في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نكتب المتجهات في الصورة الإحداثية، باستخدام متجهات الوحدة الأساسية.
نعلم أن هناك مركِّبتين للمتجه الثنائي الأبعاد، وهما مركِّبتا المحورين ، ، مع كون المحور أفقيًّا، والمحور رأسيًّا. بمعلومية مركِّبتي المتجه الثنائي الأبعاد، يُمكننا التعبير عنه في صورته الإحداثية. على سبيل المثال، إذا كانت المركِّبتان ، للمتجه الثنائي الأبعاد تساويان ، على الترتيب، فإن الصورة الإحداثية تكون . يُمكننا تمثيل هذا المتجه على المستوى الكارتيزي بسهم يَبدأ من نقطة الأصل ويَنتهي عند النقطة ، كما هو موضَّح.
ثمَّة طريقة أخرى للتعبير عن المتجه الثنائي الأبعاد، تَستخدِم المتجهات الخاصَّة التي تُعرَف باسم متجهات الوحدة الأساسية.
تعريف: متجهات الوحدة الأساسية
في المتجهات الثنائية الأبعاد، يكون متجها الوحدة الأساسيان المُشار إليهما بـ ، متجهَيْ وحدة أفقيًّا ورأسيًّا، على الترتيب، وتكون لهما مركِّبات غير سالبة. تُعطَى متجهات الوحدة الأساسية في الصورة الإحداثية بواسطة:
ونلاحِظ أن متجهي الوحدة الأساسيان ، تكون لهما مركِّبة واحدة فقط لا تساوي صفرًا، وأن المركِّبة التي لا تساوي صفرًا لكلا المتجهين تساوي واحدًا. من الصورة الإحداثية للمتجه الموضَّحة سابقًا، يُمكننا تمثيله بسهم، يَبدأ من نقطة الأصل، ويَنتهي عند النقطة ، التي تَقع على الجزء الموجب من المحور .
وبالمثل، من الصورة الإحداثية للمتجه ، يُمكننا تمثيله على الإحداثيات الكارتيزية، كما هو موضَّح.
بعبارة أخرى: ، يُوازيان المحورين ، على الترتيب، ويُشيران إلى الاتجاه الموجب من المحورين المناظِرين.
في المثال الأول، سنتناول كيفية التعبير عن متجه رأسي بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.
مثال ١: التعبير عن متجه ثنائي الأبعاد بدلالة متجهات الوحدة الأساسية
إذا كان ، فاكتب المتجه بدلالة متجهي الوحدة ، .
الحل
في هذا المثال، لدينا متجه في الصورة الإحداثية، علينا التعبير عنه بدلالة متجهي الوحدة (الأساسيين) ، . تذكَّر أنه يُمكننا تمثيل المتجه بسهم يَبدأ من نقطة الأصل ويَنتهي عند النقطة على المستوى الكارتيزي. وبما أن الصورة الإحداثية للمتجه هي ، نمثِّله بسهم من نقطة الأصل إلى النقطة .
دعونا نتناول كيفية التعبير عن ذلك بدلالة ، . نتذكَّر الصورتين الإحداثيتين للمتجهين ، :
ومن ثَمَّ، فهما ممثَّلتان على المستوى الكارتيزي، كما هو موضَّح.
وعلى وجه التحديد، يُمكننا ملاحَظة أن المتجه متجه أفقي، والمتجه متجه رأسي. وبما أن المتجه رأسي، لا نحتاج إلَّا إلى استخدام للتعبير عن هذا المتجه. لنلاحِظ أولًا كيفية تحقيق ذلك من خلال التمثيل البياني الموضَّح.
من خلال وضع متجهين من المتجه أحدهما عند رأس الآخَر، يُمكن أن يَنتُج عنهما المتجه . وهذا يُخبرنا أن:
في المثال السابق، عبَّرنا عن متجه رأسي ثنائي الأبعاد بدلالة متجه الوحدة الأساسي . وبالمنطق نفسه يُمكن التعبير عن أيِّ متجه أفقي بدلالة . والآن لنناقش كيفية التعبير عن متجه ليس رأسيًّا ولا أفقيًّا بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.
