شارح الدرس: قسمة الأعداد المركَّبة الرياضيات

مثال ١: قسمة عدد مركَّب على عدد حقيقي

إذا كان ، فعبِّر عن في صورة .

الحل

عن طريق التعويض بقيمة ، نحصل على:

يمكننا توزيع على العدد المركَّب للحصول على:

مثال ٢: قسمة عدد مركَّب على عدد تخيُّلي

بسِّط .

الحل

لتبسيط هذا الكسر، علينا تحويل المقام بطريقة ما إلى عدد حقيقي. ويمكن تحقيق ذلك باستخدام حقيقة أن . ومن ثَمَّ، إذا ضربنا كلًّا من البسط والمقام في ، فسنحصل على عدد حقيقي في المقام، وهو ما يمكِّننا من تبسيط الكسر. إذن:

بفك القوس في البسط، نحصل على:

وباستخدام حقيقة أن ، نجد أن:

مثال ٣: قسمة الأعداد المركَّبة

بسِّط .

الحل

نبدأ بتحديد العدد المركَّب الذي عند ضربه في المقام يكون الناتج عددًا حقيقيًّا. نستخدم عادةً مُرافِق العدد المركَّب للمقام، وهو . نضرب الآن كلًّا من البسط والمقام في هذا العدد كما يلي:

بفك الأقواس في البسط والمقام، نحصل على:

وباستخدام حقيقة أن وتجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا:

وأخيرًا، نُعبِّر عن ذلك على الصورة كما يلي:

مثال ٤: الصورة العامة لقسمة الأعداد المركَّبة

1. فُكَّ وبسِّط .
2. فُكَّ .
3. بناءً على ذلك، أوجد الكسر الذي يساوي والذي مقامه حقيقي.

الحل

الجزء الأول

بفك الأقواس باستخدام طريقة ضرب حدَّي القوس الأول في حدَّي القوس الثاني، أو أي طريقة أخرى، نحصل على:

وباستخدام حقيقة أن ثم التبسيط، يصبح لدينا:

الجزء الثاني

بالمثل، نفك الأقواس لنحصل على:

وبتجميع الحدود المتشابهة واستخدام حقيقة أن ، نحصل على:

الجزء الثالث

للتعبير عن هذا الكسر بجعل مقامه حقيقيًّا، نضرب البسط والمقام في مُرافِق العدد المركَّب للمقام كما يلي:

وبالتعويض بإجابتنا في الجزأين الأول والثاني، نحصل على:

مثال ٥: خواص قسمة الأعداد المركَّبة

إذا كان ، فهل ؟

الحل

للتعبير عن على الصورة ، نضرب البسط والمقام في مُرافِق العدد المركَّب للمقام كما يلي:

وبفك الأقواس، يصبح لدينا:

وباستخدام حقيقة أن وتجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا:

وبالتبسيط، نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن ، . يمكننا الآن أن نحسب مجموع مربعيهما:

وبالتبسيط، نحصل على:

إذن، التعبير صحيحٌ.

مثال ٦: حَلُّ المعادلات التي تتضمَّن قسمة أعداد مركَّبة

حُلَّ المعادلة لإيجاد قيمة .

الحل

نبدأ بقسمة كلا طرفَي المعادلة على ليكون الناتج المعادلة الآتية:

يمكننا الآن تبسيط الكسر بقسمة الأعداد المركَّبة. ومن ثَمَّ، بضرب كلٍّ من البسط والمقام في مُرافِق العدد المركَّب للمقام، نحصل على:

وبفك الأقواس، يصبح لدينا:

وباستخدام حقيقة أن وتجميع الحدود المتشابهة، يمكننا إعادة كتابة هذا الكسر على الصورة:

مثال ٧: قسمة الأعداد المركَّبة

بسِّط .

الحل

عندما نتعامل مع مقدار بهذا الشكل، فمن الجيد أن نفكِّر أولًا في طريقة الحل التي علينا اتباعها. يمكننا فك الأقواس في البسط والمقام ثم ضرب كلٍّ من البسط والمقام في مُرافِق العدد المركَّب للمقام. بدلًا من ذلك، يمكننا تقسيم الكسر إلى جزأين ونحاول تبسيط كل جزء، ثم ضرب الأعداد المركَّبة الناتجة. ستعتمد الطريقة المتَّبعة بوجه عام على المقدار المُعطى؛ لكن من الجيد البحث عن خواص للمقدار يمكن أن تبسِّط العملية الحسابية. في هذا السؤال، من الجيد أن نلاحظ أن لدينا عاملًا مشتركًا، وهو ، في كلٍّ من البسط والمقام. وبحذف هذا العامل أولًا، يمكننا تبسيط العملية الحسابية. ومن ثم، فإن:

يمكننا الآن ضرب كلٍّ من البسط والمقام في مُرافِق العدد المركَّب للمقام كما يلي:

وبفك الأقواس في البسط والمقام، يصبح لدينا:

وباستخدام حقيقة أن وتجميع الحدود المتشابهة، يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة:

وأخيرًا، يمكننا التبسيط لنحصل على:

مثال ٨: مقادير الأعداد المركَّبة التي تتضمَّن عملية القسمة

بسِّط .

الحل

يمكن حل هذه المسألة بقسمة الأعداد المركَّبة في كلا الكسرين، ثم جمع خارج قسمتهما. لكن يمكننا تبسيط العملية الحسابية عندما نلاحظ أولًا أنه يمكننا إخراج العامل المشترك من كلا الحدَّين. ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة المقدار على الصورة:

نتناول الآن المقدار الموجود داخل القوس، حيث نلاحِظ أن مقامَي الكسرين هما عددان مركَّبان مُترافقان؛ وهذا يعني أن المقدار على الصورة:

إذا كتبنا ذلك على صورة كسر واحد بمقام مشترك، يصبح لدينا:

وباستخدام خواص مُرافِق العدد المركَّب، نعلم أنه إذا كان ، فإن ، . ومن ثَمَّ، فإن:

إذن:

وبالتعويض بهذا في (١)، نحصل على: