شارح الدرس: الاشتقاق اللوغاريتمي الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد المشتقة الأولى لدالة يحتوي كلٌّ من أساسها وأسها على متغيِّر باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي

أوجد ، إذا كان .

الحل

نبدأ بعزل في الطرف الأيمن. بقسمة كلا الطرفين على ٦، يصبح لدينا:

بما أن الدالة التي لدينا دالة أسية، أساسها وأسها متغيِّران، إذن نستخدم عملية الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد قيمة مشتقتها. الخطوة الأولى في الاشتقاق اللوغاريتمي هي أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين. وهذا يعطينا:

عند أخذ اللوغاريتم الطبيعي، نكون قد حدَّدنا أن ؛ لأن اللوغاريتم معرَّف فقط للقيم المُدخَلة الموجبة وغير الصفرية. الخطوة الثانية في الاشتقاق اللوغاريتمي هي استخدام قوانين اللوغاريتمات لتبسيط الطرف الأيسر. في هذا المثال، نلاحظ أن الدالة تتكوَّن من المتغيِّر مرفوعًا للأس ، الكل مضروب في الثابت . لذا، نستخدم أولًا قاعدة الضرب للوغاريتمات: لفصل الثابت. ومن ثَمَّ، نحصل على:

يمكننا بعد ذلك استخدام قاعدة القوة للوغاريتمات: لتفكيك الحد الثاني في الطرف الأيسر وكتابة الأس بالأسفل. وهذا يعطينا:

أصبحت الدالة الآن على صورة يمكن تطبيق قواعد الاشتقاق المعتادة عليها؛ لذا، يمكننا تطبيق الخطوة الثالثة من الاشتقاق اللوغاريتمي. وهذا يعني أنه يمكننا اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى . وبما أن مشتقة مجموع دالتين تساوي مجموع مشتقتَي الدالتين، إذن نحصل على:

بتطبيق الاشتقاق الضمني على الطرف الأيمن؛ حيث دالة في المتغيِّر ، نحصل على ، وبما أن ثابت، إذن مشتقته تساوي صفرًا. ولذلك، يصبح لدينا:

في الطرف الأيسر، نشتق حاصل ضرب دالتين؛ ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام قاعدة الضرب للاشتقاق. نحن نعلم أن مشتقة بالنسبة إلى هي ، ومشتقة بالنسبة إلى هي . إذن، وفقًا لقاعدة الضرب للاشتقاق، يصبح لدينا:

الخطوة الأخيرة في الاشتقاق اللوغاريتمي هي عزل في الطرف الأيمن. ولفعل ذلك، فإننا نضرب كلا الطرفين في . وبما أن ، إذن نحصل على:

بجمع أسَّيْ ، نجد أن:

مثال ٢: اشتقاق الدوال التي تتضمَّن نسبًا مثلثية باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي

استخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد مشتقة الدالة .

الحل

يُعَد الاشتقاق اللوغاريتمي مفيدًا عندما لا تخضع الدالة التي نرغب في اشتقاقها لقواعد الاشتقاق المعتادة. وهذا هو الحال في الدالة المُعطاة؛ حيث سعة جيب التمام والأس متغيِّران. الخطوة الأولى في الاشتقاق اللوغاريتمي هي تطبيق اللوغاريتم الطبيعي على كلا طرفَي الدالة؛ ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:

عند أخذ اللوغاريتم الطبيعي، نكون قد حدَّدنا أن ؛ لأن اللوغاريتم معرَّف فقط للقيم المُدخَلة الموجبة غير الصفرية. بعد ذلك، نستخدم قوانين اللوغاريتمات لتفكيك الطرف الأيسر إلى صورة يمكننا اشتقاقها بسهولة. ولفصل الثابت ٢ عن ، نستخدم قاعدة الضرب للوغاريتمات:

بتطبيق هذه القاعدة، نحصل على:

يتضمَّن الحد الثاني في الطرف الأيسر الأس ؛ لذا، يمكننا تطبيق قاعدة القوة للوغاريتمات: لكتابة الأس بالأسفل:

وكما هو متوقَّع، لدينا الآن في الطرف الأيسر مجموعة من التعبيرات التي يمكننا اشتقاقها بسهولة. وبذلك، يمكننا تطبيق الخطوة الثالثة في الاشتقاق اللوغاريتمي. هذا يعني اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى . وبما أن مشتقة مجموع دالتين تساوي مجموع مشتقتَي الدالتين، إذن يصبح لدينا:

بتطبيق الاشتقاق الضمني على الطرف الأيمن؛ حيث دالة في المتغيِّر ، نحصل على ، وبما أن ثابت، ومشتقته تساوي صفرًا، إذن يصبح لدينا:

في الطرف الأيسر، نحن نشتق الآن حاصل ضرب العاملين ، ؛ لذا، يمكننا تطبيق قاعدة الضرب للاشتقاق. ولكن لكي نفعل ذلك، علينا معرفة مشتقة بالنسبة إلى . وبما أن هذه دالة لدالة أخرى؛ أي بعبارة أخرى، دالة مركبة، يمكننا إذن تطبيق قاعدة السلسلة. بافتراض أن ؛ حيث ، إذن ، كما أن:

وبما أن ، إذن:

يمكننا الآن تطبيق قاعدة الضرب للاشتقاق على الطرف الأيسر أعلاه. بافتراض أن ، ؛ فإن ، ، إذن باستخدام قاعدة الضرب، نجد أن:

بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين، ثم الاشتقاق بالنسبة إلى ، يصبح لدينا:

الخطوة الأخيرة في الاشتقاق اللوغاريتمي هي عزل في الطرف الأيمن. ونفعل ذلك بضرب الطرفين في ، لنحصل على:

بتذكُّر أن الدالة ، نجد أن:

مثال ٣: إيجاد المشتقة الأولى لدالة باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي

أوجد إذا كان .

الحل

إذا كان الأس الموجود خارج القوسين في الدالة ثابتًا، فسنستخدم ببساطة قاعدة السلسلة للاشتقاق. لكن الأس نفسه دالة في المتغيِّر ، وأسهل طريقة لاشتقاق دالة من هذا النوع هي استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي.

الخطوة الأولى هي تطبيق اللوغاريتم الطبيعي على كلا طرفَي الدالة؛ ومن ثم، فإن:

عند أخذ اللوغاريتم الطبيعي، نكون قد حدَّدنا أن ؛ لأن اللوغاريتم معرَّف فقط للقيم المُدخَلة الموجبة غير الصفرية. بعد ذلك، نستخدم قوانين اللوغاريتمات لتفكيك الطرف الأيسر إلى صورة يمكننا اشتقاقها بسهولة. يتضمَّن الطرف الأيسر الأس ؛ لذا، يمكننا تطبيق قاعدة القوة للوغاريتمات: لكتابة الأس بالأسفل:

لدينا الآن في الطرف الأيسر دالة تمثِّل حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق، ونحن نعرف كيف نشتقُّهما. وبذلك، يمكننا تطبيق الخطوة الثالثة في الاشتقاق اللوغاريتمي. هذا يعني اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ، وهذا يعطينا:

بتطبيق الاشتقاق الضمني على الطرف الأيمن؛ حيث دالة في المتغيِّر ، نحصل على ؛ ومن ثَمَّ، فإن:

في الطرف الأيسر، نحن نشتق الآن حاصل ضرب العاملين ، . وهذا يعني أنه يمكننا تطبيق قاعدة الضرب للاشتقاق. لكن لفعل ذلك، علينا معرفة مشتقة بالنسبة إلى . وبما أن هذه دالة لدالة أخرى، يمكننا إذن تطبيق قاعدة السلسلة. بافتراض أن ؛ حيث ، فإن ؛ ومن ثم، فإن:

بما أن ، وهو ما يعني أن ، إذن نحصل على: ويمكننا الآن تطبيق قاعدة الضرب للاشتقاق على الطرف الأيسر أعلاه. بافتراض أن ، ، إذن: وباستخدام قاعدة الضرب، نجد أن:

بإعادة الترتيب وأخذ العامل المشترك ٨ خارج القوسين، يصبح لدينا الآن:

الخطوة الأخيرة في الاشتقاق اللوغاريتمي هي عزل في الطرف الأيمن. ونفعل ذلك بضرب الطرفين في ، لنحصل على:

قد نحتاج إلى كتابة المشتقة بدلالة فقط؛ لذا، بالتعويض بـ ، يصبح لدينا:

مثال ٤: اشتقاق تركيب الدوال الأسية والمثلثية باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي

إذا كان ، فأوجد .

الحل

باعتبار أن الأس في الدالة التي لدينا دالة معقَّدة في المتغيِّر ، فإن أسهل طريقة لاشتقاق هذه الدالة هي استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي. الخطوة الأولى في هذه العملية هي أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين، وهو ما يعطينا:

عند أخذ اللوغاريتم الطبيعي، نكون قد حدَّدنا أن ؛ لأن اللوغاريتم معرَّف فقط للقيم المُدخَلة الموجبة غير الصفرية. وبالرغم من أن هذا قد يبدو أكثر تعقيدًا، فإن الخطوة التالية تساعدنا في تبسيط الأمور حتى نتمكَّن من الاشتقاق بسهولة. الخطوة الثانية في الاشتقاق اللوغاريتمي هي استخدام قوانين اللوغاريتمات لتغيير الطرف الأيسر إلى صورة يمكن التعامل معها بشكل أسهل. في هذا المثال، بما أن لدينا أسًّا، فسنستخدم قاعدة القوة أو قانون الأسس للوغاريتمات:

باستخدام ذلك لكتابة الأس بالأسفل، نحصل على: ويصبح لدينا الآن في الطرف الأيسر الثابت مضروبًا في التعبير . نحن نعلم كيفية اشتقاق ذلك؛ لذا، نطبِّق الخطوة الثالثة من الاشتقاق اللوغاريتمي. وهذا يعني اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ، وهو ما يعطينا: (بأخذ الثابت خارج المشتقة).

بتطبيق الاشتقاق الضمني على الطرف الأيمن؛ حيث دالة في المتغيِّر ، يصبح لدينا:

بتذكُّر أن ، ، فإن اشتقاق الطرف الأيسر يعطينا:

الخطوة الأخيرة في الاشتقاق اللوغاريتمي هي عزل في الطرف الأيمن. ويمكننا فعل ذلك بضرب الطرفين في ، وهو ما يعطينا:

وأخيرًا، بتذكُّر أن ، وبإعادة ترتيب الطرف الأيسر، نجد أن:

مثال ٥: إيجاد المشتقة الأولى لدالة على الصورة ﺱ^ﺱﺱ باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي

إذا كانت ، فأوجد .

الحل

الأسَّان في الدالة المُعطاة متغيِّران، وأسهل طريقة لاشتقاق دالة من هذا النوع هي استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي. لكي نفعل ذلك، نأخذ أولًا اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين. وبتطبيق ذلك على الدالة ، يصبح لدينا:

عند أخذ اللوغاريتم الطبيعي، نكون قد حدَّدنا أن ؛ لأن اللوغاريتم معرَّف فقط للقيم المُدخَلة الموجبة غير الصفرية.

الخطوة التالية في الاشتقاق اللوغاريتمي هي استخدام قوانين اللوغاريتمات لتفكيك الطرف الأيسر. ولا بد أن يعطينا ذلك صورة يمكننا اشتقاقها بسهولة، لكن مع هذه الدالة تحديدًا نلاحظ أنه علينا تطبيق أول خطوتين مرتين حتى نصل إلى المرحلة التي يمكننا فيها الاشتقاق.

بما أن الدالة تتضمَّن أسَّين، إذن يمكننا استخدام قاعدة القوة أو قانون الأسس للوغاريتمات لتفكيك الطرف الأيسر. وينص هذا القانون على أن: وبتطبيق ذلك على الدالة لكتابة الأس بالأسفل، نحصل على:

يبدو أن هذه الصيغة يمكن التعامل معها بسهولة أكثر؛ حيث لدينا الآن حاصل ضرب في الطرف الأيسر. ولكن ما زال أحد العاملين، وهو ، لا يمكننا اشتقاقه بسهولة. لحل هذه المشكلة، علينا العودة إلى الخطوة الأولى وأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين مرةً أخرى. وبذلك، سنتمكَّن مرة أخرى من تطبيق قوانين اللوغاريتمات لتفكيك الطرف الأيسر. وبأخذ اللوغاريتم الطبيعي مرة أخرى، يصبح لدينا:

في الطرف الأيسر، يمكننا الآن استخدام قاعدة الضرب للوغاريتمات، وهي:

بتطبيق هذه القاعدة على الطرف الأيسر، نحصل على:

يمكننا استخدام قاعدة القوة للوغاريتمات مرةً أخرى لتفكيك الحد الأول في الطرف الأيسر، وبذلك يصبح لدينا: والآن، لدينا صورة يمكننا اشتقاقها باستخدام قواعد الاشتقاق المعتادة. هذا يقودنا إلى الخطوة الثالثة من الاشتقاق اللوغاريتمي، وهي اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى : (مع ملاحظة أنه في الطرف الأيسر، قد استخدمنا حقيقة أن مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقتين). هيا نبدأ الاشتقاق بالحد الأول في الطرف الأيسر.

لدينا حاصل ضرب العاملين ، . باستخدام قاعدة الضرب للاشتقاق وحقيقة أن ، فإن:

بالنظر إلى الحد الثاني في الطرف الأيسر، نلاحظ أن الطريقة التي نستخدمها تنطبق أيضًا على التعبير الموجود في الطرف الأيمن. لدينا التعبير . وهو على الصورة ؛ حيث دالة قابلة للاشتقاق في المتغيِّر . إذن لدينا دالة لدالة أخرى؛ حيث في هذه الحالة. نحن نعرف أن ، وأن (عند ). وبذلك نحصل على:

لدينا الآن مشتقتا كلا الحدين في الطرف الأيسر؛ لذا، كلُّ ما علينا فعله هو إيجاد قيمة المشتقة في الطرف الأيمن من المعادلة. وهو . وكما لاحظنا، يمكننا تطبيق الطريقة نفسها المستخدَمة في الحد الثاني من الطرف الأيسر.

نريد الآن اشتقاق التعبير ؛ حيث . وهذه المرة علينا مراعاة حقيقة أن دالة في المتغيِّر ؛ ومن ثم، فإن:

يمكننا الآن تجميع نتائج الاشتقاق كالآتي:

في الخطوة الأخيرة من الاشتقاق اللوغاريتمي، نعزل في الطرف الأيمن بضرب كلا الطرفين في ، وبإعادة الترتيب يصبح لدينا: