في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد طولًا ناقصًا في مثلث يحتوي على خطين متوازيين أو ثلاثة خطوط متوازية باستخدام التناسب.
تذكَّر أنه عندما يقطع مستقيمٌ قاطعٌ مستقيمين متوازيين، تكون الزاويتان المتناظرتان الناتجتان متساويتين في القياس.
بإضافة قاطع آخر، كما هو موضَّح بالأسفل، يمكننا تكوين مثلثين.
بتسمية كل رأس، يمكننا تحديد المثلث الأكبر ، والمثلث الأصغر .
بما أن زوجين من الزوايا المتناظرة متساويان في القياس، إذن المثلث يشابه المثلث :
وبما أن هذين المثلثين متشابهان، إذن لا بد أن تكون النسب بين أطوال أضلاعهما المتناظرة متساوية. بعبارة أخرى، لدينا:
في المثال الأول، نوضِّح كيف نستخدم هذا التعريف لتشابه المثلثات للتعرُّف على أزواج أطوال الأضلاع التي لها نسب متساوية عندما يقطع المثلث مستقيمًا موازيًا لأحد أضلاعه.
مثال ١: تحديد التناسب في المثلثات
باستخدام الشكل، أيٌّ من التالي يساوي ؟
الحل
يشير الشكل إلى أن توازي . وبما أن الزوايا المتناظرة متساوية في القياس؛ إذن ، تكون المثلث الذي يشابه المثلث الأكبر .
وبما أن هذين المثلثين متشابهان، إذن لا بد أن تكون النسب بين أطوال أضلاعهما المتناظرة متساوية. على وجه التحديد:
لإيجاد الكسر المكافئ لـ ، يمكننا إيجاد مقلوب طرفَي هذه المعادلة:
يساوي .
مثال ٢: إيجاد طول مجهول في مثلث باستخدام التناسب
أوجد قيمة .
الحل
، شعاعان يقطعان المستقيمين المتوازيين ، . وبما أن زوجَي الزوايا المتناظرة الناتجين عن هذا التقاطع متساويان؛ أي إن: إذن يمكننا القول إن المثلث يشابه المثلث :
عندما يتشابه مثلثان، تكون النسب بين أطوال أضلاعهما المتناظرة متساوية. على وجه التحديد:
بالتعويض بالقيم المعروفة لأطوال الأضلاع ، ، (حيث يجب ملاحظة أن هو مجموع ، )، يمكننا إيجاد قيمة : بإيجاد قيمة :
في المثالين السابقين، لاحظنا أنه إذا كان الخط المستقيم الذي يتقاطع مع ضلعين في المثلث يوازي الضلع الثالث، فإن المثلث الأصغر الذي يَنتج عن الخط المستقيم الموازي يكون مشابهًا للمثلث الأصلي. نتذكَّر الشكل الذي عرضناه سابقًا.
بما أن المثلثين ، متشابهان، إذن نحصل على نسب متساوية:
من هذا الشكل، نلاحظ أيضًا أن القطعتين المستقيمتين ، يمكن تقسيمهما على النحو الآتي:
بالتعويض بهذين المقدارين في المعادلة السابقة وإعادة الترتيب:
يمكننا الآن طرح من الطرفين لإيجاد:
وهذا يقودنا إلى تعريف النظرية التي تربط القطع المستقيمة الناتجة عند إضافة ضلع موازٍ لضلع في مثلث.
نظرية: نظرية التناسب في المثلث
إذا قطع مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث الضلعين الآخرين في المثلث، فإنه يقسم هذين الضلعين بالتناسب.
ملاحظة:
يمكننا توسيع نطاق نظرية التناسب في المثلث لتشمل الخطوط المستقيمة التي تقع خارج المثلث وتوازي أحد أضلاعه. عندما يقع خط مستقيم خارج مثلث ويوازي أحد أضلاع المثلث، فإنه يُكوِّن مثلثًا آخر يشابه المثلث الأول. وهذا موضَّح في الشكل الآتي. في هذه الحالة، يمكن استنتاج نظرية محاكية لنظرية التناسب في المثلث من المثلثات المتشابهة مباشرةً.
في المثال التالي، نرى كيف نستخدم هذه النظرية لتحديد القطع المستقيمة المتناسبة في مثلثين لحساب طول ضلع مجهول.
مثال ٣: استخدام التناسب في المثلث لحساب طول مجهول
في الشكل، القطعتان ، متوازيتان. إذا كان ، ، ، فما طول ؟
الحل
نحن نعلم أن توازي . تنص نظرية التناسب في المثلث على أنه إذا قطع خط مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث الضلعين الآخرين في المثلث، فإنه يقسم هذين الضلعين بالتناسب.
على وجه التحديد:
بالتعويض بـ ، ، في هذه المعادلة، وإيجاد قيمة ، نحصل على:
طول يساوي ٣٦.
في المثال التالي، نوضِّح كيفية حل المسائل المتعدِّدة الخطوات التي تتضمَّن المثلثات والمستقيمات المتوازية.
مثال ٤: إيجاد مجاهيل في مسألة تطبيقية
يوضِّح الشكل التالي المثلث .
- أوجد قيمة .
- أوجد قيمة .
الحل
الجزء الأول
في الشكل، تقطع القطعة المستقيمة التي توازي الضلع الضلعين الآخرين في المثلث. تنص نظرية التناسب في المثلث على أن هذه القطعة المستقيمة تقسم هذين الضلعين بالتناسب.