مثال ٢: التعبير عن متجه ثنائي الأبعاد بدلالة متجهات الوحدة الأساسية
يوضِّح الشكل الآتي المتجه في مستوًى. عبِّر عن هذا المتجه بدلالة متجهَيِ الوحدة ، .
الحل
في هذا المثال، علينا التعبير عن متجه معيَّن بدلالة متجهَيِ الوحدة (الأساسيين) ، . دعونا نتذكَّر التمثيلات البيانية لهذين المتجهين على المستوى الكارتيزي.
يُمكننا ملاحَظة أن المتجه متجه أفقي، والمتجه متجه رأسي. طول كلِّ متجه من هذين المتجهين يساوي ١ (ومن ثَمَّ، نُطلِق عليهما اسم متجهَيْ وحدة)، ويتجهان في الاتجاهين الموجبين للمحورين ، ، على الترتيب.
للتعبير عن المتجه بدلالة ، علينا النظر إلى مركِّبات المحورين ، لكلِّ متجه على حدة. لننظر أولًا إلى مركِّبة المحور لأنها موجبة. من هذا التمثيل البياني، يُمكننا ملاحَظة أن مركِّبة المحور للمتجه تساوي ٢. باستخدام متجه الوحدة الرأسي ، يُمكن الحصول على مركِّبة المحور ، كما هو موضَّح.
كما رأينا سابقًا، يُمكن الحصول على مركِّبة المحور للمتجه بإضافة نسختين من المتجه ، الذي هو نفسه .
بعد ذلك، دعونا نتناول مركِّبة المحور ؛ أيْ . وبما أن هذه المركِّبة سالبة، فعلينا وضْع إشارة سالبة أمام المتجه لعكس اتجاه المتجه .
وهذا يُخبرنا أن مركِّبة المحور للمتجه هي . بجمع مركِّبتي المتجه معًا، وكذلك اتباع الاصطلاح لكتابة مركِّبة المحور أولًا، نحصل على:
في المثال السابق، عبَّرنا عن متجه يُعطَى على مستوًى كارتيزي بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين ، . يُمكننا تطبيق هذه الطريقة على أيِّ متجه له مركِّبات ذات قيمة صحيحة، كما هو موضَّح.
وهذا يَقودنا إلى صيغة عامَّة يُمكن استخدامها للتعبير عن متجه في الصورة الإحداثية بدلالة متجهات الوحدة الأساسية. على الرغم من أننا استخدمنا فقط هذه الصيغة للمتجهات التي لها مركِّبات ذات قيمة صحيحة، فإن هذه الصيغة تنطبق على المتجهات العامَّة. سنفترض هذا في بقية هذا الشارح.
صيغة: المتجهات بدلالة متجهات الوحدة الأساسية
المتجه في الصورة الإحداثية ، يُمكن كتابته بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:
في المثال الآتي، سنطبِّق هذه الصيغة للتعبير عن متجه ثنائي الأبعاد بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.
مثال ٣: التعبير عن مركِّبات متجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية
اكتب المتجه بدلالة متجهي الوحدة ، .
الحل
في هذا المثال، علينا كتابة المتجه، المُعطَى في الصورة الإحداثية، بدلالة متجهي الوحدة ، ، اللذين يُعرَفان أيضًا باسم متجهي الوحدة الأساسيين. نتذكَّر أن المتجه الثنائي الأبعاد، ، يُمكن كتابته بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:
وبما أن المتجه المُعطَى هو ، فيُمكننا تطبيق هذه الصيغة على ، لكتابة:
في المثال السابق، كتبنا متجهًا ثنائي الأبعاد مُعطًى في الصورة الإحداثية بدلالة متجهات الوحدة الأساسية. لنفكِّر الآن في كيفية تحقيق ذلك عندما يكون المتجه مُعطًى من خلال تحديد نقطتي البداية والنهاية على المستوى الإحداثي.
إحدى طُرق كتابة هذا المتجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية هي إيجاد الصورة الإحداثية لهذا المتجه أولًا ثم تحويل الصورة. لكن ليس من الضروري استخدام الصورة الإحداثية لتحقيق ذلك. بدلًا من هذا، يُمكننا تحقيق ذلك عن طريق تحديد المركِّبتين الأفقية والرأسية لهذا المتجه؛ بحيث نتمكَّن من كتابته على صورة مجموع المتجهين الأفقي والرأسي، كما هو موضَّح.
