تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: قسمة الأعداد المركَّبة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُجرِي عملية القسمة على الأعداد المركَّبة.

عندما يتعامل الطالب مع الأعداد المركَّبة لأول مرة، فإن مقادير مثل ٣٦𞸕١٥𞸕 قد تبدو غامضة قليلًا، أو على الأقل قد يبدو من الصعب أن يفهم كيف يمكن أن يحسب الناتج. سيربط هذا الشارح هذه الفكرة بمفاهيم الرياضيات المألوفة، كما يساعدنا على فهم كيفية إيجاد قيمة مقادير مثل هذه. قبل أن نتعامل مع قسمة الأعداد المركَّبة في العموم، سنتناول حالتين بصورة أبسط للقسمة على عدد حقيقي والقسمة على عدد تخيُّلي بحت.

مثال ١: قسمة عدد مركَّب على عدد حقيقي

إذا كان 𞸏=٥+٣𞸕، فعبِّر عن 𞸏٢ في صورة 𞸀+𞸁𞸕.

الحل

عن طريق التعويض بقيمة 𞸏، نحصل على: 𞸏٢=٥+٣𞸕٢.

يمكننا توزيع ١٢ على العدد المركَّب للحصول على: 𞸏٢=٥٢+٣٢𞸕.

إلى حدٍّ كبير، تكون عملية قسمة عدد مركَّب على عدد حقيقي بسيطة نوعًا ما. وعلى الجانب الآخر، فإن قسمة عدد مركَّب على عدد تخيُّلي ليست عملية بسيطة، كما سيوضِّح المثال الآتي.

مثال ٢: قسمة عدد مركَّب على عدد تخيُّلي

بسِّط ٢+٤𞸕𞸕.

الحل

لتبسيط هذا الكسر، علينا تحويل المقام بطريقة ما إلى عدد حقيقي. ويمكن تحقيق ذلك باستخدام حقيقة أن 𞸕=١٢. ومن ثَمَّ، إذا ضربنا كلًّا من البسط والمقام في 𞸕، فسنحصل على عدد حقيقي في المقام، وهو ما يمكِّننا من تبسيط الكسر. إذن: ٢+٤𞸕𞸕=٢+٤𞸕𞸕×𞸕𞸕=(٢+٤𞸕)𞸕𞸕.٢

بفك القوس في البسط، نحصل على: ٢+٤𞸕𞸕=٢𞸕+٤𞸕𞸕.٢٢

وباستخدام حقيقة أن 𞸕=١٢، نجد أن: ٢+٤𞸕𞸕=٤+٢𞸕١=٤٢𞸕.

يمكن تعميم الطريقة التي استخدمناها سابقًا لمساعدتنا على فهم كيف نقسم أيَّ عددين مركَّبين. أول ما علينا فعله هو تحديد العدد المركَّب الذي عند ضربه في المقام نحصل على عدد حقيقي. بعد ذلك، يمكننا ضرب كلٍّ من البسط والمقام في هذا العدد والتبسيط. والسؤال هنا هو، إذا كان لدينا عدد مركَّب 𞸏، فما العدد الذي عند ضربه في 𞸏 يكون الناتج عددًا حقيقيًّا؟ علينا أن نتذكَّر في هذه المرحلة خواص مُرافِق العدد المركَّب، وبالتحديد، ما يتعلَّق بالعدد المركَّب 𞸏=𞸀+𞸁𞸕: 𞸏𞸏=𞸀+𞸁،٢٢ والذي يساوي عددًا حقيقيًّا. ومن ثَمَّ، بضرب البسط والمقام في مرافق العدد المركَّب للمقام، يمكننا حذف الجزء التخيُّلي من المقام، ثم تبسيط الناتج. من المتوقَّع أن تكون الغالبية على علم بهذه الطريقة. عند تناوُل الجذور، فإننا نواجه مشكلة مماثلة، وهي محاولة تبسيط المقادير التي على الصورة: 𞸀+𞸁󰋴𞸢𞸃+𞸤󰋴𞸅.

في هذه الحالة، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام. وعادةً ما تُسمَّى هذه الطريقة إنطاق المقام. مع الأعداد المركَّبة، نستخدم الطريقة نفسها بأشكال متعددة في الحالة الخاصة التي يكون فيها 𞸅 عددًا سالبًا.

مثال ٣: قسمة الأعداد المركَّبة

بسِّط ٣٦𞸕١٥𞸕.

الحل

نبدأ بتحديد العدد المركَّب الذي عند ضربه في المقام يكون الناتج عددًا حقيقيًّا. نستخدم عادةً مُرافِق العدد المركَّب للمقام، وهو ١+٥𞸕. نضرب الآن كلًّا من البسط والمقام في هذا العدد كما يلي: ٣٦𞸕١٥𞸕=٣٦𞸕١٥𞸕×١+٥𞸕١+٥𞸕=(٣٦𞸕)(١+٥𞸕)(١٥𞸕)(١+٥𞸕).

بفك الأقواس في البسط والمقام، نحصل على: ٣٦𞸕١٥𞸕=٣+٥١𞸕٦𞸕٠٣𞸕١+٥𞸕٥𞸕٥٢𞸕.٢٢

وباستخدام حقيقة أن 𞸕=١٢ وتجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا: ٣٦𞸕١٥𞸕=٣٣+٩𞸕٦٢.

وأخيرًا، نُعبِّر عن ذلك على الصورة 𞸀+𞸁𞸕 كما يلي: ٣٦𞸕١٥𞸕=٣٣٦٢+٩٦٢𞸕.

كيفية قسمة الأعداد المركَّبة

لقسمة الأعداد المركَّبة، نستخدم الطريقة الآتية (يشار إليها أحيانًا باسم «تحويل المقام لعدد حقيقي»):

  1. نضرب البسط والمقام في مُرافِق العدد المركَّب للمقام.
  2. نفك الأقواس في البسط والمقام.
  3. نجمع الحدود المتشابهة (الحقيقية والتخيُّلية) مع تذكُّر أن 𞸕=١٢.
  4. نُعبِّر عن الناتج على الصورة 𞸀+𞸁𞸕 مع تبسيط الكسور.

باستخدام هذه الطريقة، يمكننا استنتاج صورة عامة لقسمة الأعداد المركَّبة، كما سيوضِّح المثال الآتي.

مثال ٤: الصورة العامة لقسمة الأعداد المركَّبة

  1. فُكَّ وبسِّط (𞸋+𞸆𞸕)(𞸋𞸆𞸕).
  2. فُكَّ (𞸀+𞸁𞸕)(𞸋𞸆𞸕).
  3. بناءً على ذلك، أوجد الكسر الذي يساوي 𞸀+𞸁𞸕𞸋+𞸆𞸕 والذي مقامه حقيقي.

الحل

الجزء الأول

بفك الأقواس باستخدام طريقة ضرب حدَّي القوس الأول في حدَّي القوس الثاني، أو أي طريقة أخرى، نحصل على: (𞸋+𞸆𞸕)(𞸋𞸆𞸕)=𞸋𞸋𞸆𞸕+𞸋𞸆𞸕𞸆𞸕.٢٢٢

وباستخدام حقيقة أن 𞸕=١٢ ثم التبسيط، يصبح لدينا: (𞸋+𞸆𞸕)(𞸋𞸆𞸕)=𞸋+𞸆.٢٢

الجزء الثاني

بالمثل، نفك الأقواس لنحصل على: (𞸀+𞸁𞸕)(𞸋𞸆𞸕)=𞸀𞸋𞸀𞸆𞸕+𞸁𞸋𞸕𞸁𞸆𞸕.٢

وبتجميع الحدود المتشابهة واستخدام حقيقة أن 𞸕=١٢، نحصل على: (𞸀+𞸁𞸕)(𞸋𞸆𞸕)=(𞸀𞸋+𞸁𞸆)+(𞸁𞸋𞸀𞸆)𞸕.

الجزء الثالث

للتعبير عن هذا الكسر بجعل مقامه حقيقيًّا، نضرب البسط والمقام في مُرافِق العدد المركَّب للمقام كما يلي: 𞸀+𞸁𞸕𞸋+𞸆𞸕=(𞸀+𞸁𞸕)(𞸋𞸆𞸕)(𞸋+𞸆𞸕)(𞸋𞸆𞸕).

وبالتعويض بإجابتنا في الجزأين الأول والثاني، نحصل على: 𞸀+𞸁𞸕𞸋+𞸆𞸕=(𞸀𞸋+𞸁𞸆)+(𞸁𞸋𞸀𞸆)𞸕𞸋+𞸆.٢٢

مع أننا استنتجنا صيغة عامة لقسمة الأعداد المركَّبة، يُفَضَّل أن نكون على دراية بطريقة تطبيقها بدلًا من حفظ الصيغة فقط.

مثال ٥: خواص قسمة الأعداد المركَّبة

إذا كان 𞸀+𞸁𞸕=٣٥𞸕٣+٥𞸕، فهل 𞸀+𞸁=١٢٢؟

الحل

للتعبير عن ٣٥𞸕٣+٥𞸕 على الصورة 𞸀+𞸁𞸕، نضرب البسط والمقام في مُرافِق العدد المركَّب للمقام كما يلي: ٣٥𞸕٣+٥𞸕=(٣٥𞸕)(٣٥𞸕)(٣+٥𞸕)(٣٥𞸕).

وبفك الأقواس، يصبح لدينا: ٣٥𞸕٣+٥𞸕=٩+٥١𞸕+٥١𞸕+٥٢𞸕٩+٥١𞸕٥١𞸕٥٢𞸕.٢٢

وباستخدام حقيقة أن 𞸕=١٢ وتجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا: ٣٥𞸕٣+٥𞸕=٦١+٠٣𞸕٤٣.

وبالتبسيط، نحصل على: ٣٥𞸕٣+٥𞸕=٨٧١+٥١٧١𞸕.

ومن ثَمَّ، فإن 𞸀=٨٧١، 𞸁=٥١٧١. يمكننا الآن أن نحسب مجموع مربعيهما: 𞸀+𞸁=󰂔٨٧١󰂓+󰂔٥١٧١󰂓=٨+٥١٧١.٢٢٢٢٢٢٢

وبالتبسيط، نحصل على: 𞸀+𞸁=٤٦+٥٢٢٩٨٢=٩٨٢٩٨٢=١.٢٢

إذن، التعبير 𞸀+𞸁=١٢٢ صحيحٌ.

الحقيقة التي تفيد بأن 𞸀+𞸁=١٢٢ في السؤال السابق ليست من قبيل المصادفة. وفي الواقع، هذا مثال لقاعدة عامة تنص على أنه إذا كان: 𞸀+𞸁𞸕=𞸏𞸏، لأي عدد مركَّب 𞸏، فإن 𞸀+𞸁=١٢٢. وهذا يمكن إثباته باستخدام العمليات الجبرية. لكنَّها ليست فكرة جيدة للغاية. فبدلًا من ذلك، سنفهم مثل هذه النتائج على الوجه الأمثل عندما نتعلَّم المقياس والسعة.

مثال ٦: حَلُّ المعادلات التي تتضمَّن قسمة أعداد مركَّبة

حُلَّ المعادلة 𞸏(٢+𞸕)=٣𞸕 لإيجاد قيمة 𞸏.

الحل

نبدأ بقسمة كلا طرفَي المعادلة على ٢+𞸕 ليكون الناتج المعادلة الآتية: 𞸏=٣𞸕٢+𞸕.

يمكننا الآن تبسيط الكسر بقسمة الأعداد المركَّبة. ومن ثَمَّ، بضرب كلٍّ من البسط والمقام في مُرافِق العدد المركَّب للمقام، نحصل على: 𞸏=(٣𞸕)(٢𞸕)(٢+𞸕)(٢𞸕).

وبفك الأقواس، يصبح لدينا: 𞸏=٦٣𞸕٢𞸕+𞸕٤+٢𞸕٢𞸕𞸕.٢٢

وباستخدام حقيقة أن 𞸕=١٢ وتجميع الحدود المتشابهة، يمكننا إعادة كتابة هذا الكسر على الصورة: 𞸏=٥٥𞸕٥=١𞸕.

نظرًا لأن ضرب الأعداد المركَّبة وقسمتها بهذه الطريقة قد يستغرق الكثير من الوقت، فمن المفيد أن نعرف أيَّ طريقة ستكون الأكثر كفاءةً. ويتضمَّن هذا عادةً استخدام خواص الأعداد المركَّبة أو اكتشاف العوامل التي يمكننا حذفها سريعًا. سيوضِّح المثالان الأخيران كيف يمكننا تبسيط العمليات الحسابية.

مثال ٧: قسمة الأعداد المركَّبة

بسِّط (٣+٢𞸕)(٣+٣𞸕)(٤+𞸕)(٤+٤𞸕).

الحل

عندما نتعامل مع مقدار بهذا الشكل، فمن الجيد أن نفكِّر أولًا في طريقة الحل التي علينا اتباعها. يمكننا فك الأقواس في البسط والمقام ثم ضرب كلٍّ من البسط والمقام في مُرافِق العدد المركَّب للمقام. بدلًا من ذلك، يمكننا تقسيم الكسر إلى جزأين ونحاول تبسيط كل جزء، ثم ضرب الأعداد المركَّبة الناتجة. ستعتمد الطريقة المتَّبعة بوجه عام على المقدار المُعطى؛ لكن من الجيد البحث عن خواص للمقدار يمكن أن تبسِّط العملية الحسابية. في هذا السؤال، من الجيد أن نلاحظ أن لدينا عاملًا مشتركًا، وهو (١+𞸕)، في كلٍّ من البسط والمقام. وبحذف هذا العامل أولًا، يمكننا تبسيط العملية الحسابية. ومن ثم، فإن: (٣+٢𞸕)(٣+٣𞸕)(٤+𞸕)(٤+٤𞸕)=٣(٣+٢𞸕)(١+𞸕)٤(٤+𞸕)(١+𞸕)=٣٤×(٣+٢𞸕)(٤+𞸕).

