شارح الدرس: الخطوط المتوازية في المثلث الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد طولًا ناقصًا في مثلث يحتوي على خطين متوازيين أو ثلاثة خطوط متوازية باستخدام التناسب.

تذكَّر أنه عندما يقطع مستقيمٌ قاطعٌ مستقيمين متوازيين، تكون الزاويتان المتناظرتان الناتجتان متساويتين في القياس.

بإضافة قاطع آخر، كما هو موضَّح بالأسفل، يمكننا تكوين مثلثين.

بتسمية كل رأس، يمكننا تحديد المثلث الأكبر 󰏡𞸃𞸤، والمثلث الأصغر 󰏡𞸁𞸢.

بما أن زوجين من الزوايا المتناظرة متساويان في القياس، إذن المثلث 󰏡𞸃𞸤 يشابه المثلث 󰏡𞸁𞸢: 󰏡𞸃𞸤󰏡𞸁𞸢.

وبما أن هذين المثلثين متشابهان، إذن لا بد أن تكون النسب بين أطوال أضلاعهما المتناظرة متساوية. بعبارة أخرى، لدينا: 󰏡𞸁󰏡𞸃=󰏡𞸢󰏡𞸤=𞸁𞸢𞸃𞸤.

في المثال الأول، نوضِّح كيف نستخدم هذا التعريف لتشابه المثلثات للتعرُّف على أزواج أطوال الأضلاع التي لها نسب متساوية عندما يقطع المثلث مستقيمًا موازيًا لأحد أضلاعه.

مثال ١: تحديد التناسب في المثلثات

باستخدام الشكل، أيٌّ من التالي يساوي 󰏡𞸁󰏡𞸃؟

  1. 󰏡𞸢𞸤𞸢
  2. 󰏡𞸁𞸃𞸁
  3. 󰏡𞸃𞸃𞸁
  4. 󰏡𞸢󰏡𞸤
  5. 󰏡𞸤𞸤𞸢

الحل

يشير الشكل إلى أن 𞸤𞸃 توازي 𞸢𞸁؛ وبما أن الزوايا المتناظرة متساوية في القياس؛ إذن 󰌑𞸃𞸤󰏡=󰌑𞸁𞸢󰏡، 󰌑𞸤𞸃󰏡=󰌑𞸢𞸁󰏡،𞸤𞸃 تكون المثلث 󰏡𞸃𞸤 الذي يشابه المثلث الأكبر 󰏡𞸁𞸢.

وبما أن هذين المثلثين متشابهان، إذن لا بد أن تكون النسب بين أطوال أضلاعهما المتناظرة متساوية. على وجه التحديد: 󰏡𞸤󰏡𞸢=󰏡𞸃󰏡𞸁.

لإيجاد الكسر المكافئ لـ 󰏡𞸁󰏡𞸃، يمكننا إيجاد مقلوب طرفَي هذه المعادلة: 󰏡𞸢󰏡𞸤=󰏡𞸁󰏡𞸃.

󰏡𞸢󰏡𞸤 يساوي 󰏡𞸁󰏡𞸃.

مثال ٢: إيجاد طول مجهول في مثلث باستخدام التناسب

أوجد قيمة 𞸎.

الحل

󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢، 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 شعاعان يقطعان المستقيمين المتوازيين 󰄮󰄮𞸃𞸤، 󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢. وبما أن زوجَي الزوايا المتناظرة الناتجين عن هذا التقاطع متساويان؛ أي إن: 󰌑𞸃𞸤󰏡=󰌑𞸁𞸢󰏡،󰌑𞸤𞸃󰏡=󰌑𞸢𞸁󰏡، إذن يمكننا القول إن المثلث 󰏡𞸃𞸤 يشابه المثلث 󰏡𞸁𞸢: 󰏡𞸁𞸢󰏡𞸃𞸤.

عندما يتشابه مثلثان، تكون النسب بين أطوال أضلاعهما المتناظرة متساوية. على وجه التحديد: 󰏡𞸃󰏡𞸁=𞸃𞸤𞸁𞸢.

بالتعويض بالقيم المعروفة لأطوال الأضلاع 󰏡𞸃، 𞸃𞸤، 󰏡𞸁 (حيث يجب ملاحظة أن 󰏡𞸁 هو مجموع 󰏡𞸃، 𞸃𞸁)، يمكننا إيجاد قيمة 𞸎: ٠١٠١+١١=٠١𞸎. بإيجاد قيمة 𞸎: 𞸎=١٢.

في المثالين السابقين، لاحظنا أنه إذا كان الخط المستقيم الذي يتقاطع مع ضلعين في المثلث يوازي الضلع الثالث، فإن المثلث الأصغر الذي يَنتج عن الخط المستقيم الموازي يكون مشابهًا للمثلث الأصلي. نتذكَّر الشكل الذي عرضناه سابقًا.

بما أن المثلثين 󰏡𞸁𞸢، 󰏡𞸃𞸤 متشابهان، إذن نحصل على نسب متساوية: 󰏡𞸁󰏡𞸃=󰏡𞸢󰏡𞸤.

من هذا الشكل، نلاحظ أيضًا أن القطعتين المستقيمتين 󰏡𞸃، 󰏡𞸤 يمكن تقسيمهما على النحو الآتي: 󰏡𞸃=󰏡𞸁+𞸁𞸃󰏡𞸤=󰏡𞸢+𞸢𞸤.،

بالتعويض بهذين المقدارين في المعادلة السابقة وإعادة الترتيب: 󰏡𞸁󰏡𞸃=󰏡𞸢󰏡𞸤󰏡𞸁󰏡𞸁+𞸁𞸃=󰏡𞸢󰏡𞸢+𞸢𞸤󰏡𞸁(󰏡𞸢+𞸢𞸤)=󰏡𞸢(󰏡𞸁+𞸁𞸃)󰏡𞸁×󰏡𞸢+󰏡𞸁×𞸢𞸤=󰏡𞸢×󰏡𞸁+󰏡𞸢×𞸁𞸃.

يمكننا الآن طرح 󰏡𞸁×󰏡𞸢 من الطرفين لإيجاد: 󰏡𞸁×𞸢𞸤=󰏡𞸢×𞸁𞸃،󰏡𞸁𞸁𞸃=󰏡𞸢𞸢𞸤.

وهذا يقودنا إلى تعريف النظرية التي تربط القطع المستقيمة الناتجة عند إضافة ضلع موازٍ لضلع في مثلث.

نظرية: نظرية التناسب في المثلث

إذا قطع مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث الضلعين الآخرين في المثلث، فإنه يقسم هذين الضلعين بالتناسب.

ملاحظة:

يمكننا توسيع نطاق نظرية التناسب في المثلث لتشمل الخطوط المستقيمة التي تقع خارج المثلث وتوازي أحد أضلاعه. عندما يقع خط مستقيم خارج مثلث ويوازي أحد أضلاع المثلث، فإنه يُكوِّن مثلثًا آخر يشابه المثلث الأول. وهذا موضَّح في الشكل الآتي: في هذه الحالة، يمكن استنتاج نظرية محاكية لنظرية التناسب في المثلث من المثلثات المتشابهة مباشرةً.

في المثال التالي، نرى كيف نستخدم هذه النظرية لتحديد القطع المستقيمة المتناسبة في مثلثين لحساب طول ضلع مجهول.

مثال ٣: استخدام التناسب في المثلث لحساب طول مجهول

في الشكل، القطعتان 𞸎𞸑، 𞸁𞸢 متوازيتان. إذا كان 󰏡𞸎=٨١، 𞸎𞸁=٤٢، 󰏡𞸑=٧٢، فما طول 𞸑𞸢؟

الحل

نحن نعلم أن 𞸎𞸑 توازي 𞸁𞸢. تنص نظرية التناسب في المثلث على أنه إذا قطع خط مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث الضلعين الآخرين في المثلث، فإنه يقسم هذين الضلعين بالتناسب.

على وجه التحديد: 󰏡𞸑𞸑𞸢=󰏡𞸎𞸎𞸁.

بالتعويض بـ 󰏡𞸎=٨١، 𞸎𞸁=٤٢، 󰏡𞸑=٧٢ في هذه المعادلة، وإيجاد قيمة 𞸑𞸢، نحصل على: ٧٢𞸑𞸢=٨١٤٢𞸑𞸢٧٢=٤٢٨١𞸑𞸢=٤٢٨١×٧٢=٦٣.

طول 𞸑𞸢 يساوي ٣٦.

في المثال التالي، نوضِّح كيفية حل المسائل المتعدِّدة الخطوات التي تتضمَّن المثلثات والمستقيمات المتوازية.

