شارح الدرس: خواص المميِّز في المعادلات التربيعية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مميز المعادلة التربيعية ونستخدمه لتحديد عدد الجذور (الحلول) وأنواعها دون حل المعادلة.

نتذكَّر أن المعادلة التربيعية العامة تكون على الصورة:

حيث ، ، أعداد حقيقية، المتغيِّر المطلوب إيجاد قيمه. لكي تكون هذه المعادلة تربيعية، يجب أن يكون ، لكننا لا نُطبِّق الشرط نفسه على أو . نتوصَّل إلى «حل» هذه المعادلة عندما نُوجِد قيمة ؛ بحيث تتحقَّق المعادلة (١). بالنسبة إلى المعادلة التربيعية، قد يُوجَد حلَّان حقيقيان على الأكثر للمعادلة (١)، مقابل الحل الحقيقي الوحيد للمعادلة الخطية. لكي نكون أكثر تحديدًا، لأيِّ معادلة تربيعية ذات معاملات حقيقية، يكون عدد الحلول الحقيقية ٠ أو ١ أو ٢.

من المعروف أن حل المعادلة التربيعية يُعطى باستخدام القانون العام:

الذي نحصل منه على حلَّيْن ممكِنين موضَّحين من خلال الإشارة . يمكن التحقُّق من صحة أيٍّ من هذين الحلَّيْن جبريًّا بالتعويض بأيِّ مقدار من مقدارَي المعادلة (٢) في المعادلة (١).

يُشير القانون العام إلى حقيقة أنه قد يكون هناك ٠ أو ١ أو ٢ من الحلول الحقيقية للمعادلة التربيعية العامة؛ لأن علامة تُشير إلى أن هناك عمليتين حسابيتين ممكِنتين لإيجاد قيم . إذا كانت قيمة المقدار داخل حد الجذر التربيعي موجبة، فلا تُوجِد مشكلة في إيجاد الحل. أما إذا كانت قيمة المقدار داخل حد الجذر التربيعي سالبة، فسنحاول إيجاد الجذر التربيعي لعدد سالب، وهو ما ليس له حلول في الأعداد الحقيقية. وأخيرًا، إذا كانت قيمة المقدار داخل علامة الجذر تساوي صفرًا، فإن كلتا العمليتين الحسابيتين يكون ناتجاهما متساويين؛ لذا، يكون لدينا جذر واحد فقط. ومن ثَمَّ، يتحدَّد عدد الحلول الحقيقية من إشارة قيمة المقدار ، الذي يُعرَف باسم المميز.

بعد وضع هذا التعريف، نجد أنه يمكننا كتابة القانون العام بدلالة المميز على الصورة: التي توضِّح كثيرًا ارتباط قيمة المميز بعدد حلول المعادلة التربيعية. على سبيل المثال، نوضِّح هذه الفكرة بالتفكير في المعادلة التربيعية . سيمثِّل ذلك نموذجًا مفيدًا إذا فكَّرنا فيه بدلالة الدالة: ثم نبحث إيجاد قيمتَي اللتين تُعطياننا . بعبارة أخرى، سنحاول إيجاد جذرَي الدالة . نبدأ برسم الدالة، كما هو موضَّح بالأسفل؛ حيث توضِّح أن هناك جذرين، أحدهما سالب والآخر موجب.

نتأكَّد الآن من ذلك بالرجوع إلى تعريف المميز. لحل المعادلة ، علينا أولًا ملاحظة أن هذه معادلة تربيعية في ، ومعاملاتها ، ، . ومن ثَمَّ، نحسب المميز هكذا:

إذن لدينا ، وهو ما يعني أن هناك حلين حقيقيين، وفقًا للتعريف السابق. وهذا ما يشير إليه أيضًا المنحنى الذي رسمناه سابقًا. يمكننا بعد ذلك استخدام المعادلة التربيعية لحساب هذين الجذرين مباشرةً على النحو الآتي:

يمكننا التحقُّق من أن هذين الحلين الحقيقيين يناظران عدديًّا الحلين الموضَّحين في الرسم السابق.

هيا نتناول مثالًا آخر، هذه المرة للمعادلة التربيعية ، وهو ما يعني أنه يمكننا كتابتها على الصورة: التي تمثِّل دالة تربيعية؛ حيث ، ، . ومقارنةً بالدالة ، فإن الدالة يكون لها الشكل نفسه تمامًا بعد الانتقال بمقدار وحدتين في الاتجاه الرأسي الموجب. يُرسَم منحنى هذه الدالة كالآتي:

يبدو أن هناك حلًا واحدًا فقط لهذه المعادلة عند ، وهو ما سنوضِّحه تمامًا باستخدام المميز. نحسب المميز كالآتي:

حقيقة أن تعني أن هناك جذرًا حقيقيًّا واحدًا (متكرِّرًا)، كما يبدو من المنحنى المرسوم سابقًا. بعد ذلك، نستخدم القانون العام لحساب الحلول هكذا:

في هذه الحالة، لا يعنينا حد المميز؛ لأن إضافة الصفر تماثل طرحه. على عكس الحالة السابقة، لا داعي لإكمال عمليات حسابية إضافية لإيجاد الجذر الحقيقي (المتكرِّر).