يمكننا الآن ضرب كلٍّ من البسط والمقام في مُرافِق العدد المركَّب للمقام كما يلي: (٣+٢𞸕)(٣+٣𞸕)(٤+𞸕)(٤+٤𞸕)=٣٤×(٣+٢𞸕)(٤𞸕)(٤+𞸕)(٤𞸕).

وبفك الأقواس في البسط والمقام، يصبح لدينا: (٣+٢𞸕)(٣+٣𞸕)(٤+𞸕)(٤+٤𞸕)=٣٤×(٢١+٣𞸕+٨𞸕٢𞸕)(٦١+٤𞸕٤𞸕𞸕).٢٢

وباستخدام حقيقة أن 𞸕=١٢ وتجميع الحدود المتشابهة، يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة: (٣+٢𞸕)(٣+٣𞸕)(٤+𞸕)(٤+٤𞸕)=٣٤×(٠١+١١𞸕)٧١.

وأخيرًا، يمكننا التبسيط لنحصل على: (٣+٢𞸕)(٣+٣𞸕)(٤+𞸕)(٤+٤𞸕)=٥١٤٣+٣٣٨٦𞸕.

في السؤال الأخير، سنتناول مرة أخرى مثالًا نستخدم فيه خواص الأعداد المركَّبة التي تمكننا من تبسيط العمليات الحسابية.

مثال ٨: مقادير الأعداد المركَّبة التي تتضمَّن عملية القسمة

بسِّط ٣٤𞸕٢+٢𞸕+٣٤𞸕٢٢𞸕.

الحل

يمكن حل هذه المسألة بقسمة الأعداد المركَّبة في كلا الكسرين، ثم جمع خارج قسمتهما. لكن يمكننا تبسيط العملية الحسابية عندما نلاحظ أولًا أنه يمكننا إخراج العامل المشترك ٣٤𞸕 من كلا الحدَّين. ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة المقدار على الصورة:

٣٤𞸕٢+٢𞸕+٣٤𞸕٢٢𞸕=(٣٤𞸕)󰂔١٢+٢𞸕+١٢٢𞸕󰂓.()١

نتناول الآن المقدار الموجود داخل القوس، حيث نلاحِظ أن مقامَي الكسرين هما عددان مركَّبان مُترافقان؛ وهذا يعني أن المقدار على الصورة: ١𞸏+١𞸏.

إذا كتبنا ذلك على صورة كسر واحد بمقام مشترك، يصبح لدينا: ١𞸏+١𞸏=𞸏+𞸏𞸏𞸏.

وباستخدام خواص مُرافِق العدد المركَّب، نعلم أنه إذا كان 𞸏=𞸀+𞸁𞸕، فإن 𞸏𞸏=𞸀+𞸁٢٢، 𞸏+𞸏=٢×(𞸏)=٢𞸀اءا. ومن ثَمَّ، فإن: ١𞸏+١𞸏=٢𞸀𞸀+𞸁.٢٢

إذن: 󰂔١٢+٢𞸕+١٢٢𞸕󰂓=٢×٢٢+٢=١٢.٢٢

وبالتعويض بهذا في (١)، نحصل على: ٣٤𞸕٢+٢𞸕+٣٤𞸕٢٢𞸕=١٢(٣٤𞸕)=٣٢٢𞸕.

النقاط الرئيسية

  1. عند قسمة الأعداد المركَّبة، نستخدم نفس الطريقة التي نستخدمها لإنطاق المقام.
  2. لقسمة الأعداد المركَّبة، نضرب البسط والمقام في مرافق العدد المركَّب للمقام، ثم نفك الأقواس ونبسِّطها باستخدام حقيقة أن 𞸕=١٢.
  3. في المقادير التي تتضمَّن عمليتَي ضرب وقسمة عدة أعداد مركَّبة، من المفيد أن نبحث عن عوامل مشتركة، أو إذا ما كان يمكننا تطبيق بعض خواص الأعداد المركَّبة لتبسيط العمليات الحسابية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.