في المثال الآتي، سنكتب المتجه الثنائي الأبعاد المُعطَى في صورة تمثيل بياني في مستوًى إحداثي بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.
مثال ٤: كتابة متجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية
يمثِّل الشكل الآتي متجهًا في مستوًى. اكتب المتجه بدلالة متجهي الوحدة ، .
الحل
في هذا المثال، علينا كتابة متجه بدلالة متجهي الوحدة ، عندما يُعطَى في صورة تمثيل بياني على مستوًى إحداثي. تذكَّر أن متجهي الوحدة هذين مُعرَّفان بدلالة:
بعبارة أخرى: هذان متجها وحدة أفقي ورأسي، على الترتيب، ويُشيران إلى الاتجاه الموجب للمحورين المناظِرين. ومن ثَمَّ، علينا التعبير عن المتجه المُعطَى في صورة مجموع المتجهين الأفقي والرأسي. دعونا أولًا نحدِّد بيانيًّا المتجهين الأفقي والرأسي اللذين يساوي مجموعهما المتجه المُعطَى.
المتجه الأفقي الموضَّح سابقًا يمتدُّ على طول خطين من الشبكة، ويُشير إلى الاتجاه الموجب للمحور ، ومن ثَمَّ، فإن المركِّبة الأفقية له تساوي . يُمكن كتابة هذا المتجه على الصورة:
يمتدُّ المتجه الرأسي في الشكل السابق على طول ١٠ خطوط من الشبكة، ويُشير إلى الاتجاه الموجب للمحور ، وهو ما يُخبرنا أن مركِّبته الرأسية تساوي . وهذا يُعطينا المتجه الرأسي:
نعلم أن جمع هذين المتجهين سيَنتُج عنه المتجه المُعطَى. وعليه فإن المتجه المُعطَى يساوي:
في المثال السابق، عبَّرنا عن متجهين ثنائيي الأبعاد بدلالة متجهات الوحدة الأساسية عندما كان المتجه مُعطًى من خلال تمثيل بياني على شبكة بين نقطتين. وعلى الرغم من أن هذه الطريقة يُمكن استخدامها دائمًا، فإنها تتطلَّب منَّا تمثيل النقاط بيانيًّا على المستوى الإحداثي. ومن ثَمَّ، من المُفيد أن نعرف صيغة إيجاد ذلك عندما يكون لدينا إحداثيات طرفي المتجه فقط.
دعونا نتناول متجهًا من النقطة إلى النقطة . في هذه الحالة، تكون مركِّبة المحور للمتجه هي ، ومركِّبة المحور هي ، كما هو موضَّح.
ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة المتجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.
صيغة: المتجهات الثنائية الأبعاد بين نقطتين بدلالة متجهات الوحدة الأساسية
انظر النقطتين ، . إذن يُمكن كتابة المتجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:
في المثال الأخير، سنطبِّق هذه الصيغة لكتابة متجه ثنائي الأبعاد بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.
مثال ٥: كتابة متجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية
إذا كان ، ، فعبِّر عن المتجه بدلالة متجهي الوحدة ، .
الحل
في هذا المثال، علينا التعبير عن متجه ثنائي الأبعاد بدلالة متجهي الوحدة ، ، اللذين يُعرَفان أيضًا باسم متجهي الوحدة الأساسيين، عندما يُعطَى المتجه من خلال تحديد إحداثيات طرفَيْه. تذكَّر أن المتجه من النقطة إلى النقطة ، يُمكن كتابته بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:
وبما أن لدينا ، فيُمكننا تطبيق هذه الصيغة:
وهذا يؤدِّي إلى:
ومن ثَمَّ:
دعونا نختم بتلخيص بعض المفاهيم المُهِمَّة في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- متجها الوحدة الأساسيان، المُشار إليهما بالمتجه والمتجه هما متجها الوحدة الأفقي والرأسي، على الترتيب، ولهما مركِّبات غير سالبة. الصورة الإحداثية للمتجهين ، تُعطَى بدلالة: ويُمكن تمثيلها على المستوى الكارتيزي، كما هو موضَّح.
- يُمكن كتابة المتجه في الصورة الإحداثية ، بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:
- بالنظر إلى النقطتين ، . إذن يُمكن كتابة المتجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:
