، دعونا نفكِّر في هاتين المصفوفتين من الرتبة ٢×٢: 𞸀=󰂔٨٢٠٧󰂓،𞸁=󰂔٥٥٩٨󰂓.

لجمع هاتين المصفوفتين، نجمع العناصر المتناظرة: 𞸀+𞸁=󰂔٨٢٠٧󰂓+󰂔٥٥٩٨󰂓=󰃁٨+(٥)٢+٥٠+٩٧+(٨)󰃀=󰂔٣٧٩١󰂓.

ولطرح المصفوفة 𞸁 من المصفوفة 𞸀، نطرح كل عنصر في المصفوفة 𞸁 من العنصر المناظر له في المصفوفة 𞸀: 𞸀𞸁=󰂔٨٢٠٧󰂓󰂔٥٥٩٨󰂓=󰃁٨(٥)٢٥٠٩٧(٨)󰃀=󰂔٣١٣٩٥١󰂓.

دعونا الآن ننظر إلى هاتين المصفوفتين من الرتبة ٣×٢: 𞸀=󰃭٦٧٣٢٥١󰃬،𞸁=󰃭٢٣٨٠٤٩󰃬.

مرةً أخرى، نجمع هاتين المصفوفتين ونطرحهما من خلال إجراء كل عملية على عناصرهما المتناظرة: 𞸀+𞸁=󰃭٦٧٣٢٥١󰃬+󰃭٢٣٨٠٤٩󰃬=󰃭٦+٢٧+٣٣+٨٢+٠٥+(٤)١+٩󰃬=󰃭٨٠١١١٢١٨󰃬،𞸀𞸁=󰃭٦٧٣٢٥١󰃬󰃭٢٣٨٠٤٩󰃬=󰃭٦٢٧٣٣٨٢٠٥(٤)١٩󰃬=󰃭٤٤٥٢٩٠١󰃬.

وأخيرًا، انظر إلى هاتين المصفوفتين من الرتبة ٣×٣: 𞸀=󰃭٥٦٢٢٣٣٤١٥󰃬،𞸁=󰃭١٢٠٧١٩٥٨١󰃬.

هيا نكرِّر العمليتين نفسهما على هاتين المصفوفتين بإجراء كل عملية على عناصرهما المتناظرة كما فعلنا من قبل: 𞸀+𞸁=󰃭٥٦٢٢٣٣٤١٥󰃬+󰃭١٢٠٧١٩٥٨١󰃬=٥+١٦+٢٢+٠٢+٧٣+(١)٣+٩٤+(٥)١+٨٥+(١)=󰃭٦٨٢٩٤٢١١٧٦󰃬،𞸀𞸁=󰃭٥٦٢٢٣٣٤١٥󰃬󰃭١٢٠٧١٩٥٨١󰃬=٥١٦٢٢٠٢٧٣(١)٣٩٤(٥)١٨٥(١)=󰃭٤٤٢٥٢٦٩٩٤󰃬.

هناك أيضًا خواص لجمع المصفوفات علينا أن نعرفها:

  1. جمع المصفوفات عملية إبدالية، وهو ما يعني أنه إذا كان 𞸀، 𞸁 مصفوفتين لهما الرتبة نفسها؛ حيث يكون 𞸀+𞸁 معرَّفًا، فإن: 𞸀+𞸁=𞸁+𞸀، بمعنى أن الترتيب الذي تُجرِي به عملية الجمع غير مهم. يرجع هذا إلى قانون إبدال جمع الأعداد؛ حيث نجمع العناصر المتناظرة في كل مصفوفة.
  2. جمع المصفوفات عملية دامجة، وهو ما يعني أنه إذا كان 𞸀، 𞸁، 𞸢 ثلاث مصفوفات من الرتبة نفسها؛ حيث 𞸁+𞸢، 𞸀+(𞸁+𞸢)، 𞸀+𞸁، (𞸀+𞸁)+𞸢 معرَّفة، فإن: 𞸀+(𞸁+𞸢)=(𞸀+𞸁)+𞸢، وهذا يعني أن مجموع المصفوفات الثلاث يظل كما هو دون النظر إلى كيفية جمعها. فيمكنك أن تُوجِد 𞸀+𞸁 أولًا، ثم تجمع الناتج مع 𞸢، أو تجمع 𞸀 مع 𞸁+𞸢 وتحصل على الناتج نفسه.
  3. يحقِّق جمع المصفوفات خاصية المحايد الجمعي، وهي تعني أنه إذا كانت 𞸀 مصفوفة، فإن: 𞸀+=+𞸀=𞸀، حيث مصفوفة صفرية (أو خالية) من رتبة 𞸀 نفسها، وكل عنصر فيها يساوي صفرًا. وتُعرَف المصفوفة الصفرية باسم «المحايد الجمعي للمصفوفات».
  4. يحقِّق جمع المصفوفات خاصية المعكوس الجمعي للمصفوفة، وهي تعني أنه إذا كانت 𞸀 مصفوفة، فإن: 𞸀+(𞸀)=(𞸀)+𞸀=، حيث هو المحايد الجمعي، ويُسمَّى 𞸀 المعكوس الجمعي لـ 𞸀.