مثال ٤: إيجاد مجاهيل في مسألة تطبيقية

يوضِّح الشكل التالي المثلث 󰏡𞸁𞸢.

  1. أوجد قيمة 𞸎.
  2. أوجد قيمة 𞸑.

الحل

الجزء الأول

في الشكل، تقطع القطعة المستقيمة التي توازي الضلع 𞸁𞸢 الضلعين الآخرين في المثلث. تنص نظرية التناسب في المثلث على أن هذه القطعة المستقيمة تقسم هذين الضلعين بالتناسب.

بتسمية هذه القطعة المستقيمة 𞸃𞸤، نحصل على: 󰏡𞸃𞸃𞸁=󰏡𞸤𞸤𞸢.

يعطينا هذا معادلة يمكن من خلالها إيجاد قيمة 𞸎: ٣٢𞸎+٣=٢𞸎+٥٣(𞸎+٥)=٢(٢𞸎+٣)٣𞸎+٥١=٤𞸎+٦٥١=𞸎+٦𞸎=٩.

الجزء الثاني

الآن وقد عرفنا قيمة 𞸎، يمكننا استخدام هذه المعلومة لإيجاد قيمة 𞸑. وبما أن زوجَي الزوايا المتناظرة الناتجين عن القاطع 𞸃𞸤 متساويان، إذن المثلث 󰏡𞸁𞸢 يشابه المثلث 󰏡𞸃𞸤: 󰏡𞸁𞸢󰏡𞸃𞸤.

على وجه التحديد: 󰏡𞸃󰏡𞸁=𞸃𞸤𞸁𞸢.

طول 󰏡𞸁 يساوي مجموع طولَي 󰏡𞸃، 𞸃𞸁. نحن نعرف أن 󰏡𞸃=٣، 𞸃𞸁=٢𝑥+٣. وبما أن 𞸎=٩، 𞸃𞸁=١٢، إذن: 󰏡𞸁=٣+١٢=٤٢.

بالتعويض بهذه القيم في المعادلة السابقة، وإيجاد قيمة 𞸑، نحصل على: ٣٤٢=٢𞸑𞸑٤٢=٢٣𞸑=٢٣×٤٢=٦١.

إذن: 𞸑=٦١.

في المثال التالي، نوضِّح كيفية تطبيق نظرية التناسب في المثلث على مثلث يتضمَّن عدة أزواج من القطع المستقيمة المتوازية.

مثال ٥: إيجاد طول ضلع في مثلث باستخدام العلاقة بين القطع المستقيمة المتوازية

أوجد طول 𞸢𞸁.

الحل

من الشكل المُعطى نلاحظ أن 𞸃𞸅 يوازي 󰏡𞸤 في المثلث 𞸢󰏡𞸤، وأن 𞸃𞸤 يوازي 󰏡𞸁 في المثلث 𞸢󰏡𞸁. تنص نظرية التناسب في المثلث على أنه إذا قطع مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث الضلعين الآخرين في المثلث، فإن المستقيم يقسم هذين الضلعين بالتناسب. عند تطبيق هذه النظرية على المثلث 𞸢󰏡𞸤؛ حيث 𞸃𞸅 يوازي أحد أضلاع المثلث، نحصل على: 𞸢𞸅𞸅𞸤=𞸢𞸃𞸃󰏡.

وبما أن 𞸃𞸤 يوازي أحد أضلاع المثلث الأكبر 𞸢󰏡𞸁، إذن يمكننا أيضًا الحصول على: 𞸢𞸤𞸤𞸁=𞸢𞸃𞸃󰏡.

كلٌّ من 𞸢𞸅𞸅𞸤، 𞸢𞸤𞸤𞸁 يساوي 𞸢𞸃𞸃󰏡. هذا يعني أنه يمكننا جعل: 𞸢𞸅𞸅𞸤=𞸢𞸤𞸤𞸁.

يمكننا التعويض بالقيم المُعطاة 𞸢𞸅=٥١، 𞸅𞸤=٦، 𞸢𞸤=٥١+٦=١٢ في هذه المعادلة للحصول على معادلة يمكن من خلالها إيجاد قيمة 𞸤𞸁: ٥١٦=١٢𞸤𞸁𞸤𞸁=١٢×٦٥١.

إذن: 𞸤𞸁=٤٫٨.

