شارح الدرس: تطبيقات على المضلعات المتشابهة الرياضيات

مثال ١: إيجاد طول مجهول إذا كان لدينا شكلان رباعيان متشابهان

إذا كان ، متشابهين، فما طول ؟

الحل

يتضح من الشكل أن المضلعين كما لو كانا مرسومين في الاتجاه نفسه، ومن ثم على سبيل المثال، فالضلع في المضلع الأكبر يناظر الضلع في المضلع الأصغر. وهذا يؤكده ترتيب الحروف في عبارة التشابه المكتوبة: إذا كان ، متشابهين، فإن الرأس يناظر الرأس ، والرأس يناظر الرأس وهكذا.

ومن الشكل، نعرف أن لدينا طولَي ضلعين متناظرين، هما طولا الضلعين ، . والضلع الذي نريد حساب طوله هو الضلع المناظر للضلع في المضلع الأصغر. وبما أن المضلعين متشابهان، فإن أطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة؛ لذا يمكننا كتابة نسبة تشابه هذين الزوجين من الأضلاع المتناظرة هكذا:

بالتعويض بأطوال ، ،، نكوِّن المعادلة التالية:

ولإيجاد قيمة ، نضرب طرفَي المعادلة في ١٤ ثم نحسب قيمته:

إذن، طول الضلع يساوي ٢١ سم.

مثال ٢: تكوين معادلة وحلها لإيجاد قيمة مجهولة إذا علمنا أن المثلثين متشابهان

إذا كان المثلثان ، متشابهين، فأوجد قيمة .

الحل

أخبرنا السؤال أن هذين المثلثين متشابهان، لذا نبدأ بتحديد أزواج الأضلاع المتناظرة. من خلال ترتيب الحروف في عبارة التشابه، نعرف أن الضلع يناظر الضلع والضلع يناظر الضلع . معطًى لنا طولا الضلعين الموجودين في المثلث في صورة قيم عددية، ومعطًى لنا طولا الضلعين المناظرين لهما في المثلث في صورة مقادير جبرية. بما أن المثلثين متشابهان، فإن أطوال الأضلاع المتناظرة تكون متناسبة، وهكذا باستخدام نسبة التشابه يكون:

بالتعويض بقيم هذه الأضلاع الأربعة ومقاديرها، نحصل على معادلة في :

نحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة . وللتخلص من المقامين، يمكننا إجراء الضرب التبادلي:

وبتوزيع الضرب على كل قوسين، نحصل على: ,

وأخيرًا، نحل لإيجاد قيمة وذلك بتجميع الحدود المتشابهة:

مثال ٣: تكوين معادلة وحلها إذا كان لدينا شكلان خماسيان متشابهان

إذا كان المضلعان متشابهين، فأوجد قيمة .

الحل

نلاحظ أن المضلعين مرسومان بوضوح في اتجاهين مختلفين، لذا علينا أولًا تحديد الرءوس المتناظرة. من الشكل، نلاحظ أن الزاوية عند تطابق الزاوية عند نظرًا لأن كلًّا منهما محدد بقوس مفرد. ونلاحظ أيضًا أن الزاوية عند تطابق الزاوية عند لأن كلًّا منهما محدد بقوس مزدوج. ومن ثم، يمكننا القول إن ، حيث يمثل ترتيبُ الحروف الرءوسَ المناظرة بعضها لبعض.

المجهول الذي نريد حسابه، ، هو جزء من المقدارين المعطَيَيْن لطولَي الضلعين ، . وهذان الضلعان يناظران الضلعين ، في المضلع الثاني، وطول كلٍّ منهما معلوم. يمكننا إذن تكوين معادلة باستخدام نسبة التشابه بين هذين المضلعين:

نحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة . أولًا، يمكن تبسيط الطرف الأيمن من خلال تحليل البسط ثم حذف العامل المشترك ٢ من البسط والمقام. ويمكن تبسيط الطرف الأيسر بتحليل البسط ثم حذف العامل المشترك ٧ من البسط والمقام:

وبما أن ٤ أحد عوامل العدد ١٢، يمكننا التخلص من المقامين بضرب طرفَي المعادلة في ١٢ ثم حذف العاملين المشتركين:

بتوزيع الضرب على القوسين وتجميع الحدود المتشابهة، نحصل على:

وهكذا، باستخدام نسبة التشابه بين هذين المضلعين المتشابهين، وجدنا أن .

مثال ٤: تكوين المعادلات وحلها إذا كان لدينا شكلان رباعيان متشابهان

إذا كان ، فأوجد قيمة كلٍّ من ، .

الحل

نلاحظ أولًا أن المضلعين مرسومان في اتجاهين مختلفين. وباستخدام ترتيب الحروف في عبارة التشابه، يمكننا تحديد الرءوس التي تناظر بعضها بعضًا: يناظر ، يناظر ، وهكذا. قد يكون من المفيد إعادة رسم المضلع الأول في نفس اتجاه المضلع الثاني، لكن هذا ليس ضروريًّا.

