شارح الدرس: جمع المصفوفات وطرحها الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نجمع المصفوفات ونطرحها باستخدام خواص جمعها وطرحها.

إذا كانت مصفوفة من الرتبة تتكوَّن من من الصفوف ومن من الأعمدة: والمصفوفة المربعة هي مصفوفة من الرتبة تحتوي على العدد نفسه من الصفوف والأعمدة ، فإن:

في هذا الشارح، لن نتناول سوى المصفوفات حتى الرتبة ، ولكن تنطبق القواعد نفسها على الصفوف والأعمدة الإضافية. لجمع مصفوفتين أو طرحهما، يجب جمع عناصرهما المتناظرة أو طرحهما.

يمكننا جمع أو طرح مصفوفتين من الرتبة نفسها فقط (أي أن يكون للمصفوفتين نفس عدد الصفوف والأعمدة). وهذا منطقي؛ لأنه لا يمكننا إجراء هاتين العمليتين مع العناصر المتناظرة إذا لم يكن للمصفوفتين نفس عدد الصفوف والأعمدة.

لكي نفهم هذا عمليًّا، دعونا نفكِّر في هاتين المصفوفتين من الرتبة :

لجمع هاتين المصفوفتين، نجمع العناصر المتناظرة:

ولطرح المصفوفة من المصفوفة ، نطرح كل عنصر في المصفوفة من العنصر المناظر له في المصفوفة :

دعونا الآن ننظر إلى هاتين المصفوفتين من الرتبة :

مرةً أخرى، نجمع هاتين المصفوفتين ونطرحهما من خلال إجراء كل عملية على عناصرهما المتناظرة:

وأخيرًا، انظر إلى هاتين المصفوفتين من الرتبة :

هيا نكرِّر العمليتين نفسهما على هاتين المصفوفتين بإجراء كل عملية على عناصرهما المتناظرة كما فعلنا من قبل:

هناك أيضًا خواص لجمع المصفوفات علينا أن نعرفها:

1. جمع المصفوفات عملية إبدالية، وهو ما يعني أنه إذا كان ، مصفوفتين لهما الرتبة نفسها؛ حيث يكون معرَّفًا، فإن: بمعنى أن الترتيب الذي تُجرِي به عملية الجمع غير مهم. يرجع هذا إلى قانون إبدال جمع الأعداد؛ حيث نجمع العناصر المتناظرة في كل مصفوفة.
2. جمع المصفوفات عملية دامجة، وهو ما يعني أنه إذا كان ، ، ثلاث مصفوفات من الرتبة نفسها؛ حيث ، ، ، معرَّفة، فإن: وهذا يعني أن مجموع المصفوفات الثلاث يظل كما هو دون النظر إلى كيفية جمعها. فيمكنك أن تُوجِد أولًا، ثم تجمع الناتج مع ، أو تجمع مع وتحصل على الناتج نفسه.
3. يحقِّق جمع المصفوفات خاصية المحايد الجمعي، وهي تعني أنه إذا كانت مصفوفة، فإن: حيث مصفوفة صفرية (أو خالية) من رتبة نفسها، وكل عنصر فيها يساوي صفرًا. وتُعرَف المصفوفة الصفرية باسم «المحايد الجمعي للمصفوفات».
4. يحقِّق جمع المصفوفات خاصية المعكوس الجمعي للمصفوفة، وهي تعني أنه إذا كانت مصفوفة، فإن: حيث هو المحايد الجمعي، ويُسمَّى المعكوس الجمعي لـ .

هيا نتناول الآن بعض الأمثلة للتدريب وتعميق الفهم، ونبدأ بجمع مصفوفتين من الرتبة .

إن طريقة إجراء العمليات الحسابية نفسها على جميع العناصر المتناظرة في المصفوفتين من الرتبة نفسها تنطبق أيضًا على جمع المصفوفات الكبرى، كما نرى في المثال الآتي.

في المثال الآتي، نطرح مصفوفة من مصفوفة أخرى.

هيا نتناول مثالًا يتطلَّب إعادة ترتيب معادلة مصفوفية وحلها باستخدام معرفتنا لخواص جمع مصفوفتين وطرحهما.

هيا نستخدم الآن معرفتنا بجمع المصفوفات وطرحها في مثال يتطلَّب منا إجراء عملية عكسية لإيجاد الإجابة.

في المثال الأخير، سنستخدم معرفتنا بخاصية الإبدال عند جمع المصفوفات لمساعدتنا في إجراء عملية حسابية تتضمَّن جمع ثلاث مصفوفات وطرحها.

مثال ٦: خاصيتا الإبدال والدمج للعمليات على المصفوفات

إذا كان: فأوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا إجراء عمليتَي الجمع والطرح على ثلاث مصفوفات من الرتبة .

ولكي نفعل ذلك، نُجري كل عملية على العناصر المتناظرة في كل مصفوفة:

جمع المصفوفات عملية إبدالية؛ لذا إذا اعتبرنا أن طرح مصفوفة يكافئ جمع سالب المصفوفة، فسنجد أنه يمكننا إجراء العملية الحسابية بعدة طرق مختلفة والحصول على الإجابة نفسها:

جمع المصفوفات عملية دامجة أيضًا؛ لذا يمكننا تجميع العناصر بطرق مختلفة والحصول على الإجابة نفسها: