شارح الدرس: المستقيمات المتوازية والقواطع: الأجزاء المتناسبة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: استخدام خواصِّ المستقيمات المتوازية والقواطع لإيجاد طولِ ضلع ناقص

باستخدام المعلومات التي في الشكل، أوجد طول .

الحل

في الشكل، يمكننا أن نلاحظ أن لدينا ثلاثة مستقيمات متوازية:

يمكننا أن نلاحظ أيضًا أن هذه المستقيمات المتوازية قُطِعت بواسطة القاطعين ، . تذكَّر أن القاطع هو مستقيم يقطع مستقيمين في المستوى نفسه عند نقطتين مختلفتين، أو أكثر من مستقيمين عند نقاط مختلفة. وتنصُّ نظرية التناسب الأساسية (نظرية طاليس) على أنه إذا تقاطعت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر مع قاطعين، فإنها تقسم هذين القاطعين إلى أجزاء أطوالها متناسبة. ولهذا السبب، نعلم أن نسبة طول إلى طول يجب أن تكون مكافئة لنسبة طول إلى طول . وبهذا يمكننا كتابة التناسب التالي:

يوضِّح لنا الشكل التالي أن ، ، ، وبذلك نتمكَّن من التعويض بهذه القيم في التناسب لنحصل على:

بإجراء الضرب التبادلي، نحصل على المعادلة: وهي التي يمكننا تبسيطها إلى:

وأخيرًا، بقسمة طرفَي المعادلة على ٤٧، نحصل على:

وبذلك نكون قد عرفنا أن طول في الشكل يساوي ١٤٤ سم.

ملاحظة:

هناك تناسب آخَر يمكننا كتابته لحلِّ المسألة؛ وهو:

يمكننا أن نلاحظ في هذا التناسب أن النسبة الموجودة في كلا طرفَي المعادلة تتضمَّن طولَي القطعتين المستقيمتين المتناظرتين في القاطعين المختلفين، بدلًا من طولَي القطعتين المستقيمتين اللتين تقعان على القاطع نفسه. بالتعويض في هذا التناسب، نحصل على: وبضرب كلا طرفَي المعادلة في ١٤١، نحصل على:

ومن ثَمَّ، نحصل على الطول نفسه لـ بغضِّ النظر عن استخدامنا لأيٍّ من معادلتَي التناسب. وبذلك، نجد مرة أخرى أن طول في الشكل يساوي ١٤٤ سم.

مثال ٢: استخدام خواصِّ المستقيمات المتوازية والقواطع المتعدِّدة لإيجاد طول ضلع ناقص

في الشكل الآتي، المستقيمات ، ، ، جميعها متوازية. إذا كان ، ، ، ، فما طول ؟

الحل

في هذه المسألة، ذُكر في معطيات السؤال أن:

وذُكرت أيضًا في المعطيات أطوال ، ، ، ، إذن يمكننا وضع البيانات على الشكل على النحو التالي:

يمكننا أن نرى أن كلًّا من المستقيمات ، ، ، قد قُطعت بواسطة القاطعين ، . تذكَّر أن نظرية التناسب الأساسية (نظرية طاليس) تنصُّ على أنه إذا تقاطعت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر مع قاطعين، فإنها تقسم هذين القاطعين إلى أجزاء أطوالها متناسبة. ويعني هذا أن نسبة طول إلى طول يجب أن تساوي نسبة طول إلى طول . ويسمح لنا هذا بكتابة التناسب الآتي:

ولكن لاحظ أن المعطيات لم تذكر طول أو . لكنها ذكرت طول كلٍّ من ، ؛ لذا يمكننا استخدام حقيقة أن طول القطعة المستقيمة يساوي مجموع أطوال القطع المستقيمة المنفصلة الأقصر التي تكوِّنها لإعادة كتابة التناسب بطريقة تسمح لنا بحلِّ المسألة. وبما أن ، نحصل على:

بعد التعويض بقيم ، ، ، المعطاة في هذا التناسب، نحصل على المعادلة: التي يمكننا إعادة كتابتها على الصورة:

بعد ذلك، نُجري الضرب التبادلي، ونحصل على المعادلة: التي يمكننا تبسيطها إلى:

وأخيرًا، لإيجاد قيمة ، يمكننا قسمة طرفَي المعادلة على ١٢ لنحصل على:

وبناءً على ذلك، يمكننا استنتاج أن طول في الشكل يساوي ١٠.

مثال ٣: إيجاد أطوال القطع المستقيمة المتناسبة باستخدام خواصِّ المستقيمات المتوازية والقواطع المتعدِّدة

إذا كان ، فأوجد طول .

