تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية الأرضية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم معادلات الحركة بعجلة منتظمة لتمثيل الحركة الرأسية لجسم يتحرَّك بعجلة منتظمة تحت تأثير الجاذبية الأرضية.

بالقرب من سطح الأرض، سيتحرَّك الجسم الذي لا تؤثِّر عليه قوة رأسية محصِّلة غير وزنه، بعجلة منتظمة رأسيًّا لأسفل. وتمثَّل عجلة الجاذبية بالرمز 𞸃، ومقدارها يساوي تقريبًا ٩٫٨ م/ث٢. تتغيَّر عجلة الجاذبية الأرضية بتغيُّر المسافة من مركز كتلة الأرض، ولكنَّ التغيُّر في 𞸃 مع الارتفاع يكون صغيرًا بالقرب من سطح الأرض، ولذا تُعتبَر عجلة الجاذبية قيمة ثابتة.

من المهم أن نميِّز بين عجلة الجاذبية بالقرب من سطح الأرض والعجلة الكلية لجسمٍ بالقرب من سطح الأرض. إذ لا يلزم أن يتسارع الجسم بالقرب من سطح الأرض رأسيًّا لأسفل بمقدار ٩٫٨ م/ث٢. على سبيل المثال، الجسم الساكن، أو الذي يتحرَّك موازيًا لسطح الأرض (باعتبار الأرض كروية)، تكون العجلة الرأسية له مساويةً لصفر. وهذا لأن وزن الجسم على سطح الأرض ليس القوة الوحيدة المؤثِّرة على الجسم.

يتناول هذا الشارح فقط الأجسام التي تكون القوة الوحيدة المؤثِّرة عليها هي قوة أوزانها، ولذا سنتجاهل قوة مقاومة الهواء التي تؤثِّر على الأجسام. ويمكن تمثيل حركة هذه الأجسام باستخدام معادلات الحركة بعجلة ثابتة؛ مثل: 𞸏=𞸏+𞸢𞸍،𞸏=𞸏+٢𞸢𞸐،𞸐=𞸏𞸍+١٢𞸢𞸍،٠٢٢٠٠٢ حيث 𞸏٠ هي السرعة الابتدائية للجسم، 𞸏 هي السرعة النهائية للجسم، 𞸢 هي عجلة الجسم، 𞸐 هي إزاحة الجسم.

هيا نلقِ نظرة على مثال لجسم يتحرَّك بحرية، ولا يؤثِّر عليه سوى وزنه.

مثال ١: إيجاد السرعة الابتدائية لجسيم قُذِف رأسيًّا لأعلى

قُذِف جسيم رأسيًّا لأعلى من سطح الأرض. إذا كان أقصى ارتفاع بلغه الجسيم ٦٢٫٥ م، فأوجد السرعة التي قُذِف بها. عجلة الجاذبية الأرضية 𞸃=٨٫٩/مث٢.

الحل

يمكن تمثيل حركة الجسيم باستخدام المعادلة: 𞸏=𞸏+٢𞸢𞸐.٢٢٠

إن عجلة الجسيم ناتجة فقط عن الجاذبية، وبناءً عليه، فإن قيمة العجلة تساوي ٩٫٨ م/ث٢. وتكون العجلة رأسيًّا لأسفل. ونظرًا لأن الجسيم قُذِف رأسيًّا لأعلى، لذلك تكون عجلة الجاذبية في الاتجاه المعاكس للسرعة الابتدائية للجسيم. إذا اعتبرنا اتجاه السرعة الابتدائية للجسيم موجبًا، فستكون قيمة العجلة سالبة؛ وبهذا يصبح لدينا: 𞸏=𞸏٢(٨٫٩)(𞸐)=𞸏٦٫٩١(𞸐).٢٢٠٢٠

يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل 𞸏٠ المتغيِّر التابع: 𞸏=𞸏+٦٫٩١(𞸐).٢٠٢

يكون الجسيم في حالة سكون لحظي عندما يصل إلى أقصى ارتفاع، وعند هذه اللحظة تكون سرعته صفرًا. إذن، نجد أن: 𞸏=٠+٦٫٩١(٥٫٢٦)=٥٢٢١.٢٠٢

وبأخذ الجذر الموجب لـ 𞸏٢٠، نحصل على: 𞸏=󰋴٥٢٢١=٥٣/.٠مث

نُهمِل الجذر السالب؛ لأنه يمثِّل سرعة الجسيم المتجهة رأسيًّا لأسفل، ولا يمكن أن تكون للجسيم سرعة ابتدائية متجهة رأسيًّا لأسفل؛ لأن الجسيم قُذِف رأسيًّا لأعلى.

الجسيم الذي يتسارع بانتظام تتغيَّر سرعته باستمرار، لكنَّ القيمة المتوسطة لهذه السرعة هي متوسط سرعتَيْه قبل التسارع وبعده، ونحصل عليها كما يلي: 𞸏=𞸏+𞸏٢.ا٠

دعونا نلقِ نظرة على مثال المطلوب فيه هو إيجاد السرعة المتوسطة لجسم يتسارع نتيجةَ الجاذبية فقط.

مثال ٢: إيجاد السرعة المتوسطة لجسم يسقط

إذا سقط جسم من مبنًى ووصل إلى الأرض بعد ٣ ثوانٍ، فأوجد سرعته المتوسطة خلال السقوط. عجلة الجاذبية الأرضية 𞸃=٨٫٩/مث٢.

الحل

إن عجلة أيِّ جسم يتسارع بانتظام نحصل عليها من العلاقة: 𞸢=𞸏𞸏𞸍.٠

يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة على النحو التالي لتحديد السرعة المتوسطة: 𞸏𞸏=𞸢𞸍𞸏=𞸏+𞸢𞸍.٠٠

بالتعويض عن القيمتين المعلومتين لـ 𞸍، 𞸢، وبافتراض أن 𞸏٠ يساوي صفرًا؛ حيث إن الجسم أُسقِط ولم يُقذَف رأسيًّا، نحصل على: 𞸏=٨٫٩(٣)=٤٫٩٢/.مث

إن السرعة المتوسطة للجسم هي متوسط سرعتَيْه قبل التسارع وبعده، ونحصل عليها من: 𞸏=𞸏+𞸏٢.ا٠

لقد عرفنا بالفعل أن 𞸏٠ يساوي صفرًا، ونتيجةً لذلك فإن: 𞸏=٤٫٩٢٢=٧٫٤١/.امث

والآن، لنلقِ نظرة على مثال مطلوب فيه إيجاد إزاحة جسم قُذِف رأسيًّا بسرعة معلومة.

مثال ٣: إيجاد أقصى ارتفاع وصلت إليه كرة قُذِفت رأسيًّا لأعلى

قُذِف جسم رأسيًّا لأعلى بسرعة ٧ م/ث من نقطةٍ ترتفع عن سطح الأرض ٣٨٫٧ م. أوجد أقصى ارتفاع يمكن أن يصل إليه الجسم. عجلة الجاذبية الأرضية 𞸃=٨٫٩/مث٢.

الحل

يصل الجسم إلى أقصى ارتفاع له في اللحظة التي يكون فيها في حالة سكون لحظي، وعلى وشك السقوط مرة أخرى باتجاه النقطة التي قُذِف منها.

في هذا المثال؛ لدينا السرعة الابتدائية للجسم، والإزاحة الرأسية الابتدائية للجسم، والعجلة الرأسية للجسم. وتكون السرعة اللحظية للجسم عند أقصى إزاحة رأسية له مساويةً لصفر.