هيا نتناول الآن بعض الأمثلة للتدريب وتعميق الفهم، ونبدأ بجمع مصفوفتين من الرتبة ١×٣.

مثال ١: جمع مصفوفتين من الرتبة واحد في ثلاثة

أوجد: (١٢١)+(٢٨٢).

الحل

في هذا المثال، علينا جمع مصفوفتين من الرتبة ١×٣.

لجمع هاتين المصفوفتين، نجمع العناصر المتناظرة في كل مصفوفة: (١٢١)+(٢٨٢)=(١+٢٢+٨١+٢)=(٣٠١١).

إن طريقة إجراء العمليات الحسابية نفسها على جميع العناصر المتناظرة في المصفوفتين من الرتبة نفسها تنطبق أيضًا على جمع المصفوفات الكبرى، كما نرى في المثال الآتي.

مثال ٢: جمع مصفوفتين من الرتبة اثنين في اثنين

احسب: 󰂔٨١١٣٧󰂓+󰂔٠١١٣١󰂓.

الحل

في هذا المثال، علينا جمع مصفوفتين من الرتبة ٢×٢.

لجمع هاتين المصفوفتين، نجمع العناصر المتناظرة في كل مصفوفة: 󰂔٨١١٣٧󰂓+󰂔٠١١٣١󰂓=󰃁٨+٠١١١+(١)٣+٣٧+١󰃀=󰂔٨١٠١٠٨󰂓.

في المثال الآتي، نطرح مصفوفة من مصفوفة أخرى.

مثال ٣: إيجاد الفرق بين مصفوفتين مُعطاتين

أوجد: 󰂔٧٩٥٠󰂓󰂔٨٥٢٠󰂓.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد الفرق بين مصفوفتين من الرتبة ٢×٢.

لطرح هاتين المصفوفتين، نطرح العناصر المتناظرة في كل مصفوفة: 󰂔٧٩٥٠󰂓󰂔٨٥٢٠󰂓=󰃁٧٨٩(٥)٥٢٠٠󰃀=󰂔١٤١٧٠󰂓.

هيا نتناول مثالًا يتطلَّب إعادة ترتيب معادلة مصفوفية وحلها باستخدام معرفتنا لخواص جمع مصفوفتين وطرحهما.

مثال ٤: جمع مصفوفتين وطرحهما

لدينا المصفوفة: 𞸀=󰂔١١٥٣١١٠󰂓.

افترض أنَّ مجموع المصفوفتين 𞸀، 𞸁 هو: 𞸀+𞸁=󰂔١٠١٠١٢󰂓.

أوجد المصفوفة 𞸁.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد المصفوفة المجهولة 𞸁 من خلال تطبيق عمليات على مصفوفتين من الرتبة ٢×٣. بما أنه لا يمكننا جمع أو طرح سوى مصفوفات من الرتبة نفسها؛ حيث نطبِّق العمليات على العناصر المتناظرة، ولأن المصفوفة المُعطاة والمصفوفة 𞸀 مصفوفتان من الرتبة ٢×٣، فلا بد أن تكون 𞸁 مصفوفة من الرتبة ٢×٣ أيضًا.

لإيجاد 𞸁، نُعيد ترتيب المعادلة لنجعل 𞸁 المتغيِّر التابع، ونطرح العناصر المتناظرة في كل مصفوفة: 𞸀+𞸁=󰂔١٠١٠١٢󰂓.

بما أن جمع المصفوفات عملية إبدالية، إذن نعرف أن 𞸀+𞸁=𞸁+𞸀. يمكننا بعد ذلك طرح المصفوفة 𞸀 من طرفَي المعادلة، فنحصل على: 𞸁=󰂔١٠١٠١٢󰂓𞸀.

