شارح الدرس: التصادم وحفظ كمية الحركة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُطبِّق قانون حفظ كمية الحركة لدراسة التصادمات في بُعد واحد، والتمييز بين التصادم المرن وغير المرن.

نتذكَّر أولًا العلاقة بين الدفع الناتج عن تأثير قوة والتغيُّر في كمية الحركة.

افترض أن الجسمين ١، ٢ لهما كمية الحركة ، ، على الترتيب، كما هو موضَّح في الشكل الآتي. خلال زمن التصادم، يؤثِّر الجسم ١ بالقوة على الجسم ٢، ويؤثِّر الجسم ٢ بالقوة على الجسم ١. تُعَد هاتان القوتان نتيجة للتأثير المتبادل بين الجسم ١ والجسم ٢. ويخبرنا قانون نيوتن الثالث للحركة أن هاتين القوتين متساويتان في المقدار، ولكنهما متعاكستان في الاتجاه. ومن ثَمَّ، يُصبِح لدينا:

يتعرَّض الجسم ١ لتغيُّر في كمية الحركة نتيجة القوة التي يؤثِّر بها الجسم ٢ عليه خلال التصادم (بين الزمن والزمن )، وهذا التغيُّر يُعطى كالآتي:

بالمثل، يُعطى التغيُّر في كمية حركة الجسم ٢ كالآتي:

بما أن ، إذن:

توضِّح لنا المعادلة الأخيرة أن كمية الحركة الكلية للجسمين لا تتغيَّر خلال التصادم؛ أي إن كمية الحركة ثابتة. نقول إن كمية الحركة كمية محفوظة.

نعلم الآن أن كمية الحركة الكلية ستكون محفوظة خلال أي تصادم بين جسمين إذا افترضنا أنه لا يُوجَد أي تأثيرات أخرى سوى التأثير المتبادل بين الجسمين المتصادمين (ومن ثَمَّ، فقد افترضنا أنه لا يُوجَد احتكاك). لكن، هل يعني ذلك أن طاقة الحركة الكلية محفوظة؟

بغرض التبسيط، نتناول التصادمات بين أجسام تتحرَّك في الخط المستقيم نفسه. وفي هذه الحالة، تكون جميع الكميات المتجهة؛ مثل السرعة، والقوة، والدفع، متجهات في بُعد واحد على امتداد محور الحركة. وهذا يسمح لنا باستخدام مركبتها الوحيدة في اتجاه محور الحركة بدلًا من صورها المتجهة في جميع المعادلات.

نفترض أن لدينا جسمين كتلتاهما متساويتان، ، يتحرَّكان بسرعة متساوية، ، كلٌّ منهما في اتجاه الآخر على سطح أفقي أملس، ويقتربان من موضع يتصادمان عنده، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

تُعطى مركبة كمية حركة الجسمين الابتدائية (أي قبل التصادم) في اتجاه محور الحركة كالآتي:

بما أن كمية الحركة في النظام المغلق محفوظة، إذن تكون كمية حركة الجسمين الكلية بعد التصادم صفرًا كذلك.

ما يعنيه ذلك أن السرعتين بعد التصادم لا بد أن تكونا متساويتين في المقدار ومتعاكستين في الاتجاه. ارتد الجسمان كلٌّ منهما عن الآخر (دُفِعَ كلُّ جسم للوراء بواسطة الجسم الآخر)؛ ومن ثَمَّ، تصبح لسرعتَيْهما إشارة مختلفة، وقد يتغيَّر مقدار سرعتَيْهما اعتمادًا على قيمتَيْهما قبل التصادم، . وهذا يمكن تمثيله كما هو موضَّح في الشكل؛ حيث معامل موجب.

طاقة الحركة الابتدائية الكلية هي:

وطاقة الحركة النهائية الكلية هي:

إذن يُمثِّل النسبة بين طاقة الحركة الكلية للجسمين قبل التصادم وبعده:

بما أننا نتعامل مع نظام معزول، إذن لا يُمكِن للطاقة أن تزداد؛ لأن الطاقة لا يُمكِن أن تُنشأ. يتحرَّك الجسمان أفقيًّا؛ ما يعني أن طاقة وضع الجاذبية لهما ثابتة. ومن ثَمَّ، لا يُمكِن أن تزداد طاقة الحركة الكلية بعد التصادم عن طاقة الحركة الكلية قبل التصادم. إذن يكون لدينا:

عند: يكون مقدارا السرعتين محفوظين. ومن ثَمَّ، يكون لدينا:

طاقة الحركة محفوظة خلال التصادم؛ ومن ثَمَّ، نقول إن التصادم مرن.

أما عند: فثمة فَقْد في طاقة الحركة خلال التصادم نتيجة الاحتكاك بين الجسمين. ونقول إن جزءًا من طاقة الحركة قد بُدِّد. ويُطلَق على هذا النوع من التصادم التصادم غير المرن.

التصادم غير المرن تمامًا هو تصادم يحدث فيه أقصى فَقْد لطاقة الحركة. حيث يُفقَد جزء من طاقة الحركة نتيجة التحام الجسمين معًا. ومن ثَمَّ، يلتصق الجسمان بعد التصادم ويتحرَّكان بالسرعة النهائية نفسها.

قد يعني هذا في المثال بالأعلى أن سرعتَي الجسمين بعد التصادم تساويان صفرًا؛ نظرًا لأن سرعتيهما لا بد أن تتساويا في المقدار وتتعاكسا في الاتجاه. فيكون لدينا: إذن:

هيا نُلخِّص أنواع التصادم المختلفة.

نتناول الآن، مرةً أخرى، حالة تتضمَّن جسمين متساويين في الكتلة؛ حيث لا تساوي كمية الحركة الكلية صفرًا، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

تُعطى مركبة كمية حركة الجسمين الابتدائية (أي قبل التصادم) في اتجاه محور الحركة كالآتي:

يوضِّح الشكل الآتي ناتجًا صحيحًا لحركة الجسمين بعد التصادم.

بالنسبة إلى هذا الناتِج، يصبح الجسم المتحرِّك في البداية في حالة سكون، في حين أن الجسم الساكن من البداية تصبح له سرعة تساوي سرعة الجسم المتحرِّك قبل التصادم. ونظرًا لأن طاقة الحركة محفوظة ، فالتصادم بين الجسمين مرن تمامًا.

أما في حالة التصادم غير المرن تمامًا، يلتصق الجسمان ويتحرَّكان بالسرعة النهائية نفسها، كما هو موضَّح في الشكل الآتي. مركبة السرعة النهائية ؛ ومن ثَمَّ، كمية الحركة الكلية محفوظة.

طاقة الحركة الابتدائية هي: وطاقة الحركة النهائية هي:

الفَقْد في الطاقة الحركية هو:

يمكن التوضيح رياضيًّا بأن ذلك يمثِّل أقصى فَقْد لطاقة الحركة يحفظ كمية الحركة.

يوضِّح الشكل الآتي ناتجًا لحركة الجسمين بعد التصادم؛ حيث كمية الحركة محفوظة.

لا تزال كمية الحركة الابتدائية: وكمية الحركة النهائية:

تُعطى طاقة الحركة الابتدائية كالآتي: وتُعطى طاقة الحركة النهائية كالآتي:

نجد أن:

لكن هذا الناتج غير ممكن فيزيائيًّا؛ لأنه يعني أن تلك الطاقة تُنشأ. نلاحظ أن حفظ كمية الحركة لا يُحدِّد بمفرده إذا ما كان ناتج التصادم ممكنًا أو لا. بل يجب أن يضاف إلى ذلك ألَّا تزيد قيمة طاقة الحركة بعد التصادم على قيمتها قبل التصادم.

نُلقي نظرة على مثال لتصادم بين جسمين.

والآن، نرى مثالًا يوضِّح كيف يمكن أن يُحدِّد حفظ كمية الحركة سرعة جسم بعد التصادم.

والآن، نرى مثالًا يوضِّح كيف يمكن لحفظ كمية الحركة أن يُحدِّد دفع قوة تصادم جسمين يتحرَّكان في اتجاهين متعاكسين، وكذلك سرعة الجسم بعد التصادم.

والآن، نُلقي نظرة على مثال يتصادم فيه جسمان، ثم يتحرَّكان في صورة جسم واحد.

مثال ٤: دراسة تصادم جسمين متحرِّكين في نفس الخط المستقيم في حالتين مختلفتين

تتحرَّك كرتان في خط مستقيم. كتلة إحداهما وتتحرَّك بسرعة ، وكتلة الأخرى ١٠ جم وتتحرَّك بسرعة ٣٦ سم/ث. إذا كانت الكرتان تتحرَّكان في الاتجاه نفسه عند تصادمهما، فإنهما تتحدان في جسم واحد، وتتحرَّكان بسرعة تساوي ٣٠ سم/ث في الاتجاه نفسه. وإذا كانت الكرتان تتحرَّكان في اتجاهين متعاكسين، واصطدمت إحداهما بالأخرى، فإنهما تتحدان في صورة جسم واحد يتحرَّك بسرعة ٦ سم/ث في الاتجاه الذي كانت تتحرَّك فيه الكرة الأولى. أوجد ، .

الحل

يوضِّح الشكل الآتي حالتَي ما قبل التصادم وما بعد التصادم للجسمين؛ حيث يكون لكلٍّ منهما اتجاه الحركة الابتدائي نفسه.

بتطبيق قانون حفظ كمية الحركة الكلية على النظام، نحصل على:

يوضِّح الشكل الآتي حالتَي ما قبل التصادم وما بعد التصادم للجسمين؛ حيث يكون لكلٍّ منهما اتجاها حركة ابتدائيان متعاكسان.

بتطبيق قانون حفظ كمية الحركة الكلية على النظام في هذه الحالة الثانية، نحصل على:

لدينا نظام المعادلات الآتي:

بجمع المعادلتين نحصل على:

يمكن التعويض بقيمة في أيٍّ من المعادلتين للحصول على قيمة .

باستخدام: نحصل على: