تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الاشتقاق اللوغاريتمي الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مشتقات الدوال الموجبة بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين قبل الاشتقاق.

قد نواجه أحيانًا دوالَّ نريد اشتقاقها، لكن يصعب تطبيق الطرق المعتادة؛ مثل قاعدة السلسلة أو قاعدة الضرب أو قاعدة القسمة، مباشرةً على هذه الدوال، أو لا يمكن تطبيقها. على سبيل المثال، في كل دالة من الدوال الآتية، ليس واضحًا كيف يمكن اشتقاق كل دالة بالنسبة إلى 𞸎: 𞸑=٥𞸎،𞸑=٣،𞸑=󰁓٤𞸎٩󰁒،𞸑=𞸎󰁓𞸎٥󰁒.٣٧𞸎٢٢٣𞸎٤٥𞸎٧𞸤+٣𞸎٣𞸎٢٣

كل دالة من هذه الدوال لها أس معقَّد يتضمَّن المتغيِّر 𞸎، وهو ما يجعل من الصعب تطبيق قواعد الاشتقاق المعتادة. في مثل هذه الحالات، فإن إحدى الطرق التي يمكننا استخدامها للاشتقاق هي الاشتقاق اللوغاريتمي.

تعريف: الاشتقاق اللوغاريتمي

الاشتقاق اللوغاريتمي هو عملية مكوَّنة من أربع خطوات تُستخدَم لاشتقاق الدوال الغريبة أو المعقَّدة التي لا تخضع بسهولة إلى طرق الاشتقاق المعتادة، إن خضعت. لأيِّ دالة قابلة للاشتقاق: 𞸑=󰎨(𞸎)𞸑>٠، تكون الخطوات المتَّبعة كالآتي:

  1. نطبِّق اللوغاريتم الطبيعي على كلا الطرفين: 𞸤𞸤𞸑=󰎨(𞸎)، حيث اللوغاريتم الطبيعي لـ 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎)𞸤.
  2. نستخدم قوانين اللوغاريتمات لتبسيط أو توزيع الطرف الأيسر.
  3. نشتق كلا الطرفين بالنسبة إلى 𞸎.
  4. نَحُلُّ لإيجاد 𞸑=𞸃𞸑𞸃𞸎.

لاحِظ أنه عند تحديدنا أن هذه الخطوات تُطبَّق عند 𞸑>٠، إذا أردنا تطبيق الاشتقاق اللوغاريتمي على جميع قيم 𞸑٠، فسنأخذ اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ 𞸑: 𞸤|𞸑|. وهذا يشمل كلًّا من القيم الموجبة والقيم السالبة للدالة 𞸑.

بالإضافة إلى أخذ اللوغاريتم الطبيعي، فإن الخطوة الرئيسية التي تجعل هذه العملية مفيدة للغاية هي الخطوة الثانية، وهي استخدام قوانين اللوغاريتمات لتبسيط الطرف الأيسر. وهذا لأنه:

  • إذا كانت 󰎨(𞸎) تتضمَّن حاصل ضرب، فإن 𞸤󰎨(𞸎) يتضمَّن مجموعًا؛ حيث تنص قاعدة الضرب للوغاريتمات على أن: 󰏡󰏡󰏡𞸁𞸢=𞸁+𞸢،
  • إذا كانت 󰎨(𞸎) تتضمَّن خارج قسمة، فإن 𞸤󰎨(𞸎) يتضمَّن فرقًا؛ حيث تنص قاعدة القسمة للوغاريتمات على أن: 󰏡󰏡󰏡𞸁𞸢=𞸁𞸢،
  • إذا كانت  󰎨(𞸎) تتضمَّن أسًّا أو قوةً، فإن 𞸤󰎨(𞸎) يتضمَّن حاصل ضرب؛ حيث ينص قانون الأسس للوغاريتمات على أن: 󰏡𞸢󰏡𞸁=𞸢𞸁.

بمجرد إعادة كتابة الدالة في صورة يسهل التعامل معها، يمكننا بعد ذلك اشتقاق التعبيرات الناتجة باستخدام الطرق المعتادة أو النتائج المعروفة أو كلتيهما.

