شارح الدرس: اتزان جسم جاسئ تحت تأثير ازدواجين مستويين الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: فهم العلاقة بين ازدواجين واتزان الجسم

العزمان ، لازدواجين يحققان المعادلة . بناءً على ذلك، فأيٌّ من الآتي صحيح؟

1. الازدواجان في حالة اتِّزان.
2. الازدواجان ليسا في حالة اتِّزان.
3. الازدواجان يكافئان قوة واحدة.
4. الازدواجان متكافئان.

الحل

يتكون أي ازدواج من قوتين متوازيتين متساويتين في المقدار تؤثران في اتجاهين متضادين. ومجموع هاتين القوتين لا بد أن يساوي صفرًا؛ ومن ثَمَّ، لا يمكن للازدواج أن ينتج عنه قوة محصلة. إذن، يمكننا على الفور استبعاد خيار أن يكون الازدواجان يكافئان قوة واحدة، ما لم نقصد قوة مقدارها صفر.

إذا كان الازدواجان متكافئين، فلا بد أن تكون الحالة هي أن:

ويمكن التعبير عن ذلك على الصورة:

ينص هذا السؤال على أن: وهو ما يتناقض مع الشرط المحدد لتكافؤ ازدواجين.

إذا كان الازدواجان في حالة اتِّزان، فإن العزم الناتج عن الازدواجين في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة يساوي العزم الناتج عن الازدواجين في اتجاه دوران عقارب الساعة، وهو ما يمكن التعبير عنه بالصورة:

يمكن التعبير عن هذا أيضًا بالصورة: وذلك المذكور في السؤال؛ ومن ثَمَّ، نستنتج أن الازدواجين في حالة اتِّزان.

مثال ٢: حساب قوة مجهولة والزاوية التي يكون عندها جسم في حالة اتزان تحت تأثير ازدواج أو أكثر

قضيب مهمل الوزن طوله ٩٠ سم. عُلِّق القضيب أفقيًّا في مسمار عند منتصفه. أثرت قوتان مقدار كل منهما ٧٫٥ نيوتن عند طرفي القضيب كما هو موضَّح في الشكل. سحب القضيب أيضًا بخيط مقدار الشد فيه ٢٥ نيوتن، في اتجاه يصنع زاوية قياسها مع القضيب عند النقطة . إذا أثَّرت القوة على القضيب عند النقطة بحيث يكون متَّزنًا في موضع أفقي، فأوجد مقدار ، واتجاهها ، وطول .

الحل

علمنا من السؤال أن القضيب في حالة اتِّزان؛ ما يعني أن القوة المحصلة لا بد أن تساوي صفرًا ومجموع العزوم لجميع القوى يجب أن يساوي صفرًا.

دعونا نبدأ بالقوة المحصلة. القوتان اللتان تؤثران عند ، تكوِّنان ازدواجًا ومجموعهما يساوي صفرًا. ووزن القضيب مهمل وكذلك رد فعل المسمار أيضًا. يتبقى لدينا القوة التي مقدارها ٢٥ نيوتن والقوة التي مقدارها . ولكي يساوي مجموع القوتين صفرًا، يجب أن تُكَوِّنا ازدواجًا، أي إنهما متوازيتان ومتساويتان في المقدار وفي اتجاهين متضادين. ومن ثَمَّ، لدينا:

دعونا نحسب الآن عزم الازدواج الذي يؤثر عند ، ، . إنه موجب لأنه يحدث دورانًا في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة: حيث هو مقدار أي من القوتين في الازدواج اللتين تؤثران عند ، :

القضيب مُعلَّق بواسطة مسمار، وهو ما سيمثل نقطة ارتكاز إذا دار القضيب. تجدر الإشارة إلى أنه بما أن المسمار عند نقطة منتصف القضيب، حتى إذا لم يكن الوزن مُهمَلًا، فلن يكون له أي عزم بالنسبة لنقطة الارتكاز؛ لأن خط عمله يمر عبر نقطة منتصف القضيب (بشرط أن يكون القضيب منتظمًا). وبما أن مجموع العزوم لا بد أن يساوي صفرًا لكي يكون القضيب في حالة اتزان، فإن العزم الناتج عن الازدواج المتبقي لا بد أن يساوي نيوتن⋅سم (في اتجاه دوران عقارب الساعة).