الحل

يمكننا أن نلاحظ أن لدينا في هذه المسألة أربعة مستقيمات متوازية:

ويمكننا أيضًا ملاحظة أن هذه المستقيمات المتوازية تقسِّم القاطع إلى ، ، ؛ حيث ، وتقسِّم القاطع إلى ، ، ؛ حيث يبلغ طول ٩ سم. بناءً على هذه المعطيات، مطلوب منا إيجاد طول .

تذكَّر أن نظرية طاليس الخاصة تنصُّ على أنه إذا قسمت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر قاطعًا واحدًا إلى قطع مستقيمة متطابقة، فستقسم هذه المستقيمات أيَّ قاطع آخَر إلى قطع مستقيمة متطابقة. وبما أننا نعرف أن ، فإننا نعرف أيضًا أن .

في البداية، يمكننا استخدام حقيقة أن طول القطعة المستقيمة يساوي مجموع أطوال القطع المستقيمة المنفصلة الأقصر التي تكوِّنها لكتابة المعادلة التالية:

وبما أن ، فإننا نعرف أن . وهذا يسمح لنا بالتعويض بـ في المعادلة عن كلٍّ من ، ، لنحصل على: وهي التي يمكننا إعادة كتابتها على الصورة:

تذكَّر أن المعطيات أوضحت أن طول يساوي ٩ سم؛ لذا يمكننا الآن التعويض بالقيمة ٩ في المعادلة عن ، لنحصل على: ثم نقسم كلا طرفَي المعادلة على ٣، وهو ما يعطينا:

تذكَّر أن ، لهما نفس الطول؛ لذا نعرف أيضًا أن:

بعد ذلك، نظرًا لأن طول القطعة المستقيمة يساوي مجموع أطوال القطع المستقيمة التي تكوِّنها، فإنه يمكننا كتابة المعادلة: وبعد التعويض بالقيمة ٣ عن كلٍّ من ، ، نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن طول في الشكل يساوي ٦ سم.

ملاحظة:

هناك طريقة بديلة للحلِّ وهي استخدام نظرية التناسب الأساسية (نظرية طاليس). ووفقًا لهذه النظرية، إذا تقاطعت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر مع قاطعين، فإنها تقسم هذين القاطعين إلى أجزاء أطوالها متناسبة. لإيجاد طول باستخدام هذه النظرية، علينا تكوين معادلةِ تناسبٍ وحلُّها باستخدام المعلومات المعطاة.

لنبدأ بافتراض أن طول هو . هذا يعني أن:

ونظرًا لأن طول القطعة المستقيمة يساوي مجموع أطوال القطع المستقيمة المنفصلة الأقصر التي تكوِّنها، فإنه يمكننا كتابة المعادلة:

وبالتعويض بـ في المعادلة عن ، نحصل على:

بما أن ، فإننا نعرف أن . يمكننا الآن التعويض بـ في المعادلة عن كلٍّ من ، ، لنحصل على المعادلة: وهي التي يمكننا إعادة كتابتها على الصورة:

بعد ذلك، بقسمة الطرفين على ٣، نحصل على:

وبما أن المعطيات قد ذكرت أن تطابق ، فإننا نعرف أيضًا أن . وهكذا إذا استخدمنا مرة أخرى حقيقة أن طول القطعة المستقيمة يساوي مجموع أطوال القطع المستقيمة التي تكوِّنها، فإنه يمكننا إيجاد طول بدلالة :

والآن بعد أن عرفنا أن طول يساوي ، وأن طول يساوي ؛ يمكننا تكوين معادلة تناسب يمكننا حلُّها بعد ذلك لإيجاد طول . في الشكل، يمكننا ملاحظة أن تناظر ، وأن تناظر ؛ إذن يمكننا كتابة:

بعد ذلك، بالتعويض بـ عن ، عن ، ٩ عن ؛ نحصل على:

يمكننا تبسيط هذه المعادلة إلى: وبعد ضرب كلا الطرفين في ٩، نحصل على:

وبذلك، نكون قد أوجدنا مرة أخرى أن طول في الشكل يساوي ٦ سم.

مثال ٤: استخدام خصائص المستقيمات المتوازية وحلُّ المعادلات الخطية لإيجاد قيمة مجهول وطول قطعة مستقيمة

في الشكل التالي، ، ، ، ، . أوجد قيمة ، وطول .