بعد التعويض عن 𞸀، نحصل إذن على: 𞸁=󰂔١٠١٠١٢󰂓󰂔١١٥٣١١٠󰂓=󰃁١(١)٠(١)١٥٠٣١١(١)٢٠󰃀=󰂔٢١٦٣١٢٢󰂓.

هيا نستخدم الآن معرفتنا بجمع المصفوفات وطرحها في مثال يتطلَّب منا إجراء عملية عكسية لإيجاد الإجابة.

مثال ٥: إيجاد مصفوفة مجهولة بتطبيق عمليات على مصفوفات تتضمَّن المصفوفة الصفرية

إذا كانت: 𞸎+󰂔٦٨٦٥󰂓=، حيث مصفوفة صفرية من الرتبة ٢×٢، فأوجد قيمة 𞸎.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد المصفوفة المجهولة 𞸎 من خلال تطبيق عمليات على مصفوفات من الرتبة ٢×٢. بما أنه لا يمكننا جمع أو طرح سوى مصفوفات من الرتبة نفسها؛ حيث نطبِّق العمليات على العناصر المتناظرة، ولأن المصفوفة المعطاة والمصفوفة الصفرية مصفوفتان من الرتبة ٢×٢، فلا بد أن تكون 𞸎 مصفوفة من الرتبة ٢×٢ أيضًا.

لإيجاد المصفوفة المجهولة 𞸎، نُعيد ترتيب المعادلة لنجعل 𞸎 المتغيِّر التابع، ثم نطرح العناصر المتناظرة للمصفوفة المعطاة من المصفوفة الصفرية: 𞸎+󰂔٦٨٦٥󰂓=.

بما أن جمع المصفوفات عملية إبدالية، إذن يمكننا طرح المصفوفة المعطاة من طرفَي المعادلة. ونظرًا لأن المصفوفة الأولى هي المصفوفة الصفرية، فهذا يترتَّب عليه تغيير إشارة كل عنصر من عناصر المصفوفة الثانية: 𞸎=󰂔٦٨٦٥󰂓=󰁓٠٠٠٠󰁒󰂔٦٨٦٥󰂓=󰃁٠(٦)٠(٨)٠٦٠٥󰃀=󰂔٦٨٦٥󰂓.

في المثال الأخير، سنستخدم معرفتنا بخاصية الإبدال عند جمع المصفوفات لمساعدتنا في إجراء عملية حسابية تتضمَّن جمع ثلاث مصفوفات وطرحها.

مثال ٦: خاصيتا الإبدال والدمج للعمليات على المصفوفات

إذا كان: 𞸀=󰂔٤٣١٣󰂓،𞸁=󰂔١٠٢٣󰂓،𞸢=󰂔٥١٠٧󰂓، فأوجد 𞸀+𞸁𞸢.

الحل

في هذا المثال، علينا إجراء عمليتَي الجمع والطرح على ثلاث مصفوفات من الرتبة ٢×٢.

ولكي نفعل ذلك، نُجري كل عملية على العناصر المتناظرة في كل مصفوفة: 𞸀+𞸁𞸢=󰂔٤٣١٣󰂓+󰂔١٠٢٣󰂓󰂔٥١٠٧󰂓=󰃁٤+(١)(٥)٣+٠١١+٢٠٣+٣٧󰃀=󰂔٨٢١١󰂓.

جمع المصفوفات عملية إبدالية؛ لذا إذا اعتبرنا أن طرح مصفوفة يكافئ جمع سالب المصفوفة، فسنجد أنه يمكننا إجراء العملية الحسابية بعدة طرق مختلفة والحصول على الإجابة نفسها:

جمع المصفوفات عملية دامجة أيضًا؛ لذا يمكننا تجميع العناصر بطرق مختلفة والحصول على الإجابة نفسها:

النقاط الرئيسية

  • لجمع مصفوفتين، علينا جمع العناصر المتناظرة.
  • لطرح مصفوفة ما من مصفوفة أخرى، علينا طرح العناصر المتناظرة.
  • لإجراء هاتين العمليتين، يجب أن تكون المصفوفات من الرتبة نفسها.
  • جمع المصفوفات عملية إبدالية ودامجة.
  • جمع المصفوفات يحقِّق خاصيتَي المحايد الجمعي والمعكوس الجمعي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.