شارح الدرس: الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية الأرضية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد السرعة الابتدائية لجسيم قُذِف رأسيًّا لأعلى

قُذِف جسيم رأسيًّا لأعلى من سطح الأرض. إذا كان أقصى ارتفاع بلغه الجسيم ٦٢٫٥ م، فأوجد السرعة التي قُذِف بها. عجلة الجاذبية الأرضية .

الحل

يمكن تمثيل حركة الجسيم باستخدام المعادلة:

إن عجلة الجسيم ناتجة فقط عن الجاذبية، وبناءً عليه، فإن قيمة العجلة تساوي ٩٫٨ م/ث^٢. وتكون العجلة رأسيًّا لأسفل. ونظرًا لأن الجسيم قُذِف رأسيًّا لأعلى، لذلك تكون عجلة الجاذبية في الاتجاه المعاكس للسرعة الابتدائية للجسيم. إذا اعتبرنا اتجاه السرعة الابتدائية للجسيم موجبًا، فستكون قيمة العجلة سالبة؛ وبهذا يصبح لدينا:

يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل المتغيِّر التابع:

يكون الجسيم في حالة سكون لحظي عندما يصل إلى أقصى ارتفاع، وعند هذه اللحظة تكون سرعته صفرًا. إذن، نجد أن:

وبأخذ الجذر الموجب لـ ، نحصل على:

نُهمِل الجذر السالب؛ لأنه يمثِّل سرعة الجسيم المتجهة رأسيًّا لأسفل، ولا يمكن أن تكون للجسيم سرعة ابتدائية متجهة رأسيًّا لأسفل؛ لأن الجسيم قُذِف رأسيًّا لأعلى.

مثال ٢: إيجاد السرعة المتوسطة لجسم يسقط

إذا سقط جسم من مبنًى ووصل إلى الأرض بعد ٣ ثوانٍ، فأوجد سرعته المتوسطة خلال السقوط. عجلة الجاذبية الأرضية .

الحل

إن عجلة أيِّ جسم يتسارع بانتظام نحصل عليها من العلاقة:

يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة على النحو التالي لتحديد السرعة المتوسطة:

بالتعويض عن القيمتين المعلومتين لـ ، ، وبافتراض أن يساوي صفرًا؛ حيث إن الجسم أُسقِط ولم يُقذَف رأسيًّا، نحصل على:

إن السرعة المتوسطة للجسم هي متوسط سرعتَيْه قبل التسارع وبعده، ونحصل عليها من:

لقد عرفنا بالفعل أن يساوي صفرًا، ونتيجةً لذلك فإن:

مثال ٣: إيجاد أقصى ارتفاع وصلت إليه كرة قُذِفت رأسيًّا لأعلى

قُذِف جسم رأسيًّا لأعلى بسرعة ٧ م/ث من نقطةٍ ترتفع عن سطح الأرض ٣٨٫٧ م. أوجد أقصى ارتفاع يمكن أن يصل إليه الجسم. عجلة الجاذبية الأرضية .

الحل

يصل الجسم إلى أقصى ارتفاع له في اللحظة التي يكون فيها في حالة سكون لحظي، وعلى وشك السقوط مرة أخرى باتجاه النقطة التي قُذِف منها.

في هذا المثال؛ لدينا السرعة الابتدائية للجسم، والإزاحة الرأسية الابتدائية للجسم، والعجلة الرأسية للجسم. وتكون السرعة اللحظية للجسم عند أقصى إزاحة رأسية له مساويةً لصفر.

ويمكن تحديد إزاحة الجسم من النقطة التي قُذِف منها في هذه اللحظة باستخدام معادلة تحتوي على تلك الحدود؛ لذلك يمكننا استخدام المعادلة: حيث ، ، . وبإعادة ترتيب المعادلة لجعل المتغيِّر التابع، نحصل على:

وبالتعويض بالقيم المعلومة، نجد أن:

الإزاحة الرأسية الابتدائية للجسم تساوي ٣٨٫٧ م، إذن أقصى إزاحة رأسية للجسم تساوي:

مثال ٤: استخدام معادلات الحركة في حلِّ سؤال يتضمَّن جسمًا قُذِف رأسيًّا

إذا قُذِف جسم رأسيًّا لأعلى بسرعة ليصل إلى أقصى ارتفاع ، فإن السرعة التي ينبغي قَذْفُ الجسم بها للوصول إلى ارتفاع تساوي .