ويمكن تحديد إزاحة الجسم من النقطة التي قُذِف منها في هذه اللحظة باستخدام معادلة تحتوي على تلك الحدود؛ لذلك يمكننا استخدام المعادلة: 𞸏=𞸏+٢𞸢𞸐،٢٢٠ حيث 𞸏=٠/مث، 𞸏=٧/٠مث، 𞸢=٨٫٩/مث٢. وبإعادة ترتيب المعادلة لجعل 𞸐 المتغيِّر التابع، نحصل على: 𞸐=𞸏𞸏٢𞸢.٢٢٠

وبالتعويض بالقيم المعلومة، نجد أن: 𞸐=٠٧٢(٨٫٩)=٥٫٢.٢٢م

الإزاحة الرأسية الابتدائية للجسم تساوي ٣٨٫٧ م، إذن أقصى إزاحة رأسية للجسم تساوي: ٧٫٨٣+٥٫٢=٢٫١٤.م

هيا نلقِ نظرة على هذا المثال الآخَر.

مثال ٤: استخدام معادلات الحركة في حلِّ سؤال يتضمَّن جسمًا قُذِف رأسيًّا

إذا قُذِف جسم رأسيًّا لأعلى بسرعة 𞹏 ليصل إلى أقصى ارتفاع 𞸋، فإن السرعة التي ينبغي قَذْفُ الجسم بها للوصول إلى ارتفاع ٤𞸋 تساوي .

الحل

يكون الجسم عند أقصى ارتفاع له في اللحظة التي يكون فيها في حالة سكون لحظي، وعلى وشك السقوط مرة أخرى باتجاه النقطة التي قُذِف منها. ويمكن تحديد إزاحة الجسم من النقطة التي قُذِف منها في هذه اللحظة باستخدام المعادلة: 𞸏=𞸏+٢𞸢𞸐.٢٢٠

وبإعادة ترتيب المعادلة لجعل 𞸐 المتغيِّر التابع، مع ملاحظة أن 𞸏 يساوي صفرًا، ولأننا اعتبرنا الاتجاه الرأسي لأسفل اتجاهًا سالبًا؛ تكون قيمتَا 𞸏٠، 𞸢 سالبتين، ونتيجةً لذلك يصبح لدينا: 𞸐=𞸏٢𞸃.٢٠

كلٌّ من بسط ومقام الطرف الأيسر من المعادلة سالب، ومن ثَمَّ فإنها تكافئ: 𞸐=𞸏٢𞸃.٢٠

عندما تكون قيمة 𞸏٠ تساوي 𞹏، تكون قيمة 𞸐 تساوي 𞸋. من المهمِّ أن نلاحظ أنه يجب ألَّا نخلط بين رمز السرعة الابتدائية 𞹏 والرمز المُستخدَم للسرعة النهائية 𞸏.

باستخدام قيمتَي 𞹏 ،𞸋؛ يصبح لدينا: 𞸋=𞹏٢𞸃.٢

علينا أن نوجد قيمة السرعة الابتدائية، التي نرمز لها بـ 𞹏٢، والتي تكون عندها قيمة 𞸐 تساوي ٤𞸋 بدلالة السرعة الابتدائية 𞹏.

نحن نعلم أن الجسم عندما يُطلَق رأسيًّا لأعلى بسرعة 𞹏٢، ستكون سرعته صفرًا، عندما تكون إزاحته الرأسية ٤𞸋.

يمكننا استخدام المعادلة: 𞸏=𞸏+٢𞸢𞸐٢٢٠، والتعويض بـ 𞹏٢ عن السرعة الابتدائية، وَ𞸃 للعجلة، و٤𞸋 للإزاحة. وعلينا أن نأخذ في الاعتبار أن 𞸏 يساوي صفرًا، وأن 𞸃 يكون سالبًا عندما يكون 𞹏٢ موجبًا، وبذلك يكون لدينا: ٠=𞹏٢𞸃(٤𞸋).٢٢

بالتعويض بـ: 𞸋=𞹏٢𞸃،٢ نحصل على: ٠=𞹏٢𞸃(٤)󰃁𞹏٢𞸃󰃀٠=𞹏󰃁٨𞸃𞹏٢𞸃󰃀٠=𞹏٤𞹏.٢٢٢٢٢٢٢٢٢

يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة للحصول على مقدار يربط بين 𞹏 ،𞹏٢: ٤𞹏=𞹏.٢٢٢

وبحساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نجد أن: 󰋴٤𞹏=𞹏٢𞹏=𞹏.٢٢

نستنتج من ذلك أن قيمة 𞹏٢ ضعفُ قيمة 𞹏.