لدينا مجهولان علينا حساب قيمتيهما وهما: ، . في البداية، يمكننا حساب معامل التشابه باستخدام طولَي الضلعين المتناظرين ، ، وكلاهما معطًى بالأعداد:

معامل التشابه ٢ يعني أن كل ضلع من أضلاع المضلع يساوي ضعف طول الضلع المناظر له في المضلع . ولإيجاد قيمة ، نستخدم معامل التشابه بين الضلعين ، . أصبحنا نعلم أن: أو، باستخدام حقيقة أن أطوال أضلاع المضلع تساوي ضعف أطوال أضلاع المضلع المناظرة لكلٍّ منها في ، يمكننا استخدام طريقة أبعد قليلًا عن الأساليب الرياضية والقول مباشرة إن .

بالتعويض بـ ، ، نحصل على:

لإيجاد قيمة ، نتناول معامل التشابه بين الضلعين ، . باستخدام أسلوب منطقي، نعرف أن طول يساوي نصف طول ، لأن ضلع من أضلاع المضلع الأصغر. بالتعويض بالمقدار الذي يعبر عن طول وبقيمة طول ، نحصل على:

نحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة :

وعليه، فإن الحل هو ، .

مثال ٥: تكوين المعادلات وحلها لإيجاد قياس زاوية مجهولة إذا كان لدينا شكلان رباعيان متشابهان

إذا كان يشابه ، فأوجد قيمتَي ، .

الحل

نتذكر أولًا أن الزوايا المتناظرة في المضلعات المتشابهة تكون متطابقة. إذن، علينا تحديد الزوايا المتناظرة في الشكلين الرباعيين. عند النظر نظرة فاحصة إلى الشكل، يتضح أن الشكلين الرباعيين غير مرسومين في الاتجاه نفسه؛ لأن الزاويتين الموجودتين بأعلى كلٍّ منهما غيرُ متساويتين في القياس.

بمعلومية ترتيب الحروف في عبارة التشابه، نستنتج ما يلي:

• الرأس يناظر الرأس ،
• الرأس يناظر الرأس ،
• الرأس يناظر الرأس ،
• الرأس يناظر الرأس .

قد نجد أنه من المفيد استخدام الألوان لتوضيح الزوايا المتناظرة في المضلعين، كما هو موضح بالأسفل.

يمكننا الآن تكوين بعض المعادلات بمساواة مقادير قياسات الزوايا المتناظرة أو قيمها. بالنظر إلى الزاويتين ، ، نجد أن:

لإيجاد قيمة ، نطرح ٦٥ من طرفَي المعادلة ثم نقسم على ٣:

بعد ذلك، بمساواة قيمة الزاوية مع المقدار الذي يعبر عن قياس الزاوية ، نحصل على:

عند طرح ٣٥ من طرفَي المعادلة، نحصل على:

وهكذا، باستخدام تطابق الزوايا المتناظرة في المضلعين المتشابهين، وجدنا أن ، .

مثال ٦: تكوين المعادلات وحلها لإيجاد محيط مجهول إذا كان لدينا مثلثان متشابهان

إذا كان ، فأوجد محيط .

الحل

لإيجاد محيط المثلث ، علينا أولًا حساب أطوال أضلاعه الثلاثة. لدينا طول الضلع لكننا لا نعرف أيًّا من طولَي الضلعين الآخرين. لكن نعرف بالفعل أن المثلثين في الشكل متشابهان، ولذا يمكننا التعبير عن نسبة التشابه بين المثلثين باستخدام أزواج الأضلاع المتناظرة:

باستخدام المقدارين المعطيين لطولَي الضلعين ، والقيمتين العدديتين لطولَي الضلعين ، ، يمكننا تكوين المعادلة التالية:

نحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة . بضرب طرفَي المعادلة في ، نتخلص من المقامين معًا مباشرةً:

بتوزيع الضرب على القوسين وطرح ١٠ من طرفَي المعادلة، نحصل على:

هذه معادلة تربيعية في ، ويمكن حلها بالتحليل:

بما أن يمثل طول ضلع، يجب أن تكون قيمته موجبة، ومن ثم تكون القيمة الصحيحة هي .

نعرف الآن طولَي ضلعين في المثلث وعلينا حساب طول الضلع الثالث.

باستخدام نسبة التشابه بين أطوال الأضلاع ، ، ، ، فإن:

وبالتعويض بـ ، ، نحصل على:

نحل المعادلة بضرب طرفَيها في أولًا:

بعد ذلك، نقسم طرفَي المعادلة على ونبسِّط:

وأخيرًا، نحسب محيط المثلث من خلال جمع أطوال أضلاعه الثلاثة:

إذن، محيط المثلث يساوي ٧٫٢ وحدات.