عزم الازدواج الذي يؤثر عند ، ، عندئذٍ يساوي:

لقد وجدنا أن ، وطول .

مثال ٣: حساب الوزن وقوة رد الفعل إذا كان الجسم تحت تأثير ازدواج

قضيب منتظم طوله ٦ سم. يدور هذا القضيب دورانًا حرًّا حول مسمار أملس في فتحة صغيرة في القضيب عند النقطة بين ، حيث . كان القضيب يرتكز أفقيًّا في حالة اتزان تحت تأثير قوتين مقدار كل منهما ٨ نيوتن تؤثران على الطرفين بزاوية قياسها مع القضيب كما هو موضح في الشكل التالي. أوجد وزن القضيب ، ومقدار رد فعل المسمار .

الحل

يؤثر ازدواجان على القضيب؛ ازدواج ينتج عن القوتين اللتين تؤثران عند ، ، والازدواج الآخر ينتج عن وزن القضيب الذي يؤثر عند نقطة منتصف القضيب ورد فعل المسمار عند . محصلة القوتين تساوي صفرًا، ويصبح لدينا: حيث هو مقدار الوزن، و هو مقدار رد فعل المسمار.

دعونا نحسب عزم الازدواج، الذي يؤثر عند و: حيث هو مقدار أي من القوتين في الازدواج اللتين تؤثران عند ، .

ومن ثَمَّ:

ازدواج وزن القضيب، الذي يؤثر عند نقطة منتصف القضيب المنتظم (دعونا نطلق على هذه النقطة ) ، ورد فعل المسمار عند يحدث دورانًا في اتجاه دوران عقارب الساعة. هاتان القوتان متعامدتان على القضيب. ومن ثَمَّ، فإن العزم الناتج عن هذا الازدواج الذي يؤثر عند ، ، يعطى بـ: حيث هو مقدار أي من الوزن الذي يؤثِّر على أو رد فعل المسمار الذي يؤثِّر عند . النقطة تقع على بعد ٣ سم من ، أي ١ سم من . ومن ثَمَّ: .

هذا يعطينا:

يجب أن يساوي مجموع العزمين صفرًا ليكون القضيب في حالة اتِّزان؛ ومن ثَمَّ، نحصل على:

رد فعل المسمار على القضيب مقداره يساوي وزن القضيب، وهذا المقدار يساوي ٢٤ نيوتن.

مثال ٤: حساب قيمة ازدواج حيث يكون الجسم في حالة اتزان

قضيب طوله ٥٠ سم ووزنه مهمل. أثرت على القضيب قوتان مستويتان كما هو موضح في الشكل. يتكون الازدواج الأول من قوتين تؤثران عموديًّا على القضيب، مقدار كل منهما ٢ ث. كجم، ويتكون الازدواج الثاني من قوتين، مقدار كل منهما . أوجد قيمة التي تجعل القضيب في حالة اتزان.

الحل

لكي يكون القضيب في حالة اتِّزان، فإن محصلة القوى ومجموع العزوم يجب أن يساويا صفرًا.

القضيب وزنه مهمل؛ ومن ثَمَّ، يؤثر عليه ازدواجان فقط. وبذلك، تكون محصلة هذه القوى تساوي صفرًا؛ لأن كل ازدواج يتكون من قوتين متساويتين في المقدار، لكنهما في اتجاهين متضادين.

تذكر أن العزم الناتج عن الازدواج لا يعتمد على موضع النقطة التي يُنسب إليها عزوم الازدواج. لكي يكون القضيب في حالة اتزان، يجب أن يكون مجموع العزوم صفرًا.

دعونا نطلق على النقطة النقطة التي عندها تؤثر قوة لأسفل مقدارها ، والنقطة النقطة التي عندها تؤثر قوة لأسفل مقدارها ٢ ث. كجم.

ومن ثَمَّ، بالنسبة إلى ، عزم ازدواج القوة التي مقدارها ٢ ث. كجم التي تؤثر عند ، ، وبالنسبة إلى عزم ازدواج القوة التي تؤثر عند ، ، نجد أن:

لاحظ أن ثقل كيلوجرام هي وحدة قياس للقوة ١ ث. كجم هي القوة المكافئة لوزن كتلة مقدارها ١ كجم. ومن ثَمَّ حيث هي عجلة الجاذبية الأرضية.

ازدواج القوة ٢ ث. كجم يُحدِث دورانًا في اتجاه دوران عقارب الساعة، بينما ازدواج القوة يُحدِث دورانًا في عكس اتِّجاه دوران عقارب الساعة. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: حيث هو مقدار أي من القوتين في الازدواج اللتين تؤثران عند ، ، هو مقدار أي من القوتين في الازدواج اللتين تؤثران عند ، .

ومن ثَمَّ:

قيمة التي تجعل القضيب في حالة اتزان هي ث. كجم.

مثال ٥: حل مسألة تتضمن قضيبًا في حالة اتزان تحت تأثير ازدواج أو أكثر

قضيب مهمل الوزن، طوله ٥٤ سم. عُلِّقَ أفقيًّا من مسمار في منتصفه. أثرت قوتان مقدار كل منهما نيوتن على طرفيه، إحدهما رأسية لأعلى عند والأخرى رأسية لأسفل عند . القضيب مشدود بخيط من النقطة يميل بزاوية قياسها على . مقدار الشد في الخيط يساوي ١٩٢ نيوتن. القضيب ظل في حالة اتزان أفقي بواسطة قوة رابعة تؤثر على القضيب عند النقطة بزاوية على . بافتراض أنه لا يوجد رد فعل على المسمار، أوجد مقدار وطول .

الحل

من الجيد دائمًا بَدء مثل هذا السؤال برسم شكل. الأمر الوحيد الذي علينا تحديده عند رسم الشكل هو اتجاه القوة التي مقدارها ١٩٢ نيوتن واتجاه القوة . بما أن القضيب في حالة اتِّزان، فلا بد أن يكون مجموع العزوم صفرًا. هذا يعني أن عزم القوة التي مقدارها ١٩٢ نيوتن والقوة لا بد أن يحدث دورانًا في الاتجاه المضاد للدوران الذي يُحدِثه عزم القوتين نيوتن.

الشرط الأول ليكون القضيب في حالة اتزان هو أن محصلة القوى تساوي صفرًا. الوزن ورد الفعل على المسمار مهملان. القوتان تُكوِّنان ازدواجًا؛ لأنهما متوازيتان وفي اتجاهين متضادين (ولهما المقدار نفسه). مجموعهما يساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، فإن مجموع القوتين الأخريين يجب أن يساوي صفرًا؛ ما يعني أنهما متوازيتان، وفي اتجاهين متضادين، ومقدارهما متساوٍ. ومن ثَمَّ، نجد أن:

والشرط الثاني لكي يكون القضيب في حالة اتزان هو أن يكون مجموع العزوم لجميع القوى يساوي صفرًا. لدينا هنا ازدواجان مستويان يؤثران على القضيب. تذكر أن عزم الازدواج لا يعتمد على موضع النقطة التي تنسب إليها عزوم الازدواج. بالنسبة إلى ، عزم الازدواج الذي يؤثر عند ، وبالنسبة إلى ، ، عزم الازدواج الذي يؤثر عند ، ، نجد أن:

عزم القوتين نيوتن يُحدِث دورانًا في اتجاه دوران عقارب الساعة، بينما عزم القوتين ١٩٢ نيوتن يُحدِث دورانًا في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: حيث هو مقدار أي من القوتين في الازدواج اللتين تؤثران عند ، ، هو مقدار أي من القوتين في الازدواج اللتين تؤثران عند ، .

ومن ثَمَّ:

مقدار القوة يساوي ١٩٢ نيوتن، وطول يساوي ٣٨٫٢٥ سم.