شارح: المتجهات بدلالة متجهَيِ الوحدة الأساسيين

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نكتب المتجهات في الصورة الإحداثية، باستخدام متجهَيِ الوحدة الأساسيين.

متجها الوحدة هما: 󰄮󰄮󰄮𞹎=(١،٠)󰄮󰄮󰄮𞹑=(٠،١).و

وهما متجها «وحدة»؛ لأن مقدار كلٍّ منهما يساوي ١: 󰍹󰄮󰄮󰄮𞹎󰍹=󰋴١+٠=١،󰍹󰄮󰄮󰄮𞹑󰍹=󰋴٠+١=١.٢٢٢٢

باستخدام الضرب في عدد ثابت وجمع المتجهات، يُمكننا التعبير عن أيِّ متجه بدلالة 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑. انظر المتجه: 󰄮󰄮𞸐=(٢،𝜋).

باستخدام تعريف جمع المتجهات، يُمكننا التعبير عن 󰄮󰄮𞸐 في صورة مجموع متجهٍ أفقي ومتجهٍ رأسي، كما يأتي: 󰄮󰄮𞸐=(٢،𝜋)=(٢،٠)+(٠،𝜋).

وباستخدام خاصية الضرب في عدد ثابت، يُمكننا إعادة كتابة: 󰄮󰄮𞸐=٢(١،٠)+𝜋(٠،١).

إذن: 󰄮󰄮𞸐=٢󰄮󰄮󰄮𞹎+𝜋󰄮󰄮󰄮𞹑.

الحالة العامة ليست أصعب. افترض أن مركِّبتَيْ 󰄮󰄮𞸐 هما 󰏡، 𞸁. إذن: 󰄮󰄮𞸐=(󰏡،𞸁)=(󰏡،٠)+(٠،𞸁)=󰏡(١،٠)+𞸁(٠،١)=󰏡󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑.

فإننا نحول عملية الجمع مع المضاعف السالب للمتجه إلى عملية طرح، إذن: (٢)󰄮󰄮󰄮𞹎+(٣)󰄮󰄮󰄮𞹑=٢󰄮󰄮󰄮𞹎٣󰄮󰄮󰄮𞹑.

مثال ١: التعبير عن مركِّبات متجه بدلالة متجهَيِ الوحدة الأساسيين

اكتب المتجه 󰂔٥٢،٩١󰂓 بدلالة متجهَيِ الوحدة 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑.

الحل

󰂔٥٢،٩١󰂓=󰂔٥٢،٠󰂓+(٠،٩١)=󰂔٥٢󰂓(١،٠)+(٩١)(٠،١)=٥٢󰄮󰄮󰄮𞹎٩١󰄮󰄮󰄮𞹑.

إذا كان المتجه المطلوب التعبير عنه متجهًا هندسيًّا، فإننا نكتبه أولًا على الصورة الإحداثية.

مثال ٢: التعبير عن متجه بدلالة متجهَيِ الوحدة الأساسيين

يمثِّل الشكل الآتي متجهًا في مستوًى. اكتب المتجه بدلالة متجهَيِ الوحدة الأساسيين 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑.

الحل

نقطة نهاية هذا المتجه هي (٤،٨)، ونقطة بدايته هي (٢،٢). إذن: 󰁓٤٢،٨(٢)󰁒=(٢،٠١).

للتعبير عن ذلك بدلالة متجهَيِ الوحدة: (٢،٠١)=(٢،٠)+(٠،٠١)=(٢)(١،٠)+(٠١)(٠،١)=٢󰄮󰄮󰄮𞹎+٠١󰄮󰄮󰄮𞹑.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.