شارح الدرس: المضلعات المتشابهة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: استخدام خواص التشابُه في حلِّ المسائل

إذا كان المستطيلان الموضَّحان متشابهَيْن، فما قيمة ؟

الحل

بما أننا نعلم أن المستطيلَيْن متشابهان، فإننا نعرف أن أضلاعهما لا بدَّ أن تكون متناسبة. بعبارةٍ أخرى، لا بدَّ من وجود معامل تشابُه واحد بين الأضلاع المتناظِرة. ضلع المستطيل الأصغر الذي طوله ٢١ سم يناظر الضلع في المستطيل الأكبر الذي طوله سم، وضلع المستطيل الأصغر الذي طوله ١٥ سم يناظر ضلع المستطيل الأكبر الذي طوله ٦٠ سم. يُمكننا إيجاد معامل قياس التشابه بين المستطيل الأصغر والمستطيل الأكبر بقسمة ٦٠ على ١٥. إذا أردنا العمل في الاتجاه المعاكس (من الأكبر إلى الأصغر)، فإننا نقسم ١٥ على ٦٠ لإيجاد معامل قياس التشابه. وبوجهٍ عام، من الأسهل العمل في الاتجاه من الأصغر إلى الأكبر؛ لذا دعونا نفعل ذلك. معامل قياس التشابه يساوي: وهو ما يُخبرنا أن طول كل ضلع في المستطيل الأكبر يساوي أربعة أمثال الضلع الذي يناظره في المستطيل الأصغر. لذا، لإيجاد طول ، نضرب ٢١ في ٤. إذن:

مثال ٢: استخدام خواص التشابُه في حلِّ المسائل

إذا كان المضلَّعان الآتيان متشابهَيْن، فأوجد قيمة .

الحل

لدينا هنا شكلان رباعيان نعلم أنهما متشابهان. علينا إيجاد معامل قياس التشابه الذي ينقل شكلًا إلى الآخَر. نعلم أن الضلع الموجود في الشكل الرباعي الأكبر الذي طوله ٨٥ سم يناظر الضلع الذي طوله ٣٤ سم في الشكل الرباعي الأصغر. إذا حسبنا معامل قياس التشابه في الاتجاه من الشكل الأكبر إلى الشكل الأصغر، سنحصل على:

في هذه الحالة، معامل قياس التشابه ليس عددًا كليًّا؛ لذا سنترك الإجابة على صورة الكسر المُبسَّط: . نعلم إذن أن طول كلِّ ضلع في الشكل الرباعي الأصغر يمثِّل من طول الضلع المناظِر في الشكل الرباعي الأكبر. ومن ثم، لإيجاد نضرب ٧٥ في :

مثال ٣: إثبات تشابُه مضلَّعين

هل المضلَّع مشابِه للمضلَّع ؟

الحل

أوَّل ما نلاحظه هنا هو أن المضلَّعين متوازيا أضلاع، وهو ما يسمح لنا بحساب أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا المجهولة في كلِّ شكل. إذا نظرنا إلى ، تُخبرنا خواص متوازي الأضلاع أن ، . نعرف أيضًا أن مكمِّلة لـ ؛ ولذلك . أيضًا، الزاويتان المتقابلتان في متوازي الأضلاع متساويتان في القياس؛ لذا ، .

ويُمكننا تطبيق برهان مماثِل على لتوضيح أن ، ، ، ، . ومن ثَمَّ، فإن الزاويتين المتناظِرتين في كلِّ مضلَّع متساويتان في القياس. لإثبات التشابُه، علينا فقط التحقُّق من أن الأضلاع متناسِبة. علينا التحقُّق من أن :

قياسات الزوايا المتناظِرة متساوية، وأطوال الأضلاع المتناظِرة متناسبة، وبذلك يكون المضلَّعان متشابهَيْن.

مثال ٤: إثبات تشابُه مضلَّعين

هل هذان المضلَّعان متشابهان؟ إذا كانت الإجابة نعم، فأوجد معامل قياس التشابُه بين ، .

الحل

نلاحظ من السؤال أن ثلاثًا من الزوايا المتناظِرة في المضلَّعين متساوية في القياس. يُمكننا استنتاج أن قياس الزاوية الرابعة لا بدَّ أيضًا أن يكون متساويًا في كلا المضلَّعين. ومن ثَمَّ، فإن قياسات الزوايا المتناظِرة متساوية في الشكلين الرباعيين. علينا بعد ذلك التأكُّد من أن أطوال الأضلاع المتناظِرة متناسبة. إذا نظرنا جيدًا إلى الشكل ومواضع الزوايا، يُمكننا ملاحظة أن يناظر ، يناظر ، ، يناظر ، يناظر . لذا، علينا التحقُّق من أن :

وبما أن الزوايا المتناظِرة متساوية في القياس وأطوال الأضلاع المتناظِرة متناسبة، فإن الشكلين الرباعيين متشابهان. معامل قياس التشابُه بين ، هو ؛ حيث نحدِّد الاتجاه من الشكل الأكبر إلى الشكل الأصغر.