دعونا نلقِ نظرة على مثال قُذِف فيه جسم رأسيًّا بسرعة غير معلومة وسرعته النهائية غير معلومة أيضًا.

مثال ٥: إيجاد الزمن الذي يستغرقه جسم للوصول إلى قاعدة برج

قُذِف جسم رأسيًّا لأسفل من قمة برج ارتفاعه ٨٠ م. إذا قطع ٣٥٫٩ م خلال الـثانية الأولى من حركته، فأوجد الزمن اللازم للوصول إلى الأرض مقرِّبًا الناتج لأقرب منزلتين عشريتين. عجلة الجاذبية الأرضية 𞸃=٨٫٩/مث٢.

الحل

لا يمكن تحديد السرعة الابتدائية للجسم ولا سرعته عند أيِّ نقطة خلال حركته بناءً على المعطيات الواردة في السؤال، ونتيجةً لذلك، لا يمكن معرفة الإجابة بدلالة السرعتين الابتدائية والنهائية للجسم.

قد يبدو أن السرعة النهائية للجسم تساوي صفرًا، فالجسم في النهاية يصل إلى الأرض، ولكن في اللحظة التي يصل فيها الجسم إلى سطح الأرض، فإن سرعته اللحظية لا تساوي صفرًا. إذا لم يرتدَّ الجسم، فإن سرعة الجسم بعد مرور فترة قصيرة من وصوله إلى الأرض ستساوي صفرًا، لكنها عند وصوله للأرض لا تساوي صفرًا.

تُعتبَر سرعات الجسم غير معلومة، لكن يمكن إيجاد السرعة الابتدائية للجسم باستخدام المعادلة: 𞸐=𞸏𞸍+١٢𞸢𞸍٠٢، وإعادة ترتيبها لجعل 𞸏٠ المتغيِّر التابع؛ لنحصل على: 𞸏=𞸐𞸢𞸍𞸍.٠١٢٢

وستكون السرعة الابتدائية في نفس اتجاه العجلة. ونعتبر اتجاهها هو الاتجاه الموجب.

بالتعويض بالقيم المعلومة، نجد أن: 𞸏=٩٫٥٣󰂔󰂓٨٫٩(١)١=٩٫٥٣٩٫٤=١٣/.٠١٢٢مث

وبمعلومية السرعة الابتدائية، يمكن إيجاد السرعة النهائية باستخدام المعادلة: 𞸏=𞸏+٢𞸢𞸐٢٢٠؛ كما يلي: 𞸏=١٣+٢(٨٫٩)٠٨=٩٢٥٢𞸏=󰋴٩٢٥٢/.٢٢مث

يمكننا الآن إعادة ترتيب المعادلة: 𞸏=𞸏+𞸢𞸍٠؛ لجعل 𞸍 المتغيِّر التابع، ومن ثَمَّ نحصل على: 𞸍=𞸏𞸏𞸢𞸍=󰋴٩٢٥٢١٣٨٫٩.٠

وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن 𞸍 يساوي ١٫٩٧ ثانية.

هيا نلخِّص ما تعلَّمناه من هذه الأمثلة.

النقاط الرئيسية

  • بالقرب من سطح الأرض، يتسارع الجسم الذي لا تؤثِّر عليه قوة رأسية محصِّلة غير وزنه رأسيًّا لأسفل بعجلة منتظمة ٩٫٨ م/ث٢.
  • يمكن تمثيل حركة الجسم الذي يتسارع نتيجةَ الجاذبية الأرضية فقط باستخدام معادلات الحركة بعجلة ثابتة؛ حيث تساوي العجلة ٩٫٨ م/ث٢.
  • الجسم الذي يتحرَّك رأسيًّا ويتسارع بعجلة الجاذبية يمكن أن تكون سرعته الابتدائية في نفس اتجاه تسارعه أو عكس اتجاهه.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.