تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: اتزان جسم جاسئ تحت تأثير ازدواجين مستويين الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف ندرس اتِّزان جسم جاسئ يقع تحت تأثير ازدواجين مستويين أو أكثر.

الازدواج هو قوتان متوازيتان لكنهما غير منطبقتين لهما المقدار نفسه وفي اتجاهين متضادين.

تعريف: عزم الازدواج

عزم الازدواج الذي يؤثر عند 󰏡 و𞸁 يعطى بالصيغة: 󰄮𞸂=󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁×󰄮󰄮𞹟=󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡×󰄮󰄮𞹟،𞸁󰏡 حيث 󰄮󰄮𞹟=󰄮󰄮𞹟󰏡𞸁.

العزم الناتج عن الازدواج لا يعتمد على موضع النقطة التي تنسب إليها عزوم الازدواج.

العزم 󰄮𞸂 هو متجه عمودي على المستوى المعرف بواسطة 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 والازدواج. في نظام إحداثي ثلاثي الأبعاد يحتوي على 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 والازدواج في المستوى 𞸎𞸑، يكون 󰄮𞸂 على طول المحور 𞸏. ووفقًا لقاعدة اليد اليمنى لحاصل الضرب الاتجاهي، فإنه يشير لأعلى (مركبة𞸏 موجبة) عندما يُحدث الازدواج دورانًا في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة أو لأسفل (مركبة𞸏 سالبة) عندما يكون الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة.

يتناول هذا الشارح الازدواجات المستوية. عزوم الازدواجات المستوية تكون متوازية (جميعها عمودية على المستوى الذي تقع فيه الازدواجات). ومن ثَمَّ، يمكن التعامل معها باعتبارها كميات قياسية تناظر مركباتها على طول المحور العمودي على المستوى المُعَرَّف بواسطة الازدواجات.

هذا العزم القياسي للازدواج الذي يؤثر عند 󰏡، 𞸁 وهو 𞸂 يعطى بالصيغة: 𞸂=±󰍻󰏡𞸁󰍻󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹𝜃، حيث 󰄮󰄮𞹟 هي أي من قوتي الازدواج، 󰍻󰏡𞸁󰍻 هو طول القطعة المستقيمة󰏡𞸁، 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين الخط 󰄮󰏡𞸁، 󰄮󰄮𞹟. إشارة 𞸂 تكون موجبة عند الدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة وسالبة عند الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة.

وبما أن 󰍻󰏡𞸁󰍻𝜃 يُسَمَّى المسافة العمودية 𞸐 بين خطي عمل القوتين اللتين تشكلان الازدواج، فإننا نحصل على: 𞸂=±𞹟𞸐، حيث 𞹟 هو مقدار 󰄮󰄮𞹟.

نلاحظ أن ميزة قوى الازدواج هي أن محصلتها تساوي صفرًا، لكنَّ لها تأثيرًا دورانيًّا على الجسم الذي تؤثر عليه. ومن ثَمَّ، فإن الجسم لا يكون في حالة اتزان إذا تعرض لازدواج فقط.

بطريقة عكسية، ذلك يعني وجود شرطين لكي يكون الجسم في حالة اتِّزان.

تعريف: شروط الاتِّزان

لكي يكون الجسم في حالة اتِّزان:

  1. يجب أن تساوي القوة المحصلة صفرًا.
  2. العزم المحصل للقوى المؤثرة على الجسم عند جميع النقاط يجب أن يساوي صفرًا.

إذا خضع جسم لازدواجين مستويين أو أكثر، فإن القوة المحصلة المؤثرة عليه تساوي صفرًا، وبذلك يكون في حالة اتِّزان إذا كان مجموع عزوم الازدواجات يساوي صفرًا.

دعونا نُلقِ نظرة على مثال نتناول فيه العزم المحصل لازدواجين.

مثال ١: فهم العلاقة بين ازدواجين واتزان الجسم

العزمان 𞸂١، 𞸂٢ لازدواجين يحققان المعادلة 𞸂+𞸂=٠١٢. بناءً على ذلك، فأيٌّ من الآتي صحيح؟

  1. الازدواجان في حالة اتِّزان.
  2. الازدواجان ليسا في حالة اتِّزان.
  3. الازدواجان يكافئان قوة واحدة.
  4. الازدواجان متكافئان.

الحل

يتكون أي ازدواج من قوتين متوازيتين متساويتين في المقدار تؤثران في اتجاهين متضادين. ومجموع هاتين القوتين لا بد أن يساوي صفرًا؛ ومن ثَمَّ، لا يمكن للازدواج أن ينتج عنه قوة محصلة. إذن، يمكننا على الفور استبعاد خيار أن يكون الازدواجان يكافئان قوة واحدة، ما لم نقصد قوة مقدارها صفر.

إذا كان الازدواجان متكافئين، فلا بد أن تكون الحالة هي أن: 𞸂=𞸂.١٢

ويمكن التعبير عن ذلك على الصورة: 𞸂𞸂=٠.١٢

ينص هذا السؤال على أن: 𞸂+𞸂=٠،١٢ وهو ما يتناقض مع الشرط المحدد لتكافؤ ازدواجين.

إذا كان الازدواجان في حالة اتِّزان، فإن العزم الناتج عن الازدواجين في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة يساوي العزم الناتج عن الازدواجين في اتجاه دوران عقارب الساعة، وهو ما يمكن التعبير عنه بالصورة: 𞸂=𞸂.١٢

يمكن التعبير عن هذا أيضًا بالصورة: 𞸂+𞸂=٠،١٢ وذلك المذكور في السؤال؛ ومن ثَمَّ، نستنتج أن الازدواجين في حالة اتِّزان.

دعونا الآن نُلقِ نظرة على مثال فيه تحليل لنظام من ازدواجين.

مثال ٢: حساب قوة مجهولة والزاوية التي يكون عندها جسم في حالة اتزان تحت تأثير ازدواج أو أكثر

󰏡𞸁 قضيب مهمل الوزن طوله ٩٠ سم. عُلِّق القضيب أفقيًّا في مسمار عند منتصفه. أثرت قوتان مقدار كل منهما ٧٫٥ نيوتن عند طرفي القضيب كما هو موضَّح في الشكل. سحب القضيب أيضًا بخيط مقدار الشد فيه ٢٥ نيوتن، في اتجاه يصنع زاوية قياسها ٠٣ مع القضيب عند النقطة 𞸢. إذا أثَّرت القوة 𞹟 على القضيب عند النقطة 𞸌 بحيث يكون متَّزنًا في موضع أفقي، فأوجد مقدار 𞹟، واتجاهها 𝜃، وطول 𞸢𞸌.

الحل

علمنا من السؤال أن القضيب في حالة اتِّزان؛ ما يعني أن القوة المحصلة لا بد أن تساوي صفرًا ومجموع العزوم لجميع القوى يجب أن يساوي صفرًا.

دعونا نبدأ بالقوة المحصلة. القوتان اللتان تؤثران عند 󰏡، 𞸁 تكوِّنان ازدواجًا ومجموعهما يساوي صفرًا. ووزن القضيب مهمل وكذلك رد فعل المسمار أيضًا. يتبقى لدينا القوة التي مقدارها ٢٥ نيوتن والقوة التي مقدارها 𞹟. ولكي يساوي مجموع القوتين صفرًا، يجب أن تُكَوِّنا ازدواجًا، أي إنهما متوازيتان ومتساويتان في المقدار وفي اتجاهين متضادين. ومن ثَمَّ، لدينا: 𝜃=٠٣𞹟=٥٢.،

دعونا نحسب الآن عزم الازدواج الذي يؤثر عند 󰏡، 𞸁، 𞸂󰏡𞸁. إنه موجب لأنه يحدث دورانًا في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة: 𞸂=󰏡𞸁×𞹟×٠٩،󰏡𞸁󰏡𞸁 حيث 𞹟󰏡𞸁 هو مقدار أي من القوتين في الازدواج اللتين تؤثران عند 󰏡، 𞸁: 𞸂=٠٩×٥٫٧×١=٥٧٦.󰏡𞸁

القضيب مُعلَّق بواسطة مسمار، وهو ما سيمثل نقطة ارتكاز إذا دار القضيب. تجدر الإشارة إلى أنه بما أن المسمار عند نقطة منتصف القضيب، حتى إذا لم يكن الوزن مُهمَلًا، فلن يكون له أي عزم بالنسبة لنقطة الارتكاز؛ لأن خط عمله يمر عبر نقطة منتصف القضيب (بشرط أن يكون القضيب منتظمًا). وبما أن مجموع العزوم لا بد أن يساوي صفرًا لكي يكون القضيب في حالة اتزان، فإن العزم الناتج عن الازدواج المتبقي لا بد أن يساوي ٥٧٦ نيوتن⋅سم (في اتجاه دوران عقارب الساعة).

عزم الازدواج الذي يؤثر عند 𞸢، 𞸌، 𞸂𞸢𞸌 عندئذٍ يساوي: 𞸂=𞸢𞸌×𞹟×٠٣٥٧٦=𞸢𞸌×٥٢×٠٣٥٧٦=𞸢𞸌󰂔٥٢٢󰂓𞸢𞸌=٥٧٦×٢٥٢=٤٥.𞸢𞸌

لقد وجدنا أن 𝜃=٠٣، 𞹟=٥٢ وطول 𞸢𞸌=٤٥.

دعونا نُلقِ نظرة على مثال يساهم فيه وزن القضيب في العزوم المؤثرة عليه.

مثال ٣: حساب الوزن وقوة رد الفعل إذا كان الجسم تحت تأثير ازدواج

󰏡𞸁 قضيب منتظم طوله ٦ سم. يدور هذا القضيب دورانًا حرًّا حول مسمار أملس في فتحة صغيرة في القضيب عند النقطة 𞸢 بين 󰏡، 𞸁 حيث 󰏡𞸢=٢. كان القضيب يرتكز أفقيًّا في حالة اتزان تحت تأثير قوتين مقدار كل منهما ٨ نيوتن تؤثران على الطرفين بزاوية قياسها ٠٣ مع القضيب كما هو موضح في الشكل التالي. أوجد وزن القضيب 𞸅، ومقدار رد فعل المسمار 𞸓.

الحل

يؤثر ازدواجان على القضيب؛ ازدواج ينتج عن القوتين اللتين تؤثران عند 󰏡، 𞸁، والازدواج الآخر ينتج عن وزن القضيب الذي يؤثر عند نقطة منتصف القضيب ورد فعل المسمار عند 𞸢. محصلة القوتين تساوي صفرًا، ويصبح لدينا: 𞸅=𞸓، حيث𞸅 هو مقدار الوزن، و𞸓 هو مقدار رد فعل المسمار.

دعونا نحسب عزم الازدواج، 𞸂󰏡𞸁 الذي يؤثر عند 󰏡 و𞸁: 𞸂=󰏡𞸁×𞹟×٠٣،󰏡𞸁󰏡𞸁 حيث 𞹟󰏡𞸁 هو مقدار أي من القوتين في الازدواج اللتين تؤثران عند 󰏡، 𞸁.

ومن ثَمَّ: 𞸂=٦×٨×٠٣𞸂=٤٢.󰏡𞸁󰏡𞸁

ازدواج وزن القضيب، الذي يؤثر عند نقطة منتصف القضيب المنتظم (دعونا نطلق على هذه النقطة 𞸌) ، ورد فعل المسمار عند 𞸢 يحدث دورانًا في اتجاه دوران عقارب الساعة. هاتان القوتان متعامدتان على القضيب. ومن ثَمَّ، فإن العزم الناتج عن هذا الازدواج الذي يؤثر عند 𞸢، 𞸌، 𞸂𞸢𞸌 يعطى بـ: 𞸂=𞸢𞸌×𞹟×٠٩،𞸢𞸌𞸢𞸌 حيث 𞹟𞸢𞸌 هو مقدار أي من الوزن الذي يؤثِّر على 𞸌 أو رد فعل المسمار الذي يؤثِّر عند 𞸢. النقطة 𞸌 تقع على بعد ٣ سم من 󰏡، أي ١ سم من 𞸢. ومن ثَمَّ: 𞸢𞸌=١.

هذا يعطينا: 𞸂=١×𞹟×١𞸂=𞹟.𞸢𞸌𞸢𞸌𞸢𞸌𞸢𞸌

يجب أن يساوي مجموع العزمين صفرًا ليكون القضيب في حالة اتِّزان؛ ومن ثَمَّ، نحصل على: 𞸂+𞸂=٠،٤٢𞹟=٠،𞹟=٤٢،𞸅=𞸓=٤٢.󰏡𞸁𞸢𞸌𞸢𞸌𞸢𞸌

رد فعل المسمار على القضيب مقداره يساوي وزن القضيب، وهذا المقدار يساوي ٢٤ نيوتن.

دعونا نتناول الآن مثالًا لازدواجين يؤثران على جسم حيث لا يتكون فيه أي ازدواج من قوتين تؤثران عند طرفين الجسم.

مثال ٤: حساب قيمة ازدواج حيث يكون الجسم في حالة اتزان

󰏡𞸁قضيب طوله ٥٠ سم ووزنه مهمل. أثرت على القضيب قوتان مستويتان كما هو موضح في الشكل. يتكون الازدواج الأول من قوتين تؤثران عموديًّا على القضيب، مقدار كل منهما ٢ ث. كجم، ويتكون الازدواج الثاني من قوتين، مقدار كل منهما 𞹟. أوجد قيمة𞹟 التي تجعل القضيب في حالة اتزان.

الحل

لكي يكون القضيب في حالة اتِّزان، فإن محصلة القوى ومجموع العزوم يجب أن يساويا صفرًا.

القضيب وزنه مهمل؛ ومن ثَمَّ، يؤثر عليه ازدواجان فقط. وبذلك، تكون محصلة هذه القوى تساوي صفرًا؛ لأن كل ازدواج يتكون من قوتين متساويتين في المقدار، لكنهما في اتجاهين متضادين.

تذكر أن العزم الناتج عن الازدواج لا يعتمد على موضع النقطة التي يُنسب إليها عزوم الازدواج. لكي يكون القضيب في حالة اتزان، يجب أن يكون مجموع العزوم صفرًا.

دعونا نطلق على النقطة 𞸢 النقطة التي عندها تؤثر قوة لأسفل مقدارها 𞹟، والنقطة 𞸌 النقطة التي عندها تؤثر قوة لأسفل مقدارها ٢ ث. كجم.

ومن ثَمَّ، بالنسبة إلى 𞸂󰏡𞸌، عزم ازدواج القوة التي مقدارها ٢ ث. كجم التي تؤثر عند 󰏡، 𞸌، وبالنسبة إلى 𞸂𞸢𞸁 عزم ازدواج القوة 𞹟 التي تؤثر عند 𞸢، 𞸁، نجد أن: 𞸂+𞸂=٠.󰏡𞸌𞸢𞸁

لاحظ أن ثقل كيلوجرام هي وحدة قياس للقوة ١ ث. كجم هي القوة المكافئة لوزن كتلة مقدارها ١ كجم. ومن ثَمَّ ١=𞸌ث حيث 𞸌 هي عجلة الجاذبية الأرضية.

ازدواج القوة ٢ ث. كجم يُحدِث دورانًا في اتجاه دوران عقارب الساعة، بينما ازدواج القوة 𞹟 يُحدِث دورانًا في عكس اتِّجاه دوران عقارب الساعة. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: 󰏡𞸌×𞹟×٠٩+𞸢𞸁×𞹟×٥٤=٠،󰏡𞸌𞸢𞸁 حيث 𞹟󰏡𞸌 هو مقدار أي من القوتين في الازدواج اللتين تؤثران عند 󰏡، 𞸌، 𞹟𞸢𞸁 هو مقدار أي من القوتين في الازدواج اللتين تؤثران عند 𞸢، 𞸁.

ومن ثَمَّ: ٠٤×٢×١+٠٣×𞹟×󰋴٢٢=٠𞹟=٠٨٥١󰋴٢𞹟=٨󰋴٢٣.ث

قيمة 𞹟 التي تجعل القضيب في حالة اتزان هي ٨󰋴٢٣ ث. كجم.

دعونا نُلقِ نظرة على مثال لا يتضمن أي شكل.

مثال ٥: حل مسألة تتضمن قضيبًا في حالة اتزان تحت تأثير ازدواج أو أكثر

󰏡𞸁 قضيب مهمل الوزن، طوله ٥٤ سم. عُلِّقَ أفقيًّا من مسمار في منتصفه. أثرت قوتان مقدار كل منهما ٨٦󰋴٣ نيوتن على طرفيه، إحدهما رأسية لأعلى عند 󰏡 والأخرى رأسية لأسفل عند 𞸁. القضيب مشدود بخيط من النقطة 𞸢 يميل بزاوية قياسها ٠٦ على 󰏡𞸁. مقدار الشد في الخيط يساوي ١٩٢ نيوتن. القضيب ظل في حالة اتزان أفقي بواسطة قوة رابعة 𞹟 تؤثر على القضيب عند النقطة 𞸌 بزاوية ٠٦ على 𞸁󰏡. بافتراض أنه لا يوجد رد فعل على المسمار، أوجد مقدار 𞹟 وطول 𞸌𞸢.

الحل

من الجيد دائمًا بَدء مثل هذا السؤال برسم شكل. الأمر الوحيد الذي علينا تحديده عند رسم الشكل هو اتجاه القوة التي مقدارها ١٩٢ نيوتن واتجاه القوة 𞹟. بما أن القضيب في حالة اتِّزان، فلا بد أن يكون مجموع العزوم صفرًا. هذا يعني أن عزم القوة التي مقدارها ١٩٢ نيوتن والقوة 𞹟 لا بد أن يحدث دورانًا في الاتجاه المضاد للدوران الذي يُحدِثه عزم القوتين ٨٦󰋴٣ نيوتن.

الشرط الأول ليكون القضيب في حالة اتزان هو أن محصلة القوى تساوي صفرًا. الوزن ورد الفعل على المسمار مهملان. القوتان ٨٦󰋴٣ تُكوِّنان ازدواجًا؛ لأنهما متوازيتان وفي اتجاهين متضادين (ولهما المقدار نفسه). مجموعهما يساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، فإن مجموع القوتين الأخريين يجب أن يساوي صفرًا؛ ما يعني أنهما متوازيتان، وفي اتجاهين متضادين، ومقدارهما متساوٍ. ومن ثَمَّ، نجد أن: 𞹟=٢٩١.

والشرط الثاني لكي يكون القضيب في حالة اتزان هو أن يكون مجموع العزوم لجميع القوى يساوي صفرًا. لدينا هنا ازدواجان مستويان يؤثران على القضيب. تذكر أن عزم الازدواج لا يعتمد على موضع النقطة التي تنسب إليها عزوم الازدواج. بالنسبة إلى 𞸂󰏡𞸁، عزم الازدواج الذي يؤثر عند 󰏡، وبالنسبة إلى 𞸁، 𞸂𞸌𞸢، عزم الازدواج الذي يؤثر عند 𞸢، 𞸌، نجد أن: 𞸂+𞸂=٠.󰏡𞸁𞸌𞸢

عزم القوتين ٨٦󰋴٣ نيوتن يُحدِث دورانًا في اتجاه دوران عقارب الساعة، بينما عزم القوتين ١٩٢ نيوتن يُحدِث دورانًا في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: 󰏡𞸁×𞹟×٠٩+𞸌𞸢×𞹟×٠٦=٠،󰏡𞸁𞸌𞸢 حيث 𞹟󰏡𞸁 هو مقدار أي من القوتين في الازدواج اللتين تؤثران عند 󰏡، 𞸁، 𞹟𞸌𞸢 هو مقدار أي من القوتين في الازدواج اللتين تؤثران عند 𞸌، 𞸢.

ومن ثَمَّ: ٤٥×٨٦󰋴٣×١+𞸌𞸢×٢٩١×󰋴٣٢=٠𞸌𞸢=٤٥×٨٦󰋴٣٦٩󰋴٣𞸌𞸢=٩×٧١٤𞸌𞸢=٥٢٫٨٣.

مقدار القوة 𞹟 يساوي ١٩٢ نيوتن، وطول 𞸌𞸢 يساوي ٣٨٫٢٥ سم.

دعونا نلخِّصْ ما تعلمناه في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • الازدواج له قوة محصلة تساوي صفرًا، لكنَّ له تأثيرًا دورانيًّا على الجسم الذي يؤثر عليه، يحدده عزمه 𞸂.
  • عزم الازدواج لا يعتمد على موضع النقطة التي تنسب إليها عزوم الازدواج.
  • يوجد شرطان ليكون الجسم في حالة اتزان:
    1. يجب أن تساوي القوة المحصلة صفرًا.
    2. العزم المحصل للقوى التي تؤثِّر على الجسم عند جميع النقاط يجب أن يساوي صفرًا.
  • يمكن التعامل مع عزوم الازدواجات المستوية باعتبارها كميات قياسية تناظر مركباتها على المحور العمودي على المستوى المعرف بواسطة الازدواجات. بالنسبة إلى الازدواج الذي يؤثر عند 󰏡، 𞸁، العزم القياسي 𞸂 يعطى بالصيغة: 𞸂=±󰍻󰏡𞸁󰍻󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹𝜃=±𞹟𞸐،󰏡𞸁 حيث 󰄮󰄮𞹟 أي من قوتي الازدواج، 󰍻󰏡𞸁󰍻 هو طول القطعة المستقيمة 󰏡𞸁، 𝜃 هي الزاوية (الهندسية) المحصورة بين الخط المستقيم 󰄮󰏡𞸁 و󰄮󰄮𞹟، 𞹟 هو مقدار 󰄮󰄮𞹟 و𞸐 هي المسافة العمودية بين خطي عمل قوتي الازدواج. إشارة 𞸂 تكون موجبة عند الدوران في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة وسالبة عند الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة.
  • لكي يكون الجسم الذي تؤثر عليه عدة ازدواجات مستوية في حالة اتزان، فإن مجموع العزوم القياسية لجميع الازدواجات لا بد أن يساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.