بتسمية هذه القطعة المستقيمة ، نحصل على:
يعطينا هذا معادلة يمكن من خلالها إيجاد قيمة :
الجزء الثاني
الآن وقد عرفنا قيمة ، يمكننا استخدام هذه المعلومة لإيجاد قيمة . وبما أن زوجَي الزوايا المتناظرة الناتجين عن القاطع متساويان، إذن المثلث يشابه المثلث :
على وجه التحديد:
طول يساوي مجموع طولَي ، . نحن نعرف أن ، . نعلم أن ، . إذن:
بالتعويض بهذه القيم في المعادلة السابقة، وإيجاد قيمة ، نحصل على:
إذن:
في المثال التالي، نوضِّح كيفية تطبيق نظرية التناسب في المثلث على مثلث يتضمَّن عدة أزواج من القطع المستقيمة المتوازية.
مثال ٥: إيجاد طول ضلع في مثلث باستخدام العلاقة بين القطع المستقيمة المتوازية
أوجد طول .
الحل
من الشكل المُعطى نلاحظ أن يوازي في المثلث ، وأن يوازي في المثلث . تنص نظرية التناسب في المثلث على أنه إذا قطع مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث الضلعين الآخرين في المثلث، فإن المستقيم يقسم هذين الضلعين بالتناسب. عند تطبيق هذه النظرية على المثلث ؛ حيث يوازي أحد أضلاع المثلث، نحصل على:
وبما أن يوازي أحد أضلاع المثلث الأكبر ، إذن يمكننا أيضًا الحصول على:
كلٌّ من ، يساوي . هذا يعني أنه يمكننا جعل:
يمكننا التعويض بالقيم المُعطاة ، ، في هذه المعادلة للحصول على معادلة يمكن من خلالها إيجاد قيمة :
إذن:
وبما أن :
إذن طول يساوي ٢٩٫٤ سم.
تذكَّر أن نظرية التناسب في المثلث تخبرنا بأنه إذا قَطَع مستقيمٌ يوازي أحدَ أضلاع مثلثٍ الضلعين الآخرين للمثلث، فإن المستقيم يقسم هذين الضلعين بالتناسب. إضافةً إلى ذلك، تعلَّمنا أنه يمكننا توسيع هذه النظرية لتشمل المستقيمات المتوازية التي تقع خارج المثلث. اتَّضح لنا أن عكس هذه النتيجة صحيحٌ أيضًا ومفيدٌ جدًّا في حل المسائل التي من هذا النوع.
نظرية: عكس نظرية التناسب في المثلث
إذا قَطَع مستقيمٌ ضلعَيْن في مثلث وقَسَمهما إلى قطع متناسبة، فلا بد أن هذا المستقيم يوازي الضلع الثالث من المثلث.
في جميع الأشكال السابقة، مثلث، يقطع عند ، ويقطع عند .
إذا كان ، فإن لا بد أن يكون موازيًا لـ .
بتطبيق عكس نظرية التناسب في المثلث، يمكننا إثبات أن الخط المستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث لوجود أجزاء متناسبة. في المثال الأخير، نوضِّح هذه العملية.
مثال ٦: إيجاد قيم الأطوال المجهولة في مثلث بمعلومية أطوال الأضلاع الأخرى باستخدام العلاقات بين المستقيمات المتوازية
إذا كان متوازي أضلاع، فأوجد طول .
الحل
لإيجاد طول ، نبدأ بتحديد المُعطيات التي لدينا عن المثلثين ، . نحن نعرف أن ، . نتذكَّر أيضًا أن نظرية التناسب في المثلث تنص على أنه إذا قطع مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث الضلعين الآخرين، فإنه يقسم هذين الضلعين بالتناسب. والعكس هو أنه إذا قسم مستقيم ضلعين في مثلث إلى نسب متساوية، فإن هذا المستقيم يجب أن يكون موازيًا للضلع الثالث. بما أنه قد قسم الضلعان ، في المثلث الأكبر إلى نسب متساوية، إذن يمكننا تطبيق عكس هذه النظرية لاستنتاج أن ، يجب أن يكونا متوازيين.
نتذكَّر أيضًا أنه إذا قطع مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث الضلعين الآخرين، فإن المثلث الأصغر الناتج عن المستقيم الموازي يكون مشابهًا للمثلث الأصلي. ومن ثَمَّ، نحصل على:
وبما أن هو الضلع المقابل لـ في متوازي الأضلاع ، إذن لا بد أن يكون لهذين الضلعين الطول نفسه. ومن ثَمَّ، طول يساوي ١٣٤٫٩ سم. بالرمز إلى طول بثابت مجهول ، يمكننا رسم الشكل الآتي:
وبما أن المثلثين ، متشابهان، إذن يمكننا تكوين معادلة تربط بين أطوال الأضلاع ، ، ، :
بإيجاد قيمة ، نجد أن:
طول يساوي ٦٧٫٤٥ سم.
والآن نلخِّص النقاط الرئيسية لهذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث وكان موازيًا للضلع المتبقي، فإن المثلث الأصغر الذي ينتج عن المستقيم الموازي يكون مشابهًا للمثلث الأكبر الأصلي.
- تنص نظرية التناسب في المثلث على أنه إذا قطع مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث الضلعين الآخرين في المثلث، فإن المستقيم يقسم هذين الضلعين بالتناسب.
- يمكننا توسيع نطاق نظرية التناسب في المثلث لتشمل المستقيمات الموازية لضلع في مثلث وتقع خارج المثلث. إذا كان هناك مستقيم يقع خارج مثلث يوازي أحد أضلاع المثلث ويتقاطع مع امتدادَي الضلعين الآخرين للمثلث، فإن المستقيم يقسم امتدادَي هذين الضلعين بالتناسب.
- إذا قسم مستقيم ضلعين في مثلث بالتناسب، فإن هذا المستقيم يوازي الضلع المتبقي.