الحل

لنبدأ باستخدام أطوال ، ، ، ، التي ذُكرت في المعطيات لوضع البيانات على الشكل كما هو موضَّح:

يمكننا أن نلاحظ أن لدينا في الشكل أربعة مستقيمات متوازية:

كما نلاحظ أن كلَّ مستقيم من تلك المستقيمات مقطوع بواسطة القاطعين ، . تنصُّ نظرية التناسب الأساسية (نظرية طاليس) على أنه إذا تقاطعت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر مع قاطعين، فإنها تقسم هذين القاطعين إلى أجزاء أطوالها متناسبة. وبهذا نكون قد عرفنا أن نسبة طول إلى طول يجب أن تساوي نسبة طول إلى طول . ويتيح لنا هذا كتابة التناسب الآتي:

بالتعويض بالأطوال المعطاة عن ، ، ، في هذا التناسب، نحصل على: وبعد تبسيط الطرف الأيسر، نحصل على:

والآن، لحذف المقام من الطرف الأيمن، نضرب كلا الطرفين في لنحصل على: ولحلِّ المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة ، يمكننا طرح ١ من كلا طرفَي المعادلة لنحصل على:

بعد ذلك، لإيجاد طول ، يمكننا استخدام نظرية التناسب الأساسية لكتابة التناسب الآتي:

بالتعويض بالقيم المعطاة عن كلٍّ من ، ، في هذا التناسب، نحصل على:

لاحظ أن قيمتَي البسط في الكسرين في كلا طرفَي التناسب متماثلتان. وعليه، فإننا نعلم أن مقامَي الكسرين يجب أن يكونا متماثلين أيضًا، إذن:

خلاصة القول، في هذا الشكل، يمكننا استنتاج أن ، .

مثال ٥: إيجاد أطوال الأضلاع باستخدام خصائص المستقيمات المتوازية لتكوين معادلات خطية

في الشكل المعطى، أوجد قيمتَي ، .

الحل

عند النظر إلى الشكل، يمكننا ملاحظة أن لدينا ثلاثة مستقيمات متوازية:

يمكننا أن نلاحظ أيضًا أن هذه المستقيمات المتوازية تقسِّم القاطع إلى ، ، وتقسِّم القاطع إلى ، ؛ حيث .

تذكَّر أن نظرية طاليس الخاصة تنصُّ على أنه إذا قسمت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر قاطعًا واحدًا إلى قطع مستقيمة متطابقة، فستقسم هذه المستقيمات أيَّ قاطع آخَر إلى قطع مستقيمة متطابقة. وبما أننا نعرف أن ، فإننا نعرف كذلك أن .

القطع المستقيمة المتطابقة تكون ذات أطوال متساوية، ويترتَّب على ذلك أن:

يوضِّح لنا الشكل أن ، ، ، ، ومن ثَمَّ يمكننا التعويض بالتعبير المناسب عن طول كلِّ قطعة مستقيمة في الشكل، فنحصل على المعادلتين:

هيا نحلَّ كل معادلة من هاتين المعادلتين تباعًا. في البداية، لكي نحلَّ المعادلة ، يمكننا طرح من كلا الطرفين لنحصل على: ثم نضيف ٢٠ إلى كلا الطرفين؛ بحيث تصبح المعادلة:

وأخيرًا، يمكننا قسمة كلا الطرفين على ٢ لنحصل على:

وبعد ذلك، لكي نحلَّ المعادلة ، يمكننا طرح من كلا الطرفين لنحصل على: ثم نضيف ٢٥ إلى كلا الطرفين؛ بحيث تصبح المعادلة:

وأخيرًا، يمكننا قسمة كلا الطرفين على ٢ لنحصل على:

ومن ثَمَّ، في هذا الشكل، يمكننا استنتاج أن ، .

ملاحظة:

هناك طريقة بديلة للحلِّ وهي استخدام نظرية التناسب الأساسية (نظرية طاليس). تذكَّر أن هذه النظرية تنصُّ على أنه إذا تقاطعت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر مع قاطعين، فإنها تقسم هذين القاطعين إلى أجزاء أطوالها متناسبة. ولهذا السبب، نعلم أن نسبة طول إلى طول يجب أن تكون مكافئة لنسبة طول إلى طول . ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة التناسب الآتي:

يمكننا بعد ذلك التعويض بالتعبير المناسب في التناسب عن طول كلِّ قطعة مستقيمة للحصول على:

ولأننا نعرف أن ، فسنعرف أيضًا أن . ويترتَّب على ذلك أن: ويمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة معادلتين منفصلتين:

لحلِّ المعادلة ، يمكننا البدء بضرب الطرفين في لحذف المقام من الطرف الأيمن. ونحصل من هذا على: وهي المعادلة نفسها التي قمنا بحلِّها بالطريقة السابقة لإيجاد قيمة .

ولحلِّ المعادلة ، يمكننا البدء مرة أخرى بحذف المقام، لكن هذه المرة بضرب كلا طرفَي المعادلة في . وبعد إجراء ذلك، نحصل على: وهي المعادلة نفسها التي حصلنا عليها بالطريقة السابقة لإيجاد قيمة . ومن ثَمَّ، سنحصل على قيمتي ، نفسيهما باستخدام هذه الطريقة. وبذلك، سنجد مرة أخرى أن ، .