الحل

يكون الجسم عند أقصى ارتفاع له في اللحظة التي يكون فيها في حالة سكون لحظي، وعلى وشك السقوط مرة أخرى باتجاه النقطة التي قُذِف منها. ويمكن تحديد إزاحة الجسم من النقطة التي قُذِف منها في هذه اللحظة باستخدام المعادلة:

وبإعادة ترتيب المعادلة لجعل المتغيِّر التابع، مع ملاحظة أن يساوي صفرًا، ولأننا اعتبرنا الاتجاه الرأسي لأسفل اتجاهًا سالبًا؛ تكون قيمتَا ، سالبتين، ونتيجةً لذلك يصبح لدينا:

كلٌّ من بسط ومقام الطرف الأيسر من المعادلة سالب، ومن ثَمَّ فإنها تكافئ:

عندما تكون قيمة تساوي ، تكون قيمة تساوي . من المهمِّ أن نلاحظ أنه يجب ألَّا نخلط بين رمز السرعة الابتدائية والرمز المُستخدَم للسرعة النهائية .

باستخدام قيمتَي ،؛ يصبح لدينا:

علينا أن نوجد قيمة السرعة الابتدائية، التي نرمز لها بـ ، والتي تكون عندها قيمة تساوي بدلالة السرعة الابتدائية .

نحن نعلم أن الجسم عندما يُطلَق رأسيًّا لأعلى بسرعة ، ستكون سرعته صفرًا، عندما تكون إزاحته الرأسية .

يمكننا استخدام المعادلة: ، والتعويض بـ عن السرعة الابتدائية، وَ للعجلة، و للإزاحة. وعلينا أن نأخذ في الاعتبار أن يساوي صفرًا، وأن يكون سالبًا عندما يكون موجبًا، وبذلك يكون لدينا:

بالتعويض بـ: نحصل على:

يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة للحصول على مقدار يربط بين ،:

وبحساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نجد أن:

نستنتج من ذلك أن قيمة ضعفُ قيمة .

مثال ٥: إيجاد الزمن الذي يستغرقه جسم للوصول إلى قاعدة برج

قُذِف جسم رأسيًّا لأسفل من قمة برج ارتفاعه ٨٠ م. إذا قطع ٣٥٫٩ م خلال الـثانية الأولى من حركته، فأوجد الزمن اللازم للوصول إلى الأرض مقرِّبًا الناتج لأقرب منزلتين عشريتين. عجلة الجاذبية الأرضية .

الحل

لا يمكن تحديد السرعة الابتدائية للجسم ولا سرعته عند أيِّ نقطة خلال حركته بناءً على المعطيات الواردة في السؤال، ونتيجةً لذلك، لا يمكن معرفة الإجابة بدلالة السرعتين الابتدائية والنهائية للجسم.

قد يبدو أن السرعة النهائية للجسم تساوي صفرًا، فالجسم في النهاية يصل إلى الأرض، ولكن في اللحظة التي يصل فيها الجسم إلى سطح الأرض، فإن سرعته اللحظية لا تساوي صفرًا. إذا لم يرتدَّ الجسم، فإن سرعة الجسم بعد مرور فترة قصيرة من وصوله إلى الأرض ستساوي صفرًا، لكنها عند وصوله للأرض لا تساوي صفرًا.

تُعتبَر سرعات الجسم غير معلومة، لكن يمكن إيجاد السرعة الابتدائية للجسم باستخدام المعادلة: ، وإعادة ترتيبها لجعل المتغيِّر التابع؛ لنحصل على:

وستكون السرعة الابتدائية في نفس اتجاه العجلة. ونعتبر اتجاهها هو الاتجاه الموجب.

بالتعويض بالقيم المعلومة، نجد أن:

وبمعلومية السرعة الابتدائية، يمكن إيجاد السرعة النهائية باستخدام المعادلة: ؛ كما يلي:

يمكننا الآن إعادة ترتيب المعادلة: ؛ لجعل المتغيِّر التابع، ومن ثَمَّ نحصل على:

وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن يساوي ١٫٩٧ ثانية.