وبما أن 𞸢𞸁=𞸢𞸅+𞸅𞸤+𞸤𞸁: 𞸢𞸁=٥١+٦+٤٫٨=٤٫٩٢.

إذن طول 𞸢𞸁 يساوي ٢٩٫٤ سم.

بتطبيق عكس نظرية التناسب في المثلث، يمكننا إثبات أن الخط المستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث لوجود أجزاء متناسبة. في المثال الأخير نوضِّح هذه العملية.

مثال ٦: إيجاد قيم الأطوال المجهولة في مثلث بمعلومية أطوال الأضلاع الأخرى باستخدام العلاقات بين المستقيمات المتوازية

إذا كان 󰏡𞸁𞸢𞸃 متوازي أضلاع، فأوجد طول 𞸑𞸏.

الحل

لإيجاد طول 𞸑𞸏، نبدأ بتحديد المُعطيات التي لدينا عن المثلثين 𞸎𞸑𞸏، 𞸎𞸃𞸢. نحن نعرف أن 𞸎𞸑=𞸑𞸃، 𞸎𞸏=𞸏𞸢. نتذكَّر أيضًا أن نظرية التناسب في المثلث تنص على أنه إذا قطع مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث الضلعين الآخرين، فإنه يقسم هذين الضلعين بالتناسب. والعكس هو أنه إذا قسم مستقيم ضلعين في مثلث إلى نسب متساوية، فإن هذا المستقيم يجب أن يكون موازيًا للضلع الثالث. بما أنه قد قسم الضلعان 𞸎𞸃، 𞸎𞸢 في المثلث الأكبر 𞸎𞸃𞸢 إلى نسب متساوية، إذن يمكننا تطبيق عكس هذه النظرية لاستنتاج أن 𞸃𞸢، 𞸑𞸏 يجب أن يكونا متوازيين.

نتذكَّر أيضًا أنه إذا قطع مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث الضلعين الآخرين، فإن المثلث الأصغر الناتج عن المستقيم الموازي يكون مشابهًا للمثلث الأصلي. ومن ثَمَّ، نحصل على: 𞸎𞸑𞸏𞸎𞸃𞸢.

وبما أن 𞸃𞸢 هو الضلع المقابل لـ 󰏡𞸁 في متوازي الأضلاع 󰏡𞸁𞸢𞸃، إذن لا بد أن يكون لهذين الضلعين الطول نفسه. ومن ثَمَّ، طول 𞸃𞸢 يساوي ١٣٤٫٩ سم. بالرمز إلى طول 𞸎𞸑 بثابت مجهول 𞸎، يمكننا رسم الشكل الآتي:

وبما أن المثلثين 𞸎𞸑𞸏، 𞸎𞸃𞸢 متشابهان، إذن يمكننا تكوين معادلة تربط بين أطوال الأضلاع 𞸎𞸑، 𞸎𞸃، 𞸑𞸏، 𞸃𞸢: 𞸎𞸑𞸎𞸃=𞸑𞸏𞸃𞸢𞸎٢𞸎=𞸑𞸏٩٫٤٣١١٢=𞸑𞸏٩٫٤٣١.

بإيجاد قيمة 𞸑𞸏، نجد أن: 𞸑𞸏=٩٫٤٣١٢=٥٤٫٧٦.

طول 𞸑𞸏 يساوي ٦٧٫٤٥ سم.

والآن نلخِّص النقاط الرئيسية لهذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث وكان موازيًا للضلع المتبقي، فإن المثلث الأصغر الذي ينتج عن المستقيم الموازي يكون مشابهًا للمثلث الأكبر الأصلي.
  • تنص نظرية التناسب في المثلث على أنه إذا قطع مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث الضلعين الآخرين في المثلث، فإن المستقيم يقسم هذين الضلعين بالتناسب.
  • يمكننا توسيع نطاق نظرية التناسب في المثلث لتشمل المستقيمات الموازية لضلع في مثلث وتقع خارج المثلث. إذا كان هناك مستقيم يقع خارج مثلث يوازي أحد أضلاع المثلث ويتقاطع مع امتدادَي الضلعين الآخرين للمثلث، فإن المستقيم يقسم امتدادَي هذين الضلعين بالتناسب.
  • إذا قسم مستقيم ضلعين في مثلث بالتناسب، فإن هذا المستقيم يوازي الضلع المتبقي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.