في الطرف الأيمن من المعادلة، 𞸤𞸤𞸑=󰎨(𞸎)، بما أننا نشتق الدالة 𞸑؛ حيث 𞸑 هي نفسها دالة في المتغيِّر 𞸎، إذن سنستخدم الاشتقاق الضمني. ويتضمَّن ذلك قاعدة السلسلة لاشتقاق دالة مركبة؛ حيث𞸃𞸃𞸎𞸓(𞸇(𞸎))=𞸃𞸓𞸃𞸇×𞸃𞸇𞸃𞸎. بتطبيق هذه القاعدة على الطرف الأيمن، فإن الاشتقاق بالنسبة إلى 𞸎 يعطينا: 𞸃𞸃𞸎𞸑=𞸃𞸃𞸑𞸑×𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃󰎨𞸃𞸎.𞸤𞸤

بعد ذلك، باستخدام النتيجة المعلومة 𞸃𞸃𞸑𞸑=١𞸑(𞸑٠)𞸤، فإننا نحصل على: ١𞸑×𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃󰎨𞸃𞸎𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸑𞸃󰎨𞸃𞸎.

والآن، بعد أن عرفنا الخطوات التي يجب اتباعها للاشتقاق اللوغاريتمي، هيا نطبِّقها على بعض الدوال المعقَّدة.

مثال ١: إيجاد المشتقة الأولى لدالة يحتوي كلٌّ من أساسها وأسها على متغيِّر باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي

أوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎، إذا كان ٦𞸑=٧𞸎٣٥𞸎.

الحل

نبدأ بعزل 𞸑 في الطرف الأيمن. بقسمة كلا الطرفين على ٦، يصبح لدينا: 𞸑=٧٦𞸎.٣٥𞸎

بما أن الدالة التي لدينا دالة أسية، أساسها وأسها متغيِّران، إذن نستخدم عملية الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد قيمة مشتقتها. الخطوة الأولى في الاشتقاق اللوغاريتمي هي أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين. وهذا يعطينا: 𞸤𞸤𞸑=󰂔٧٦𞸎󰂓𞸑>٠.٣٥𞸎

عند أخذ اللوغاريتم الطبيعي، نكون قد حدَّدنا أن 𞸑>٠؛ لأن اللوغاريتم معرَّف فقط للقيم المُدخَلة الموجبة وغير الصفرية. الخطوة الثانية في الاشتقاق اللوغاريتمي هي استخدام قوانين اللوغاريتمات لتبسيط الطرف الأيسر. في هذا المثال، نلاحظ أن الدالة تتكوَّن من المتغيِّر 𞸎 مرفوعًا للأس ٣٥𞸎، الكل مضروب في الثابت ٧٦. لذا، نستخدم أولًا قاعدة الضرب للوغاريتمات: 󰏡󰏡󰏡𞸁𞸢=𞸁+𞸢، لفصل الثابت. ومن ثَمَّ، نحصل على: 𞸤𞸤𞸤𞸑=󰂔٧٦󰂓+󰂔𞸎󰂓.٣٥𞸎

يمكننا بعد ذلك استخدام قاعدة القوة للوغاريتمات: 󰏡𞸢󰏡𞸁=𞸢𞸁، لتفكيك الحد الثاني في الطرف الأيسر وكتابة الأس بالأسفل. وهذا يعطينا: 𞸤𞸤𞸤𞸑=󰂔٧٦󰂓+٣٥𞸎𞸎.

أصبحت الدالة الآن على صورة يمكن تطبيق قواعد الاشتقاق المعتادة عليها؛ لذا، يمكننا تطبيق الخطوة الثالثة من الاشتقاق اللوغاريتمي. وهذا يعني أنه يمكننا اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى 𞸎. وبما أن مشتقة مجموع دالتين تساوي مجموع مشتقتَي الدالتين، إذن نحصل على: 𞸃𞸃𞸎𞸑=𞸃𞸃𞸎󰂔٧٦󰂓+𞸃𞸃𞸎󰃁٣٥𞸎𞸎󰃀.𞸤𞸤𞸤

بتطبيق الاشتقاق الضمني على الطرف الأيمن؛ حيث 𞸑 دالة في المتغيِّر 𞸎، نحصل على 𞸃𞸃𞸎𞸑=١𞸑×𞸃𞸑𞸃𞸎𞸤، وبما أن 𞸤󰂔٧٦󰂓 ثابت، إذن مشتقته تساوي صفرًا. ولذلك، يصبح لدينا: ١𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰃁٣٥𞸎𞸎󰃀.𞸤

في الطرف الأيسر، نشتق حاصل ضرب دالتين؛ ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام قاعدة الضرب للاشتقاق. نحن نعلم أن مشتقة 𞸤𞸎 بالنسبة إلى 𞸎 هي ١𞸎، ومشتقة ٣٥𞸎=٣٥𞸎١ بالنسبة إلى 𞸎 هي ٣٥𞸎٢. إذن، وفقًا لقاعدة الضرب للاشتقاق، يصبح لدينا: ١𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎=٣٥𞸎×١𞸎+𞸎×󰃁٣٥𞸎󰃀=٣٥𞸎󰁖١𞸎󰁕.𞸤٢٢𞸤

الخطوة الأخيرة في الاشتقاق اللوغاريتمي هي عزل 𞸃𞸑𞸃𞸎 في الطرف الأيمن. ولفعل ذلك، فإننا نضرب كلا الطرفين في 𞸑. وبما أن 𞸑=٧٦𞸎٣٥𞸎، إذن نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٧٦𞸎×٣٥𞸎󰁖١𞸎󰁕=٧٠١𞸎×𞸎󰁖١𞸎󰁕.٣٥𞸎٣٥𞸎٢𞸤٢𞸤

بجمع أسَّيْ 𞸎، نجد أن: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٧٠١𞸎󰁖١𞸎󰁕.٣٥𞸎٢𞸤

هيا نتناول الآن مثالًا على كيفية استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي لاشتقاق دالة تتضمَّن نسبة مثلثية ذات أس متغيِّر.

مثال ٢: اشتقاق الدوال التي تتضمَّن نسبًا مثلثية باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي

استخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد مشتقة الدالة 𞸑=٢(𞸎)𞸎.

الحل

يُعَد الاشتقاق اللوغاريتمي مفيدًا عندما لا تخضع الدالة التي نرغب في اشتقاقها لقواعد الاشتقاق المعتادة. وهذا هو الحال في الدالة المُعطاة؛ حيث سعة جيب التمام والأس متغيِّران. الخطوة الأولى في الاشتقاق اللوغاريتمي هي تطبيق اللوغاريتم الطبيعي على كلا طرفَي الدالة؛ ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: 𞸤𞸤𞸎𞸑=󰁖٢(𞸎)󰁕،𞸑>٠.

عند أخذ اللوغاريتم الطبيعي، نكون قد حدَّدنا أن 𞸑>٠؛ لأن اللوغاريتم معرَّف فقط للقيم المُدخَلة الموجبة غير الصفرية. بعد ذلك، نستخدم قوانين اللوغاريتمات لتفكيك الطرف الأيسر إلى صورة يمكننا اشتقاقها بسهولة. ولفصل الثابت ٢ عن (𞸎)𞸎، نستخدم قاعدة الضرب للوغاريتمات: 󰏡󰏡󰏡𞸁𞸢=𞸁+𞸢.

بتطبيق هذه القاعدة، نحصل على: 𞸤𞸤𞸤𞸎𞸑=٢+(𞸎).

يتضمَّن الحد الثاني في الطرف الأيسر الأس (𞸎)؛ لذا، يمكننا تطبيق قاعدة القوة للوغاريتمات: 󰏡𞸢󰏡𞸁=𞸢𞸁، لكتابة الأس 𞸎 بالأسفل: 𞸤𞸤𞸤𞸑=٢+𞸎𞸎.

وكما هو متوقَّع، لدينا الآن في الطرف الأيسر مجموعة من التعبيرات التي يمكننا اشتقاقها بسهولة. وبذلك، يمكننا تطبيق الخطوة الثالثة في الاشتقاق اللوغاريتمي. هذا يعني اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى 𞸎. وبما أن مشتقة مجموع دالتين تساوي مجموع مشتقتَي الدالتين، إذن يصبح لدينا: 𞸃𞸃𞸎𞸑=𞸃𞸃𞸎٢+𞸃𞸃𞸎󰁖𞸎𞸎󰁕.𞸤𞸤𞸤

بتطبيق الاشتقاق الضمني على الطرف الأيمن؛ حيث 𞸑 دالة في المتغيِّر 𞸎، نحصل على 𞸃𞸃𞸎𞸑=١𞸑×𞸃𞸑𞸃𞸎𞸤، وبما أن 𞸤٢ ثابت، ومشتقته تساوي صفرًا، إذن يصبح لدينا: ١𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰁖𞸎𞸎󰁕.𞸤

في الطرف الأيسر، نحن نشتق الآن حاصل ضرب العاملين 𞸎، 𞸤𞸎؛ لذا، يمكننا تطبيق قاعدة الضرب للاشتقاق. ولكن لكي نفعل ذلك، علينا معرفة مشتقة 𞸤𞸎 بالنسبة إلى 𞸎. وبما أن هذه دالة لدالة أخرى؛ أي بعبارة أخرى، دالة مركبة، يمكننا إذن تطبيق قاعدة السلسلة. بافتراض أن 𞸔(𞸇)=𞸇𞸤؛ حيث 𞸇(𞸎)=𞸎، إذن 𞸃𞸔𞸃𞸇=١𞸇، كما أن: 𞸃𞸔𞸃𞸎=𞸃𞸔𞸃𞸇×𞸃𞸇𞸃𞸎=١𞸇×𞸃𞸇𞸃𞸎.

وبما أن 𞸇(𞸎)=𞸎، إذن: 𞸃𞸔𞸃𞸎=١𞸎×(𞸎)=𞸎.

يمكننا الآن تطبيق قاعدة الضرب للاشتقاق على الطرف الأيسر أعلاه. بافتراض أن 𞸏=𞸎، 𞸔=𞸎𞸤؛ فإن 𞸃𞸏𞸃𞸎=١، 𞸃𞸔𞸃𞸎=𞸎، إذن باستخدام قاعدة الضرب، نجد أن: 𞸃𞸃𞸎(𞸏𞸔)=𞸏×𞸃𞸔𞸃𞸎+𞸔×𞸃𞸏𞸃𞸎=𞸎×(𞸎)+١×𞸎=𞸎𞸎𞸎.𞸤𞸤

بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين، ثم الاشتقاق بالنسبة إلى 𞸎، يصبح لدينا: ١𞸑×𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸎𞸎𞸎.𞸤

الخطوة الأخيرة في الاشتقاق اللوغاريتمي هي عزل 𞸃𞸑𞸃𞸎 في الطرف الأيمن. ونفعل ذلك بضرب الطرفين في 𞸑، لنحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸑󰁖𞸎𞸎𞸎󰁕.𞸤

بتذكُّر أن الدالة 𞸑=٢(𞸎)𞸎، نجد أن: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٢(𞸎)󰁖𞸎𞸎𞸎󰁕.𞸎𞸤

في المثال التالي، نستخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لاشتقاق دالة مركبة ذات أس متغيِّر.

مثال ٣: إيجاد المشتقة الأولى لدالة باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي

أوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎 إذا كان 𞸑=󰁓٦𞸎+٧󰁒٩٨𞸎.

الحل

إذا كان الأس الموجود خارج القوسين في الدالة ثابتًا، فسنستخدم ببساطة قاعدة السلسلة للاشتقاق. لكن الأس نفسه دالة في المتغيِّر 𞸎، وأسهل طريقة لاشتقاق دالة من هذا النوع هي استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي.

الخطوة الأولى هي تطبيق اللوغاريتم الطبيعي على كلا طرفَي الدالة؛ ومن ثم، فإن: 𞸤𞸤٩٨𞸎𞸑=󰁖󰁓٦𞸎+٧󰁒󰁕𞸑>٠.

عند أخذ اللوغاريتم الطبيعي، نكون قد حدَّدنا أن 𞸑>٠؛ لأن اللوغاريتم معرَّف فقط للقيم المُدخَلة الموجبة غير الصفرية. بعد ذلك، نستخدم قوانين اللوغاريتمات لتفكيك الطرف الأيسر إلى صورة يمكننا اشتقاقها بسهولة. يتضمَّن الطرف الأيسر الأس (٨𞸎)؛ لذا، يمكننا تطبيق قاعدة القوة للوغاريتمات: 󰏡𞸢󰏡𞸁=𞸢𞸁، لكتابة الأس بالأسفل: 𞸤𞸤٩𞸑=٨𞸎󰁓٦𞸎+٧󰁒.

لدينا الآن في الطرف الأيسر دالة تمثِّل حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق، ونحن نعرف كيف نشتقُّهما. وبذلك، يمكننا تطبيق الخطوة الثالثة في الاشتقاق اللوغاريتمي. هذا يعني اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى 𞸎، وهذا يعطينا: 𞸃𞸃𞸎𞸑=𞸃𞸃𞸎󰁖٨𞸎󰁓٦𞸎+٧󰁒󰁕.𞸤𞸤٩

بتطبيق الاشتقاق الضمني على الطرف الأيمن؛ حيث 𞸑 دالة في المتغيِّر 𞸎، نحصل على 𞸃𞸃𞸎𞸑=١𞸑×𞸃𞸑𞸃𞸎𞸤؛ ومن ثَمَّ، فإن: ١𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰁖٨𞸎󰁓٦𞸎+٧󰁒󰁕.𞸤٩

في الطرف الأيسر، نحن نشتق الآن حاصل ضرب العاملين ٨𞸎، 𞸤٩󰁓٦𞸎+٧󰁒. وهذا يعني أنه يمكننا تطبيق قاعدة الضرب للاشتقاق. لكن لفعل ذلك، علينا معرفة مشتقة 𞸤٩󰁓٦𞸎+٧󰁒 بالنسبة إلى 𞸎. وبما أن هذه دالة لدالة أخرى، يمكننا إذن تطبيق قاعدة السلسلة. بافتراض أن 𞸔(𞸇)=𞸇𞸤؛ حيث 𞸇(𞸎)=٦𞸎+٧٩، فإن 𞸃𞸔𞸃𞸇=١𞸇؛ ومن ثم، فإن: 𞸃𞸔𞸃𞸎=𞸃𞸔𞸃𞸇×𞸃𞸇𞸃𞸎=١𞸇×𞸃𞸇𞸃𞸎.

بما أن 𞸇(𞸎)=٦𞸎+٧٩، وهو ما يعني أن 𞸃𞸇𞸃𞸎=٤٥𞸎٨، إذن نحصل على: 𞸃𞸔𞸃𞸎=١(٦𞸎+٧)×٤٥𞸎،٩٨ ويمكننا الآن تطبيق قاعدة الضرب للاشتقاق على الطرف الأيسر أعلاه. بافتراض أن 𞸏=٨𞸎، 𞸔=󰁓٦𞸎+٧󰁒𞸤٩، إذن: 𞸃𞸏𞸃𞸎=٨𞸃𞸔𞸃𞸎=٤٥𞸎(٦𞸎+٧)،،٨٩ وباستخدام قاعدة الضرب، نجد أن: 𞸃𞸃𞸎(𞸏𞸔)=𞸏×𞸃𞸔𞸃𞸎+𞸔×𞸃𞸏𞸃𞸎=٨𞸎×٤٥𞸎(٦𞸎+٧)+󰁓٦𞸎+٧󰁒×٨.٨٩𞸤٩

بإعادة الترتيب وأخذ العامل المشترك ٨ خارج القوسين، يصبح لدينا الآن: ١𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎=٨󰃄󰁓٦𞸎+٧󰁒+٤٥𞸎(٦𞸎+٧)󰃃.𞸤٩٩٩

الخطوة الأخيرة في الاشتقاق اللوغاريتمي هي عزل 𞸃𞸑𞸃𞸎 في الطرف الأيمن. ونفعل ذلك بضرب الطرفين في 𞸑، لنحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٨𞸑󰃄󰁓٦𞸎+٧󰁒+٤٥𞸎(٦𞸎+٧)󰃃.𞸤٩٩٩

قد نحتاج إلى كتابة المشتقة بدلالة 𞸎 فقط؛ لذا، بالتعويض بـ 𞸑=󰁓٦𞸎+٧󰁒٩٨𞸎، يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٨󰁓٦𞸎+٧󰁒󰃄󰁓٦𞸎+٧󰁒+٤٥𞸎(٦𞸎+٧)󰃃.٩٨𞸎𞸤٩٩٩

هيا نتناول الآن مثالًا نستخدم فيه الاشتقاق اللوغاريتمي لاشتقاق دالة عبارة عن ثابت مرفوع لأس معقَّد يتضمَّن دالة أسية ودالة مثلثية.

مثال ٤: اشتقاق تركيب الدوال الأسية والمثلثية باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي

إذا كان 𞸑=٢٩𞸤+𞸎٩𞸎، فأوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎.

الحل

باعتبار أن الأس في الدالة التي لدينا دالة معقَّدة في المتغيِّر 𞸎، فإن أسهل طريقة لاشتقاق هذه الدالة هي استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي. الخطوة الأولى في هذه العملية هي أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين، وهو ما يعطينا: 𞸤𞸤٩𞸤+𞸎𞸑=󰂗٢󰂖𞸑>٠.٩𞸎

عند أخذ اللوغاريتم الطبيعي، نكون قد حدَّدنا أن 𞸑>٠؛ لأن اللوغاريتم معرَّف فقط للقيم المُدخَلة الموجبة غير الصفرية. وبالرغم من أن هذا قد يبدو أكثر تعقيدًا، فإن الخطوة التالية تساعدنا في تبسيط الأمور حتى نتمكَّن من الاشتقاق بسهولة. الخطوة الثانية في الاشتقاق اللوغاريتمي هي استخدام قوانين اللوغاريتمات لتغيير الطرف الأيسر إلى صورة يمكن التعامل معها بشكل أسهل. في هذا المثال، بما أن لدينا أسًّا، فسنستخدم قاعدة القوة أو قانون الأسس للوغاريتمات: 󰏡𞸢󰏡𞸁=𞸢𞸁.

باستخدام ذلك لكتابة الأس بالأسفل، نحصل على: 𞸤٩𞸎𞸤𞸑=󰁖٩𞸤+𞸎󰁕٢، ويصبح لدينا الآن في الطرف الأيسر الثابت 𞸤٢ مضروبًا في التعبير ٩𞸤+𞸎٩𞸎. نحن نعلم كيفية اشتقاق ذلك؛ لذا، نطبِّق الخطوة الثالثة من الاشتقاق اللوغاريتمي. وهذا يعني اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى 𞸎، وهو ما يعطينا: 𞸃𞸃𞸎𞸑=٢𞸃𞸃𞸎󰁖٩𞸤+𞸎󰁕𞸤𞸤٩𞸎 (بأخذ الثابت 𞸤٢ خارج المشتقة).

بتطبيق الاشتقاق الضمني على الطرف الأيمن؛ حيث 𞸑 دالة في المتغيِّر 𞸎، يصبح لدينا: ١𞸑×𞸃𞸑𞸃𞸎=٢𞸃𞸃𞸎󰁖٩𞸤+𞸎󰁕.𞸤٩𞸎

بتذكُّر أن 𞸃𞸃𞸎𞸤=𞸤×𞸃𞸃𞸎𞸏(𞸎)𞸏(𞸎)𞸏(𞸎)، 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎، فإن اشتقاق الطرف الأيسر يعطينا: ١𞸑×𞸃𞸑𞸃𞸎=٢󰁖١٨𞸤+𞸎󰁕.𞸤٩𞸎

الخطوة الأخيرة في الاشتقاق اللوغاريتمي هي عزل 𞸃𞸑𞸃𞸎 في الطرف الأيمن. ويمكننا فعل ذلك بضرب الطرفين في 𞸑، وهو ما يعطينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸑×٢󰁖١٨𞸤+𞸎󰁕.𞸤٩𞸎

وأخيرًا، بتذكُّر أن 𞸑=٢٩𞸤+𞸎٩𞸎، وبإعادة ترتيب الطرف الأيسر، نجد أن: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٢󰁖١٨𞸤+𞸎󰁕٢.٩𞸤+𞸎٩𞸎𞸤٩𞸎

في المثال الأخير، نستخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لاشتقاق دالة غريبة نوعًا ما، يتكرَّر فيها الأس 𞸎.

مثال ٥: إيجاد المشتقة الأولى لدالة على الصورة ﺱ باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي

إذا كانت 𞸑=𞸎𞸎𞸎، فأوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎.

الحل

الأسَّان في الدالة المُعطاة متغيِّران، وأسهل طريقة لاشتقاق دالة من هذا النوع هي استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي. لكي نفعل ذلك، نأخذ أولًا اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين. وبتطبيق ذلك على الدالة 𞸑، يصبح لدينا: 𞸤𞸤𞸎𞸑=𞸎𞸑>٠.𞸎

عند أخذ اللوغاريتم الطبيعي، نكون قد حدَّدنا أن 𞸑>٠؛ لأن اللوغاريتم معرَّف فقط للقيم المُدخَلة الموجبة غير الصفرية.

الخطوة التالية في الاشتقاق اللوغاريتمي هي استخدام قوانين اللوغاريتمات لتفكيك الطرف الأيسر. ولا بد أن يعطينا ذلك صورة يمكننا اشتقاقها بسهولة، لكن مع هذه الدالة تحديدًا نلاحظ أنه علينا تطبيق أول خطوتين مرتين حتى نصل إلى المرحلة التي يمكننا فيها الاشتقاق.

بما أن الدالة تتضمَّن أسَّين، إذن يمكننا استخدام قاعدة القوة أو قانون الأسس للوغاريتمات لتفكيك الطرف الأيسر. وينص هذا القانون على أن: 󰏡𞸢󰏡𞸁=𞸢𞸁، وبتطبيق ذلك على الدالة لكتابة الأس بالأسفل، نحصل على: 𞸤𞸎𞸤𞸑=𞸎𞸎.

يبدو أن هذه الصيغة يمكن التعامل معها بسهولة أكثر؛ حيث لدينا الآن حاصل ضرب في الطرف الأيسر. ولكن ما زال أحد العاملين، وهو 𞸎𞸎، لا يمكننا اشتقاقه بسهولة. لحل هذه المشكلة، علينا العودة إلى الخطوة الأولى وأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين مرةً أخرى. وبذلك، سنتمكَّن مرة أخرى من تطبيق قوانين اللوغاريتمات لتفكيك الطرف الأيسر. وبأخذ اللوغاريتم الطبيعي مرة أخرى، يصبح لدينا: 𞸤𞸤𞸤𞸎𞸤󰁓𞸑󰁒=󰁖𞸎𞸎󰁕.

في الطرف الأيسر، يمكننا الآن استخدام قاعدة الضرب للوغاريتمات، وهي: 󰏡󰏡󰏡𞸁𞸢=𞸁+𞸢.

بتطبيق هذه القاعدة على الطرف الأيسر، نحصل على: 𞸤𞸤𞸤𞸎𞸤𞸤󰁓𞸑󰁒=𞸎+󰁓𞸎󰁒.

يمكننا استخدام قاعدة القوة للوغاريتمات مرةً أخرى لتفكيك الحد الأول في الطرف الأيسر، وبذلك يصبح لدينا: 𞸤𞸤𞸤𞸤𞸤󰁓𞸑󰁒=𞸎𞸎+󰁓𞸎󰁒، والآن، لدينا صورة يمكننا اشتقاقها باستخدام قواعد الاشتقاق المعتادة. هذا يقودنا إلى الخطوة الثالثة من الاشتقاق اللوغاريتمي، وهي اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى 𞸎: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸑󰁒=𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒𞸤𞸤𞸤𞸤𞸤 (مع ملاحظة أنه في الطرف الأيسر، قد استخدمنا حقيقة أن مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقتين). هيا نبدأ الاشتقاق بالحد الأول في الطرف الأيسر.

لدينا حاصل ضرب العاملين 𞸎، 𞸤𞸎. باستخدام قاعدة الضرب للاشتقاق وحقيقة أن 𞸃𞸃𞸎𞸎=١𞸎𞸤، فإن: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎𞸎󰁒=𞸎×١𞸎+𞸎×١=١+𞸎.𞸤𞸤𞸤

بالنظر إلى الحد الثاني في الطرف الأيسر، نلاحظ أن الطريقة التي نستخدمها تنطبق أيضًا على التعبير الموجود في الطرف الأيمن. لدينا التعبير 𞸤𞸤󰁓𞸎󰁒. وهو على الصورة 𞸤𞸏؛ حيث 𞸏 دالة قابلة للاشتقاق في المتغيِّر 𞸎. إذن لدينا دالة لدالة أخرى؛ حيث 𞸏(𞸎)=𞸎𞸤 في هذه الحالة. نحن نعرف أن 𞸃𞸃𞸎𞸎=١𞸎𞸤، وأن 𞸃𞸃𞸎𞸏=١𞸏×𞸃𞸏𞸃𞸎𞸤 (عند 𞸏>٠). وبذلك نحصل على: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒=١𞸎×١𞸎=١𞸎𞸎.𞸤𞸤𞸤𞸤

لدينا الآن مشتقتا كلا الحدين في الطرف الأيسر؛ لذا، كلُّ ما علينا فعله هو إيجاد قيمة المشتقة في الطرف الأيمن من المعادلة. وهو 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸑󰁒𞸤𞸤. وكما لاحظنا، يمكننا تطبيق الطريقة نفسها المستخدَمة في الحد الثاني من الطرف الأيسر.

نريد الآن اشتقاق التعبير 𞸤𞸏؛ حيث 𞸏=𞸑𞸤. وهذه المرة علينا مراعاة حقيقة أن 𞸑 دالة في المتغيِّر 𞸎؛ ومن ثم، فإن: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸑󰁒=١𞸑×𞸃𞸃𞸎𞸑=١𞸑×١𞸑×𞸃𞸑𞸃𞸎=١𞸑𞸑×𞸃𞸑𞸃𞸎.𞸤𞸤𞸤𞸤𞸤𞸤

يمكننا الآن تجميع نتائج الاشتقاق كالآتي: ١𞸑𞸑×𞸃𞸑𞸃𞸎=١+𞸎+١𞸎𞸎.𞸤𞸤𞸤

في الخطوة الأخيرة من الاشتقاق اللوغاريتمي، نعزل 𞸃𞸑𞸃𞸎 في الطرف الأيمن بضرب كلا الطرفين في 𞸑𞸑𞸤، وبإعادة الترتيب يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=󰁓𞸑𞸑󰁒󰃄𞸎+١𞸎𞸎+١󰃃.𞸤𞸤𞸤

هيا نختم مناقشتنا للاشتقاق اللوغاريتمي بملاحظة بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • في الدوال المعقَّدة التي يصعب فيها تطبيق طرق الاشتقاق المعتادة أو يكون ذلك مستحيلًا، نستخدم طريقة الاشتقاق اللوغاريتمي بأخذ اللوغاريتم الطبيعي؛ حيث اللوغاريتم الطبيعي «𞸤» هو 𞸤. وتكون هذه الطريقة مفيدة بالتحديد عند تطبيقها على دوال تتضمَّن أُسُسًا متغيِّرة.
  • لأي دالة في المتغير 𞸎 قابلة للاشتقاق: 𞸑=󰎨(𞸎)𞸑>٠، نتبع الخطوات الآتية:
    • نطبِّق اللوغاريتم الطبيعي على كلا الطرفين: ؛𞸤𞸤𞸑=󰎨(𞸎)
    • نستخدم قوانين اللوغاريتمات: 󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡𞸢󰏡𞸁𞸢=𞸁+𞸢،𞸁𞸢=𞸁𞸢،𞸁=𞸢𞸁 لتبسيط الطرف الأيسر أو تفكيكه:
    • نشتق كلا الطرفين بالنسبة إلى 𞸎.
    • نُوجِد 𞸑=𞸃𞸑𞸃𞸎.
  • عند أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين، نكون قد حدَّدنا أن 𞸑>٠؛ لأن اللوغاريتم معرَّف فقط للقيم المُدخَلة الموجبة غير الصفرية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.