المثال الأخير الذي علينا توضيحه هو المعادلة التربيعية التي لا تُوجَد لها حلول حقيقية. نتناول المثال السابق ونُعدِّله قليلًا لنحصل على المعادلة التربيعية . للمساعدة في هذه العملية، نُحدِّد الدالة: وهي دالة تربيعية بها ، ، . منحنى يماثل منحنى بعد الانتقال بمقدار وحدتين في الاتجاه الرأسي الموجب، وناتجه موضَّح بالأسفل.

يبدو من هذا المنحنى أنه لا تُوجَد حلول حقيقية للمعادلة التربيعية، ويمكننا توضيح ذلك عن طريق حساب قيمة المميز كالآتي:

هذا يوضِّح أن ، وهو ما يعني أنه لا تُوجَد حلول حقيقية، ما يؤكِّد توقُّعاتنا من المنحنى المرسوم. بمحاولة استخدام القانون العام، نحصل على الحل الآتي:

يوضِّح هذا الحل أننا نُحاول حساب الجذر التربيعي لعدد سالب، وهو ما لا يُعطينا ناتجًا يساوي عددًا حقيقيًّا. هذا يعني أنه لا يُوجَد حل حقيقي للمعادلة التربيعية الأصلية، كما توقَّعنا من قيمة المميز. في هذه الحالة، سيتطلَّب فهم الحلول أن نفهم الأعداد التخيُّلية والمركَّبة، وهو موضوع خارج نطاق هذا الشارح.

هيا الآن نلقِ نظرة على بعض الأمثلة لكيفية استخدام المميز لتحديد عدد الجذور الحقيقية لمعادلة تربيعية.

يوضِّح المثالان السابقان كيف يمكننا تصنيف عدد الجذور باستخدام المميز. عند محاولة إيجاد قيم الجذور الدقيقة لمعادلة تربيعية، نجد أن هناك خطوة استباقية مفيدة تتمثَّل في حساب قيمة المميز، ثم استخدام ذلك لفهم عدد الجذور قبل حسابها. على سبيل المثال، إذا كانت قيمة مميز المعادلة التربيعية سالبة، فإنه لا تُوجَد جذور حقيقية؛ ومن ثَمَّ، لا داعي لاستخدام القانون العام لإيجاد قيمها. سنوضِّح مثالًا على ذلك في السؤال الآتي.

مثال ٣: إيجاد مميز المعادلة التربيعية واستخدامه لتحديد عدد الجذور الحقيقية

1. أوجد مميز المعادلة التربيعية .
2. كم جذرًا حقيقيًّا للمعادلة ؟
3. بناءً على ذلك، حدِّد عدد المرات التي يقطع فيها التمثيل البياني للمعادلة المحور .

الحل

الجزء الأول

نبدأ بملاحظة أن المعادلة التربيعية السابقة يمكن تصنيفها بالطريقة المعتادة من خلال كتابة معاملاتها هكذا ، ، . لعلنا نتذكَّر أن مميز المعادلة التربيعية هو ، والذي يمكننا حساب قيمته لهذه المعادلة التربيعية كالآتي:

الجزء الثاني

نتذكَّر أن إشارة المميز في المعادلة التربيعية توضِّح عدد الجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية. وعلى وجه التحديد، إذا كانت إشارته سالبة، فإنه لا تُوجَد جذور حقيقية. إذا كان ، فهذا يعني أنه لا تُوجَد جذور حقيقية للمعادلة التربيعية المُعطاة؛ لذلك، فإن الإجابة هي لا تُوجَد جذور حقيقية.

الجزء الثالث

يكون للدالة جذرٌ عندما يقطع منحنى تلك الدالة المحور . إذا كانت هذه الدالة لا تُوجَد لها جذور حقيقية، فهذا يعني أن منحنى الدالة لا يقطع المحور . ويمكن التأكُّد من ذلك بيانيًّا باستخدام التمثيل البياني الموضَّح في الأسفل للدالة .

نلاحظ أن منحنى الدالة لن يقطع أبدًا المحور ، كما هو متوقَّع.

لقد رأينا بالفعل أنه يمكن صياغة القانون العام بدلالة المميز على الصورة:

قبل حساب جذرَي أيِّ معادلة تربيعية، علينا حساب الجذر التربيعي للمميز . هذا يعني أنه إذا كان عددًا مربعًا، فإن الجذر التربيعي سيُعطينا عددًا صحيحًا. إذا كان ، عددين نسبيين، ففي هذه الحالة تحديدًا ستكون قيمتا عددين نسبيين. لكن، بشكل عام ستكون الحالة لدينا هي أن ليس عددًا مربعًا، ما يعني أن الجذر التربيعي لهذه القيمة سيكون عددًا غير نسبي. في هذه الحالة، يعني ذلك أن قيمتَي ستكونان عددين غير نسبيين؛ لأنهما ستكونان مزيجًا من عدد غير نسبي وعددين نسبيين باستخدام عمليتَي الجمع والقسمة. لاحظ أن هذه الخاصية تنطبق فقط مع افتراض أن كلًّا من ، عدد نسبي. إذا لم يكن كلاهما عددين نسبيين، فعلينا التفكير في السؤال قليلًا بطريقة أكثر دقةً، كما سنرى في المثال الآتي.

في المثال التالي، نبحث سلوك المعادلة التربيعية باعتبار المعامل بارامترًا.